2024年湖南省懷化市中考一模數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1. 下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有：①以及與有關(guān)的一些計算；②開方開不盡的數(shù)；③具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)，如（兩個1之間依次增加1個0），根據(jù)無理數(shù)的定義逐項分析即可.
【詳解】解：A.是有理數(shù)，故不符合題意；
B.是有限小數(shù)，為有理數(shù)，故不符合題意；
C.是無限循環(huán)小數(shù)，為有理數(shù)，故不符合題意；
D. 是無理數(shù)，符合題意，
故選：D
2. 下列算式中，正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，平方差公式和完全平方公式，解答時根據(jù)相關(guān)運算法則逐項判定即可．
【詳解】解：A.，錯誤，不符合題意，
B. ，錯誤，不符合題意，
C. ，正確，符合題意，
D. ，錯誤，不符合題意．
故選：C．
3. 以下是回收、綠色包裝、節(jié)水、低碳四個標(biāo)志，其中是中心對稱圖形是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷即可．
【詳解】解：選項A、C、D不能找到這樣的一個點，使這些圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以它們不是中心對稱圖形，
選項B能找到這樣的一個點，使這個圖形繞這一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以它是中心對稱圖形．
故選：B．
【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)后與原圖重合．
4. 有五名射擊運動員，教練為了分析他們成績的波動程度，應(yīng)選擇下列統(tǒng)計量中的（）
A. 方差B. 中位數(shù)C. 眾數(shù)D. 平均數(shù)
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，體現(xiàn)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，集中程度；方差越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．故教練要分析射擊運動員成績的波動程度，只需要知道訓(xùn)練成績的方差即可．
故選A.
考點：1、計算器-平均數(shù)，2、中位數(shù)，3、眾數(shù)，4、方差
5. 中汽協(xié)發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2024年1~2月，新能源汽車產(chǎn)銷分別完成125.2萬輛和120.7萬輛，同比分別增長和，市場占有率達(dá)到30%．將數(shù)據(jù)125.2萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時n是負(fù)數(shù)，由此進行求解即可得到答案．
【詳解】解：萬
故選：B
6. 反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意將各項的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可解答．
【詳解】解：A將代入反比例函數(shù)得到，故A項不符合題意；
B將代入反比例函數(shù)得到，故B項不符合題意；
C將代入反比例函數(shù)得到，故C項不符合題意；
D將代入反比例函數(shù)得到，故D項符合題意；
故選：D．
7. 已知k為整數(shù)，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，則整數(shù)k值為（）
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，求不等式組的解集，先利用加減消元法推出，再由推出，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：
得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴整數(shù)k值為2024，
故選：C．
8. 如圖，從山下乘纜車上山，纜繩與水平方向成夾角，已知纜車速度為每分鐘30米，從山腳A到山頂B需16分鐘，則山的高度為（）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，先求出的長，再根據(jù)正弦的定義即可得到答案．
【詳解】解：由題意得，米，
在中，，
∴米，
故選：A．
9. 如圖，以直角的一個銳角的頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交直角邊于點D，交斜邊于點E，再分別以點D，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線交邊于點G，若，，用表示的面積（其它同理），則＝（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和尺規(guī)作圖，勾股定理等知識，解答時過點G作于點H，得到，再由勾股定理求出，再推出，則問題可解
【詳解】解：如圖，過點G作于點H，

由尺規(guī)作圖可知，為平分線，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故選：B．
10. 如圖是一把椅子側(cè)面鋼架結(jié)構(gòu)的幾何圖形．其中的交點C是可以活動的，調(diào)整它的位置可改變坐板與靠背所成的角度（即的大?。?，但又始終保證坐板與水平面平行（即）．如圖所示，測得，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)．利用平行線性質(zhì)得到，再利用三角形的外角性質(zhì)求出即可．
【詳解】解：∵
∴，
∴，
故選：A
二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）
11. 若二次根式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0，列式計算即可得到答案．
【詳解】解：二次根式有意義，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．
12. 把點先向上平移4個單位，再向左平移3個單位后得到點Q，則點Q的坐標(biāo)為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了平移與坐標(biāo)與圖形的變化．根據(jù)向下平移，縱坐標(biāo)減，橫坐標(biāo)不變，向左平移，橫坐標(biāo)減，縱坐標(biāo)不變進行求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，點Q的坐標(biāo)是，
即．
故答案為：．
13. 因式分解：______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．
【詳解】解：
，
故答案為：．
14. 如圖，在中，，，則________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，先結(jié)合平行線的性質(zhì)證明，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，得出，進而即可求解．
【詳解】解：，
，
，
，即，
，
故答案為：．
15. 如圖，點A，B，C都在上，，則的度數(shù)為________．
【答案】108°##108度
【解析】
【分析】本題考查的知識點是圓周角定理．根據(jù)“同圓中同弧所對的圓周角等于圓心角的一半”解答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
∵點A、B、C在上，
∴．
故答案為：．
16. 從5，，0三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)作為點的坐標(biāo)，則該點在坐標(biāo)軸上的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法和點的坐標(biāo)特征，注意掌握通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．
根據(jù)題意列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出剛好在坐標(biāo)軸上的點個數(shù)，即可求出所求的概率．
【詳解】解：列表得：
所有等可能的情況有6種，其中該點剛好在坐標(biāo)軸上的情況有4種，
所以該點在坐標(biāo)軸上的概率，
故答案為：．
17. 對于實數(shù)x，用表示不超過x的最大整數(shù)，記．如，，若，，則代數(shù)式________．（要求答案為具體的數(shù)值）
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了新定義下的實數(shù)運算，二次根式的混合計算，先估算出，再根據(jù)新定義得到，，據(jù)此代值計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：．
18. 如圖，在中，，將繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，使得點C，A，在同一條直線上，那么在點B運動到點的過程中，線段所“掃過”的面積為________．（結(jié)果用含的式子表示）

【答案】##
【解析】
【分析】本題主要考查了求圖形掃過的扇形面積，解直角三角形，先解直角三角形得到，則，進而求出，則，再根據(jù)線段所“掃過”的面積即為扇形的面積進行求解即可．
【詳解】解：∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵將繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，使得點C，A，在同一條直線上，
∴，
∴線段所“掃過”的面積為，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題8分，第23、24題每小題9分，第25、26題每小題10分，共66分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
19. 計算：．
【答案】3
【解析】
【分析】此題考查的是實數(shù)的混合運算，分別按照60°的正弦值、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)和零指數(shù)冪的性質(zhì)，對各部分進行化簡，最后合并即可．
【詳解】解：原式
．
20. 如圖，在四邊形中，，過點C作交的延長線于點E，作交的延長線于點F，若，．求證：四邊形是菱形．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，先證明得到，進而證明四邊形是平行四邊形，得到，即可得到，證明，得到，即可證明平行四邊形是菱形．
【詳解】證明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點．如圖，一次函數(shù)（a為常數(shù)，）與反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象相交于點和點．

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）過點A作y軸的垂線，過點B作x軸的垂線，相交于點C；過點A作x軸的垂線，過點B作y軸的垂線，相交于點D．求證：C，O，D三點在同一條直線上．
【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)解析式為
（2）證明見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合：
（1）先把點A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出反比例函數(shù)解析式，再把點B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出點B的坐標(biāo)，最后把點A和點B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出一次函數(shù)解析式即可；
（2）先根據(jù)題意求出C、D坐標(biāo)，進而求出直線，直線的解析式即可得到答案．
【小問1詳解】
解：把代入中得：，
∴反比例函數(shù)解析式為，
把代入中得，解得，
∴，
把，代入中得：，
解得，
∴一次函數(shù)解析式為；
【小問2詳解】
證明：∵過點A作y軸的垂線，過點B作x軸的垂線，相交于點C；過點A作x軸的垂線，過點B作y軸的垂線，相交于點D，
∴，
同理可得直線解析式為，直線解析式為，
∴C，O，D三點在同一條直線上．
22. 為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場計劃購買A，B兩種型號的充電樁．已知B型充電樁比A型充電樁的單價多萬元，且用20萬元購買A型充電樁與用24萬元購買B型充電樁的數(shù)量相等．
（1）A，B兩種型號充電樁單價各是多少？
（2）該停車場計劃購買A，B兩種型號充電樁共26個，購買總費用不超過28萬元，且B型充電樁的購買數(shù)量不少于A型充電樁購買數(shù)量的．請問A，B型充電樁各購買多少個可使購買總費用最少？
【答案】（1）A，B兩種型號充電樁的單價各是1萬元，萬元
（2）A，B型充電樁各購買18個，8個可使購買總費用最少
【解析】
【分析】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用：
（1）設(shè)A型號充電樁的單價為x萬元，則B型號充電樁的單價為萬元，根據(jù)用20萬元購買A型充電樁與用24萬元購買B型充電樁的數(shù)量相等列出方程求解即可；
（2）設(shè)購買A型號充電樁m個，總費用為W，則購買B型號充電樁個，先根據(jù)題意列出不等式組求出m的取值范圍，再求出W關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)A型號充電樁的單價為x萬元，則B型號充電樁的單價為萬元，
由題意得，，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
∴，
答：A，B兩種型號充電樁的單價各是1萬元，萬元；
【小問2詳解】
解：設(shè)購買A型號充電樁m個，總費用為W，則購買B型號充電樁個，
∵購買總費用不超過28萬元，且B型充電樁的購買數(shù)量不少于A型充電樁購買數(shù)量的．
∴，
解得，
，
∵，
∴W隨m增大而減小，
又∵m為正整數(shù)，
∴當(dāng)時，總費用最少，
∴，
答：A，B型充電樁各購買18個，8個可使購買總費用最少．
23. 基于學(xué)生數(shù)學(xué)個性發(fā)展的需要，擬開設(shè)幾門數(shù)學(xué)類拓展課程，供學(xué)生自主選修．為了解學(xué)生選修課程意向，隨機抽取了部分學(xué)生進行問卷調(diào)查（每人必須且只選其中一項），并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖（不完整）．根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：

（1）請根據(jù)統(tǒng)計圖所提供的信息，直接填寫答案：
①m= ，n= ；
②“E．思想方法”所對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是；
③對選擇“D．生活應(yīng)用”有意向的學(xué)生人數(shù)是．
（2）該校共有1600名學(xué)生，試估計全校最喜歡“數(shù)學(xué)史話”的學(xué)生人數(shù)．
【答案】（1）①；②36；③18；
（2）400人．
【解析】
【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖及用樣本估計總體的知識，解題的關(guān)鍵是能夠讀懂兩種統(tǒng)計圖并從中整理出進一步解題的有關(guān)信息．
（1）①先用選A的人數(shù)除以其所占的百分比即可求得被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，然后根據(jù)百分比=其所對應(yīng)的人數(shù)÷總?cè)藬?shù)分別求出m、n的值；
②根據(jù)乘以E所占百分比即可求解；
③用總數(shù)減去其他各小組的人數(shù)即可求得選D的人數(shù)，從而補全條形統(tǒng)計圖；
（2）用樣本估計總體即可確定全校最喜歡“數(shù)學(xué)史話”的學(xué)生人數(shù)．
【小問1詳解】
①觀察條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖知：選A的有12人，占20%，
故總?cè)藬?shù)有人，
∴，
；
故答案為：；
②；
故答案為：36；
③選D的有人，
故答案為：18
【小問2詳解】
估計全校最喜歡“數(shù)學(xué)史話”的學(xué)生人數(shù)為：人．
24. 如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，，四邊形的對角線，交于點E．
（1）求的度數(shù)；
（2）過點C作交的延長線于點F，若，求證：是圓的切線．
【答案】（1）；
（2）見解析．
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、切線的判定等知識．
（1）由，，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，得到，則，再由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，，則；
（2）找到外接圓圓心O，連，證明為等邊三角形，則由外心性質(zhì)可知，再由得到，則切線可證明．
【小問1詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小問2詳解】
∵，
∴為圓的直徑，
設(shè)四邊形的外接圓圓心為O，
如圖，連，
∵，，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∵為外接圓，
∴，
∵，
∴，
∵為半徑，
∴是圓的切線．
25. 已知正方形和正方形按圖1所示疊放在一起，其中，，點O為和的中點．
（1）圖2中正方形為圖1中正方形關(guān)于直線的軸對稱圖形，求點D和點U的連結(jié)線段的長度；
（2）將圖1中的正方形繞點O旋轉(zhuǎn)，如圖3所示，求運動過程中點D和點G之間距離的最大值和最小值．
【答案】（1）；
（2）點D和點G之間距離的最大值和最小值分別為和．
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，點和圓的位置關(guān)系．
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求解；
（2）連接，利用勾股定理求得長，推出點在以點為圓心，長為半徑的圓上，當(dāng)點在線段上時，取得最小值；當(dāng)點在延長線上時，取得最大值；據(jù)此求解即可．
【小問1詳解】
解：延長交于點，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：連接，
∵，，
∴，
∴點在以點為圓心，長為半徑圓上，
∴當(dāng)點在線段上時，取得最小值；
當(dāng)點在延長線上時，取得最大值；
∵，，
∴，
如圖1，
最小值為；
如圖2，
取得最大值為．
26. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，，頂點為D，對稱軸交x軸于點E．
圖1 圖2 圖3
（1）求拋物線的解析式、對稱軸及頂點D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點Q為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)Q在什么位置時最小，求出Q點的坐標(biāo)，并求出此時的周長；
（3）如圖3，在對稱軸左側(cè)的拋物線上有一點M，在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一點N，滿足．求證：直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo)．
【答案】（1），對稱軸為直線，頂點D的坐標(biāo)為；
（2）的周長的最小值為；
（3）直線恒過定點，定點坐標(biāo)為．
【解析】
【分析】（1）求得點B坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，利用待定系數(shù)法求解，再配成頂點式，即可得解；
（2）先求得直線的解析式，再求直線與對稱軸交點Q，將轉(zhuǎn)化為，在中求，在中求即可求解；
（3）如圖，過點D作直線垂直軸，再過點M，N分別作直線的垂線，設(shè)點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為，證明，求得，再利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，據(jù)此求解即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴點B的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為，
∵，
∴對稱軸為直線，頂點D的坐標(biāo)為；
【小問2詳解】
解：∵點A與點關(guān)于直線對稱，
∴直線與對稱軸的交點為Q，則Q為最小時位置，
設(shè)直線的解析式為，
代入點得，解得，
∴直線的解析式為，
當(dāng)，，
∴，
∵點，
∵，
，
∴的周長的最小值為；
【小問3詳解】
解：如圖，過點D作直線垂直軸，再過點M，N分別作直線的垂線，垂足分別為H，G，
設(shè)點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為，
∵頂點D的坐標(biāo)為，
∴，，
，，
由題意得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
得，
∵，
∴，
將代入①得，
求得；
∴直線的解析式為，
∵，即，
∴，
∴當(dāng)即時，，
∴無論為何值，直線總會經(jīng)過定點，
∴直線恒過定點，定點坐標(biāo)為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．
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