1．（5分）（2016?沈陽校級一模）已知向量，，若，則的值為
A．B．2C．D．
2．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）復數(shù)，則的虛部是
A．2B．C．D．
3．（5分）（2023春?阿拉善左旗校級期中）已知單位向量，滿足，則，
A．B．C．D．
4．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）從正方體的8個頂點上任取4個頂點，則這4個頂點構成的幾何圖形不可能是
A．三個面是直角三角形的正三棱錐
B．有一個面是鈍角三角形的四面體
C．每個面都是等邊三角形的四面體
D．每個面都是直角三角形的四面體
5．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）在中，已知，則一定成立的是
A．B．C．D．
6．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）在中，，若三角形有兩解，則的取值范圍是
A．B．C．D．
7．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）過的重心的直線分別交線段、于點、，若，則的最小值為
A．B．C．D．
8．（5分）（2023春?辛集市期末）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍是
A．B．C．D．
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）設，，為平面內(nèi)任意三個非零向量，下列結論正確的是
A．的充要條件是B．的充要條件是
C．若，，則D．若，則
10．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）已知復數(shù)，下列結論正確的是
A．的充要條件是
B．是純虛數(shù)的充要條件是
C．若，則
D．若，則是純虛數(shù)
11．（5分）（2023春?尖山區(qū)校級期中）在正四面體中，若，為的中點，下列結論正確的是
A．正四面體的體積為
B．正四面體外接球的表面積為
C．如果點在線段上，則的最小值為
D．正四面體內(nèi)接一個圓柱，使圓柱下底面在底面上，上底圓面與面、面、面均只有一個公共點，則圓柱的側面積的最大值為
12．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）在中，角，，所對的邊分別為，，，，是的外接圓圓心，下列結論正確的是
A．的最大值是
B．的取值范圍是
C．若，則是等腰三角形
D．的最大值是3
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）（2023春?庫車市校級期中）若，為單位向量，且，則在方向上的投影向量為 ．
14．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）在復數(shù)范圍內(nèi)方程的兩根為，，則 ．
15．（5分）（2021秋?湖北期中）若為的重心，，則的最小值為 ．
16．（5分）（2023秋?徐匯區(qū)校級期中）水平桌面上放置了3個半徑為2的小球，它們兩兩相切，并均與桌面相切．若用一個半球形容器（容器厚度忽略不計）罩住三個小球，則半球形容器的半徑的最小值是 ．
四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17．（10分）（2023春?淮安期中）已知，，為坐標原點．
（1）若與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當，時，求的取值范圍．
18．（12分）已知半圓圓心為點，直徑，為半圓弧上靠近點的三等分點，若為半徑上的動點，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示．
（1）若，求與夾角的大??；
（2）試求點的坐標，使取得最小值，并求此最小值．
19．（12分）（2022春?遼寧期中）如圖，在中，，，且點在線段上．
（1）若，求的長；
（2）若，，求的面積．
20．（12分）（2023春?科左中旗校級期中）已知正四棱錐的側棱長為和底面邊長為2．
（1）求正四棱錐的體積和表面積；
（2）若點，，分別在側棱，，上，且，求三棱錐的體積．
21．（12分）（2022春?武漢期中）正六棱臺玻璃容器的兩底面棱長分別為，，高為，如圖水平放置，盛有水深為．
（1）求玻璃容器的體積；
（2）將一根長度為的攪棒置入玻璃容器中，的一端置于點處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度．（容器厚度，攪棒粗細均忽略不計）
22．（12分）（2023春?井岡山市校級期末）如圖1，某景區(qū)是一個以為圓心，半徑為的圓形區(qū)域，道路，成角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道，點，分別在和上，修建的木棧道與道路，圍成三角地塊．（注：圓的切線長性質(zhì)：圓外一點引圓的兩條切線長相等）．
（1）若的面積，求木棧道長；
（2）如圖2，若景區(qū)中心與木棧道段連線的，求木棧道的最小值．
2022-2023學年廣東省深圳實驗學校高中部高一（下）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（5分）（2016?沈陽校級一模）已知向量，，若，則的值為
A．B．2C．D．
【考點】：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系
【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；：平面向量及應用
【分析】利用向量垂直的性質(zhì)求解．
【解答】解：向量，，，
，
解得．
故選：．
【點評】本題考查實數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運用．
2．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）復數(shù)，則的虛部是
A．2B．C．D．
【答案】
【考點】共軛復數(shù)；復數(shù)的運算
【專題】轉化思想；轉化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算
【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，以及共軛復數(shù)、虛部的定義，即可求解．
【解答】解：，
，
故，
則，其虛部為2．
故選：．
【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及共軛復數(shù)、虛部的定義，屬于基礎題．
3．（5分）（2023春?阿拉善左旗校級期中）已知單位向量，滿足，則，
A．B．C．D．
【答案】
【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；數(shù)量積表示兩個向量的夾角
【專題】數(shù)學運算；轉化思想；平面向量及應用；轉化法
【分析】根據(jù)已知條件，結合平面向量的數(shù)量積運算，以及平面向量的夾角公式，即可求解．
【解答】解：單位向量，滿足，
則，即，解得，
，
，
故，．
故選：．
【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，以及平面向量的夾角公式，屬于基礎題．
4．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）從正方體的8個頂點上任取4個頂點，則這4個頂點構成的幾何圖形不可能是
A．三個面是直角三角形的正三棱錐
B．有一個面是鈍角三角形的四面體
C．每個面都是等邊三角形的四面體
D．每個面都是直角三角形的四面體
【答案】
【考點】棱錐的結構特征；棱柱的結構特征
【專題】方程思想；數(shù)學抽象；轉化思想；計算題；綜合法；立體幾何
【分析】根據(jù)題意，正方體中，舉出例子可以說明正確，對于，先選取其中一點，與其余的7個點中的任意2個都不會構成鈍角三角形，由此可得錯誤，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，如圖，正方體中，
對于，四面體就是三個面是直角三角形的正三棱錐，正確；
對于，四面體就是每個面都是等邊三角形的四面體，正確；
對于，四面體就是每個面都是直角三角形的四面體，正確；
對于，先選取其中一點，與其余的7個點中的任意2個都不會構成鈍角三角形，則不可能構成有一個面是鈍角三角形的四面體，錯誤；
故選：．
【點評】本題考查正方體、四面體的幾何結構，涉及直線與平面垂直的判定，屬于基礎題．
5．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）在中，已知，則一定成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【考點】兩角和與差的三角函數(shù)；三角形中的幾何計算
【專題】轉化法；解三角形；數(shù)學運算；計算題；轉化思想
【分析】由二倍角的余弦公式化簡已知表達式，并結合余弦定理可求出的值，結合的范圍可求的值，即可得解．
【解答】解：因為，
所以，
所以，
由正弦定理得：，
由余弦定理得，
又，
所以．
故選：．
【點評】本題主要考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．
6．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）在中，，若三角形有兩解，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】
【考點】解三角形；正弦定理
【專題】綜合法；轉化思想；計算題；數(shù)學運算；解三角形
【分析】有兩組解，利用正弦定理得，代入數(shù)據(jù)，求出的范圍．
【解答】解：當時，三角形有兩組解，
又，，，如果三角形有兩組解，
那么應滿足，
即；
的取值范圍是．
故選：．
【點評】本題考查了三角形的應用與正弦定理的應用問題，屬基礎題．
7．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）過的重心的直線分別交線段、于點、，若，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】
【考點】平面向量的基本定理
【專題】綜合法；轉化思想；數(shù)學運算；平面向量及應用
【分析】由為重心，且，，三點共線，可得用，的線性表示，再由題意可得用，的線性表示，可得，的關系，由“1“的活用及均值不等式可得的最小值．
【解答】解：設直線與交于，因為直線過重心，又，
而，，三點共線，所以，
所以，可得，
所以，
因為，，所以，
由均值不等式可得，
所以的最小值為．
故選：．
【點評】本題考查重心的性質(zhì)及向量的基本定理的應用，均值不等式的應用，屬于中檔題．
8．（5分）（2023春?辛集市期末）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】
【考點】三角形中的幾何計算；正弦定理
【專題】轉化思想；數(shù)學運算；綜合法；解三角形
【分析】先根據(jù)已知條件化簡可得，再將化為，結合為銳角三角形，可得的范圍，進而得解．
【解答】解：因為，
所以，
則，
則，
則或，
則或（舍，
由正弦定理可得
，
又因為 是銳角三角形，
所以，解得，
則，
則，即．
故選：．
【點評】本題考查三角恒等變換，解三角形與三角函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）設，，為平面內(nèi)任意三個非零向量，下列結論正確的是
A．的充要條件是B．的充要條件是
C．若，，則D．若，則
【答案】
【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；向量相等與共線
【專題】平面向量及應用；對應思想；定義法
【分析】根據(jù)平面向量的平行與垂直的性質(zhì)即可判定．
【解答】解：，當且僅當與同向時成立，而與方向相同或相反都有，因此不是充要條件，錯誤；
因為和均為非零向量，所以當時，必有，則必有，正確；
因為和均為非零向量，所以當，時，有和方向相同或相反，和方向相同或相反，故與同向或反向，正確；
由可得，，則可得或，故錯誤．
綜上，正確．
故選：．
【點評】本題考查了平面向量的平行、垂直的性質(zhì)，屬基礎題．
10．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）已知復數(shù)，下列結論正確的是
A．的充要條件是
B．是純虛數(shù)的充要條件是
C．若，則
D．若，則是純虛數(shù)
【答案】
【考點】虛數(shù)單位、復數(shù)；復數(shù)的運算；復數(shù)的模；純虛數(shù)
【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)；轉化法；對應思想；數(shù)學運算
【分析】根據(jù)充分必要條件判斷，根據(jù)充分必要條件以及特殊值法判斷，根據(jù)定義得方程組判斷．
【解答】解：對于，若，則，，是充分條件，反之也成立，故正確；
對于，若是純虛數(shù)，則且，則，是充分條件，
反之，若，則，當時，不是純虛數(shù)，故不是必要條件，故錯誤；
對于，若，則，
則，則，，故正確；
對于，若，則，則，則，故錯誤．
故選：．
【點評】本題考查了復數(shù)，充分必要條件問題，考查轉化思想，是基礎題．
11．（5分）（2023春?尖山區(qū)校級期中）在正四面體中，若，為的中點，下列結論正確的是
A．正四面體的體積為
B．正四面體外接球的表面積為
C．如果點在線段上，則的最小值為
D．正四面體內(nèi)接一個圓柱，使圓柱下底面在底面上，上底圓面與面、面、面均只有一個公共點，則圓柱的側面積的最大值為
【答案】
【考點】命題的真假判斷與應用；棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積；球的體積和表面積
【專題】轉化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學運算
【分析】由正四棱錐的結構特征，應用棱錐的體積公式求體積，并確定外接球的半徑求表面積，展開側面，要使最小，只需，，共線，結合余弦定理求其最小值，根據(jù)正四面體內(nèi)接一個圓柱底面圓與其中截面正三角形關系求半徑、體高，應用二次函數(shù)性質(zhì)求側面積最大值．
【解答】解：由正四面體各棱都相等，即各面都為正三角形，
故棱長為2，如下圖示，
為底面中心，則，，共線，為體高，
故，
所以，
故正四面體的體積為，錯誤；
由題設，外接球球心在上，且半徑，
所以，則，
故外接球的表面積為，正確；
由題意知：將面與面沿翻折，使它們在同一個平面，如下圖示，
所以且，，
又，
而，
要使最小，只需，，共線，
則，
所以，正確；
如下圖，棱錐中一個平行于底面的截面所成正三角形的內(nèi)切圓為正四面體內(nèi)接一個圓柱的上底面，
若截面所成正三角形邊長為，
則圓柱體的高，圓柱底面半徑為，
所以其側面積，
故當時，，正確．
故選：．
【點評】本題考查立體幾何知識的綜合運用，考查空間想象能力與運算求解能力，屬于中檔題．
12．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）在中，角，，所對的邊分別為，，，，是的外接圓圓心，下列結論正確的是
A．的最大值是
B．的取值范圍是
C．若，則是等腰三角形
D．的最大值是3
【答案】
【考點】正弦定理；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【專題】平面向量及應用；轉化思想；數(shù)學運算；綜合法
【分析】由余弦定理、基本不等式可得，進而求最大值，注意取值條件，由已知條件和構成三角形條件有求范圍，若，，為，，中點，由外心的性質(zhì)、向量線性關系可得且，即得三角形形狀，將化為，根據(jù)對應線段位置關系、長度及正弦邊角關系、三角恒等變換、正弦函數(shù)性質(zhì)求最值．
【解答】解：設的外接圓半徑為，
則根據(jù)正弦定理可得，
如下圖，過作于，
由，則，
所以，僅當時等號成立，正確；
由題意，，則，錯誤；
若，，為，，中點，由，故，，共線，
又，所以且，故為中垂線，
所以是等腰三角形，正確；
由
，又，
則上式，
所以原式，
由，故時最大值為3，正確．
故選：．
【點評】本題考查向量與解三角形的綜合問題，三角形外接圓的性質(zhì)，余弦定理與正弦定理的應用，化歸轉化思想，屬中檔題．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）（2023春?庫車市校級期中）若，為單位向量，且，則在方向上的投影向量為 ．
【答案】．
【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；投影向量
【專題】綜合法；數(shù)學運算；整體思想；平面向量及應用
【分析】對兩邊平方，求出，再利用投影向量的定義求解．
【解答】解：，，
，
，
在方向上的投影向量為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了投影向量的定義，屬于基礎題．
14．（5分）（2023春?南山區(qū)校級期中）在復數(shù)范圍內(nèi)方程的兩根為，，則 ．
【答案】．
【考點】實系數(shù)多項式虛根成對定理；復數(shù)的模；復數(shù)的運算
【專題】轉化思想；數(shù)學運算；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)
【分析】由題意，利用當判別式小于零時，利用根公式求得、，再根據(jù)復數(shù)的模的定義與求法，
【解答】解：復數(shù)范圍內(nèi)方程的兩根為，，
△，、，
故、中一個等于，另一個等于，
則．
故答案為：．
【點評】本題主要考查當判別式小于零時，求根公式的應用，復數(shù)的模的定義與求法，屬于基礎題．
15．（5分）（2021秋?湖北期中）若為的重心，，則的最小值為 ．
【答案】．
【考點】三角形中的幾何計算
【專題】計算題；轉化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學運算
【分析】令，且它們的模長分別為，，夾角為，以此為基底向量，表示出的值，然后借助于基本不等式求解．
【解答】解：如圖：令，且它們的模長分別為，，夾角為，
則，同理，
所以，，，
故①，
因為，所以，當且僅當時取等號，故①式，
即的最小值為．
故答案為：．
【點評】本題考查數(shù)量積的運算以及基本不等式求最值，屬于中檔題．
16．（5分）（2023秋?徐匯區(qū)校級期中）水平桌面上放置了3個半徑為2的小球，它們兩兩相切，并均與桌面相切．若用一個半球形容器（容器厚度忽略不計）罩住三個小球，則半球形容器的半徑的最小值是 ．
【答案】．
【考點】球的體積和表面積
【專題】數(shù)學運算；轉化思想；綜合法；球
【分析】以3個小球球心和與桌面的切點為頂點作三棱柱，結合圖形分析可解．
【解答】解：如圖所示，設3個球心分別為，，，3個球分別與水平桌面相切于，，三點，
假設半球形的容器與球相切于點，此時半球形容器內(nèi)壁的半徑最小，
記最小半徑設為，易知是邊長為4的正三角形，
記中點為，半球形容器的球心為的中心，
則．
則．
故答案為：．
【點評】本題考查內(nèi)切球問題，化歸轉化思想，屬中檔題．
四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17．（10分）（2023春?淮安期中）已知，，為坐標原點．
（1）若與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當，時，求的取值范圍．
【答案】（1），，；
（2），．
【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算
【分析】（1）根據(jù)題意，求出與的坐標，由向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得關于的不等式，然后求出的范圍；
（2）根據(jù)題意，求出的坐標，得到的表達式，結合二次函數(shù)的性質(zhì)，求出取值范圍．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，，，
則，，
若與的夾角為鈍角，
則有，且，
解得且，即的取值范圍為，，；
（2）根據(jù)題意，，
則，
所以，
又，則，
即的取值范圍是，．
【點評】本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量模的計算，屬于基礎題．
18．（12分）已知半圓圓心為點，直徑，為半圓弧上靠近點的三等分點，若為半徑上的動點，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示．
（1）若，求與夾角的大小；
（2）試求點的坐標，使取得最小值，并求此最小值．
【答案】（1）；（2），有最小值為．
【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；數(shù)量積表示兩個向量的夾角
【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算
【分析】（1）由平面向量數(shù)量積運算，結合平面向量的夾角公式求解即可；
（2）設點的坐標，再結合平面向量數(shù)量積運算即可．
【解答】解：（1）因為半圓的直徑，由題易知：又、
又，，則，，則．
所以，，所以．
設與夾角為，則，
又因為，，
所以，
即與的夾角為．
（2）設，
由（1）知，，
則，，
所以，
又因為，
所以當時，有最小值為，
此時點的坐標為．
【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了向量的坐標運算，屬中檔題．
19．（12分）（2022春?遼寧期中）如圖，在中，，，且點在線段上．
（1）若，求的長；
（2）若，，求的面積．
【答案】（1）；（2）．
【考點】正弦定理；三角形中的幾何計算
【專題】計算題；轉化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學運算
【分析】（1）由，可得，求出，，再利用正弦定理求得．
（2）由和三角形的面積公式求出，再利用余弦定理可得，再求面積即可．
【解答】解：（1）由，可得，
所以或（舍去），所以，
因為，所以，
在中，由正弦定理可得
解得．
（2）由，得，，
因為，，所以，
由余弦定理，
可得，解得或（舍去），
所以，
所以．
【點評】本題考查了正余弦定理的應用，三角形的面積公式，屬于中檔題．
20．（12分）（2023春?科左中旗校級期中）已知正四棱錐的側棱長為和底面邊長為2．
（1）求正四棱錐的體積和表面積；
（2）若點，，分別在側棱，，上，且，求三棱錐的體積．
【答案】（1）正四棱錐的體積為，表面積為；（2）．
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積
【專題】轉化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學運算
【分析】（1）根據(jù)錐體的體積公式，表面積公式，計算即可求解；
（2）根據(jù)題意，化歸轉化，即可求解．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可知四邊形為正方形，
設為底面中心，則為該錐體的高，
又易知，，，
正四棱錐的體積為，
又側面等腰三角形的高為，
正四棱錐的表面積為；
（2），，
，
，
，，
即．
【點評】本題考查正四棱錐的體積與表面積的求解，三棱錐的體積的求解，化歸轉化思想，屬中檔題．
21．（12分）（2022春?武漢期中）正六棱臺玻璃容器的兩底面棱長分別為，，高為，如圖水平放置，盛有水深為．
（1）求玻璃容器的體積；
（2）將一根長度為的攪棒置入玻璃容器中，的一端置于點處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度．（容器厚度，攪棒粗細均忽略不計）
【答案】（1）正六棱臺的體積．
（2）攪棒沒入水中部分的長度為．
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積
【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；邏輯推理；直觀想象；數(shù)學運算
【分析】（1）求解下底面面積，上底面的面積，結合臺體的高，求解正六棱臺的體積．
（2）設攪棒在上的點為，攪棒與水面的交點為，在平面中，過點作，交于點，過點作，交于點，畫出平面的平面圖，求解，，結合正弦定理求解，，然后轉化求解即可．
【解答】解：（1）由題意可知，下底面面積為，
上底面的面積，又臺體的高為，
所以正六棱臺的體積
（2）設攪棒在上的點為，則，攪棒與水面的交點為，在平面中，過點作，交于點，過點作，交于點，
為正六棱臺，，，，
為等腰梯形，畫出平面的平面圖，
，，，，
，
由勾股定理得：，
，，，
根據(jù)正弦定理得：，，
，
，
．
攪棒沒入水中部分的長度為．
【點評】本題考查棱臺的體積的求法，空間點、線、面距離的求法，正弦定理的應用，考查空間想象能力，轉化思想以及計算能力，是中檔題．
22．（12分）（2023春?井岡山市校級期末）如圖1，某景區(qū)是一個以為圓心，半徑為的圓形區(qū)域，道路，成角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道，點，分別在和上，修建的木棧道與道路，圍成三角地塊．（注：圓的切線長性質(zhì)：圓外一點引圓的兩條切線長相等）．
（1）若的面積，求木棧道長；
（2）如圖2，若景區(qū)中心與木棧道段連線的，求木棧道的最小值．
【答案】（1）；
（2）的最小值6．
【考點】解三角形
【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學運算
【分析】（1）由已知可得，，進而由余弦定理可得，可求；
（2）設圓與，分別切于，，由已知可得，利用，可求木棧道的最小值．
【解答】解：（1）在中，因為的面積，所以，
則解得①，
所以，
則，所以，
兩邊平方得，
所以②，
在中，由余弦定理可得，
即③，
由①②③求解得；
（2）設圓與，分別切于，，
則，，，
則，，
則，，
由，可得，
由，
可得，則，
則；
；；
，
當且僅當時等號成，則的最小值6．
【點評】本題考查解三角形在生活中的應用，考查余弦定理，考查運算求解能力，考查三角恒等變換，屬中檔題．
考點卡片
1．命題的真假判斷與應用
【知識點的認識】
判斷含有“或”、“且”、“非”的復合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復合命題的真假．
注意：“非p”的正確寫法，本題不應將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區(qū)分．
【解題方法點撥】
1．判斷復合命題的真假，常分三步：先確定復合命題的構成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復合命題的真假．
2．判斷一個“若p則q”形式的復合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“p q”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．
3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關系進行轉化判斷．
【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標準》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．
2．兩角和與差的三角函數(shù)
【知識點的認識】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
3．向量相等與共線
【知識點的認識】
相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量．
共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．
規(guī)定：零向量與任一向量平行．
注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．
【解題方法點撥】
平行向量與相等向量的關系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時，向量所在的直線重合或平行；
（2）平行向量要求兩個向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個限制，零向量與零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命題方向】
了解向量的實際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時候會與向量的坐標運算等其它知識結合考察．
4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【知識點的認識】
1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：
設，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：
（1）＝＝||csθ；
（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）
（3）當，方向相同時，＝||||；當，方向相反時，＝﹣||||；
特別地：＝||2或||＝（用于計算向量的模）
（4）csθ＝（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）
（5）||≤||||
2、平面向量數(shù)量積的運算律
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘向量的結合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；
（3）分配律：（）?≠?（）
平面向量數(shù)量積的運算
平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是相同的，有些不一樣．
【解題方法點撥】
例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：
①“mn＝nm”類比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；
④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；
⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；
⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結論正確的是 ①② ．
解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，
∴“mn＝nm”類比得到“”，
即①正確；
∵向量的數(shù)量積滿足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，
即②正確；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，
即③錯誤；
∵||≠|(zhì)|?||，
∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；
即④錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足結合律，
∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，
即⑤錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴”不能類比得到，
即⑥錯誤．
故答案為：①②．
向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．
【命題方向】
本知識點應該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．
5．投影向量
【知識點的認識】
投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影．投影向量可以用來求兩個向量之間的夾角，也可以用來求一個向量在另一個向量上的分解．
設，是兩個非零向量，，，考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解題方法點撥】
投影，是一個動作．投影向量，是一個向量．我們把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解為投影數(shù)量乘上一個方向上的單位向量．
（1）向量在向量上的投影向量為（其中為與同向的單位向量），它是一個向量，且與共線，其方向由向量和夾角θ的余弦值決定．
（2）注意：在方向上的投影向量與在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量為．
【命題方向】
（1）向量分解：將一個向量分解成與另一個向量垂直和平行的兩個部分．
（2）向量夾角計算：通過求兩個向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．
（3）空間幾何問題：求點到平面的距離．
6．平面向量的基本定理
【知識點的認識】
1、平面向量基本定理內(nèi)容：
如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對實數(shù)λ1、λ2，使．
2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．
3、說明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．
（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
7．數(shù)量積表示兩個向量的夾角
【知識點的認識】
我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當兩條向量與不平行時，那么它們就會有一個夾角θ，并且還有這樣的公式：csθ＝．通過這公式，我們就可以求出兩向量之間的夾角了．
【解題方法點撥】
例：復數(shù)z＝+i與它的共軛復數(shù)對應的兩個向量的夾角為 60° ．
解：＝＝＝＝＝cs60°+isin60°．
∴復數(shù)z＝+i與它的共軛復數(shù)對應的兩個向量的夾角為60°．
故答案為：60°．
點評：這是個向量與復數(shù)相結合的題，本題其實可以換成是用向量（，1）與向量（，﹣1）的夾角．
【命題方向】
這是向量里面非常重要的一個公式，也是一個?？键c，出題方式一般喜歡與其他的考點結合起來，比方說復數(shù)、三角函數(shù)等，希望大家認真掌握．
8．數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系
【知識點的認識】
向量是有方向的，那么在一個空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當兩條向量的方向互相垂直的時候，我們就說這兩條向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么與垂直，有?＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它們的乘積為0．
【解題方法點撥】
例：與向量，垂直的向量可能為（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：對于A：∵，?（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
對于B：∵，?（﹣4，3）＝，∴B不成立；
對于C：∵，?（4，3）＝，∴C成立；
對于D：∵，?（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故選：C．
點評：分別求出向量，和A，B，C，D四個備選向量的乘積，如果乘積等于0，則這兩個向量垂直，否則不垂直．
【命題方向】
向量垂直是比較喜歡考的一個點，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個關系并靈活運用．
9．正弦定理
【知識點的認識】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況
由上表可知，當A為銳角時，a＜bsinA，無解．當A為鈍角或直角時，a≤b，無解．
2、三角形常用面積公式
1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
【解題方法點撥】
正余弦定理的應用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識
（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關鍵在于明確：
①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；
②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉化為應用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．
（2）測量高度問題：
解題思路：
①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉化為解直角三角形的問題．
②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關長度和仰、俯角等構成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角．
10．三角形中的幾何計算
【知識點的認識】
1、幾何中的長度計算：
（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可以求解：
①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．
②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他的邊和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判斷三角形的形狀；
③實現(xiàn)邊角之間的轉化．包括：a、已知三邊，求三個角；b、已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角．
2、與面積有關的問題：
（1）三角形常用面積公式
①S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
（2）面積問題的解法：
①公式法：三角形、平行四邊形、矩形等特殊圖形，可用相應面積公式解決．
②割補法：若是求一般多邊形的面積，可采用作輔助線的辦法，通過分割或補形把不是三角形的幾何圖形分割成不重疊的幾個三角形，再由三角形的面積公式求解．
【解題方法點撥】
幾何計算最值問題：
（1）常見的求函數(shù)值域的求法：
①配方法：轉化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；
②逆求法（反求法）：通過反解，用y來表示x，再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍；
④換元法：通過變量代換轉化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；
⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；
⑥單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域．
⑦數(shù)形結合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結合的方法來求值域．
（2）正弦，余弦，正切函數(shù)值在三角形內(nèi)角范圍內(nèi)的變化情況：
①當角度在0°～90°間變化時，
正弦值隨著角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值隨著角度的增大而減小，且0≤csα≤1；
正切值隨著角度的增大而增大，tanα＞0．
②當角度在90°～180°間變化時，
正弦值隨著角度的增大而減小，且0≤sinα≤1；
余弦值隨著角度的增大而減小，且﹣1≤csα≤0；
正切值隨著角度的增大而增大，tanα＜0．
11．解三角形
【知識點的認識】
1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．
4．已知三邊a、b、c，應用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．
7．關于三角形面積問題
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r?s，（ r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）
在解三角形時，常用定理及公式如下表：
12．虛數(shù)單位i、復數(shù)
【知識點的認識】
i是數(shù)學中的虛數(shù)單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a+bi的數(shù)叫做復數(shù)，把a＝0且b≠0的數(shù)叫做純虛數(shù)，a≠0，且b＝0叫做實數(shù)．復數(shù)的模為．形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．
13．純虛數(shù)
【知識點的認識】
形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復數(shù)，a，b分別叫做它的實部和虛部，當a＝0，b≠0時，叫做純虛數(shù)．
純虛數(shù)也可以理解為非零實數(shù)與虛數(shù)單位i相乘得到的結果．
【解題方法點撥】
復數(shù)與復平面上的點是一一對飲的，這為形與數(shù)之間的相互轉化提供了一條重要思路．要完整理解復數(shù)為純虛數(shù)的等價條件，復數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的充要條件是a＝0，b≠0．
實數(shù)集和虛數(shù)集的并集是全體復數(shù)集．虛數(shù)中包含純虛數(shù)，即由純虛數(shù)構成的集合可以看成是虛數(shù)集的一個真子集．
【命題方向】
純虛數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，是歷年高考的熱點，考察學生的基本運算能力．常見的命題角度有：（1）復數(shù)的概念；（2）復數(shù)的模；（3）復數(shù)相等的四則運算；（4）復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點．
14．復數(shù)的運算
【知識點的認識】
復數(shù)的加、減、乘、除運算法則
15．共軛復數(shù)
【知識點的認識】
實部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個復數(shù)，叫做互為共軛復數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復數(shù)，用數(shù)學語言來表示即：復數(shù)Z＝a+bi的共軛復數(shù)＝a﹣bi．
【解題方法點撥】
共軛復數(shù)的常見公式有：
；；；
【命題方向】
共軛復數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，要求能夠掌握共軛復數(shù)的性質(zhì)，并能將復數(shù)的共軛加法運算和乘法運算進行推廣．運用共軛復數(shù)運算解決一些簡單的復數(shù)問題，提高數(shù)學符號變換的能力，培優(yōu)學生類比推廣思想，從特殊到一般的方法和探究方法．
16．復數(shù)的模
【知識點的認識】
1．復數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a+bi為實數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．
2、復數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共軛復數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、復數(shù)的模：的長度叫做復數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
17．棱柱的結構特征
【知識點的認識】
1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．認識棱柱
底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．
側面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側面．
側棱：棱柱中兩個側面的公共邊叫做棱柱的側棱．
頂點：棱柱的側面與底面的公共頂點．
高：棱中兩個底面之間的距離．
3．棱柱的結構特征
根據(jù)棱柱的結構特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：
（1）側面都是平行四邊形
（2）兩底面是全等多邊形
（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形
（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和．
4．棱柱的分類
（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根據(jù)側棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．
5．棱柱的體積公式
設棱柱的底面積為S，高為h，
V棱柱＝S×h．
18．棱錐的結構特征
【知識點的認識】
1．棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐．用頂點和底面各頂點的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．認識棱錐
棱錐的側面：棱錐中除底面外的各個面都叫做棱錐的側面．
棱錐的側棱：相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱．
棱錐的頂點；棱錐中各個側面的公共頂點叫做棱錐的頂點．
棱錐的高：棱錐的頂點到底面的距離叫做棱錐的高．
棱錐的對角面；棱錐中過不相鄰的兩條側棱的截面叫做對角面．
3．棱錐的結構特征
根據(jù)棱錐的結構特征，可知棱錐具有以下性質(zhì)：
平行于底面的截面和底面相似，且它們的面積比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比．
4．棱錐的分類
棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形…我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐…
正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐．正棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形．
5．棱錐的體積公式
設棱錐的底面積為S，高為h，
V棱錐＝Sh．
19．棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積
【知識點的認識】
側面積和全面積的定義：
（1）側面積的定義：把柱、錐、臺的側面沿著它們的一條側棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就是空間幾何體的側面積．
（2）全面積的定義：空間幾何體的側面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積．
柱體、錐體、臺體的表面積公式（c為底面周長，h為高，h′為斜高，l為母線）
S圓柱表＝2πr（r+l），S圓錐表＝πr（r+l），S圓臺表＝π（r2+rl+Rl+R2）
20．棱柱、棱錐、棱臺的體積
【知識點的認識】
柱體、錐體、臺體的體積公式：
V柱＝sh，V錐＝Sh．
21．球的體積和表面積
【知識點的認識】
1．球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點距離等于定長的點的集合為球面．
2．球體的體積公式
設球體的半徑為R，
V球體＝
3．球體的表面積公式
設球體的半徑為R，
S球體＝4πR2．
【命題方向】
考查球體的體積和表面積公式的運用，常見結合其他空間幾何體進行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關鍵．
22．實系數(shù)多項式虛根成對定理
【知識點的認識】
實系數(shù)多項式虛根成對定理：
n次多項式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的系數(shù)都為實數(shù)，如果方程：f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0＝0有一根x0＝a0+b0i∈C（復數(shù)集），其中a0，b0∈R，則＝a0﹣b0i也是方程的根．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/3/9 0:29:42；用戶：初中數(shù)學；郵箱：szjmjy@xyh.cm；學號：29841565定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
變形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形




關系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的個數(shù)
一解
兩解
一解
一解
名稱
公式
變形
內(nèi)角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R為△ABC的外接圓半徑
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面積公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）
sinA＝
sinB＝
sinC＝

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