1.任意角
（1）角的概念
角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.
（2）正角、負(fù)角、零角
按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角叫正角；
按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角叫負(fù)角；
一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)而形成的角叫零角.
（3）象限角
當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，這時(shí)這個(gè)角不屬于任何象限.
（4）終邊相同的角
所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合
2. 弧度制
（1）弧度的概念
長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.
在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為，那么
.
正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.
（2）弧度與角度的換算
（3）關(guān)于扇形的幾個(gè)公式
設(shè)扇形的圓心角為（），半徑為，弧長(zhǎng)為，則有
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③.
3. 三角函數(shù)的概念
（1）三角函數(shù)的定義
已知角終邊上的任一點(diǎn)（非原點(diǎn)O），則P到原點(diǎn)O的距離..
（2）幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值
，，，的三角函數(shù)值如下表所示：
（3）三角函數(shù)值的符號(hào)
（4）誘導(dǎo)公式（一）
終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.
，
，
，
其中.
4. 同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系
（1）平方關(guān)系
.
（2）商數(shù)關(guān)系
.
作用：
（1）已知的某一個(gè)三角函數(shù)值，求其余的兩個(gè)三角函數(shù)值；
（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；
（3）證明三角函數(shù)恒等式.
5.誘導(dǎo)公式
（1） 公式二
，
，
.
（2）公式三
，
，
.
（3）公式四
，
，
.
（4）公式五
，
.
（5）公式六
，
.
6.常用三角恒等變形公式
和角公式
差角公式
倍角公式
降次（冪）公式
半角公式
輔助角公式
角的終邊過(guò)點(diǎn)，特殊地，若或，則
【典型例題】
例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：）是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，且cs θ＝－，若點(diǎn)M(x，8)是角θ終邊上一點(diǎn)，則x等于（ ）
A．－12B．－10C．－8D．－6
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知α，β∈，若sin＝，cs＝，則sin(α－β)的值為( )
A．B．C．D．
（多選題）例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，其中，為銳角，以下判斷正確的是（ ）
A．B．
C．D．
（多選題）例5．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，csβ＝，則α+2β的值為_(kāi)_____
例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，則___________
例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若tanα=2，則的值為_(kāi)__________.
例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知＝，則sin2x＝________．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將手表的分針撥快分鐘，則分針在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的角的弧度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與角終邊相同的角是（ ）
A．221°B．C．D．
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與角的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若角的終邊與240°角的終邊相同，則角的終邊所在象限是（ ）
A．第二或第四象限B．第二或第三象限
C．第一或第四象限D(zhuǎn)．第三或第四象限
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可以看做是從一個(gè)圓形中前下的扇形制作而成的，當(dāng)折扇所在扇形的弧長(zhǎng)與折扇所在扇形的周長(zhǎng)的比值為時(shí)，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時(shí)折扇所在扇形的圓心角的弧度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，扇環(huán)的兩條弧長(zhǎng)分別是4和10，兩條直邊與的長(zhǎng)都是3，則此扇環(huán)的面積為（ ）
A．84B．63C．42D．21
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）劉徽（約公元225年年），魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論的奠基人之一.他在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，這可視為中國(guó)古代極限觀念的重要闡釋.割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形，當(dāng)變得很大時(shí)，這些等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，得到的近似值為（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角以x軸的非負(fù)半軸為始邊，且點(diǎn)在角的終邊上，則（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則等于（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在第三象限，則角在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若，則的值為( ).
A．B．C．D．
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知，則（ ）
A．B．C．D．
15．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)（文））已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
16．（2020·西藏·山南市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
17．（2020·山東·高三專題練習(xí)）若，，則（ ）．
A．B．C．D．
18．（2020·湖南·衡陽(yáng)市八中高三階段練習(xí)（理））若，則（ ）
A．B．C．D．
19．（2021·山西·呂梁學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué)高三期中（文））若，則（ ）
A．B．C．D．
20．（2021·河南·高三階段練習(xí)（理））已知，則（ ）
A．B．C．D．
21．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（文））設(shè)，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
22．（2021·新疆昌吉·模擬預(yù)測(cè)（理））已知，則（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
24．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
25．（2021·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））已知，則（ ）
A．3B．C．D．
26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則（ ）
A．B．
C．D．
27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：的值為（ ）
A．B．C．D．
28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為銳角，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若，且，則（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知tan＝2，則tan α＝（ ）
A．B．－C．D．－
31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角滿足，則（ ）
A．B．C．D．
32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則( )
A．B．C．D．
33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的值為 （ ）
A．B．C．D．
34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)） 的值為（ ）
A．B．C．D．
35．（2021·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A．B．C．D．
36．（2021·河南·溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若，則（ ）
A．B．C．D．
37．（2021·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知，則（ ）
A．B．
C．D．
38．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三階段練習(xí)）若，則（ ）
A．B．C．D．
39．（2021·江蘇如皋·高三階段練習(xí)）已知，，，若，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．經(jīng)過(guò)30分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)弧度
B．
C．若，，則為第二象限角
D．若為第二象限角，則為第一或第三象限角
41．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)是，面積是，則扇形的中心角的弧度數(shù)可能是（ ）
A．B．C．2D．或
42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)是，面積是，下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．圓的半徑為2B．圓的半徑為1
C．圓心角的弧度數(shù)是1D．圓心角的弧度數(shù)是2
43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．C．D．
44．（2021·遼寧沈陽(yáng)·高三階段練習(xí)）已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
45．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列式子正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
46．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若一個(gè)扇形的周長(zhǎng)是4為定值，則當(dāng)該扇形面積最大時(shí)，其圓心角的弧度數(shù)是__.
47．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)為4 cm，當(dāng)它的半徑為_(kāi)_______ cm和圓心角為_(kāi)_______弧度時(shí)，扇形面積最大，這個(gè)最大面積是________ cm2.
48．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則__．
49．（2021·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知，則______.
50．（2020·山西·應(yīng)縣一中高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知，則_________．
51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若是第二象限角，則的值為_(kāi)_________.
52．（2021·山東師范大學(xué)附中高三階段練習(xí)）已知，則_________
53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值為_(kāi)___
54．（2021·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知為第四象限角，且，則_________．
55．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則__________.
56．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若，則_________.
57．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則__________
58．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若，則__________．
59．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）___________.
60．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（理））已知，則___________.
61．（2021·北京市第三中學(xué)高三期中）已知，都是銳角，若，，則________．
62．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是方程的兩根，且，則的值為_(kāi)_______.
四、解答題
63．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知、，，，，求的值．

函 數(shù)
不存在
不存在
第20講 三角函數(shù)公式
【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】
1.任意角
（1）角的概念
角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.
（2）正角、負(fù)角、零角
按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角叫正角；
按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角叫負(fù)角；
一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)而形成的角叫零角.
（3）象限角
當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，這時(shí)這個(gè)角不屬于任何象限.
（4）終邊相同的角
所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合
2. 弧度制
（1）弧度的概念
長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.
在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為，那么
.
正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.
（2）弧度與角度的換算
（3）關(guān)于扇形的幾個(gè)公式
設(shè)扇形的圓心角為（），半徑為，弧長(zhǎng)為，則有
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③.
3. 三角函數(shù)的概念
（1）三角函數(shù)的定義
已知角終邊上的任一點(diǎn)（非原點(diǎn)O），則P到原點(diǎn)O的距離..
（2）幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值
，，，的三角函數(shù)值如下表所示：
（3）三角函數(shù)值的符號(hào)
（4）誘導(dǎo)公式（一）
終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.
，
，
，
其中.
4. 同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系
（1）平方關(guān)系
.
（2）商數(shù)關(guān)系
.
作用：
（1）已知的某一個(gè)三角函數(shù)值，求其余的兩個(gè)三角函數(shù)值；
（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；
（3）證明三角函數(shù)恒等式.
5.誘導(dǎo)公式
（1） 公式二
，
，
.
（2）公式三
，
，
.
（3）公式四
，
，
.
（4）公式五
，
.
（5）公式六
，
.
6.常用三角恒等變形公式
和角公式
差角公式
倍角公式
降次（冪）公式
半角公式
輔助角公式
角的終邊過(guò)點(diǎn)，特殊地，若或，則
【典型例題】
例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：）是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則
，解得.
故選：B
例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，且cs θ＝－，若點(diǎn)M(x，8)是角θ終邊上一點(diǎn)，則x等于（ ）
A．－12B．－10C．－8D．－6
【答案】D
【詳解】
角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，且，
若點(diǎn)M（x，8）是角θ終邊上一點(diǎn)，
則：x＜0，利用三角函數(shù)的定義：，
解得：x=-6．
故選：D．
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知α，β∈，若sin＝，cs＝，則sin(α－β)的值為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
由題意可得α＋∈，β－∈，
所以cs＝－，sin(β－)＝－，
所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－＝．
故選：A．
（多選題）例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，其中，為銳角，以下判斷正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【詳解】
解：因?yàn)?，，其中，為銳角，
所以：，故A正確；
因?yàn)椋?br>所以
，故B錯(cuò)誤；
可得，故C正確；
可得，所以，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
（多選題）例5．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【詳解】
對(duì)于A，
，故A正確；
對(duì)于B，由兩角和的正弦公式，
，故B正確.
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.
故選：AB
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，csβ＝，則α+2β的值為_(kāi)_____
【答案】
【詳解】
因?yàn)棣痢剩?，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，csβ＝，
所以，
，
所以，
所以，
所以
因?yàn)棣痢剩?，），β∈（﹣π，﹣），
所以，
所以，
故答案為：
例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，則___________
【答案】
【詳解】
，，
，
故答案為：．
例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若tanα=2，則的值為_(kāi)__________.
【答案】
【詳解】
解析：法一：（切化弦的思想）：因?yàn)閠anα=2，
所以sinα=2csα，csα=sinα.
又因?yàn)閟in2α+cs2α=1，所以解得sin2α=.
所以.
法二：（弦化切的思想）.
故答案為：
例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知＝，則sin2x＝________．
【答案】
【詳解】
∵sin2x＝cs＝cs2＝2cs2－1，
∴sin2x＝2×－1＝－1＝．
故答案為：
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將手表的分針撥快分鐘，則分針在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的角的弧度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)任意角的定義可得結(jié)果.
【詳解】
將手表的分針撥快分鐘，則分針在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的角的弧度數(shù)是.
故選：D.
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與角終邊相同的角是（ ）
A．221°B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)終邊相同的角相差的整數(shù)倍，逐個(gè)判斷即可.
【詳解】
余，故A正確，B、 C、 D中的角均不與角終邊相同.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了終邊相同角的概念，考查了簡(jiǎn)單的計(jì)算，屬于概念題，本題屬于基礎(chǔ)題.
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與角的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】
要寫(xiě)出與的終邊相同的角，只要在該角上加的整數(shù)倍即可．
【詳解】
首先角度制與弧度制不能混用，所以選項(xiàng)AB錯(cuò)誤；
又與的終邊相同的角可以寫(xiě)成，
所以正確．
故選：．
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】
由題意知，，，即可得的范圍，討論、、對(duì)應(yīng)的終邊位置即可.
【詳解】
∵角的終邊在第一象限，
∴，，則，，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第一象限，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第二象限，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第三象限，
綜上，角的終邊不可能落在第四象限，
故選：D.
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若角的終邊與240°角的終邊相同，則角的終邊所在象限是（ ）
A．第二或第四象限B．第二或第三象限
C．第一或第四象限D(zhuǎn)．第三或第四象限
【答案】A
【分析】
寫(xiě)出的表達(dá)式，計(jì)算后可確定其終邊所在象限．
【詳解】
由題意，所以，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在第二象限，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在第四象限．
故選：A．
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可以看做是從一個(gè)圓形中前下的扇形制作而成的，當(dāng)折扇所在扇形的弧長(zhǎng)與折扇所在扇形的周長(zhǎng)的比值為時(shí)，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時(shí)折扇所在扇形的圓心角的弧度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，圓心角的弧度數(shù)為，由扇形的弧長(zhǎng)與折扇所在扇形的周長(zhǎng)的比得出，即得出所求.
【詳解】
設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，圓心角的弧度數(shù)為，
由題意得，變形可得，
因?yàn)椋?br>所以折扇所在扇形的圓心角的弧度數(shù)為．
故選：A.
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，扇環(huán)的兩條弧長(zhǎng)分別是4和10，兩條直邊與的長(zhǎng)都是3，則此扇環(huán)的面積為（ ）
A．84B．63C．42D．21
【答案】D
【分析】
設(shè)扇環(huán)的圓心角為，小圓弧的半徑為，依題意可得且，解得、，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)扇環(huán)的圓心角為，小圓弧的半徑為，由題可得且，解得，，從而扇環(huán)面積.
故選：D．
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）劉徽（約公元225年年），魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論的奠基人之一.他在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，這可視為中國(guó)古代極限觀念的重要闡釋.割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形，當(dāng)變得很大時(shí)，這些等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，得到的近似值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用割圓術(shù)的思想，將單位圓分成360個(gè)扇形，則扇形的圓心角均為，由題設(shè)扇形面積為，即有，可得的近似值.
【詳解】
將一個(gè)單位圓分成360個(gè)扇形，則每個(gè)扇形的圓心角度數(shù)均為，
∵這360個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似于單位圓的面積，
∴，
∴.
故選：B.
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角以x軸的非負(fù)半軸為始邊，且點(diǎn)在角的終邊上，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)求出，結(jié)合任意角的余弦值的定義即可得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，所?br>由角的余弦值的定義可得，
故選：A.
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由三角函數(shù)的定義可得，，再利用兩角差的余弦公式即可求解.
【詳解】
由題意可得，，
=+=××，
故選：A．
11．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用任意角的三角函數(shù)定義列方程求解，進(jìn)而可得的值.
【詳解】
因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，
所以，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以.
故選: A
12．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在第三象限，則角在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】
結(jié)合第三象限點(diǎn)的特征得到，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)判斷角所在的象限即可.
【詳解】
解：∵點(diǎn)在第三象限，
∴，∴在第四象限.
故選：D.
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若，則的值為( ).
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求解.
【詳解】
由，，解得，又，所以，所以.
故選：A.
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系中的平方關(guān)系求解出的值，然后根據(jù)二倍角的余弦公式求解出結(jié)果.
【詳解】
將移項(xiàng)得，
代入，得，
即，解得，
所以.
故選：A.
15．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)（文））已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
結(jié)合平方關(guān)系，化為齊次式，然后弦化切轉(zhuǎn)化為的代數(shù)式，代入求值．
【詳解】
由題意．
故選：C．
16．（2020·西藏·山南市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
將兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系及二倍角公式求解即可.
【詳解】
因?yàn)椋?br>兩邊同時(shí)平方得，
所以，所以，
故選：C.
17．（2020·山東·高三專題練習(xí)）若，，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
已知等式平方后應(yīng)用二倍角公式得，同時(shí)判斷出，可再利用平方關(guān)系求得，從而可得，代入即得結(jié)論．
【詳解】
∵，①
∴，即，
∴．
∵，且，∴，，
∴．
變形得，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系，解題中應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)要注意確定函數(shù)值的符號(hào)，確定解的情況．
18．（2020·湖南·衡陽(yáng)市八中高三階段練習(xí)（理））若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)即可.
【詳解】
∵，
則平方可得，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.
19．（2021·山西·呂梁學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué)高三期中（文））若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
結(jié)合已知條件，利用sinα+csα與2sinαcsα的關(guān)系即可求值.
【詳解】
.
故選：B.
20．（2021·河南·高三階段練習(xí)（理））已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
將已知等式平方可得，通過(guò)切化弦的思想將所求式子化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.
【詳解】
由，兩邊平方得，
則，
則.
故選：B.
21．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（文））設(shè)，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
依題意可知，得到，再利用正余弦和差積三者的關(guān)系可求得的值，將所求關(guān)系式切化弦，代入所求關(guān)系式計(jì)算即可．
【詳解】
由，平方得到，
，
，
，
，而，
；
令，
則，
，
，
故選：．
22．（2021·新疆昌吉·模擬預(yù)測(cè)（理））已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，再利用二倍角的余弦公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】
由題設(shè)得，，即，解得或（舍），
故．
故選：D.
23．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由題設(shè)得，代入目標(biāo)式化簡(jiǎn)求值即可.
【詳解】
∵，即，
∴，
故選：A．
24．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
把化為關(guān)于的二次齊次式，再轉(zhuǎn)化成用表示出即可得解.
【詳解】
因，則.
故選：C
25．（2021·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））已知，則（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)已知條件求得，再用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，代值計(jì)算即可.
【詳解】
因?yàn)?，故可得?
原式.
故選：B.
26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
設(shè)，則，代入所求，可得，利用二倍角的余弦公式求解即可．
【詳解】
設(shè)，則，且，
而，
又，故．
故選：．
27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得答案.
【詳解】
解：原式＝＝＝＝－1．
故選：B.
28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為銳角，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用配角法及兩角和余弦公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】
∵為銳角，，
∴，，
∴
，
又，
∴，
故選：B
29．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)同角的基本關(guān)系以及角的范圍求出和，然后利用兩角和的余弦公式即可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，所以，又，所以，所?
故選：A.
30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知tan＝2，則tan α＝（ ）
A．B．－C．D．－
【答案】A
【分析】
利用和角正切公式得＝2，即可求tan α.
【詳解】
tan＝＝2，解得tan α＝.
故選：A
31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由題意可得，分兩種情況推出，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】
由，且
可知①或②
由解得，由有知不可能，
得.
故選：D
32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
本題考查三角恒等變換，考查運(yùn)算求解能力.利用二倍角公式逐步化簡(jiǎn)即可.
【詳解】
因?yàn)椋?，又，解?
故選：A.
33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的值為 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由三角恒等變換可得，再由平方關(guān)系即可得解.
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
所以.
故選：A.
34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)） 的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)給定條件逆用二倍角的正弦公式，再用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即得.
【詳解】
.
故選：A
35．（2021·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
將角看成整體，即，由此即可求解.
【詳解】
，
.
故選：.
36．（2021·河南·溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
把看作一個(gè)整理，利用換元法，誘導(dǎo)公式和正弦的萬(wàn)能公式進(jìn)行求解.
【詳解】
依題意，，設(shè)，則，因?yàn)?，?br>故選：B.
37．（2021·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)利用二倍角公式計(jì)算可得；
【詳解】
解：
故選：B
38．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三階段練習(xí)）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由題利用二倍角公式化簡(jiǎn)，再由齊次式即得.
【詳解】
由題意可得：
.
故選：B.
39．（2021·江蘇如皋·高三階段練習(xí)）已知，，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由可得，然后利用兩角和與差的正弦公式展開(kāi)化簡(jiǎn)可得，由可得，代入化簡(jiǎn)得，由題意可知，所以，再結(jié)合的范圍可求得結(jié)果
【詳解】
由題意可知，，可化為，
展開(kāi)得，則，
因?yàn)椋?，且?br>所以，
則，且，
所以，
當(dāng)時(shí)不滿足題意，所，
因?yàn)?，?br>所以，則，
故選：A.
二、多選題
40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．經(jīng)過(guò)30分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)弧度
B．
C．若，，則為第二象限角
D．若為第二象限角，則為第一或第三象限角
【答案】CD
【分析】
對(duì)于A，利用正負(fù)角的定義判斷；對(duì)于B，利用角度與弧度的互化公式判斷；對(duì)于C，由求出的范圍，由求出的范圍，然后求交集即可；對(duì)于D，由是第二象限角，可得，，然后求的范圍可得答案
【詳解】
對(duì)于，經(jīng)過(guò)30分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)弧度，不是弧度，所以錯(cuò)；
對(duì)于，化成弧度是，所以錯(cuò)誤；
對(duì)于，由，可得為第一、第二及軸正半軸上的角；
由，可得為第二、第三及軸負(fù)半軸上的角.
取交集可得是第二象限角，故正確；
對(duì)于：若是第二象限角，所以，則，
當(dāng)時(shí)，則，所以為第一象限的角，
當(dāng)時(shí)，，所以為第三象限的角，
綜上，為第一或第三象限角，故選項(xiàng)正確.
故選：CD.
41．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)是，面積是，則扇形的中心角的弧度數(shù)可能是（ ）
A．B．C．2D．或
【答案】AB
【分析】
根據(jù)弧長(zhǎng)公式和面積公式即可求解.
【詳解】
設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為 ，則，
∴解得 或，則或1.
故選：AB．
42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)是，面積是，下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．圓的半徑為2B．圓的半徑為1
C．圓心角的弧度數(shù)是1D．圓心角的弧度數(shù)是2
【答案】ABC
【分析】
由題意及弧長(zhǎng)的面積公式可得，進(jìn)而得解.
【詳解】
設(shè)扇形半徑為，圓心角弧度數(shù)為，
則由題意得，
解得：，或，
可得扇形半徑為1或2,圓心角的弧度數(shù)是4或1.
故選：.
【點(diǎn)睛】
本題考查扇形面積公式的應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)代入扇形面積公式列方程求解即可，屬于簡(jiǎn)單題.
43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】
將題設(shè)中等式兩邊平方后相加可得，結(jié)合角的范圍可求，從而可得正確的選項(xiàng).
【詳解】
解：由題意知，，，
將兩式分別平方相加，得，
，即選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；
，，，而，
，，
即選項(xiàng)D正確，C錯(cuò)誤．
故選：AD．
44．（2021·遼寧沈陽(yáng)·高三階段練習(xí)）已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】
由題意得，可得，根據(jù)的范圍，可得的正負(fù)，即可判斷A的正誤；求得的值，即可判斷D的正誤，聯(lián)立可求得的值，即可判斷B的正誤；根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，可判斷C的正誤，即可得答案.
【詳解】
因?yàn)棰伲?br>所以，則，
因?yàn)椋裕?br>所以，故A錯(cuò)誤，
所以，
所以②，故D正確，
①②聯(lián)立可得，，故B正確
所以，故C錯(cuò)誤，
故選：BD
45．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列式子正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】
對(duì)于A，利用兩角差的正弦余弦公式求出的值即可，對(duì)于B，利用兩角和的余弦公式求解，對(duì)于C，求出的值代入化簡(jiǎn)即可，對(duì)于D，利用兩角和的正切公式求解
【詳解】
對(duì)于A，因?yàn)椋?br>，
所以，所以A正確，
對(duì)于B，因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>所以，所以C正確，
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>所以，
所以，所以D正確，
故選：ACD
三、填空題
46．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若一個(gè)扇形的周長(zhǎng)是4為定值，則當(dāng)該扇形面積最大時(shí)，其圓心角的弧度數(shù)是__.
【答案】2
【分析】
設(shè)扇形的圓心角弧度數(shù)為，半徑為，根據(jù)題意，，根據(jù)扇形的面積公式即可得解.
【詳解】
解：設(shè)扇形的圓心角弧度數(shù)為，半徑為，
則，，
當(dāng)且僅當(dāng)，解得時(shí)，扇形面積最大.
此時(shí).
故答案為：2.
47．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)為4 cm，當(dāng)它的半徑為_(kāi)_______ cm和圓心角為_(kāi)_______弧度時(shí)，扇形面積最大，這個(gè)最大面積是________ cm2.
【答案】1 2 1
【詳解】
，則，
則時(shí)，面積最大為，此時(shí)圓心角，
所以答案為1；2；1.
48．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則__．
【答案】
【分析】
利用二倍角公式可得，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.
【詳解】
解：因?yàn)椋?br>整理可得，
解得，或2（舍去），
由于，
可得，，
所以，．
故答案為：．
49．（2021·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知，則______.
【答案】
【分析】
利用弦化切可求得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)椋?br>.
故答案為：.
50．（2020·山西·應(yīng)縣一中高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知，則_________．
【答案】2
【分析】
利用平方法，結(jié)合平方關(guān)系的同角三角函數(shù)關(guān)系式構(gòu)造齊次式來(lái)求解.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br>即，所以，
即，所以.
故答案為：.
51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若是第二象限角，則的值為_(kāi)_________.
【答案】
【分析】
利用完全平方和平方關(guān)系求解.
【詳解】
，
所以，所以，
所以.又因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，，所?
故答案為：.
52．（2021·山東師范大學(xué)附中高三階段練習(xí)）已知，則_________
【答案】##
【分析】
利用三角恒等變換化簡(jiǎn)求值.
【詳解】
由，得，
即，，
所以，
故答案為：.
53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值為_(kāi)___
【答案】
【分析】
利用二倍角正弦公式、同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知求目標(biāo)式三角函數(shù)式的值即可.
【詳解】
由，而.
故答案為：．
54．（2021·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知為第四象限角，且，則_________．
【答案】
【分析】
利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角恒等變換公式直接計(jì)算即可.
【詳解】
因?yàn)闉榈谒南笙藿?，且，所以?br>又，，
所以，
故答案為：.
55．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則__________.
【答案】
【分析】
結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求解.
【詳解】
.
故答案為：
56．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若，則_________.
【答案】
【分析】
根據(jù)同角的基本關(guān)系可得，再根據(jù)正弦的二倍角公式，可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，由此即可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，?br>所以
所以
所以.
故答案為：.
57．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則__________
【答案】
【分析】
首先利用二倍角公式求出，再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；
【詳解】
解：因?yàn)樗?，則.
因?yàn)?，所以，即，?
所以.
故答案為：.
58．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若，則__________．
【答案】
【分析】
根據(jù)，利用兩角差的余弦公式可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以
.
故答案為：．
59．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）___________.
【答案】
【分析】
將原式化切為弦，通分，然后利用兩角和正弦公式以及二倍角公式，即可求解.
【詳解】
.
故答案為：.
60．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（理））已知，則___________.
【答案】
【分析】
由條件利用誘導(dǎo)公式求得 的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式求得，計(jì)算求得結(jié)果．
【詳解】
，所以，
，
又，
，
故答案為：．
61．（2021·北京市第三中學(xué)高三期中）已知，都是銳角，若，，則________．
【答案】
【分析】
根據(jù)題意求出的余弦值，利用兩角和的余弦函數(shù)求出的余弦值，然后求出
【詳解】
，，
所以
，
，
，
則
故答案為：
62．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是方程的兩根，且，則的值為_(kāi)_______.
【答案】
【分析】
根據(jù)韋達(dá)定理求出的值，進(jìn)而結(jié)合兩角和的正切公式求出的值，縮小角的范圍即可求出結(jié)果.
【詳解】
∵是方程的兩根，
∴，
∴.
又，∴，
∵，∴，
∴，∴.
故答案為：.
四、解答題
63．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知、，，，，求的值．
【答案】
【分析】
先求出、的余弦值，再利用兩角差的余弦公式可求的值.
【詳解】
解：因?yàn)?、?
所以，，
因?yàn)?，?br>所以，，
所以，
．

函 數(shù)
不存在
不存在

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