一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 設(shè)集合，，若，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因集合，，且，則.
故選：C.
2. 命題“”的否定為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)全稱量詞命題：的否定是特稱量詞命題：，
可知命題“”的否定為“”.
故選：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因為，所以或，
則可以推出，但不能推出．
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A．
4. 函數(shù)的定義域是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】由題可知，解得且.
故選：D.
5. 酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，達(dá)到及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】某駕駛員喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了，
則血液中酒精含量達(dá)到，在停止喝酒以后，
他血液中酒精含量會以每小時20%速度減少，
他至少要經(jīng)過1小時后才可以駕駛機(jī)動車．則，，
．
他至少經(jīng)過個小時才能駕駛．
故選：D.
6. 已知函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的一個可能值是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】的圖象向左平移個單位長度后的解析式為
，由題知，
，所以，
所以，即，由題知，當(dāng)時，.
故選：A.
7. 已知增函數(shù)的圖象在上是一條連續(xù)不斷的曲線，在用二分法求該函數(shù)零點的過程中，依次確定了零點所在區(qū)間為，，，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為依次確定了零點所在區(qū)間為，，，
可得，即，解得.
所以.
故選：B.
8. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，根據(jù)為上的單調(diào)減函數(shù)，
則在上單調(diào)遞減，且，，
所以函數(shù)在上存在唯一的零點，故；
又因為，所以，
所以，即，所以，
所以，即，所以;
因為，所以，所以，
即，所以，
綜上可得：.
故選：A.
二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）
9. 如果，那么下面結(jié)論一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】對于AD，當(dāng)時，
，故AD錯誤；
對于BC，因為，所以，故BC正確.
故選：BC.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的最小正周期是B. 的定義域是
C. 的圖象關(guān)于點對稱D. 在上單調(diào)遞增
【答案】ACD
【解析】由題意，函數(shù)，可得的最小正周期為，
所以A正確；
令，解得，
即函數(shù)的定義域為，所以B不正確；
令，解得，
當(dāng)時，可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以C正確；
由，可得，根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以D正確.
故選：ACD.
11. 下列是真命題的是（ ）
A. 函數(shù)且的圖像恒過定點
B. 函數(shù)的值域是
C. 函數(shù)為奇函數(shù)
D. 函數(shù)的圖像的對稱軸是
【答案】AC
【解析】對于A，令，則，當(dāng)時，，
所以函數(shù)恒過定點，故A正確；
對于B，因為，則，
令，則，則，
即函數(shù)的值域是，故B錯誤；
對于C，因為函數(shù)定義域為關(guān)于原點對稱，
且，則，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；
對于D，函數(shù)的圖像的對稱軸是，故D錯誤.
故選：AC.
12. 已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）
A. B.
C. 函數(shù)的圖象存在對稱軸D. 函數(shù)的圖象存在對稱中心
【答案】ABD
【解析】對于選項A：因為，當(dāng)時等號成立；
，當(dāng)時等號成立，
則兩個式子中等號不會同時成立，
所以由不等式性質(zhì)可得；故選項A正確；
對于選項B：顯然.
因為當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時；
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時；
所以，則.
又因為，所以，即，故選項B正確；
對于選項C：因為，
，.
顯然，所以函數(shù)的圖象不存在對稱軸，故選項C錯誤；
對于選項D：因為，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故選項D正確.
故選：ABD.
三、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
13. 若扇形的半徑為2，弧長為3，則扇形的面積為______________.
【答案】3
【解析】由題意可得：扇形的面積為.
14. 若冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點，則實數(shù)的值是______．
【答案】
【解析】由題可知，解得，舍去.
15. 化簡______．
【答案】1
【解析】.
16. 若正數(shù)，滿足，則的最大值為________．
【答案】
【解析】因為正數(shù)，滿足，所以，即，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，
此時取得最小值9，則的最大值為．
17. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】令，對稱軸為，
∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
∴在上單調(diào)遞增，且，
∴且，即且，解得，
即實數(shù)的取值范圍為.
18. 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點，
則方程，
即在區(qū)間上有兩個不等的實根，
設(shè)，，
則函數(shù)在區(qū)間上有兩個交點，
顯然，當(dāng)時，，此時兩函數(shù)只有一個交點，不滿足；
當(dāng)時，為二次函數(shù)，對稱軸為，
開口向上，與軸只有一個交點，則，解得，
即實數(shù)的取值范圍是.
四、解答題（本大題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
19. 已知為銳角，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
解：（1）為銳角，，，
.
（2），，
或.
20. 已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若方程在區(qū)間上恰有一個解，求的取值范圍．
解：（1），
由，得，
∴所求的單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2）由，得，
或，
或，
∴由已知.
21. 麗水市某革命老區(qū)因地制宜發(fā)展生態(tài)農(nóng)業(yè)，打造“生態(tài)特色水果示范區(qū)”．該地區(qū)某水果樹的單株年產(chǎn)量（單位：千克）與單株施肥量（單位：千克）之間的關(guān)系為，且單株投入的年平均成本為元．若這種水果的市場售價為元/千克，且水果銷路暢通．記該水果樹的單株年利潤為（單位：元）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求單株施肥量為多少千克時，該水果樹的單株年利潤最大？最大利潤是多少？
解：（1）當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故.
（2）當(dāng)時，的對稱軸為，
最大值為，
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
綜上施肥量為時，單株年利潤最大為390元.
22. 已知函數(shù)，且.
（1）求的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)，若方程有個不相等的實數(shù)解，求的取值范圍．
解：（1）由題有時，解得或，
因為，所以，故.
（2）由（1），則方程為
設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
可得，
則原方程可化為，
令，
因為，故函數(shù)為上的偶函數(shù)，
設(shè)，
，
，，
，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由偶函數(shù)得在上單調(diào)遞減，最小值為
故原條件等價于方程在有兩個不相等的實數(shù)根，
即，解得，
不妨設(shè)兩根為，的兩根為，由為上的偶函數(shù)，
可得，即，，
所以.
23. 函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，．
（1）當(dāng)時，求滿足的實數(shù)的值；
（2）函數(shù)，求滿足的實數(shù)的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時，即，得（舍去）；
當(dāng)時，即，得；
當(dāng)時，即，得；
綜上或.
（2）由題可得的定義域為又，
，，
當(dāng)時，，方程左邊，右邊，左邊右邊；
當(dāng)時，，，
由取整定義可得：，
，
，又，
可得，解得，
當(dāng)時，，即，
解得，；
當(dāng)時，，即，
解得，或，
綜上.

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