專題7.4   數(shù)列求和1．（2021·全國高三其他模擬）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，則S99＝（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】采用裂項相消法求數(shù)列的和【詳解】因為，所以故選C.2．（2017·全國高考真題（理））（2017新課標全國II理科）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(    )A．1盞    B．3盞C．5盞    D．9盞【答案】B【解析】設塔頂?shù)?/span>a1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故選：B．3．（2019·全國高考真題（文））已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則（  ）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】設正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．4．（2020·山東曲阜一中高三3月月考）【多選題】在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關.”則下列說法正確的是（    ）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路【答案】ACD【解析】設此人第天走里路，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，因為，所以，解得， 對于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正確；對于B，由于 ，所以B不正確；對于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正確；對于D，由于，所以D正確，故選：ACD5.（2019·全國高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若，則S4=___________．【答案】.【解析】設等比數(shù)列的公比為，由已知，即解得，所以．6．（2021·四川成都市·石室中學高三三模）記為遞增等比數(shù)列的前n項和，若，則的值為______.【答案】1023【解析】首先利用已知條件求得等比數(shù)列的公比和首項，最后根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出即可.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，解得，設等比數(shù)列的公比為，因為，所以即，解得或，因為等比數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，，所以.故答案為：10237．（2021·甘肅白銀市·高三其他模擬（理））已知正項等比數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列中不超過2021的所有項的和為___________.【答案】2046【解析】先根據(jù)題意列方程組，求出通項公式，再判斷不超過2021的所有項的和為前10項的和，直接利用等比數(shù)列的前n項和公式求和即可.【詳解】設正項等比數(shù)列的公比為q，，因為，，所以，解得：，所以.令，解得：.所以數(shù)列中不超過2021的所有項的和為：.故答案為：2046.8．（2021·福建高三其他模擬）記為等比數(shù)列的前項和，已知，．（1）求；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，令，求出，再令，，求出等比數(shù)列的公比，由，即可求解；（2）由（1）求出通項公式，可得數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）令，則由可得，當時，由可得，兩式相減，可得，即，依題意，為等比數(shù)列，故；（2）由（1）可知為首項等于1，公比等于2的等比數(shù)列，故；故為首項等于，公比等于的等比數(shù)列，故．故．9．（2021·遼寧高三其他模擬）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且滿足．（1）求和的通項公式；（2）對任意的正整數(shù)n，設，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）設出數(shù)列的公差和公比，結(jié)合條件求出公差和公比，然后寫出通項公式；（2）求出，結(jié)合錯位相減法求和可得數(shù)列的前n項和．【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由，則1＋3d＝4d，可得d＝1，所以，因為，所以，整理得，解得q＝2，所以；（2），，兩式相減，得所以．10．（2021·廣東實驗中學高三其他模擬）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項和Sn，滿足an+1＝Sn+1（n∈N*）．（1）求Sn；（2）記bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項公式，可得所求；（2）求得，由數(shù)列的裂項相消求和，化簡即可得到答案.【詳解】（1）當時，，又，所以，即，在中，令，可得因為，所以故是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其通項公式為，所以.（2）因為所以故1．【多選題】（2021·吉林松原市·高三月考）在數(shù)學課堂上，為提高學生探究分析問題的能力，教師引導學生構(gòu)造新數(shù)列：現(xiàn)有一個每項都為1的常數(shù)列，在此數(shù)列的第項與第項之間插入首項為2，公比為2，的等比數(shù)列的前項，從而形成新的數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則（    ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】根據(jù)題意求出n，然后即可求出，再利用錯位相減法求出新數(shù)列的和.【詳解】設介于第個1與第個1之間或者為這兩個1當中的一個，則從新數(shù)列的第1個1到第個1一共有項，從新數(shù)列的第1個1到第個1一共有項，所以，解得，而，所以，故A正確，B錯誤；，令，則，，，所以，故D正確，C錯誤，故選：AD.2．【多選題】（2021·河北高三其他模擬）數(shù)學中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類.螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”.小明對螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長為1的正方形中，作它的內(nèi)接正方形，且使得；再作正方形的內(nèi)接正方形，且使得；類似地，依次進行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示.設第n個正方形的邊長為(其中第1個正方形的邊長為，第2個正方形的邊長為，…)，第n個直角三角形(陰影部分)的面積為(其中第1個直角三角形的面積為，第2個直角三角形的面積為，…)，則（    ）A．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列 B．C．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列 D．數(shù)列的前n項和【答案】BD【解析】先得到，即可判斷A，再求出，可判斷B與C，最后求出，可判斷D.【詳解】如圖：由圖知，對于A：，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故A不正確；對于BC：因為，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故B正確，C不正確；對于D：因為，故D正確，故選：BD.3．（2022·河南高三月考（文））已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，化簡得到，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可求解；（2）由（1）知，單調(diào)，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和乘公比錯位相減法，即可求解.【詳解】（1）由題意，數(shù)列滿足，可得，即，又因為，可得，所以，所以，即數(shù)列的通項公式.（2）由（1）知，可得，則.令，則，所以，所以.所以.4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知等差數(shù)列滿足，正項等比數(shù)列滿足首項為1，前3項和為7.（1）求與的通項公式；（2）求的前n項和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式，可得首項和公差，可得；設正項等比數(shù)列的公比為q，q>0，由等比數(shù)列的通項公式，解方程可得q，進而得到；（2）由（1）可得，利用錯位相減法求和，即可得答案.【詳解】解：（1）設等差數(shù)列的公差為d，由，可得，解得，則；設正項等比數(shù)列的公比為q，q>0，由首項為1，前3項和為7，可得，解得q=2，則；（2）由（1）可得，所以，則，兩式相減可得=，所以.5．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三其他模擬（理））已知數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，求最小值.【答案】（1）；（2）最小值為.【解析】（1）由已知條件得到為等比數(shù)列，即可得到通項；（2）錯位相減求出，根據(jù)單調(diào)性求出最小值.【詳解】解：（1）由，得，是以2為公比的等比數(shù)列，記公比為，又，，；（2），，，兩式相減，得，即，又，單調(diào)遞增，時，最小，最小值為.6．（2021·四川省綿陽南山中學高三其他模擬（理））已知是等比數(shù)列的前項和，，，成等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若存在正整數(shù)，使得，求的最小值.【答案】（1）；（2）11.【解析】（1）設數(shù)列的公比為，根據(jù)條件列出，求得首項和公比，從而求得通項公式；（2）由（1）求得，分奇偶求解即可求得滿足條件的最小n值.【詳解】（1）設數(shù)列的公比為，則，．由題意得，即，解得.故數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）有.由得，，即.當為偶數(shù)時，，上式不成立；-當為奇數(shù)時，，即，則.綜上，的最小值為11.7.（2021·全國高三其他模擬）已知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在數(shù)列中，去掉第項，第項，…，第項（為正整數(shù)）得到的數(shù)列記為，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等比數(shù)列通項公式可求得，進而得到；（2）設，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，根據(jù)三者之間的關系可整理得到當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，利用等差數(shù)列求和公式可整理求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：，；（2）設，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為；，，…①，，…②，，，…③，由①知：當時，；由③知：當時，；當為偶數(shù)時，，；由②知：當時，，即當為奇數(shù)時，；；綜上所述：.8．（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）設是等差數(shù)列的前項和，其中，且.（Ⅰ）求的值，并求出數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，求證：.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）解：令，則，則，令，則，得，∵為等差數(shù)列，∴，∴，∴，∴，，，∴，∴，數(shù)列的通項公式為；（Ⅱ）證：由題意得，∴，∴，∴，∴，∵，∴為遞增數(shù)列，即，∴成立．9．（2019·浙江高考模擬）已知數(shù)列中，， （1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令 ，當取得最大值時，求的值.【答案】（I）見解析（2）最大，即【解析】（1）兩式相減，得 ∴即：∴ 數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可知， 即 也滿足上式 令，則 ， ∴ 最大，即10．（2020屆山東濟寧市兗州區(qū)高三網(wǎng)絡模擬考）在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知等差數(shù)列的公差為，前n項和為，等比數(shù)列的公比為q，且，____________．（1）求數(shù)列，的通項公式．（2）記，求數(shù)列，的前n項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】方案一：選條件①（1）解得或（舍去）（2）方案二：選條件②（1） 解得或（舍去） （2） 方案三：選條件③解得或（舍去）（2）1．（2020·全國高考真題（理））數(shù)列中，，，若，則（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.2．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．【詳解】因為，所以，．由，即根據(jù)累加法可得，，當且僅當時取等號，，由累乘法可得，當且僅當時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．3．（2020·全國高考真題（理））設是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設的公比為，為的等差中項，，；（2）設的前項和為，，，①，②①②得，，.4.（2020·全國高考真題（文））設等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據(jù)，可得，整理得，因為，所以.5.（2020·山東省高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設首項為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由于，所以對應的區(qū)間為：，則；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個.所以.6. （2020·天津高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設求數(shù)列的前項和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)n，有，和 ①由①得 ②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項和為. 

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