2022-2023學年廣東省深圳重點學校高一（下）期中數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  已知向量，，若，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 2.  復數(shù)，則的虛部是(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知單位向量，滿足，則，(    )A.  B.  C.  D. 4.  從正方體的個頂點上任取個頂點，則這個頂點構成的幾何圖形不可能是(    )A. 三個面是直角三角形的正三棱錐 B. 有一個面是鈍角三角形的四面體
C. 每個面都是等邊三角形的四面體 D. 每個面都是直角三角形的四面體5.  在中，已知，則一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  在中，，若三角形有兩解，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 7.  過的重心的直線分別交線段、于點、，若，則的最小值為(    )A.  B.  C.  D. 8.  在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.  設，，為平面內任意三個非零向量，下列結論正確的是(    )A. 的充要條件是
B. 的充要條件是
C. 若，，則
D. 若，則10.  已知復數(shù)，下列結論正確的是(    )A. 的充要條件是 B. 是純虛數(shù)的充要條件是
C. 若，則 D. 若，則是純虛數(shù)11.  在正四面體中，若，為的中點，下列結論正確的是(    )A. 正四面體的體積為
B. 正四面體外接球的表面積為
C. 如果點在線段上，則的最小值為
D. 正四面體內接一個圓柱，使圓柱下底面在底面上，上底圓面與面、面、面均只有一個公共點，則圓柱的側面積的最大值為12.  在中，角，，所對的邊分別為，，，，是的外接圓圓心，下列結論正確的是(    )A. 的最大值是
B. 的取值范圍是
C. 若，則是等腰三角形
D. 的最大值是三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  若，為單位向量，且，則在方向上的投影向量為______ ．14.  在復數(shù)范圍內方程的兩根為，，則 ______ ．15.  若為的重心，，則的最小值為______．16.  水平桌面上放置了個半徑為的小球，它們兩兩相切，并均與桌面相切若用一個半球形容器容器厚度忽略不計罩住三個小球，則半球形容器的半徑的最小值是______ ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
已知，，為坐標原點．
若與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍；
當時，求的取值范圍．18.  本小題分
已知半圓圓心為點，直徑，為半圓弧上靠近點的三等分點，若為半徑上的動點，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示．
若，求與夾角的大??；
試求點的坐標，使取得最小值，并求此最小值．
19.  本小題分
如圖，在中，，，且點在線段上．
若，求的長；
若，，求的面積．
20.  本小題分
已知正四棱錐的側棱長為和底面邊長為．
求正四棱錐的體積和表面積；
若點，，分別在側棱，，上，且，求三棱錐的體積．21.  本小題分
正六棱臺玻璃容器的兩底面棱長分別為，，高為，如圖水平放置，盛有水深為．
求玻璃容器的體積；
將一根長度為的攪棒置入玻璃容器中，的一端置于點處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度．容器厚度，攪棒粗細均忽略不計
22.  本小題分
如圖，某景區(qū)是一個以為圓心，半徑為的圓形區(qū)域，道路，成角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道，點，分別在和上，修建的木棧道與道路，圍成三角地塊注：圓的切線長性質：圓外一點引圓的兩條切線長相等．
若的面積，求木棧道長；
如圖，若景區(qū)中心與木棧道段連線的，求木棧道的最小值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：向量，，，
，
解得．
故選：．
利用向量垂直的性質求解．
本題考查向量垂直的條件，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量垂直的性質的合理運用．
 2.【答案】 【解析】解：，
，
故，
則，其虛部為．
故選：．
根據已知條件，結合復數(shù)的四則運算，以及共軛復數(shù)、虛部的定義，即可求解．
本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及共軛復數(shù)、虛部的定義，屬于基礎題．
 3.【答案】 【解析】解：單位向量，滿足，
則，即，解得，
，
，
故，．
故選：．
根據已知條件，結合平面向量的數(shù)量積運算，以及平面向量的夾角公式，即可求解．
本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，以及平面向量的夾角公式，屬于基礎題．
 4.【答案】 【解析】解：根據題意，如圖，正方體中，
對于，四面體就是三個面是直角三角形的正三棱錐，A正確；
對于，四面體就是每個面都是等邊三角形的四面體，C正確；
對于，四面體就是每個面都是直角三角形的四面體，D正確；
對于，先選取其中一點，與其余的個點中的任意個都不會構成鈍角三角形，則不可能構成有一個面是鈍角三角形的四面體，B錯誤；
故選：．
根據題意，正方體中，舉出例子可以說明ACD正確，對于，先選取其中一點，與其余的個點中的任意個都不會構成鈍角三角形，由此可得B錯誤，即可得答案．
本題考查正方體、四面體的幾何結構，涉及直線與平面垂直的判定，屬于基礎題．
 5.【答案】 【解析】解：因為，
所以，
所以，
由正弦定理得：，
由余弦定理得，
又，
所以．
故選：．
由二倍角的余弦公式化簡已知表達式，并結合余弦定理可求出的值，結合的范圍可求的值，即可得解．
本題主要考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．
 6.【答案】 【解析】解：當時，三角形有兩組解，
又，，，如果三角形有兩組解，
那么應滿足，
即；
的取值范圍是．
故選：．
有兩組解，利用正弦定理得，代入數(shù)據，求出的范圍．
本題考查了三角形的應用與正弦定理的應用問題，屬基礎題．
 7.【答案】 【解析】解：設直線與交于，因為直線過重心，又，
而，，三點共線，所以，
所以，可得，
所以，
因為，，所以，
由均值不等式可得，
所以的最小值為．
故選：．
由為重心，且，，三點共線，可得用，的線性表示，再由題意可得用，的線性表示，可得，的關系，由““的活用及均值不等式可得的最小值．
本題考查重心的性質及向量的基本定理的應用，均值不等式的應用，屬于中檔題．
 8.【答案】 【解析】解：因為，
所以，
則，
則，
則或，
則或舍，
由正弦定理可得
，
又因為是銳角三角形，
所以，解得，
則，
則，即．
故選：．
先根據已知條件化簡可得，再將化為，結合為銳角三角形，可得的范圍，進而得解．
本題考查三角恒等變換，解三角形與三角函數(shù)的性質，考查運算求解能力，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：，當且僅當與同向時成立，而與方向相同或相反都有，因此不是充要條件，A錯誤；
因為和均為非零向量，所以當時，必有，則必有，B正確；
因為和均為非零向量，所以當，時，有和方向相同或相反，和方向相同或相反，故與同向或反向，C正確；
由可得，，則可得或，故D錯誤．
綜上，BC正確．
故選：．
根據平面向量的平行與垂直的性質即可判定．
本題考查了平面向量的平行、垂直的性質，屬基礎題．
 10.【答案】 【解析】解：對于，若，則，，是充分條件，反之也成立，故A正確；
對于，若是純虛數(shù)，則且，則，是充分條件，
反之，若，則，當時，不是純虛數(shù)，故不是必要條件，故B錯誤；
對于，若，則，
則，則，，故C正確；
對于，若，則，則，則，故D錯誤．
故選：．
根據充分必要條件判斷，根據充分必要條件以及特殊值法判斷，根據定義得方程組判斷．
本題考查了復數(shù)，充分必要條件問題，考查轉化思想，是基礎題．
 11.【答案】 【解析】解：由正四面體各棱都相等，即各面都為正三角形，
故棱長為，如下圖示，

為底面中心，則，，共線，為體高，
故，
所以，
故正四面體的體積為，A錯誤；
由題設，外接球球心在上，且半徑，
所以，則，
故外接球的表面積為，B正確；
由題意知：將面與面沿翻折，使它們在同一個平面，如下圖示，

所以且，，
又，
而，
要使最小，只需，，共線，
則，
所以，C正確；
如下圖，棱錐中一個平行于底面的截面所成正三角形的內切圓為正四面體內接一個圓柱的上底面，

若截面所成正三角形邊長為，
則圓柱體的高，圓柱底面半徑為，
所以其側面積，
故當時，，D正確．
故選：．
由正四棱錐的結構特征，應用棱錐的體積公式求體積，并確定外接球的半徑求表面積，展開側面，要使最小，只需，，共線，結合余弦定理求其最小值，根據正四面體內接一個圓柱底面圓與其中截面正三角形關系求半徑、體高，應用二次函數(shù)性質求側面積最大值．
本題考查立體幾何知識的綜合運用，考查空間想象能力與運算求解能力，屬于中檔題．
 12.【答案】 【解析】解：設的外接圓半徑為，
則根據正弦定理可得，
如下圖，過作于，

由，則，
所以，僅當時等號成立，A正確；
由題意，，則，B錯誤；
若，，為，，中點，由，故C，，共線，
又，所以且，故CE為中垂線，
所以是等腰三角形，C正確；
由

，又，
則上式，
所以原式，
由，故時最大值為，D正確．
故選：．
由余弦定理、基本不等式可得，進而求最大值，注意取值條件，由已知條件和構成三角形條件有求范圍，若，，為，，中點，由外心的性質、向量線性關系可得且，即得三角形形狀，將化為，根據對應線段位置關系、長度及正弦邊角關系、三角恒等變換、正弦函數(shù)性質求最值．
本題考查向量與解三角形的綜合問題，三角形外接圓的性質，余弦定理與正弦定理的應用，化歸轉化思想，屬中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：，，
，
，
在方向上的投影向量為．
故答案為：．
對兩邊平方，求出，再利用投影向量的定義求解．
本題主要考查了投影向量的定義，屬于基礎題．
 14.【答案】 【解析】解：復數(shù)范圍內方程的兩根為，，
，、，
故、中一個等于，另一個等于，
則．
故答案為：．
由題意，利用當判別式小于零時，利用根公式求得、，再根據復數(shù)的模的定義與求法，
本題主要考查當判別式小于零時，求根公式的應用，復數(shù)的模的定義與求法，屬于基礎題．
 15.【答案】 【解析】解：如圖：令，且它們的模長分別為，，夾角為，
則，同理，
所以，，，
故，
因為，所以，當且僅當時取等號，故式，
即的最小值為．
故答案為：．
令，且它們的模長分別為，，夾角為，以此為基底向量，表示出的值，然后借助于基本不等式求解．
本題考查數(shù)量積的運算以及基本不等式求最值，屬于中檔題．
 16.【答案】 【解析】解：如圖所示，設個球心分別為，，，個球分別與水平桌面相切于，，三點，
假設半球形的容器與球相切于點，此時半球形容器內壁的半徑最小，
記最小半徑設為，易知是邊長為的正三角形，
記中點為，半球形容器的球心為的中心，
則．
則．
故答案為：．
以個小球球心和與桌面的切點為頂點作三棱柱，結合圖形分析可解．
本題考查內切球問題，化歸轉化思想，屬中檔題．
 17.【答案】解：根據題意，，，
則，，
若與的夾角為鈍角，
則有，且，
解得且，即的取值范圍為；
根據題意，，
則，
所以，
又，則，
即的取值范圍是 【解析】本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量模的計算，屬于基礎題．
根據題意，求出與的坐標，由向量數(shù)量積的運算性質可得關于的不等式，然后求出的范圍；
根據題意，求出的坐標，得到的表達式，結合二次函數(shù)的性質，求出取值范圍．
 18.【答案】解：因為半圓的直徑，由題易知：又、
又，，則，則．
所以，，所以．
設與夾角為，則，
又因為，
所以，
即與的夾角為．
設，
由知，，
則，，
所以，
又因為，
所以當時，有最小值為，
此時點的坐標為． 【解析】由平面向量數(shù)量積運算，結合平面向量的夾角公式求解即可；
設點的坐標，再結合平面向量數(shù)量積運算即可．
本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了向量的坐標運算，屬中檔題．
 19.【答案】解：由，可得，
所以或舍去，所以，
因為，所以，
在中，由正弦定理可得
解得．
由，得，，
因為，，所以，
由余弦定理，
可得，解得或舍去，
所以，
所以． 【解析】由，可得，求出，，再利用正弦定理求得．
由和三角形的面積公式求出，再利用余弦定理可得，再求面積即可．
本題考查了正余弦定理的應用，三角形的面積公式，屬于中檔題．
 20.【答案】解：根據題意可知四邊形為正方形，
設為底面中心，則為該錐體的高，
又易知，，，
正四棱錐的體積為，
又側面等腰三角形的高為，
正四棱錐的表面積為；
，，
，
，
，，
即． 【解析】根據錐體的體積公式，表面積公式，計算即可求解；
根據題意，化歸轉化，即可求解．
本題考查正四棱錐的體積與表面積的求解，三棱錐的體積的求解，化歸轉化思想，屬中檔題．
 21.【答案】解：由題意可知，下底面面積為，
上底面的面積，又臺體的高為，
所以正六棱臺的體積
設攪棒在上的點為，則，攪棒與水面的交點為，在平面中，過點作，交于點，過點作，交于點，
為正六棱臺，，，，

為等腰梯形，畫出平面的平面圖，
，，，，
，
由勾股定理得：，
，，，
根據正弦定理得：，，
，
，
．
攪棒沒入水中部分的長度為． 【解析】求解下底面面積，上底面的面積，結合臺體的高，求解正六棱臺的體積．
設攪棒在上的點為，攪棒與水面的交點為，在平面中，過點作，交于點，過點作，交于點，畫出平面的平面圖，求解，，結合正弦定理求解，，然后轉化求解即可．
本題考查棱臺的體積的求法，空間點、線、面距離的求法，正弦定理的應用，考查空間想象能力，轉化思想以及計算能力，是中檔題．
 22.【答案】解：在中，因為的面積，所以，
則解得，
所以，
則，所以，
兩邊平方得，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，
由求解得；
設圓與，分別切于，，
則，，，
則≌，≌，
則，，
由，可得，
由，
可得，則，
則；
；；

，
當且僅當時等號成，則的最小值． 【解析】由已知可得，，進而由余弦定理可得，可求；
設圓與，分別切于，，由已知可得，利用，可求木棧道的最小值．
本題考查解三角形在生活中的應用，考查余弦定理，考查運算求解能力，考查三角恒等變換，屬中檔題．
 

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