湖南省郴州市嘉禾縣坦坪鎮(zhèn)田心中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．全卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘．
2．請將各題答案填寫在答題卡上．
一、選擇題（本題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 下列實(shí)數(shù)中，最大的數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，關(guān)鍵要熟記：正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對值大的反而?。苯痈鶕?jù)實(shí)數(shù)的大小比較法則比較數(shù)的大小即可．
【詳解】解：，，，，
∴最大，
故選：C．
2. 下列運(yùn)算正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了同底數(shù)冪除法，冪的乘方，積的乘方，完全平方式，解題關(guān)鍵是掌握乘方相關(guān)的運(yùn)算法則，根據(jù)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減，即可判斷A；根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即可判定B；根據(jù)積的乘方，先把積中的每一個(gè)乘數(shù)分別乘方，再把所得的冪相乘，即可判斷C；根據(jù)完全平方公式，即可判斷D．
【詳解】解：A、，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，，故，選項(xiàng)B正確，符合題意；
C、，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
3. 若一組數(shù)據(jù)“”的中位數(shù)大于眾數(shù)，則的值可能為（）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查中位數(shù)定義，眾數(shù)定義．根據(jù)題意分別寫出各選項(xiàng)的中位數(shù)和眾數(shù)，即可求解．
【詳解】解：A、中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，，符合題意；
B、中位數(shù)為2，眾數(shù)為2，，不符合題意；
C、中位數(shù)為2，眾數(shù)為2，，不符合題意；
D、中位數(shù)為2，眾數(shù)為2，，不符合題意；
故選：A．
4. 如圖所示的是由若干個(gè)棱長為1的小正方體搭成的一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積是（）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查觀察幾何體的三視圖還原幾何體，求幾何體體積．根據(jù)題意可知幾何模型底部有4個(gè)小正方體塊，中間部分有2個(gè)正方體塊，最上邊有1個(gè)正方體塊，共計(jì)7個(gè)正方體塊，即可求得體積．
【詳解】解：由題意得：
幾何模型底部有4個(gè)小正方體塊，中間部分有2個(gè)正方體塊，最上邊有1個(gè)正方體塊，共計(jì)7個(gè)正方體塊，
∴體積為：，
故選：C．
5. 若實(shí)數(shù)，，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查數(shù)軸及實(shí)數(shù)的運(yùn)算根據(jù)數(shù)軸可得，，由此可排除選項(xiàng)．
【詳解】解：由數(shù)軸可得，，
∴，，，，
觀察四個(gè)選項(xiàng)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
故選：B．
6. 如圖，是的直徑，是的弦，于點(diǎn)是上一動點(diǎn)，連接是的中點(diǎn)，連接，則的最大值為（）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查中位線定理，垂徑定理，勾股定理等．根據(jù)題意可知當(dāng)為直徑時(shí)，有最大值，再利用中位線定理求出即可．
【詳解】解：∵是的直徑，是的弦，于點(diǎn)，
∴連接，
∴，，
∴當(dāng)為直徑時(shí)，有最大值，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴是中位線，
∴，
故選：C．
7. 如圖，在中，分別為的中點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論不成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及中位線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．由分別為的中點(diǎn)，得到是的中位線，推出，，由相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】解：∵分別為的中點(diǎn)，
∴是的中線，
是的中位線，
，，
，
，，，
，故A選項(xiàng)是正確的；
，
∴，
故B選項(xiàng)是正確的；
，
，
，
，
，
，
，
，
故選項(xiàng)是錯(cuò)誤；
，
結(jié)論成立的是，
故C選項(xiàng)是正確的；
故選：．
8. 已知滿足方程，則的值可表示為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查同底數(shù)冪相乘變形．根據(jù)題意兩式相加可得，兩式相減可得，再將得到的兩式相乘即可得到本題答案．
【詳解】解：∵，
∴兩式相加：，即：，
兩式相減：，即：，
∴，
故選：A．
9. 方程不相等的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查解一元二次方程，將作為一個(gè)整體，解方程，再根據(jù)根的判別式，進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵，
∴，
∴或，
當(dāng)時(shí)，，方程由兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，，方程沒有實(shí)數(shù)根；
故選A．
10. 已知拋物線（是常數(shù)）開口向下，過兩點(diǎn)且．下列四個(gè)結(jié)論：
①頂點(diǎn)在第一象限；
②；
③若，則；
④當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)．根據(jù)題意逐一對序號進(jìn)行分析即可得到本題答案．
【詳解】解：∵拋物線（是常數(shù)）開口向下，
∴，
∵過兩點(diǎn)且，
∴函數(shù)開口向下與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴對稱軸為，
∴，即②正確；
∴函數(shù)頂點(diǎn)在第一象限，即①正確；
∵，
∴對稱軸為，
∴，即，故③正確；
當(dāng)時(shí)，拋物線與軸交點(diǎn)在上方，
∵拋物線開口向下，
∴拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴關(guān)于的一元二次方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故④正確，
故選：D．
二、填空題（本題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，請將答案填在答題卡中對應(yīng)題號的橫線上）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了因式分解，先提取公因數(shù)2，再利用平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：
，
故答案為：．
12. 如圖，在菱形中，，對角線在軸上，為原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至菱形，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查菱形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，則是等邊三角形，根據(jù)三線合一，勾股定理求得，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可．
【詳解】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點(diǎn)，
∵菱形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，
∴，，
∵點(diǎn)在第四象限，
∴點(diǎn)．
故答案為：．
13. 已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式變形．根據(jù)題意先將通分得，再計(jì)算和的值，代入通分式子即可．
【詳解】解：∵，
∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，
∴，
故答案為：．
14. 甲、乙兩人在果園摘草莓，甲每小時(shí)比乙每小時(shí)多摘個(gè)，乙摘個(gè)所用時(shí)間比甲摘個(gè)所用時(shí)間多分鐘，求甲摘個(gè)草莓、乙摘個(gè)草莓時(shí)間分別為多少小時(shí)．設(shè)甲摘個(gè)草莓時(shí)間為小時(shí)，則可列分式方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查分式方程知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，找到等量關(guān)系，列出方程，即可
【詳解】設(shè)甲摘個(gè)草莓時(shí)間為小時(shí)，
分鐘等于小時(shí)，
．
故答案為：．
15. 如圖，點(diǎn)分別在反比例函數(shù)的圖象上．若，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)上的點(diǎn)的特征，相似三角形，勾股定理，解題關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)中的幾何意義，合理添加輔助線，構(gòu)造相似三角形找到對應(yīng)線段的比例關(guān)系．根據(jù)勾股定理及，求得，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形得，進(jìn)而得，然后根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義得，結(jié)合三角形相似比得到，設(shè)，則，，根據(jù)，即可得出答案．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
點(diǎn)在反比例函數(shù)上，
，即，
，
點(diǎn)在反比例函數(shù)上，
設(shè)，則，，
，
，
故答案為：．
16. 已知關(guān)于的方程的解為，則關(guān)于的方程的解為______
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程，把分式方程化為整式方程解題的關(guān)鍵，分式方程一定要進(jìn)行檢驗(yàn)．
將代入關(guān)于x的方程中，求出，再將，代入關(guān)于y的方程中，求出，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可得出答案．
【詳解】解：∵方程的解為，
∴，解得：
當(dāng)時(shí)，關(guān)于y的方程是：，
∴，
∴，
經(jīng)檢驗(yàn)：是關(guān)于y的方程的解．
故答案為：
17. 代數(shù)式的最小值為______
【答案】17
【解析】
【分析】本題主要考查了最短路線問題以及勾股定理的應(yīng)用，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關(guān)鍵．作，過點(diǎn)B作，過點(diǎn)D作，使，，連接交于點(diǎn)C，設(shè)，則，說明的長即為代數(shù)式的最小值，然后構(gòu)造矩形，利用矩形和直角三角形的性質(zhì)可求得的值即可．
【詳解】解：作，過點(diǎn)B作，過點(diǎn)D作，使，，連接交于點(diǎn)C，設(shè)，則，如圖所示，
在和中根據(jù)勾股定理得：
，，
∴，
∴當(dāng)最小時(shí)，最小，
∴當(dāng)、C、E三點(diǎn)共線時(shí)最小，即的最小值為的長，
∴最小值為的長，
過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F，
∵，，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∴，
∴，
即的最小值為17．
故答案為：17．
18. 如圖，是邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)處，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長為______
【答案】或或
【解析】
【分析】本題考查翻著變換，勾股定理，相似三角形判定及性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等．根據(jù)題意可得，繼而可得，再分三種情況討論，利用相似三角形判定及性質(zhì)即可得到本題答案．
【詳解】解：由翻折變換的性質(zhì)，得，
，
，
又，
，
設(shè)，則，
分三種情況討論：
①時(shí)，，解得，
，
，
，
；
②當(dāng)時(shí)，在的垂直平分線上，
為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
；
③當(dāng)時(shí)，如圖，作于點(diǎn)，
，
∴，
，又，
，
，
，
即，解得，
，
，
，
∴綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長為或或．
三、解答題（本題共8個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
19. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及到的知識點(diǎn)有特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算、零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、有理數(shù)的乘方及絕對值，先根據(jù)特殊角的三角形函數(shù)值、有理數(shù)的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零次冪及絕對值的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)行合并即可求解，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式
．
20. 如圖，為正五邊形，以為圓心，為半徑作弧，以為圓心，為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，連接，求的度數(shù)．
【答案】
【解析】
【分析】連接，如圖所示，由正多邊形性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)得到，再由等腰三角形性質(zhì)幾何三角形內(nèi)角和定理即可得到答案．
【詳解】解：連接，如圖所示：
為正五邊形，
．
又為與的交點(diǎn)，
，
∴為等邊三角形，
，
．
又，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形求角度，涉及正五邊形性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握正多邊形判定與性質(zhì)，熟記求角度的方法是解決問題的關(guān)鍵．
21. 某校為了解八年級學(xué)生的身高狀況，隨機(jī)抽取40名男生、40名女生進(jìn)行身高調(diào)查．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制如下統(tǒng)計(jì)圖表．根據(jù)圖表中提供的信息，回答下列問題：
（1）求身高在之間的男生人數(shù)，并補(bǔ)全直方圖．
（2）男生身高的中位數(shù)落在______組，女生身高的中位數(shù)落在______組．（填組別字母序號）
（3）已知該校八年級共有男生400人，女生420人，請估計(jì)八年級身高不足的學(xué)生數(shù)．
【答案】（1）4人，補(bǔ)全圖見解析
（2）D；C （3）八年級身高不足的學(xué)生約有537人
【解析】
【分析】（1）將位于這一小組內(nèi)的頻數(shù)相加即可求得結(jié)果．
（2）根據(jù)中位數(shù)的定義解答即可．
（3）分別表示出男、女生的人數(shù)，相加即可得解．
【小問1詳解】
（人），
身高在之間的男生有4人．
補(bǔ)全的直方圖如下：
【小問2詳解】
∵在樣本中，共有40人，
∴中位數(shù)是第20和第21人的平均數(shù)，
∴男生身高的中位數(shù)落在D組．
A：（人），
B：（人），
C：（人），
∵在樣本中，共有40人，
∴中位數(shù)是第20和第21人的平均數(shù)，
∴女生身高的中位數(shù)落在C組．
故答案為：D；C．
【小問3詳解】
（人），
∴八年級身高不足的學(xué)生約有537人．
【點(diǎn)睛】本題考查了讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能做出正確的判斷和解決問題．
22. 【閱讀理解】已知，在任意中，分別是的對邊，則有．
【初步應(yīng)用】
（1）在中，分別是的對邊．已知，求．
【綜合應(yīng)用】
（2）如圖，為海岸線上兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，，有一條小船在點(diǎn)處，若，求小船到點(diǎn)的距離．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，）
【答案】（1）；（2）小船到點(diǎn)的距離約為
【解析】
【分析】本題考查了三角形的外角定理，特殊角的三角函數(shù)值，閱讀理解，新定義題型，正確理解題意，運(yùn)用新知是解題的關(guān)鍵，其背景是高中的正弦定理的應(yīng)用．
（1）由即可求解；
（2）先求，，再代入即可．
【詳解】解：（1），
，
，
．
（2），，，
，即，解得，
小船到點(diǎn)的距離約為．
23. 如圖，是直線在第一象限上的點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作軸的平行線交雙曲線于兩點(diǎn)．
（1）若，求的值．
（2）當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式等．
（1）延長交軸于點(diǎn)，延長交軸于點(diǎn)，可得是等腰直角三角形，繼而求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可求出本題答案；
（2）設(shè)點(diǎn)繼而表示出，再由勾股定理，得，即可得到本題答案．
【小問1詳解】
解：如圖，延長交軸于點(diǎn)，延長交軸于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，
，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
雙曲線過點(diǎn)，
；
【小問2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，則反比例函數(shù)解析式為，
設(shè)點(diǎn)
，
，
又，
，
兩邊平方得，即，
由勾股定理，得，
．
24. 某超市銷售一種水杯，購進(jìn)時(shí)進(jìn)價(jià)為每件20元．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件售價(jià)為30元時(shí)月銷量為200件，每漲價(jià)1元月銷量減少10件，每降價(jià)1元月銷量增加10件．已知銷售過程中銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)，且每件的利潤率不超過．
（1）直接寫出每月銷售水杯數(shù)量（件）與銷售單價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，及的取值范圍．
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？
（3）如果超市銷售水杯想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么超市每月的成本最多需要多少元？
【答案】（1），
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為32元時(shí)，每月可獲得最大利潤2160元
（3）想要每月獲得的利潤不低于2000元，超市每月的成本最多需要4000元
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)圖象及性質(zhì)．
（1）根據(jù)題意分情況列出關(guān)于的一次函數(shù)即可；
（2）設(shè)每月銷售水杯的利潤為元，列出關(guān)于利潤的二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)圖象及性質(zhì)可知結(jié)果；
（3）取，得，即可解得的值，再設(shè)每月的成本為元，列出關(guān)于的一次函數(shù)解析式，利用性質(zhì)即可得到本題答案．
【小問1詳解】
解： ∵銷售過程中銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)，且每件的利潤率不超過，
∴，解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴綜上所述：，；
【小問2詳解】
解：設(shè)每月銷售水杯的利潤為元，則，
整理，得，
，拋物線開口向下，
當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，有最大值2160，
答：當(dāng)銷售單價(jià)定為32元時(shí)，每月可獲得最大利潤2160元；
【小問3詳解】
解：取，得，解得，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)每月的成本為元，由題意得，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為4000．
答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，超市每月的成本最多需要4000元．
25. 如圖1，在中，，以線段為直徑作交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作B交的延長線于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線．
（2）如圖2，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，，求的長．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）連接，，利用等邊對等角可得，從而證明結(jié)論；
（2）連接，作于M，由垂直平分線的性質(zhì)可得，由，可是的垂直平分線，從而得出，從而解決問題．
【小問1詳解】
連接，，
∵為的直徑，
∴，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴，
∴∠，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半徑，
∴直線是的切線；
小問2詳解】
解：如圖所示，連接，作于M，
∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分線，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴
在中，，，
∵
∴．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的切線的判定定理，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．
26. 綜合與實(shí)踐，如圖，以為邊向兩側(cè)作和為的中點(diǎn)，連接．

（1）如圖1，若，，，求長．
（2）如圖2，連接交于點(diǎn)為上一點(diǎn)，，，．猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）如圖3，是以為斜邊的等腰直角三角形，若，請直接寫出當(dāng)取最大值時(shí)，的面積．
【答案】（1）
（2），理由見解析
（3）的面積為
【解析】
【分析】（1）過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，得到是等腰直角三角形，再用勾股定理即可得到；
（2）延長相交于點(diǎn)，作，垂足為，判定，得到是等邊三角形，再判定，即可得到；
（3）取的中點(diǎn)，連接，再判定，再連接，作于點(diǎn)，在Rt中應(yīng)用勾股定理即可得到．
【小問1詳解】
解：如圖，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，

，，
是等腰直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，
是的中點(diǎn)，
，
，
；
【小問2詳解】
解：，理由如下：
如圖，延長相交于點(diǎn)，作，垂足為，

，
，
，
∴，
，
，
是等邊三角形，，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
【小問3詳解】
解：的面積為，
如圖，取的中點(diǎn)，連接，

是的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)在以為圓心，半徑是2的上運(yùn)動，在上截取，
，
，
，
，
，
當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，的值最大，即的值最大，
如圖，連接，作于點(diǎn)，

由，易得，
設(shè)，在Rt中，，
，
（舍去），
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定及性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定及性質(zhì)，圓的有關(guān)概念和性質(zhì)．
組別
身高

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