1．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)，則的虛部為
A．5B．C．2D．
2．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）下列結(jié)論中，正確的是
A．零向量只有大小，沒有方向
B．若，，則
C．對(duì)任一向量，總是成立的
D．
3．（5分）（2023春?泉州期末）若，，則等于
A．B．C．D．
4．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)的最小正周期和振幅分別是
A．，1B．，2C．，1D．，2
5．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）已知，，，是平面內(nèi)四個(gè)互不相同的點(diǎn)，為不共線向量，，，，則
A．，，三點(diǎn)共線B．，，三點(diǎn)共線
C．，，三點(diǎn)共線D．，，三點(diǎn)共線
6．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）已知，都為銳角，，，則等于
A．B．C．D．
7．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）若，則
A．B．C．D．或
8．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）剪紙是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時(shí)常會(huì)沿著紙的某條對(duì)稱軸對(duì)折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開得到最后的圖形，若正方形的邊長為2，點(diǎn)在四段圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為
A．，B．，C．，D．，
二、多項(xiàng)選擇題。本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．（5分）（2023春?泉州期末）已知平面向量，且，則
A．B．C．D．
10．（5分）（2023春?池州期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．若有兩解，則的值可以是
A．4B．5C．7D．10
11．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）已知，則下列選項(xiàng)中可能成立的是
A．B．
C．D．
12．（5分）（2023?鹽湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線，點(diǎn)是，之間的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離分別為1，2．點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，則
A．B．面積的最小值是
C．D．存在最小值
三、填空題。本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）（2020?南開區(qū)學(xué)業(yè)考試） ．
14．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）設(shè)，分別是的邊，上的點(diǎn)，，．若，，則 （用，表示）
15．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中） ．
16．（5分）（2014?江蘇）如圖，在平行四邊形中，已知，，，，則的值是 ．
四、解答題。本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位）．
（1）求復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)；
（2）若，求，的值．
18．（12分）（2023春?泉州期末）已知向量，滿足，．
（1）若，的夾角為，求；
（2）若，求與的夾角．
19．（12分）（2023春?南召縣期中）已知向量，，函數(shù)．
（1）求的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將的圖像向左平移單位后得到的圖像，當(dāng)，求的值域．
20．（12分）（2023春?武漢期中）某自然保護(hù)區(qū)為研究動(dòng)物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩個(gè)相距的觀測站和，觀測人員分別在，處觀測該動(dòng)物種群．如圖，某一時(shí)刻，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)處，觀測人員從兩個(gè)觀測站分別測得，，經(jīng)過一段時(shí)間后，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)處，觀測人員從兩個(gè)觀測站分別測得，．（注：點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)）
（Ⅰ）求的面積；
（Ⅱ）求點(diǎn)，之間的距離．
21．（12分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)根，且．
（1）若，求的值；
（2）用表示，并求其最大值．
22．（12分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）懸索橋的外觀大氣漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線，懸鏈線的方程和雙曲余弦函數(shù)以及雙曲正弦函數(shù)有關(guān)．已知是上的偶函數(shù)，是上的奇函數(shù)，滿足，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求和的解析式；
（2）已知，．
解不等式；
設(shè)中不等式的解集為，若，恒成立，求的取值范圍．（注．
2022-2023學(xué)年廣東省深圳中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題。本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)，則的虛部為
A．5B．C．2D．
【答案】
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；定義法
【分析】把復(fù)數(shù)化為即可．
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以的虛部為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．
2．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）下列結(jié)論中，正確的是
A．零向量只有大小，沒有方向
B．若，，則
C．對(duì)任一向量，總是成立的
D．
【答案】
【考點(diǎn)】向量的概念與向量的模；命題的真假判斷與應(yīng)用；向量相等與共線
【專題】平面向量及應(yīng)用；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法
【分析】根據(jù)向量的定義，以及有關(guān)概念，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．
【解答】解：對(duì)于，既有大小又有方向的量叫向量，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，若，滿足，，但是與不一定平行，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，零向量的模長為0，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，由于與方向相反，長度相等，故，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的定義，以及向量的有關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）（2023春?泉州期末）若，，則等于
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】二倍角的三角函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系
【專題】方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；綜合法
【分析】利用二倍角公式，求得，再判斷的符號(hào)，得解．
【解答】解：因?yàn)椋裕?br>又，所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的求值，熟練掌握二倍角公式，三角函數(shù)在各象限的符號(hào)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)的最小正周期和振幅分別是
A．，1B．，2C．，1D．，2
【答案】
【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性
【專題】綜合法；計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【分析】利用兩角和的正弦公式可求得，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：，
可得的最小正周期，的振幅是1．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）已知，，，是平面內(nèi)四個(gè)互不相同的點(diǎn)，為不共線向量，，，，則
A．，，三點(diǎn)共線B．，，三點(diǎn)共線
C．，，三點(diǎn)共線D．，，三點(diǎn)共線
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量的基本定理；向量相等與共線
【專題】計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；綜合法；平面向量及應(yīng)用
【分析】直接利用向量共線的充要條件求出結(jié)果．
【解答】解：由于，，
所以，
所以，
故、、三點(diǎn)共線．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量共線的充要條件，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）已知，都為銳角，，，則等于
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù)
【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；綜合法
【分析】由題意，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得、的值，再利用兩角差的余弦公式，計(jì)算求得的值．
【解答】解：，都為銳角，，．
，還是銳角，，
則．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）若，則
A．B．C．D．或
【答案】
【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值
【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；綜合法
【分析】由題意，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，計(jì)算求得要求式子的值．
【解答】解：，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
8．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）剪紙是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時(shí)常會(huì)沿著紙的某條對(duì)稱軸對(duì)折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開得到最后的圖形，若正方形的邊長為2，點(diǎn)在四段圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的取值范圍．
【解答】解：以、所在直線分別為、軸，建系如圖，
設(shè)點(diǎn)，易知以為直徑的左半圓的方程為：
，
以為直徑的右半圓的方程為：
，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，，
又，，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)法的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
二、多項(xiàng)選擇題。本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．（5分）（2023春?泉州期末）已知平面向量，且，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；向量的概念與向量的模；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角
【專題】轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】將同時(shí)平方可得，，再結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：，同時(shí)平方可得，，
故，故錯(cuò)誤，
，
則，解得，，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，以及向量模公式，屬于基礎(chǔ)題．
10．（5分）（2023春?池州期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．若有兩解，則的值可以是
A．4B．5C．7D．10
【答案】
【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理
【專題】解三角形；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】由題意畫出圖形，可知，求出的范圍，即可得出答案．
【解答】解：如圖所示：
要使有兩個(gè)解，則，
，
，即．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
11．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）已知，則下列選項(xiàng)中可能成立的是
A．B．
C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；向量的概念與向量的模
【專題】平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；方程思想
【分析】求得，利用模長公式以及和差角公式可判斷選項(xiàng)，，可判斷選項(xiàng)；化簡，容易判斷選項(xiàng)．
【解答】解：，，
，，
，
，
當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)可能成立；
當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)可能成立；
，選項(xiàng)不可能成立；
，，選項(xiàng)不成立．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．
12．（5分）（2023?鹽湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線，點(diǎn)是，之間的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離分別為1，2．點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，則
A．B．面積的最小值是
C．D．存在最小值
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)題意建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)出，，坐標(biāo)，根據(jù)及即可找到三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，分別寫出即可判斷；取中點(diǎn)為，連接，根據(jù)，可得，，三點(diǎn)共線，且為靠近的三等分點(diǎn)，即可找到面積與面積之間比例關(guān)系，進(jìn)而建立面積等式，根據(jù)基本不等式即可判斷，求出，再根據(jù)基本不等式可判斷；寫出 進(jìn)行化簡，根據(jù)的范圍即可得的最值情況．
【解答】解：設(shè)中點(diǎn)為，連接，以為原點(diǎn)，，方向分別為，軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系：
所以，，
設(shè)，，，，，，，且，，
所以，
因?yàn)?，所以?br>即，故，即，所以，
，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>故，選項(xiàng)正確；
因?yàn)椋裕?br>即，所以，，三點(diǎn)共線，且為靠近的三等分點(diǎn)，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以選項(xiàng)正確；
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故，選項(xiàng)正確：
因?yàn)椋?br>所以．
因?yàn)榍?，所以，記?br>可知單調(diào)遞增，沒有最值，即沒有最值，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)以及平面向量在平面幾何中的應(yīng)用，屬于較難題目．
三、填空題。本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）（2020?南開區(qū)學(xué)業(yè)考試） ．
【考點(diǎn)】：二倍角的三角函數(shù)
【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；：轉(zhuǎn)化法；56：三角函數(shù)的求值；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】由已知利用二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值即可求解．
【解答】解：．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）設(shè)，分別是的邊，上的點(diǎn)，，．若，，則 （用，表示）
【答案】．
【考點(diǎn)】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算和向量的加法和減法求出結(jié)果．
【解答】解：，分別是的邊，上的點(diǎn)，，．若，，
則：，，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的加法和減法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中） 1 ．
【答案】1．
【考點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù)；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；轉(zhuǎn)化思想；綜合法
【分析】由題意，利用誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式，化簡所給的式子，可得結(jié)果．
【解答】解：．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
16．（5分）（2014?江蘇）如圖，在平行四邊形中，已知，，，，則的值是 22 ．
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】平面向量及應(yīng)用
【分析】由，可得，，進(jìn)而由，，，，構(gòu)造方程，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：，
，，
又，，
，
故，
故答案為：22．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，其中根據(jù)已知得到，，是解答的關(guān)鍵．
四、解答題。本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位）．
（1）求復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)；
（2）若，求，的值．
【答案】（1），；
（2），．
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解；
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解．
【解答】解：（1），
則，；
（2）因?yàn)椋?br>則，即，解得：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
18．（12分）（2023春?泉州期末）已知向量，滿足，．
（1）若，的夾角為，求；
（2）若，求與的夾角．
【答案】（1）；
（2）．
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系
【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）由平面向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合向量模的運(yùn)算求解即可；
（2）由平面向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合向量夾角的運(yùn)算求解即可．
【解答】解：（1）由，，
又，的夾角為，
則；
（2）由，
則，
則，
設(shè)與的夾角為，
則，
又，，
則，
即與的夾角為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量夾角的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
19．（12分）（2023春?南召縣期中）已知向量，，函數(shù)．
（1）求的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將的圖像向左平移單位后得到的圖像，當(dāng)，求的值域．
【答案】（1）的最小正周期為，增區(qū)間為，；
（2），．
【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象變換；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）先由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角恒等變換求出，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）由函數(shù)圖象的平移變換可得，然后求其值域即可．
【解答】解：（1）已知向量，，
則，
則，
令，
則，，
所以的最小正周期為，增區(qū)間為，；
（2）由題意知：，
即，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，，
即的值域?yàn)椋?br>【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
20．（12分）（2023春?武漢期中）某自然保護(hù)區(qū)為研究動(dòng)物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩個(gè)相距的觀測站和，觀測人員分別在，處觀測該動(dòng)物種群．如圖，某一時(shí)刻，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)處，觀測人員從兩個(gè)觀測站分別測得，，經(jīng)過一段時(shí)間后，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)處，觀測人員從兩個(gè)觀測站分別測得，．（注：點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)）
（Ⅰ）求的面積；
（Ⅱ）求點(diǎn)，之間的距離．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【考點(diǎn)】正弦定理；解三角形
【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（Ⅰ）由三角形內(nèi)角關(guān)系求出，利用正弦定理可得，計(jì)算，利用三角形面積公式計(jì)算可得結(jié)果；
（Ⅱ）中由余弦定理可得結(jié)果．
【解答】解：在中，，，所以，
由正弦定理：，得，
所以，
，
所以的面積為．
（Ⅱ）由，，得．
在中由余弦定理，得
，
所以．
即點(diǎn)，之間的距離為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正余弦定理和三角形面積的計(jì)算問題，屬于中檔題．
21．（12分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)根，且．
（1）若，求的值；
（2）用表示，并求其最大值．
【答案】（1）1．
（2）．
【考點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù)
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；綜合法；轉(zhuǎn)化思想
【分析】（1）由題意，利用韋達(dá)定理，兩角和差的正切公式，求得的值．
（2）由題意，利用韋達(dá)定理，兩角和差的正切公式，用表示，再利用基本不等式求得它的最大值．
【解答】解：（1）由題意知：，
所以．
（2）由題知：，，則，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，取得最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查韋達(dá)定理，兩角和差的正切公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
22．（12分）（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）懸索橋的外觀大氣漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線，懸鏈線的方程和雙曲余弦函數(shù)以及雙曲正弦函數(shù)有關(guān)．已知是上的偶函數(shù)，是上的奇函數(shù)，滿足，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求和的解析式；
（2）已知，．
解不等式；
設(shè)中不等式的解集為，若，恒成立，求的取值范圍．（注．
【答案】（1），．
（2），，．
，．
【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題
【專題】邏輯推理；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
【分析】（1）由于是上的偶函數(shù)，是上的奇函數(shù)，可得，解得，，即可得出答案．
（2）根據(jù)題意可得，則，分析的單調(diào)性和奇偶性，進(jìn)而可得，即，進(jìn)而可得答案．
原不等式等價(jià)于恒成立，令，原不等式等價(jià)于恒成立，由基本不扥是，即可得出答案．
【解答】解：（1）因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，是上的奇函數(shù)，
所以，，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
由，
解得，．
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
令，則單調(diào)遞增，
因?yàn)闀r(shí)，，
所以單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br>由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以原不等式是等價(jià)于，
即，
所以，即，
所以或，
又因?yàn)椋?br>所以，，．
原不等式等價(jià)于恒成立，
令，
原不等式等價(jià)于恒成立，
同可得時(shí)，是關(guān)于的單調(diào)遞減函數(shù)，
所以，時(shí)，，，
，時(shí)，，，
因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即，時(shí)，恒成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以當(dāng)，時(shí)，恒成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
綜上所述，的取值范圍，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
考點(diǎn)卡片
1．命題的真假判斷與應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．
注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰保皇恰岸疾皇恰?，要認(rèn)真區(qū)分．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．
2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“p q”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說明即可．
3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．
【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．
2．函數(shù)恒成立問題
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
恒成立指函數(shù)在其定義域內(nèi)滿足某一條件（如恒大于0等），此時(shí)，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說某個(gè)參數(shù)的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件），因此，適當(dāng)?shù)姆蛛x參數(shù)能簡化解題過程．例：要使函數(shù)f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必須對(duì)a進(jìn)行限制﹣﹣令a≥0，這是比較簡單的情況，而對(duì)于比較復(fù)雜的情況時(shí)，先分離參數(shù)的話做題較簡單
【解題方法點(diǎn)撥】
一般恒成立問題最后都轉(zhuǎn)化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量和求導(dǎo)．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范圍．
解：由題意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
?a≤2+2
【命題方向】
恒成立求參數(shù)的取值范圍問題是近幾年高考中出現(xiàn)頻率相當(dāng)高的一類型題，它比較全面的考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，突出了導(dǎo)數(shù)的工具性作用．
3．三角函數(shù)的周期性
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
周期性
①一般地，對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．
②對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．
③函數(shù)y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數(shù)y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．一點(diǎn)提醒
求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意ω的符號(hào)，只有當(dāng)ω＞0時(shí)，才能把ωx+φ看作一個(gè)整體，代入y＝sin t的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤．
2．兩類點(diǎn)
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五點(diǎn)是：零點(diǎn)和極值點(diǎn)（最值點(diǎn)）．
3．求周期的三種方法
①利用周期函數(shù)的定義．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期為，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期為．
③利用圖象．圖象重復(fù)的x的長度．
4．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
函數(shù)y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟
兩種變換的差異
先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個(gè)單位．原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言的．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．一個(gè)技巧
列表技巧：表中“五點(diǎn)”中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為，利用這一結(jié)論可以較快地寫出“五點(diǎn)”的坐標(biāo)．
2．兩個(gè)區(qū)別
（1）振幅A與函數(shù)y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x變換到y(tǒng)＝Asin （ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sin x的圖象變換到y(tǒng)＝Asin （ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個(gè)單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值．
3．三點(diǎn)提醒
（1）要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象；
（2）要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；
（3）由y＝Asin ωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|φ|．
5．同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
（1）平方關(guān)系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商數(shù)關(guān)系：＝tanα．
2．誘導(dǎo)公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα
3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解題方法點(diǎn)撥】
誘導(dǎo)公式記憶口訣：
對(duì)于角“±α”（k∈Z）的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”．“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”．
6．兩角和與差的三角函數(shù)
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
7．二倍角的三角函數(shù)
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
二倍角的正弦其實(shí)屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?csα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其實(shí)屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其實(shí)屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α＝．對(duì)于這個(gè)公式要求是能夠正確的運(yùn)用其求值化簡即可．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：y＝sin2x+2sinxcsx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcsx
＝+sin2x
＝sin2x﹣cs2x+
＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）
∴其周期T＝＝π．
故答案為：π．
這個(gè)簡單的例題的第二個(gè)式子就是一個(gè)二倍角的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換過后又使用了和差化積的相關(guān)定理，這也可以看得出三角函數(shù)的題一般都涉及到幾個(gè)公式，而且公式之間具有一定的相似性，所以大家要熟記各種公式．
【命題方向】
本考點(diǎn)也是一個(gè)很重要的考點(diǎn)，在高考中考查的也比較多，這里面需要各位同學(xué)多加練習(xí)，熟記各種公式．
8．三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
三角函數(shù)的恒等變化主要是指自變量x數(shù)值比較大時(shí)，如何轉(zhuǎn)化成我們常見的數(shù)值比較小的而且相等的三角函數(shù)，主要的方法就是運(yùn)用它們的周期性．
公式
①正弦函數(shù)有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函數(shù)有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函數(shù)有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝ctx，
④余切函數(shù)有y＝ct（﹣x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：sin60°cs（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cs（﹣570°）的值等于
解：，，，，
∴原式＝．
先利用誘導(dǎo)公式把sin（﹣420°）和cs（﹣570°）轉(zhuǎn)化成﹣sin60°和﹣cs30°，利用特殊角的三角函數(shù)值求得問題的答案．這其實(shí)也就是一個(gè)化簡求值的問題，解題時(shí)的基本要求一定要是恒等變換．
【命題方向】
本考點(diǎn)是三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，三角函數(shù)在高考中占的比重是相當(dāng)大的，所有有必要認(rèn)真掌握三角函數(shù)的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而且三角函數(shù)的難度相對(duì)于其他模塊來說應(yīng)該是比較簡單的．
9．向量的概念與向量的模
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．
向量的幾何表示
用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如、，…字母表示，用小寫字母、，…表示．有向向量的長度為模，表示為||、||，單位向量表示長度為一個(gè)單位的向量；長度為0的向量為零向量．
向量的模
的大小，也就是的長度（或稱模），記作||．
零向量
長度為零的向量叫做零向量，記作，零向量的長度為0，方向不確定．
單位向量
長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）．
相等向量
長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．
10．向量相等與共線
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量．
共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．
規(guī)定：零向量與任一向量平行．
注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．
【解題方法點(diǎn)撥】
平行向量與相等向量的關(guān)系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時(shí)，向量所在的直線重合或平行；
（2）平行向量要求兩個(gè)向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個(gè)限制，零向量與零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動(dòng)到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命題方向】
了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時(shí)候會(huì)與向量的坐標(biāo)運(yùn)算等其它知識(shí)結(jié)合考察．
11．向量數(shù)乘和線性運(yùn)算
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
（1）實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作λ，它的大小為|λ|＝|λ|||，其方向與λ的正負(fù)有關(guān)．若|λ|≠0，當(dāng)λ＞0時(shí)，λ的方向與的方向相同，當(dāng)λ＜0時(shí)，λ的方向與的方向相反．
當(dāng)λ＝0時(shí)，λ與平行．
對(duì)于非零向量a、b，當(dāng)λ≠0時(shí)，有∥?＝λ
（2）向量數(shù)乘運(yùn)算的法則
①1＝；（﹣1）＝；
②（λμ）＝λ（μ）＝μ（λ）；
③（λ+μ）＝λ+μ；
④λ（+）＝λ+λ．
一般地，λ+μ叫做，的一個(gè)線性組合（其中，λ、μ均為系數(shù)）．如果＝λ+μ，則稱可以用，線性表示．
12．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：
設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：
（1）＝＝||csθ；
（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）
（3）當(dāng)，方向相同時(shí)，＝||||；當(dāng)，方向相反時(shí)，＝﹣||||；
特別地：＝||2或||＝（用于計(jì)算向量的模）
（4）csθ＝（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）
（5）||≤||||
2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；
（3）分配律：（）?≠?（）
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：
①“mn＝nm”類比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；
④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；
⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；
⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是 ①② ．
解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，
∴“mn＝nm”類比得到“”，
即①正確；
∵向量的數(shù)量積滿足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，
即②正確；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，
即③錯(cuò)誤；
∵||≠|(zhì)|?||，
∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；
即④錯(cuò)誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，
∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，
即⑤錯(cuò)誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴”不能類比得到，
即⑥錯(cuò)誤．
故答案為：①②．
向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．
【命題方向】
本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，題目相對(duì)來說也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．
13．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、向量的夾角概念：
對(duì)于兩個(gè)非零向量，如果以O(shè)為起點(diǎn)，作＝，＝，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角，其中0≤θ≤π．
2、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：
（1）定義：如果兩個(gè)非零向量，的夾角為θ，那么我們把||||csθ叫做與的數(shù)量積，記做
即：＝||||csθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：?＝0．
注意：
① 表示數(shù)量而不表示向量，符號(hào)由csθ決定；
②符號(hào)“?”在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一個(gè)數(shù)量||csθ，它可以為正，可以為負(fù)，也可以為0
（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則＝x1x2+y1y2，
3、向量的夾角公式：
4、向量的模長：
5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||csθ的積．
14．平面向量的基本定理
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、平面向量基本定理內(nèi)容：
如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使．
2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．
3、說明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．
（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
15．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
向量是有方向的，那么在一個(gè)空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時(shí)候，我們就說這兩條向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么與垂直，有?＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它們的乘積為0．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：與向量，垂直的向量可能為（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：對(duì)于A：∵，?（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
對(duì)于B：∵，?（﹣4，3）＝，∴B不成立；
對(duì)于C：∵，?（4，3）＝，∴C成立；
對(duì)于D：∵，?（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：分別求出向量，和A，B，C，D四個(gè)備選向量的乘積，如果乘積等于0，則這兩個(gè)向量垂直，否則不垂直．
【命題方向】
向量垂直是比較喜歡考的一個(gè)點(diǎn)，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個(gè)關(guān)系并靈活運(yùn)用．
16．正弦定理
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況
由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，a≤b，無解．
2、三角形常用面積公式
1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
【解題方法點(diǎn)撥】
正余弦定理的應(yīng)用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)
（1）測距離問題：測量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；
②測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．
（2）測量高度問題：
解題思路：
①測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點(diǎn)撥：在測量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角．
17．解三角形
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．
4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．
7．關(guān)于三角形面積問題
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r?s，（ r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）
在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表：
18．復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則
19．共軛復(fù)數(shù)
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
實(shí)部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)，叫做互為共軛復(fù)數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復(fù)數(shù)，用數(shù)學(xué)語言來表示即：復(fù)數(shù)Z＝a+bi的共軛復(fù)數(shù)＝a﹣bi．
【解題方法點(diǎn)撥】
共軛復(fù)數(shù)的常見公式有：
；；；
【命題方向】
共軛復(fù)數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，要求能夠掌握共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，并能將復(fù)數(shù)的共軛加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算進(jìn)行推廣．運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算解決一些簡單的復(fù)數(shù)問題，提高數(shù)學(xué)符號(hào)變換的能力，培優(yōu)學(xué)生類比推廣思想，從特殊到一般的方法和探究方法．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/3/9 0:29:39；用戶：初中數(shù)學(xué)；郵箱：szjmjy@xyh.cm；學(xué)號(hào)：29841565定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
變形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形




關(guān)系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的個(gè)數(shù)
一解
兩解
一解
一解
名稱
公式
變形
內(nèi)角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R為△ABC的外接圓半徑
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面積公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）
sinA＝
sinB＝
sinC＝

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