1．（5分）（2017?紅橋區(qū)模擬）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于
A．B．C．D．
2．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）下列四個(gè)命題正確的是
A．所有的幾何體的表面都能展成平面圖形
B．棱錐的側(cè)面的個(gè)數(shù)與底面的邊數(shù)相等
C．棱柱的各條棱長(zhǎng)度都相等
D．棱柱中兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面
3．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知兩點(diǎn)，，則與向量同向的單位向量是
A．B．C．D．
4．（5分）（2023春?青羊區(qū)校級(jí)期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，，則角為
A．B．C．D．或
5．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，，則的取值是
A．B．C．D．3
6．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知向量，滿足，，，則
A．1B．C．D．
7．（5分）（2021?江蘇模擬）若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則它的底面積與側(cè)面積之比是
A．B．C．D．
8．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）平面四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，且．點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，滿足．點(diǎn)是四邊形內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為
A．13B．7C．14D．
二、多項(xiàng)選擇題。本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則以下說法正確的有
A．復(fù)數(shù)的虛部為
B．
C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)
D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限
10．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）設(shè)有下列四個(gè)命題正確的是
A．兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)
B．過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面
C．若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行
D．若直線平行平面，則平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平行
11．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級(jí)期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，下列結(jié)論正確的是
A．是鈍角三角形B．
C．若則的面積是D．
12．（5分）（2023春?資溪縣校級(jí)期中）已知向量，，則下列命題正確的是
A．若，則
B．若在上的投影向量的模為，則向量與的夾角為
C．存在，使得
D．的最大值為
三、填空題。本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知一個(gè)球的半徑為，其體積的數(shù)值和表面積的數(shù)值滿足關(guān)系，則半徑 ．
14．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知中，，，，是的角平分線，則 ．
15．（5分）（2023春?大荔縣期末）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，．若復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于第二象限，實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
16．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，，，．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
四、解答題。本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．（10分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知是虛數(shù)單位，，．
（1）求；
（2）若滿足，求實(shí)數(shù)，的值．
18．（12分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
19．（12分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知．
（1）求角；
（2）若，求的周長(zhǎng)的最大值．
20．（12分）（2023春?吳忠校級(jí)期中）為了幫助山區(qū)群眾打開脫貧致富的大門，某地計(jì)劃沿直線開通一條穿山隧道．如圖所示，，，為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，在山頂處測(cè)得三點(diǎn)的俯角分別為，，，且測(cè)得，，．用以上數(shù)據(jù)（或部分?jǐn)?shù)據(jù)）表示以下結(jié)果．
（1）求出線段的長(zhǎng)度；
（2）求出隧道的長(zhǎng)度．
21．（12分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形中，，．
（1）若，，求；
（2）若，，，求．
22．（12分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知．
（1）求角；
（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．
2022-2023學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題。本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）（2017?紅橋區(qū)模擬）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于
A．B．C．D．
【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；：數(shù)學(xué)模型法；：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)
【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．
【解答】解：，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．
2．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）下列四個(gè)命題正確的是
A．所有的幾何體的表面都能展成平面圖形
B．棱錐的側(cè)面的個(gè)數(shù)與底面的邊數(shù)相等
C．棱柱的各條棱長(zhǎng)度都相等
D．棱柱中兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面
【答案】
【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征；棱柱的結(jié)構(gòu)特征
【專題】空間位置關(guān)系與距離；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法
【分析】通過舉反例，以及棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征，即可求解．
【解答】解：球的表面不能展成平面圖形，故錯(cuò)誤；
棱錐的側(cè)面?zhèn)€數(shù)與底面的邊數(shù)相等，故正確；
棱柱的各條側(cè)棱長(zhǎng)度都相等，但側(cè)棱長(zhǎng)度與底面中的棱長(zhǎng)不一定相等，故錯(cuò)誤；
正六棱柱中，相對(duì)的兩個(gè)側(cè)面互相平行，但它們不是正六棱柱的底面，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知兩點(diǎn)，，則與向量同向的單位向量是
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】向量的概念與向量的模
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用
【分析】先求出和，再利用同向單位向量公式求解即可．
【解答】解：，，
向量，，
與向量同向的單位向量是，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查同向單位向量的求法，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）（2023春?青羊區(qū)校級(jí)期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，，則角為
A．B．C．D．或
【答案】
【考點(diǎn)】正弦定理
【專題】整體思想；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法
【分析】由正弦定理即可求解．
【解答】解：由正弦定理，得，
又，所以，
所以為銳角，所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，，則的取值是
A．B．C．D．3
【答案】
【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理
【專題】轉(zhuǎn)化法；解三角形；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，即可求解．
【解答】解：，，，
則，即，解得（負(fù)值舍去）．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知向量，滿足，，，則
A．1B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；平面向量及應(yīng)用；整體思想
【分析】由平面向量的模的運(yùn)算，結(jié)合平面向量的夾角的運(yùn)算求解即可．
【解答】解：已知向量，滿足，，，
則，
即，
則．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的模的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量的夾角的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
7．（5分）（2021?江蘇模擬）若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則它的底面積與側(cè)面積之比是
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）
【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征可知底面半徑與高相等，代入面積公式求出比值．
【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線為，如圖所示：
則，．
，
．
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征和底面積、側(cè)面積計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．
8．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）平面四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，且．點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，滿足．點(diǎn)是四邊形內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為
A．13B．7C．14D．
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，在上的投影向量與同向，且長(zhǎng)度最長(zhǎng)，所以此時(shí)最大，由，，求可得答案．
【解答】解：如圖，
由數(shù)量積的幾何意義：兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在這個(gè)向量的方向上的投影的乘積，及點(diǎn)是四邊形內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
則當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，在上的投影向量與同向，且長(zhǎng)度最長(zhǎng)，所以此時(shí)最大，
因?yàn)椋?br>又，
所以
，
所以的最大值為14．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．
二、多項(xiàng)選擇題。本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則以下說法正確的有
A．復(fù)數(shù)的虛部為
B．
C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)
D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限
【答案】
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模
【專題】轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合虛部、共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．
【解答】解：對(duì)于，復(fù)數(shù)的虛部為，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，故正確；
對(duì)于，，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查虛部、共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
10．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）設(shè)有下列四個(gè)命題正確的是
A．兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)
B．過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面
C．若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行
D．若直線平行平面，則平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平行
【答案】
【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理
【分析】根據(jù)平面的有關(guān)知識(shí)、線線平行、線面平行的有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定選項(xiàng)．
【解答】解：對(duì)于，兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線，
共有3個(gè)不在一條直線上的3個(gè)交點(diǎn)，確定一個(gè)平面，故正確；
對(duì)于，空間中任意三點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，則過空間中的這三點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，空間兩條直線不相交，可能異面，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，直線平行平面，則過直線的平面與平面的交線都與平行，而這樣的交線有無數(shù)條，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查線面平行的判定與性質(zhì)、平面的基本性質(zhì)及推論等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，是中檔題．
11．（5分）（2023春?龍崗區(qū)校級(jí)期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，下列結(jié)論正確的是
A．是鈍角三角形B．
C．若則的面積是D．
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；解三角形；正弦定理
【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理；解三角形；綜合法；三角函數(shù)的求值
【分析】直接利用正弦定理和余弦定理及三角形的面積公式的應(yīng)用及向量的夾角運(yùn)算判斷、、、的結(jié)論．
【解答】解：在中，已知，
設(shè)，，，
對(duì)于：利用正弦定理：，
所以，與沒有關(guān)系，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：利用余弦定理，即，故正確；
對(duì)于：由于，，，，
所以，
故，，，
利用余弦定理，所以，故，故正確；
對(duì)于：由于，故為鈍角，所以是鈍角三角形，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理及三角形的面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
12．（5分）（2023春?資溪縣校級(jí)期中）已知向量，，則下列命題正確的是
A．若，則
B．若在上的投影向量的模為，則向量與的夾角為
C．存在，使得
D．的最大值為
【答案】
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；向量的概念與向量的模；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；投影向量；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系
【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】利用向量的數(shù)量積為0，求出余弦函數(shù)值，判斷；
利用向量的數(shù)量積求解向量的投影以及向量的夾角判斷；
通過向量的模的求法求解判斷；
利用向量的數(shù)量積結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)，求解最大值判斷．
【解答】解：若，則，
則，即，
，解得，故正確；
若在上的投影為，且，則，
或，故錯(cuò)誤；
若，，
則，即，
此時(shí)，
但，，，
故不成立，故錯(cuò)誤；
，因?yàn)?，?br>則當(dāng)時(shí)，的最大值為，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假的判斷，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．
三、填空題。本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知一個(gè)球的半徑為，其體積的數(shù)值和表面積的數(shù)值滿足關(guān)系，則半徑 3 ．
【答案】3．
【考點(diǎn)】球的體積和表面積
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離；轉(zhuǎn)化思想
【分析】由題意可得，求解即可．
【解答】解：根據(jù)題意有，，
由，得，
解得．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查球體的表面積與體積公式，屬基礎(chǔ)題．
14．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知中，，，，是的角平分線，則 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】余弦定理；三角形中的幾何計(jì)算
【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法；解三角形
【分析】【法一】設(shè)，由，利用三角形的面積公式即可求解的值．
【法二】由已知利用余弦定理可得的值，利用角平分線的性質(zhì)可求，解得的值，利用余弦定理可求，在中由余弦定理可得的值．
【解答】解：【法一】因?yàn)橹?，，，，是的角平分線，
又，
所以，
設(shè)，
可得，解得．
【法二】因?yàn)橹?，，，?br>所以由余弦定理可得，
又是的角平分線，
所以，即，
所以，解得，
因?yàn)椋?br>所以在中，由余弦定理可得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理以及角平分線的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
15．（5分）（2023春?大荔縣期末）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，．若復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于第二象限，實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，由條件列不等式求的取值范圍．
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
由已知可得，，
由可得，
由可得或，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
16．（5分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，，，．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】平面向量的基本定理
【專題】數(shù)形結(jié)合；平面向量及應(yīng)用；向量法；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】結(jié)合圖中點(diǎn)的位置關(guān)系，算出點(diǎn)、的坐標(biāo)，代入，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：由題意得，設(shè)，，，
則．，
，
，
．，
所以，，，，
則，，，，
由得，解得，．即點(diǎn)坐標(biāo)為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
四、解答題。本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．（10分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知是虛數(shù)單位，，．
（1）求；
（2）若滿足，求實(shí)數(shù)，的值．
【答案】（1）；（2），．
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；方程思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)
【分析】（1）先求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解；（2）先求出復(fù)數(shù)，然后代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)建立方程組即可求解．
【解答】解：（1）由已知可得，
則；
（2）由題意可知，
代入方程，可得：，
即，所以，解得，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及共軛復(fù)數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題．
18．（12分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1），（2）．
【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示
【專題】平面向量及應(yīng)用；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；方程思想；綜合法
【分析】（1）根據(jù)題意，求出、的坐標(biāo)，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得關(guān)于的方程，解可得答案；
（2）根據(jù)題意，求出、的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式可得關(guān)于的方程，解可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，向量，，
則，，
若，則有，即，
解可得，故的值為；
（2）根據(jù)題意，向量，，
則，，
若，則有，
解可得，故的值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及向量平行、垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
19．（12分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知．
（1）求角；
（2）若，求的周長(zhǎng)的最大值．
【答案】（1）；
（2）．
【考點(diǎn)】余弦定理；解三角形；正弦定理
【專題】解三角形；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)可求，進(jìn)而可求；
（2）由已知結(jié)合基本不等式可求的取值范圍，進(jìn)而可求周長(zhǎng)的最大值．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br>所以，
即，
由余弦定理得，
由為三角形內(nèi)角得；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
解得，
故周長(zhǎng)的最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理及余弦定理，基本不等式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．
20．（12分）（2023春?吳忠校級(jí)期中）為了幫助山區(qū)群眾打開脫貧致富的大門，某地計(jì)劃沿直線開通一條穿山隧道．如圖所示，，，為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，在山頂處測(cè)得三點(diǎn)的俯角分別為，，，且測(cè)得，，．用以上數(shù)據(jù)（或部分?jǐn)?shù)據(jù)）表示以下結(jié)果．
（1）求出線段的長(zhǎng)度；
（2）求出隧道的長(zhǎng)度．
【答案】（1）；
（2）．
【考點(diǎn)】解三角形
【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）由條件求出角，，在中由正弦定理即可得結(jié)果；
（2）在中由正弦定理求出，從而求解得．
【解答】解：（1）由題意可得，，，
所以，，又，，
在中，由正弦定理得，即，
解得；
（2）因?yàn)?，，所以，?br>又由（1）知，，
在中，由正弦定理得，
所以，即，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．
21．（12分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形中，，．
（1）若，，求；
（2）若，，，求．
【答案】（1）2；（2）3．
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法；轉(zhuǎn)化思想
【分析】（1）求出，，然后求解向量的數(shù)量積即可．
（2）推出，通過，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：（1）在四邊形中，，，
，，，
，，
所以．
（2），
，，
，
又，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的模的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．
22．（12分）（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知．
（1）求角；
（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2），．
【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理
【專題】綜合題；解三角形；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法
【分析】（1）由正弦定理、余弦定理化角為邊后，再由余弦定理可求得；
（2）由正弦定理化角為邊，代入（1）中結(jié)論化簡(jiǎn)后，得出，由銳角三角形得，，化簡(jiǎn)后可得的取值范圍，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求的范圍，從而得出結(jié)論．
【解答】解：（1），
由正弦定理和余弦定理得，
整理得，，又是三角形內(nèi)角，；
（2）為銳角三角形，則，，，
又，
，
，
，，，
設(shè)，，則，
則，
因此當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞增，
，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，，
，
，
即的取值范圍為，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，考查正余弦定理的應(yīng)用，考查函數(shù)的最值的求法，屬中檔題．
考點(diǎn)卡片
1．向量的概念與向量的模
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．
向量的幾何表示
用有向線段表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如、，…字母表示，用小寫字母、，…表示．有向向量的長(zhǎng)度為模，表示為||、||，單位向量表示長(zhǎng)度為一個(gè)單位的向量；長(zhǎng)度為0的向量為零向量．
向量的模
的大小，也就是的長(zhǎng)度（或稱模），記作||．
零向量
長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作，零向量的長(zhǎng)度為0，方向不確定．
單位向量
長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）．
相等向量
長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．
2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：
設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：
（1）＝＝||csθ；
（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）
（3）當(dāng)，方向相同時(shí)，＝||||；當(dāng)，方向相反時(shí)，＝﹣||||；
特別地：＝||2或||＝（用于計(jì)算向量的模）
（4）csθ＝（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）
（5）||≤||||
2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；
（3）分配律：（）?≠?（）
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：
①“mn＝nm”類比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；
④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；
⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；
⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是 ①② ．
解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，
∴“mn＝nm”類比得到“”，
即①正確；
∵向量的數(shù)量積滿足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，
即②正確；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，
即③錯(cuò)誤；
∵||≠|(zhì)|?||，
∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；
即④錯(cuò)誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，
∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，
即⑤錯(cuò)誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴”不能類比得到，
即⑥錯(cuò)誤．
故答案為：①②．
向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．
【命題方向】
本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)常考點(diǎn)，題目相對(duì)來說也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．
3．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、向量的夾角概念：
對(duì)于兩個(gè)非零向量，如果以O(shè)為起點(diǎn)，作＝，＝，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角，其中0≤θ≤π．
2、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：
（1）定義：如果兩個(gè)非零向量，的夾角為θ，那么我們把||||csθ叫做與的數(shù)量積，記做
即：＝||||csθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：?＝0．
注意：
① 表示數(shù)量而不表示向量，符號(hào)由csθ決定；
②符號(hào)“?”在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一個(gè)數(shù)量||csθ，它可以為正，可以為負(fù)，也可以為0
（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則＝x1x2+y1y2，
3、向量的夾角公式：
4、向量的模長(zhǎng)：
5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長(zhǎng)度||與在的方向上的投影||csθ的積．
4．平面向量的基本定理
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、平面向量基本定理內(nèi)容：
如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使．
2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．
3、說明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．
（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
5．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示：
設(shè)＝（x1，y1），＝（x2，y2），則∥（≠）?x1y2﹣x2y1＝0．
6．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
向量是有方向的，那么在一個(gè)空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時(shí)候，我們就說這兩條向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么與垂直，有?＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它們的乘積為0．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：與向量，垂直的向量可能為（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：對(duì)于A：∵，?（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
對(duì)于B：∵，?（﹣4，3）＝，∴B不成立；
對(duì)于C：∵，?（4，3）＝，∴C成立；
對(duì)于D：∵，?（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：分別求出向量，和A，B，C，D四個(gè)備選向量的乘積，如果乘積等于0，則這兩個(gè)向量垂直，否則不垂直．
【命題方向】
向量垂直是比較喜歡考的一個(gè)點(diǎn)，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個(gè)關(guān)系并靈活運(yùn)用．
7．正弦定理
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況
由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，a≤b，無解．
2、三角形常用面積公式
1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
【解題方法點(diǎn)撥】
正余弦定理的應(yīng)用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)
（1）測(cè)距離問題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；
②測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問題，然后再把未知的邊長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．
（2）測(cè)量高度問題：
解題思路：
①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長(zhǎng)度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點(diǎn)撥：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角．
8．余弦定理
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．正弦定理和余弦定理
【解題方法點(diǎn)撥】
正余弦定理的應(yīng)用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)
（1）測(cè)距離問題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；
②測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問題，然后再把未知的邊長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．
（2）測(cè)量高度問題：
解題思路：
①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長(zhǎng)度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點(diǎn)撥：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角．
9．三角形中的幾何計(jì)算
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、幾何中的長(zhǎng)度計(jì)算：
（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可以求解：
①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．
②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判斷三角形的形狀；
③實(shí)現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化．包括：a、已知三邊，求三個(gè)角；b、已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角．
2、與面積有關(guān)的問題：
（1）三角形常用面積公式
①S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
（2）面積問題的解法：
①公式法：三角形、平行四邊形、矩形等特殊圖形，可用相應(yīng)面積公式解決．
②割補(bǔ)法：若是求一般多邊形的面積，可采用作輔助線的辦法，通過分割或補(bǔ)形把不是三角形的幾何圖形分割成不重疊的幾個(gè)三角形，再由三角形的面積公式求解．
【解題方法點(diǎn)撥】
幾何計(jì)算最值問題：
（1）常見的求函數(shù)值域的求法：
①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；
②逆求法（反求法）：通過反解，用y來表示x，再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍；
④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；
⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；
⑥單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域．
⑦數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域．
（2）正弦，余弦，正切函數(shù)值在三角形內(nèi)角范圍內(nèi)的變化情況：
①當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，
正弦值隨著角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值隨著角度的增大而減小，且0≤csα≤1；
正切值隨著角度的增大而增大，tanα＞0．
②當(dāng)角度在90°～180°間變化時(shí)，
正弦值隨著角度的增大而減小，且0≤sinα≤1；
余弦值隨著角度的增大而減小，且﹣1≤csα≤0；
正切值隨著角度的增大而增大，tanα＜0．
10．解三角形
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．
4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．
7．關(guān)于三角形面積問題
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r?s，（ r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）
在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表：
11．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法
建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0，0），對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）→平面向量．
2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系外，還要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；
（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．
3、復(fù)數(shù)中的解題策略：
（1）證明復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的策略：
①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?＝z．
（2）證明復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的策略：
①z＝a+bi為純虛數(shù)?a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0時(shí)，z﹣＝2bi為純虛數(shù)；③z是純虛數(shù)?z+＝0且z≠0．
12．復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則
13．共軛復(fù)數(shù)
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
實(shí)部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)，叫做互為共軛復(fù)數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復(fù)數(shù)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來表示即：復(fù)數(shù)Z＝a+bi的共軛復(fù)數(shù)＝a﹣bi．
【解題方法點(diǎn)撥】
共軛復(fù)數(shù)的常見公式有：
；；；
【命題方向】
共軛復(fù)數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，要求能夠掌握共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，并能將復(fù)數(shù)的共軛加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算進(jìn)行推廣．運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算解決一些簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)問題，提高數(shù)學(xué)符號(hào)變換的能力，培優(yōu)學(xué)生類比推廣思想，從特殊到一般的方法和探究方法．
14．復(fù)數(shù)的模
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a+bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．
2、復(fù)數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、復(fù)數(shù)的模：的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
15．棱柱的結(jié)構(gòu)特征
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．認(rèn)識(shí)棱柱
底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．
側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．
側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．
頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．
高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．
3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征
根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：
（1）側(cè)面都是平行四邊形
（2）兩底面是全等多邊形
（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形
（4）長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和．
4．棱柱的分類
（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．
5．棱柱的體積公式
設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，
V棱柱＝S×h．
16．棱錐的結(jié)構(gòu)特征
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐．用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．認(rèn)識(shí)棱錐
棱錐的側(cè)面：棱錐中除底面外的各個(gè)面都叫做棱錐的側(cè)面．
棱錐的側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱．
棱錐的頂點(diǎn)；棱錐中各個(gè)側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)．
棱錐的高：棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高．
棱錐的對(duì)角面；棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對(duì)角面．
3．棱錐的結(jié)構(gòu)特征
根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可知棱錐具有以下性質(zhì)：
平行于底面的截面和底面相似，且它們的面積比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比．
4．棱錐的分類
棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形…我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐…
正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐．正棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形．
5．棱錐的體積公式
設(shè)棱錐的底面積為S，高為h，
V棱錐＝Sh．
17．棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．棱臺(tái)：棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái)．
2．認(rèn)識(shí)棱臺(tái)
棱臺(tái)的上底面：原棱錐的截面叫做棱臺(tái)的上底面．
棱臺(tái)的下底面：原棱錐的底面叫做棱臺(tái)的下底面．
棱臺(tái)的側(cè)面：棱臺(tái)中除上、下底面外的所有面叫做棱臺(tái)的側(cè)面．
棱臺(tái)的側(cè)棱：相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱．
棱臺(tái)的高：當(dāng)棱臺(tái)的底面水平放置時(shí)，鉛垂線與兩底面交點(diǎn)間的線段或距離叫做棱臺(tái)的高．
棱臺(tái)的斜高：棱臺(tái)的各個(gè)側(cè)面的高叫做棱臺(tái)的斜高．
3．棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征
正棱臺(tái)的性質(zhì)：
（1）側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形；兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面相應(yīng)的半徑也組成一個(gè)直角梯形．
（3）棱臺(tái)各棱的反向延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)．
4．棱臺(tái)的分類
由三棱錐，四棱錐，五棱錐，…等截得的棱臺(tái)，分別叫做三棱臺(tái)，四棱臺(tái)，五棱臺(tái)，…等．
正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．
5．棱臺(tái)的體積公式
設(shè)棱臺(tái)上底面面積為S，下底面面積為S′，高為h，
V棱臺(tái)＝．
18．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線
叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．
1．圓柱
①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．
圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．
②認(rèn)識(shí)圓柱
③圓柱的特征及性質(zhì)
圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．
④圓柱的體積和表面積公式
設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h：
2．圓錐
①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．
圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．
②認(rèn)識(shí)圓錐
③圓錐的特征及性質(zhì)
與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，兩個(gè)腰都是母線．
母線長(zhǎng)l與底面半徑r和高h(yuǎn)的關(guān)系：l2＝h2+r2
④圓錐的體積和表面積公式
設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l：
3．圓臺(tái)
①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺(tái)．
圓臺(tái)用軸字母表示，如下圖圓臺(tái)可表示為圓臺(tái)OO′．
②認(rèn)識(shí)圓臺(tái)
③圓臺(tái)的特征及性質(zhì)
平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．
④圓臺(tái)的體積和表面積公式
設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長(zhǎng)為l：
．
19．球的體積和表面積
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．球體：在空間中，到定點(diǎn)的距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合稱為球體，簡(jiǎn)稱球．其中到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合為球面．
2．球體的體積公式
設(shè)球體的半徑為R，
V球體＝
3．球體的表面積公式
設(shè)球體的半徑為R，
S球體＝4πR2．
【命題方向】
考查球體的體積和表面積公式的運(yùn)用，常見結(jié)合其他空間幾何體進(jìn)行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵．
20．平面的基本性質(zhì)及推論
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
平面的基本性質(zhì)及推論：
1．公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．
2．公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
①推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
②推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．
③推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．
3．公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．公理1是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)．
2．公理2及推論是確定平面的依據(jù)．
3．公理3是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)．
21．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/3/9 0:29:41；用戶：初中數(shù)學(xué)；郵箱：szjmjy@xyh.cm；學(xué)號(hào)：29841565定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
變形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形




關(guān)系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的個(gè)數(shù)
一解
兩解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
變形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
名稱
公式
變形
內(nèi)角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R為△ABC的外接圓半徑
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面積公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
位置關(guān)系
公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
符號(hào)表示
圖示
直線在平面內(nèi)
有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
a?α

直線和平面相交
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
a∩α＝A

直線和平面平行
無
a∥α

相關(guān)試卷

2022-2023學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷：

這是一份2022-2023學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷，共45頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2021-2022學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷：

這是一份2021-2022學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷，共24頁(yè)。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2023-2024學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案，共16頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，單空題，問答題，解答題，作圖題，應(yīng)用題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷
2022-2023學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析

2022-2023學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析
2022-2023學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析

2022-2023學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析
廣東省深圳市深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

廣東省深圳市深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部