題型一分段遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式
例1．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，其中 ，則數(shù)列的前項(xiàng)和為______.
【答案】
【分析】根據(jù)遞推公式將偶數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為奇數(shù)項(xiàng)，再運(yùn)用遞推公式求出奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，再求和.
【詳解】由遞推公式 ，得 ，
即，，
數(shù)列 是首項(xiàng)為，公比等比數(shù)列，， ，

；
故答案為：.
例2．（2023春·廣東佛山·高二佛山一中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．
B．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
C．
D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)已知遞推出可判斷A；令，由已知可得，可得，令， 由已知可得，，所以可判斷BC；計(jì)算出前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)和、
偶數(shù)項(xiàng)和可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，，，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，令， 由已知可得，，
所以，又，
所以，，
令，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故B正確；
對(duì)于C，由B可知，，令， 由已知可得，，
所以，綜上，故C正確；
對(duì)于D，前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)和，
前項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)和，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，故D正確.
故選：BCD.
練習(xí)1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的表達(dá)式，根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得出數(shù)列的表達(dá)式，然后對(duì)為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，
因?yàn)?，所以，?br>所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，
因?yàn)椋?br>所以，.
所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，所以，；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，
此時(shí)，.
綜上所述，.
練習(xí)2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式依次寫出，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律；
（2）由（1）可寫出數(shù)列的表達(dá)式，根據(jù)裂項(xiàng)求和的方法可求出前n項(xiàng)和．
【詳解】（1）由題意知，，，，，，…，，，從而．
（2）由（1），所以．
練習(xí)3．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，，令.
(1)寫出，，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求的前10項(xiàng)和.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）由遞推關(guān)系既可求得，，再由數(shù)列的通項(xiàng)公式代入到，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入到，可求得，由分組求和方法計(jì)算即可得出的前10項(xiàng)和
【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，?br>又，所以，，，
當(dāng)，時(shí)，；
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，即，
則，，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
故.
（2）由（1）可得，
記的前項(xiàng)和為，
則
.
練習(xí)4．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為,數(shù)列的前項(xiàng)和小于實(shí)數(shù)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先分奇偶求出通項(xiàng)公式，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消法即可得前n項(xiàng)和，則得M的最小值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，即.
所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是常數(shù)列.又，
所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，.
設(shè)，則
故的前項(xiàng)和為
，當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，前和趨向于.
所以的最小值為.
故選：C.
練習(xí)5．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：①；②.則的通項(xiàng)公式______；設(shè)為的前項(xiàng)和，則______.（結(jié)果用指數(shù)冪表示）
【答案】
【分析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)令可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)令，可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式，再利用分組求和法計(jì)算可得.
【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，則，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，則，
則，
當(dāng)時(shí)，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以，則，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，則，所以，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，則，所以，
所以，
所以
故答案為：，
題型二公共項(xiàng)數(shù)列
例3．（2023春·河北石家莊·高二石家莊市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為和，設(shè)這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成集合A，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．167B．168C．169D．170
【答案】C
【分析】利用列舉法可知，將集合中的元素由小到大進(jìn)行排序，構(gòu)成的數(shù)列記為，可知數(shù)列為等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后解不等式，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意可知，數(shù)列、、、、、、、、、、，
數(shù)列、、、、、、、、、、，
將集合中的元素由小到大進(jìn)行排序，構(gòu)成數(shù)列、、、，
易知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，
由，可得，
因此，集合中元素的個(gè)數(shù)為.
故選：C.
例4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且滿足． 將數(shù)列與的公共項(xiàng)按照由小到大的順序排列，構(gòu)成新數(shù)列．
(1)證明：
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用基本量代換列方程組求出，得到，的通項(xiàng)公式，進(jìn)而判斷出是數(shù)列{}的項(xiàng)，即可證明；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.
【詳解】（1）由，得，
由，得，
解得，
因?yàn)閿?shù)列{}的公差為3，數(shù)列{}的公比為2，
所以
不是數(shù)列{}的項(xiàng)，是數(shù)列{}的第1項(xiàng)．
設(shè)，則
所以不是數(shù)列{}的項(xiàng)．
因?yàn)椋?br>所以是數(shù)列{}的項(xiàng)．
所以
（2）由（1）可知，．
=
所以
所以．
練習(xí)6．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）將數(shù)列與的公共項(xiàng)由小到大排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)的和為__________．
【答案】
【分析】找到數(shù)列與的公共項(xiàng)，組成數(shù)列，可得數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得答案.
【詳解】由題意令，即2不是數(shù)列與的公共項(xiàng)；
令，即4是數(shù)列與的公共項(xiàng)；
令，即8不是數(shù)列與的公共項(xiàng)；
令，即16是數(shù)列與的公共項(xiàng)；
依次類推，可得數(shù)列：，
即是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，
故數(shù)列的前n項(xiàng)的和為 ，
故答案為：
練習(xí)7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則__________.
【答案】
【分析】分析可知是正奇數(shù)列，根據(jù)題意求得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得的值.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是正奇數(shù)列，
對(duì)于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則為偶數(shù)；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則為奇數(shù)，
所以，，則，
因此，.
故答案為：.
練習(xí)8．（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列由與的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列而成，求數(shù)列落在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．
【答案】(1)
(2)22
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列式計(jì)算即可；
（2）計(jì)算得出的通項(xiàng)公式，分析可得表示全體正奇數(shù)的平方從小到大組成的數(shù)列，據(jù)此推斷出數(shù)列落在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù).
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．
由可得得
解得
所以．
（2）因?yàn)?，所以表示所有正整?shù)的完全平方數(shù)從小到大組成的數(shù)列，
而表示全體正奇數(shù)從小到大組成的數(shù)列，所以表示全體正奇數(shù)的平方從小到大組成的數(shù)列，
因?yàn)?，所以落在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為22項(xiàng)．
練習(xí)9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，若由與的公共項(xiàng)從小到大組成數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由求出，再由等比數(shù)列求和公式求出，即可得解；
（2）由（1）可得，即可得到數(shù)列的特征，令，求出的取值，即可得到為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，即，即，所以?br>又，即，解得，
所以.
（2）解：由（1）可得，
則數(shù)列為、、、、，偶數(shù)組成的數(shù)列，
又，令，則為正偶數(shù)，
所以，，，，，
所以為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
練習(xí)10．（2022秋·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)值剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所以被除余的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列，所有被除余的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列，把和的公共項(xiàng)從小到大得到數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意數(shù)列、都是等差數(shù)列，從而得到數(shù)列是等差數(shù)列，依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可得答案.
【詳解】根據(jù)題意數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列， ，
數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為5的等差數(shù)列，，
數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大得到數(shù)列，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為15的等差數(shù)列，.
對(duì)于A，，，，錯(cuò)誤
對(duì)于B，，，，正確.
對(duì)于C，，，，，錯(cuò)誤.
對(duì)于D，，，，，錯(cuò)誤.
故選：B.
題型三插項(xiàng)數(shù)列
例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，可以形成一個(gè)新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法可以不斷構(gòu)造出新的數(shù)列．現(xiàn)將數(shù)列1，3進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，4，3；第2次得到數(shù)列1，5，4，7，3；依次構(gòu)造，第次得到數(shù)列1，．記，若成立，則的最小值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)規(guī)律確定的關(guān)系式，進(jìn)而可得，即有的通項(xiàng)公式，求解即可得結(jié)果．
【詳解】由，，
，
，，
則，則，則，
當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．
故選：C．
例6．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求出等比數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；
（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減可得，，
故等比數(shù)列的公比為，
，
，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）由得：，，
故，即，
，
，
得：，
故．
練習(xí)11．（2023秋·江蘇鹽城·高三江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)4，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記新數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為______．
【答案】370
【分析】依題意，確定前60項(xiàng)所包含數(shù)列的項(xiàng)，以及中間插入4的數(shù)量即可求和.
【詳解】因?yàn)榕c之間插入個(gè)4，
，，，，，
其中，之間插入2個(gè)4，，之間插入4個(gè)4，，之間插入8個(gè)4，，之間插入16個(gè)4，
，之間插入32個(gè)4，由于，，
故數(shù)列的前60項(xiàng)含有的前5項(xiàng)和55個(gè)4，
故.
故答案為：370.
練習(xí)12．（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列的任意與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由條件證明數(shù)列為等比數(shù)列，利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列中在之前共有項(xiàng)，由此確定前項(xiàng)的值，再分組，結(jié)合等比求和公式可求得答案.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，又，
所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，
，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，又也滿足該關(guān)系，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）數(shù)列中在之前共有項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)
練習(xí)13．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)保持中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值（用數(shù)字作答）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得到，求得，結(jié)合時(shí)，求得，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)題意，得到新數(shù)列的前100項(xiàng)，結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】（1）解：由數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
當(dāng)時(shí)，，不符合上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）解：保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個(gè)1，
則新數(shù)列的前100項(xiàng)為3，1，，1，1，，1，1，1，，1，1，1，1，， ，，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，
則
．
練習(xí)14．（2023春·遼寧錦州·高三校考期中）記為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且，，成等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入n個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算基本量即可得通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算得，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算和式即可.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，則①，
因?yàn)椋?，成等差?shù)列，則，即②，
因?yàn)?，所以由②式可得，解得或（舍）?br>代入①式可得，
（2）由題可得，即，所以，
則，所以①，
則②，
故①－②得：
所以.
練習(xí)15．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，且.數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序依次插入數(shù)列中，在任意的，之間插入項(xiàng)，從而構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，可得出，變形可得.然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得出.由已知可得，累乘法即可得出；
（2）設(shè)100項(xiàng)中，來自于數(shù)列中的有項(xiàng).根據(jù)已知可推得，然后根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可得出答案.
【詳解】（1）由已知可得，當(dāng)時(shí)，
有，
，
兩式相減得：.
又因?yàn)椋?br>所以，，滿足上式.
所以，.
又，
所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即.
又，
所以，所以.
又，
所以，當(dāng)時(shí)，有
，
，
，
，
，
兩邊同時(shí)相乘可得，
，
所以，.
（2）設(shè)100項(xiàng)中，來自于數(shù)列中的有項(xiàng).
若第100項(xiàng)來自于，則應(yīng)有，
整理可得，，該方程沒有正整數(shù)解，不滿足題意；
若第100項(xiàng)來自于，則應(yīng)有，
整理可得，.
當(dāng)時(shí)，有不滿足，
，故，
所以，數(shù)列中含有10項(xiàng)數(shù)列中的項(xiàng)，含有90項(xiàng)數(shù)列中的項(xiàng).
所以，
.
題型四數(shù)列中的新定義問題
例7．（2023·全國·高三對(duì)口高考）對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中
(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式，求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的首項(xiàng)是1，且滿足，證明數(shù)列為等差為數(shù)列.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)及的通項(xiàng)公式直接計(jì)算可得；
（2）依題意可得，再結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可.
【詳解】（1）依題意，且，
（2）因?yàn)?，所以，所以?br>，且，
故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.
例8．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)的比，例如如何表示成兩個(gè)整數(shù)的比值呢？代表了等比數(shù)列的無限項(xiàng)求和，可通過計(jì)算該數(shù)列的前項(xiàng)的和，再令獲得答案.此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即可得.則下列說法正確的是（ ）
A．
B．為無限循環(huán)小數(shù)
C．為有限小數(shù)
D．?dāng)?shù)列的無限項(xiàng)求和是有限小數(shù)
【答案】AD
【分析】按照題中所給方法求解可判斷A；取驗(yàn)證可判斷BC；利用等比數(shù)列求和公式求和，然后可得的無限項(xiàng)求和，可判斷D.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，代表了等比數(shù)列的無限項(xiàng)求和，該數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，，所以，故選項(xiàng)A成立；
對(duì)于選項(xiàng)B：令與條件矛盾，故選項(xiàng)B不成立；
對(duì)于選項(xiàng)C：令與條件矛盾，故選項(xiàng)C不成立；
對(duì)于選項(xiàng)D：數(shù)列的前項(xiàng)和為時(shí)，，所以數(shù)列的無限項(xiàng)求和為，是有限小數(shù)，故選項(xiàng)D成立.
故選：AD
練習(xí)16．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)，
(1)證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設(shè)，定義，且記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】(1)根據(jù)“平方遞推數(shù)列”的定義和等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明
(2)由的新定義和，可得出表達(dá)式，再分段求前n項(xiàng)和即可.
【詳解】（1）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，
是“平方遞推數(shù)列”．
因?yàn)椋?br>對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，
由數(shù)列的通項(xiàng)公式得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
又由，得
當(dāng)且時(shí)，；
當(dāng)且時(shí)，
，
綜上，
練習(xí)17．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）將按照某種順序排成一列得到數(shù)列，對(duì)任意，如果，那么稱數(shù)對(duì)構(gòu)成數(shù)列的一個(gè)逆序?qū)?若，則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根據(jù)逆序?qū)Φ亩x，分?jǐn)?shù)列的第一個(gè)數(shù)為，數(shù)列的第二個(gè)數(shù)為，數(shù)列的第三個(gè)數(shù)為，數(shù)列的第四個(gè)數(shù)為，四種情況討論即可.
【詳解】若，則，
由構(gòu)成的逆序?qū)τ校?br>若數(shù)列的第一個(gè)數(shù)為，則至少有個(gè)逆序?qū)Γ?br>若數(shù)列的第二個(gè)數(shù)為，
則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列為，
若數(shù)列的第三個(gè)數(shù)為，
則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列為或，
若數(shù)列的第四個(gè)數(shù)為，
則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列為，
綜上恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列的個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：B.
練習(xí)18．（2023·北京·人大附中校考三模）已知數(shù)列滿足：對(duì)任意的，總存在，使得，則稱為“回旋數(shù)列”．以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①若，則為“回旋數(shù)列”；
②設(shè)為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則為“回旋數(shù)列”；
③設(shè)為等差數(shù)列，當(dāng)，時(shí)，若為“回旋數(shù)列”，則；
④若為“回旋數(shù)列”，則對(duì)任意，總存在，使得．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合題意中的“回旋數(shù)列”，對(duì)每項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證或者舉特練習(xí)即可
【詳解】①由可得，
由可得，取即可，則為“回旋數(shù)列”，故①正確；
②當(dāng)時(shí)，，，
由可得，故當(dāng)時(shí)，很明顯不成立，故不是“回旋數(shù)列，②錯(cuò)誤”；
③是等差數(shù)列，故，，
因?yàn)閿?shù)列是“回旋數(shù)列”，所以，即，
其中為非負(fù)整數(shù)，所以要保證恒為整數(shù)，
故為所有非負(fù)整數(shù)的公約數(shù)，且，所以，故③正確；
④由①可得當(dāng)時(shí)，為“回旋數(shù)列”，
取，，顯然不存在,使得，故④錯(cuò)誤
故選：B
練習(xí)19．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃ǘ噙x）在數(shù)列中，（，為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（ ）
A．是等方差數(shù)列
B．若正項(xiàng)等方差數(shù)列的首項(xiàng)，且是等比數(shù)列，則
C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列
D．存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列
【答案】BC
【分析】根據(jù)等方差數(shù)列定義判斷A，由等方差數(shù)列定義及等比數(shù)列求判斷B，根據(jù)等方差數(shù)列定義及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷C，由等差數(shù)列及等方差數(shù)列定義，利用反證法判斷D.
【詳解】設(shè)，則不為非零常數(shù)，所以不是等方差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
由題意，則，
由是等比數(shù)列，得，解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，滿足題意，故B正確；
設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，不妨設(shè)，則，所以，
若為常數(shù)，則，但此時(shí)，不滿足題意，故C正確；
若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列，
不妨設(shè)，（為非零數(shù)），，
所以，即，所以，即，
所以為常數(shù)列，這與矛盾，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
練習(xí)20．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）（多選）若數(shù)列滿足：對(duì)任意的，總存在，使，則稱是“數(shù)列”.則下列數(shù)列是“數(shù)列”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)“數(shù)列”定義判斷A、D；利用特殊值判斷B是否滿足要求；由的個(gè)位數(shù)上奇偶性判斷C.
【詳解】A：由，要且，
所以，只需，顯然對(duì)任意的，總存在，滿足“數(shù)列”.
B：由，顯然，不滿足“數(shù)列”.
C：對(duì)于任意，，個(gè)位數(shù)為均為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，顯然不成立，不滿足.
D：由，
，
故對(duì)任意的，總存在，滿足“數(shù)列”.
故選：AD
題型五數(shù)列的結(jié)構(gòu)不良
例9．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
(1)求的通項(xiàng)公式及；
(2)設(shè)__________，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問中，并求解．
注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)，
(2)答案見解析
【分析】（1）設(shè)公差為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，即可求出通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；
（2）根據(jù)所選條件得到的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和.
【詳解】（1）設(shè)公差為，由可得，
所以，解得，所以的通項(xiàng)公式為，
則.
（2）若選①；
則
，
所以；
若選②；則，
則；
若選③，則，
所以.
例10．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①，且；②；③，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下列問題：
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求的最小值.
注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)證明見解析，；
(2)
【分析】（1）由與的關(guān)系或等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式求解即可；
（2）由裂項(xiàng)相消法求出后，再由恒成立進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）若選擇條件①：因?yàn)椋?br>所以，又，所以，即，
又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以；
若選擇條件②：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，
兩式相減，得，即（），
又，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
所以；
若選擇條件③：由，得，即，
又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以；
（2）由（1）知，，
則，
因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以的最小值為，
又恒成立，則，解得，
故的最小值為.
練習(xí)21．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①且；②；③且，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并求解：
(1)已知數(shù)列滿足______，求的通項(xiàng)公式；
(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①，由已知可推得，進(jìn)而得出數(shù)列是常數(shù)列，從而得出；若選②，由已知推得，進(jìn)而根據(jù)與的關(guān)系，即可推得；若選③，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可推得數(shù)列是等差數(shù)列.然后由已知求得，即可得出.
（2）根據(jù)已知可求出，然后根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算以及裂項(xiàng)化簡(jiǎn)可得，然后相加即可得出.
【詳解】（1）若選①且
由可得.
又，
所以數(shù)列是常數(shù)列，且，所以.
若選②
由已知可得，.
當(dāng)時(shí)，有；
當(dāng)時(shí)，有，
，
兩式作差可得，，
所以.
又滿足，所以.
若選③且，
由可得，，
所以，數(shù)列是等差數(shù)列.
又，，
所以，所以，
所以.
（2）由（1）知，，所以.
設(shè)等比數(shù)列公比為，
由已知可得，解得，
所以.
所以，
所以.
練習(xí)22．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前項(xiàng)和.
(1)從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；
①；
②；
③.
(2)在（1）的條件下，若，求.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）不管選哪個(gè)組合都可以由遞推公式及等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）結(jié)合（1）的條件得出，從而求得，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】（1）證明：若選擇①②，證明③成立.
由，得，
故數(shù)列是等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的公差為，故，
，所以，
所以，所以，
故，所以
，
故.
若選擇①③為條件，證明②成立.
由，得，
故數(shù)列是等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的公差為，
，
因?yàn)?，即?br>整理可得，所以，
所以，故.
若選擇②③為條件，證明①成立.
由題意可得，所以，
又，所以，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的公差為，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)上式也成立，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
又，
所以，
又，所以，
故.
（2）解：由（1）可知，數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，
所以，
所以，
所以
練習(xí)23．（2023春·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┰冖?；②這兩組條件中任選一組，補(bǔ)充下面橫線處，并解答下列問題.
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，數(shù)列的前n項(xiàng)和是，___________.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.
【答案】(1)選條件①：故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；選條件②：數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
(2)選條件①：；選條件②：所以．
【分析】（1）選條件①：由，可得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；選條件②：由，，可得，利用迭代法可求，借助已知條件可得；
（2）選條件①：利用錯(cuò)位相減求和法求和后即可證明；選條件②：利用裂項(xiàng)相消求和法求和后即可證明.
【詳解】（1）選條件①：由，可得，
兩式相減可得，所以，
在中，令，可得，所以，
所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
選條件②：由，可得，
兩式相減可得，即，
所以，
在中，令，可得，所以，
所以由，，，，
所以，從而有，
所以，，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）選條件①：由（1）知，
，
，
，
兩式相減可得
，
所以，即；
選條件②：由（1）知，
所以．
練習(xí)24．（2023秋·云南昆明·高三統(tǒng)考期末）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，①，，②，且，③，
請(qǐng)從①②③中選擇一個(gè)條件進(jìn)行求解.
注：如果選擇不同的條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，的最大值為
【分析】（1）對(duì)①②：根據(jù)前項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列分析運(yùn)算；對(duì)③：根據(jù)等比數(shù)列分析運(yùn)算；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性結(jié)合恒成立問題運(yùn)算求解.
【詳解】（1）若選①：，，
當(dāng)時(shí)，則，即；
當(dāng)時(shí)，則，可得，
整理得，
故數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，則；
若選②：，且，
令，則，
可得，兩式相減得，即，
注意到，
故數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，則；
若選③：，，即，
故數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，則.
（2）存在，的最大值為.
由（1）可知：，則，
所以，
可知為遞增數(shù)列，則，
所以，解得，
且為正整數(shù)，則的最大值為.
練習(xí)25．（2023春·北京海淀·高三中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列中，， ，其中 ．
從①數(shù)列的前項(xiàng)和 ，② ，③且，這三個(gè)條件中一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并作答.
注：若選作多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求證：數(shù)列 是等差數(shù)列；
(3)設(shè)數(shù)列 ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前20項(xiàng)和 ．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)，.
【分析】（1）選①，利用與的關(guān)系求出即可；選②③，判斷等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列定義求出通項(xiàng)公式作答.
（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用等差數(shù)列定義判斷作答.
（3）由（2）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法求和作答.
【詳解】（1）選①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是 .
選②，依題意，數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為2，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
選③，由，，知，，則數(shù)列為等比數(shù)列，
公比為，有，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）知，，顯然，
所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.
（3）由（2）知，，
.
題型六遞推數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）農(nóng)歷是我國古代通行歷法，被譽(yù)為“世界上最突出和最優(yōu)秀的智慧結(jié)晶”.它以月相變化周期為依據(jù)，每一次月相朔望變化為一個(gè)月，即“朔望月”，約為29.5306天.由于歷法精度的需要，農(nóng)歷設(shè)置“閏月”，即按照一定的規(guī)律每過若干年增加若干月份，來修正因?yàn)樘鞌?shù)的不完美造成的誤差，以使平均歷年與回歸年相適應(yīng)設(shè)數(shù)列滿足，其中均為正整數(shù)，且，，，，，，…，那么第n級(jí)修正是“平均一年閏個(gè)月”，已知我國農(nóng)歷為“19年共閏7個(gè)月”，則它是（ ）
A．第3級(jí)修正B．第4級(jí)修正C．第5級(jí)修正D．第6級(jí)修正
【答案】C
【分析】根據(jù)題意依次求出，再判斷哪一個(gè)等于即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，，…，其中均為正整數(shù)：
，，，，，，…，
所以，，，
，
，
所以“年共閏個(gè)月”為第5級(jí)修正，
故選：C
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）1202年，斐波那契在《算盤全書》中從兔子問題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，19世紀(jì)以前并沒有人認(rèn)真研究它，但在19世紀(jì)末和20世紀(jì)，這一問題派生出廣泛的應(yīng)用，從而活躍起來，成為熱門的研究課題，記為該數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．為偶數(shù)
C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系計(jì)算出的值可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的特點(diǎn)可判斷選項(xiàng)B；由可得，再化簡(jiǎn)可判斷選項(xiàng)C；由，化簡(jiǎn)整理可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A：由題意知：，，，，，，，，，，，
故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：因?yàn)樵摂?shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，此數(shù)列中數(shù)字的特點(diǎn)為：奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)一組，呈奇奇偶的順序排列，而（組）（個(gè)），故為奇數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由題意知：，所以
，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：，
故選項(xiàng)D正確，
故選：ACD.
練習(xí)26．（2022秋·福建漳州·高三統(tǒng)考期末）（多選）被譽(yù)為“閩南第一洞天”的風(fēng)景文化名勝——漳州云洞巖，有大小洞穴四十余處，歷代書法題刻二百余處.由于巖石眾多，造就了云洞巖石頭上開鑿臺(tái)階的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石頭上爬，旁邊有鐵索可以拉，十分驚險(xiǎn).某游客爬天梯，一次上1個(gè)或2個(gè)臺(tái)階，設(shè)爬上第個(gè)臺(tái)階的方法數(shù)為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)和選項(xiàng)計(jì)算，依次判斷即可.
【詳解】A：一次上1個(gè)或2個(gè)臺(tái)階，則，…
設(shè)爬上第個(gè)臺(tái)階的方法數(shù)為，由上觀察可得，故A正確；
B：，故B正確；
C：結(jié)合A分析知：，故C錯(cuò)誤；
D：，，
可得，故D正確.
故選：ABD.
練習(xí)27．（2021秋·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）阿司匹林（分子式，分子質(zhì)量180）對(duì)血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的發(fā)病風(fēng)險(xiǎn).對(duì)于急性心肌梗死疑似患者，建議第一次服用劑量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小時(shí)服用200.阿司匹林口服后經(jīng)胃腸道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解為主要代謝產(chǎn)物水楊酸（分子式，分子質(zhì)量138），降解過程生成的水楊酸的質(zhì)量為阿司匹林質(zhì)量的，水楊酸的清除半衰期（一般用物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來描述衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱作半衰期）約為12小時(shí).（考慮所有阿司匹林都降解為水楊酸）
(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服藥48小時(shí)后第3次服藥前血液中水楊酸的含量（單位）；
(2)證明：急性心肌梗死疑似患者服藥期間血液中水楊酸的含量不會(huì)超過230.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)是小時(shí)后第次服藥前血液中水楊酸的含量，先求出，再表示出遞推關(guān)系式，即可求解；
（2）先由（1）中遞推關(guān)系式構(gòu)造得到等比數(shù)列，求得，再求得剛服藥后即可求解.
【詳解】（1）設(shè)是小時(shí)后第次服藥前血液中水楊酸的含量，
易知每24小時(shí)，水楊酸的含量變?yōu)樵瓉淼模?br>則，
時(shí)，，
；
（2）由（1）知，，
則是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
故，，
，
故急性心肌梗死疑似患者服藥期間血液中水楊酸的含量不會(huì)超過230mg.
練習(xí)28．（2023春·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習(xí)）某地出現(xiàn)了蟲害，農(nóng)業(yè)科學(xué)家引入了“蟲害指數(shù)”數(shù)列{I}，{I}表示第n周的蟲害的嚴(yán)重程度，蟲害指數(shù)越大，嚴(yán)重程度越高．為了治理害蟲，需要環(huán)境整治、殺滅害蟲，然而由于人力資源有限，每周只能采取以下兩個(gè)策略之一：
策略A：環(huán)境整治，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足：I+1＝1.02I﹣0.2．
策略B：殺滅害蟲，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足：I+1＝1.08I﹣0.46．
當(dāng)某周“蟲害指數(shù)”小于1時(shí)，危機(jī)就在這周解除．
(1)設(shè)第一周的蟲害指數(shù)Ⅰ1∈[0，8]，用哪一個(gè)策略將使第二周的蟲害的嚴(yán)重程度更小？
(2)設(shè)第一周的蟲害指數(shù)Ⅰ1＝3，如果每周都采用最優(yōu)策略，蟲害的危機(jī)最快將在第幾周解除？
【答案】(1)分類討論，答案見祥解；
(2)第9周.
【分析】（1）分三種情況討論即可；
（2）根據(jù)題意，時(shí)，選擇策略B，根據(jù)策略B的數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)條件列出不等式，解之即可求解.
【詳解】（1）策略A：，
策略B：，
當(dāng)，可得，
當(dāng)時(shí)，兩者相等，
當(dāng)時(shí)，用策略B將使第二周的蟲害的嚴(yán)重程度更小；
當(dāng)時(shí)，用策略A將使第二周的蟲害的嚴(yán)重程度更??；
（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，選擇策略B，
所以當(dāng)時(shí)，選擇策略B，
因?yàn)?，所以?shù)列是遞減數(shù)列，
，也即，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，
正整數(shù)范圍內(nèi)解不等式，得
所以蟲害的危機(jī)最快在第9周解除．
練習(xí)29．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長率為，且每年年底賣出100頭牛，設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為為的前項(xiàng)和，則___________.（結(jié)果保留成整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】
【分析】由題意，可得???????,從而可推出數(shù)列是等比數(shù)列 ，根據(jù)分組求和及等比數(shù)列的求和公式可得答案.
【詳解】因?yàn)槊磕甏鏅跀?shù)的增長率為10%，每年年底賣出100頭，
故可知，且，
則，
∴數(shù)列是以200為首項(xiàng)，1.1為公比的等比數(shù)列，
則，故.
∴,
則.
???????故答案為:.
練習(xí)30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，有標(biāo)號(hào)為1，2，3的三根柱子，在1號(hào)柱子上套有n個(gè)金屬圓片，從下到上圓片依次減?。聪铝幸?guī)則，把金屬圓片從1號(hào)柱子全部移到3號(hào)柱子，要求：①每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬圓片；②較大的金屬圓片不能在較小的金屬圓片上面．
若，則至少需要移動(dòng)______次；
將n個(gè)金屬圓片從1號(hào)柱子全部移到3號(hào)柱子，至少需要移動(dòng)______次．

【答案】 7
【分析】從的情況開始逐一進(jìn)行分析，找到規(guī)律后利用數(shù)列的遞推關(guān)系求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，只需把金屬圓片從1號(hào)柱子移到3號(hào)柱子，用符號(hào)（13）表示，共移動(dòng)一次．
當(dāng)時(shí)，移動(dòng)的順序?yàn)椋?2）（13）（23），共移動(dòng)3次．
當(dāng)時(shí)，把上面的兩個(gè)金屬圓片作為一個(gè)整體，則歸結(jié)為的情形，
移動(dòng)的順序是（13）（12）（32）；（13）；（21）（23）（13），共移動(dòng)7次．
（2）記把n個(gè)金屬圓片從1號(hào)柱子移到3號(hào)柱子，最少需要移動(dòng)次，則由（1）知，，．
當(dāng)移動(dòng)n個(gè)金屬圓片時(shí)，可按下列3個(gè)步驟進(jìn)行：
①將上面?zhèn)€金屬圓片從1號(hào)柱子移到2號(hào)柱子；
②將第n個(gè)金屬圓片從1號(hào)柱子移到3號(hào)柱子；
③將上面?zhèn)€金屬圓片從2號(hào)柱子移到3號(hào)柱子．
就把移動(dòng)n個(gè)金屬圓片的任務(wù)轉(zhuǎn)化為移動(dòng)2次個(gè)金屬圓片與移動(dòng)1次第n個(gè)金屬圓片的任務(wù)．而移動(dòng)個(gè)金屬圓片需要移動(dòng)2次個(gè)金屬圓片和移動(dòng)1次第個(gè)金屬圓片；移動(dòng)個(gè)金屬圓片需要移動(dòng)2次個(gè)金屬圓片和移動(dòng)1次第個(gè)金屬圓片……如此繼續(xù)，直到轉(zhuǎn)化為移動(dòng)1個(gè)金屬圓片的情形．根據(jù)這個(gè)過程，可得遞推公式：，且，從而當(dāng)時(shí)，有,∴是以2為公比，2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，故，即．
故答案為:；
題型一
分段遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式
題型二
公共項(xiàng)數(shù)列
題型三
插項(xiàng)數(shù)列
題型四
數(shù)列中的新定義問題
題型五
數(shù)列的結(jié)構(gòu)不良
題型六
遞推數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

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