1．（5分）6本不同的書在書桌上擺成一排，要求甲，乙兩本書必須放在兩端，丙、丁兩本書必須相鄰，則不同的擺放方法有 種．
A．24B．36C．48D．60
2．（5分）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則
A．（2）B．（6）C．（3）D．（3）
3．（5分）某科技研發(fā)公司2021年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎上，計劃每年投入的研發(fā)資金比前一年增加，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是
（參考數(shù)據(jù)：，，，．
A．2027年B．2028年C．2029年D．2030年
4．（5分）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有
A．120種B．90種C．60種D．30種
5．（5分）數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前10項和為
A．48B．49C．50D．51
6．（5分）已知函數(shù)（1），則（2）（2）
A．B．12C．D．26
7．（5分）已知等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，是的前項和，則等于
A．B．C．10D．0
8．（5分）已知函數(shù)，，若恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）
9．（5分）已知函數(shù)的極值點為，則
A．B．
C．，D．
10．（5分）數(shù)列的首項為1，且，是數(shù)列的前項和，則下列結論正確的是
A．B．數(shù)列是等比數(shù)列
C．D．
11．（5分）下列說法正確的是
A．的展開式中，的系數(shù)為30
B．將標號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有36種
C．已知，則
D．記，則
12．（5分）關于函數(shù)，下列判斷正確的是
A．是的極大值點
B．函數(shù)有且只有1個零點
C．存在正實數(shù)，使得成立
D．對兩個不相等的正實數(shù)，，若，則
三、填空題（本大題共4小題，共10.0分）
13．（5分）在如圖所示的三角形邊上的9個點中任取3個，可構成三角形的個數(shù)是 ．
14．（5分）若函數(shù)對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
15．（5分）已知數(shù)列的前項和為，且，則使不等式成立的的最大值為
A．8B．9C．10D．11
16．（5分）已知，，其中是關于的多項式，則 ；若，則除以81的余數(shù)為 ．
四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（10分）已知，計算：
（1）展開式二項式系數(shù)之和；
（2）展開式各項系數(shù)之和；
（3）；
（4）．
18．（12分）有四個編有1、2、3、4的四個不同的盒子，有編有1、2、3、4的四個不同的小球，現(xiàn)把小球放入盒子里．
①小球全部放入盒子中有多少種不同的放法；
②恰有一個盒子沒放球有多少種不同的放法；
③恰有兩個盒子沒放球有多少種不同的放法．
19．（10分）已知數(shù)列的前項和為，，現(xiàn)有如下三個條件分別為：條件①；條件②；條件③；請從上述三個條件中選擇能夠確定一個數(shù)列的兩個條件，并完成解答．
您選擇的條件是___和___．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
20．（12分）已知函數(shù)．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）求在，上的最小值和最大值．
21．（12分）已知正項數(shù)列的前項和為，，，．
（1）求的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和．
22．（12分）已知函數(shù)，．
（1）若函數(shù)在處存在極值，求的值，并求出此時函數(shù)在處的切線方程；
（2）當時，若函數(shù)有兩個極值點，，且不等式恒成立，試求實數(shù)的取值范圍．
2022-2023學年廣東省深圳市寶安區(qū)第一外國語學校高二（下）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一個選項）
1．（5分）6本不同的書在書桌上擺成一排，要求甲，乙兩本書必須放在兩端，丙、丁兩本書必須相鄰，則不同的擺放方法有 種．
A．24B．36C．48D．60
【分析】根據(jù)題意，分3步進行分析：①，將甲、乙兩本書必須放在兩端，②，將丙、丁兩本書看成一個整體，③，將丙丁這個整體與另外2本書全排列，安排在中間的3個位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分3步進行分析：
①，將甲、乙兩本書必須放在兩端，有種情況，
②，將丙、丁兩本書看成一個整體，考慮2本書的順序有種順序，
③，將丙丁這個整體與另外2本書全排列，安排在中間的3個位置，有種情況，
則有種不同的擺放方法；
故選：．
【點評】本題考查排列、組合的應用，注意優(yōu)先滿足受到限制的元素．
2．（5分）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則
A．（2）B．（6）C．（3）D．（3）
【答案】
【分析】由的圖象可得的單調性，進而得到單調區(qū)間內導數(shù)的符號．
【解答】解：由圖象可得在，單調遞減，在單調遞增，
可得（2），（3），（6）．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)的圖象的運用，以及函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，考查數(shù)形結合思想和推理能力，屬于基礎題．
3．（5分）某科技研發(fā)公司2021年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎上，計劃每年投入的研發(fā)資金比前一年增加，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是
（參考數(shù)據(jù)：，，，．
A．2027年B．2028年C．2029年D．2030年
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件，可推得，再結合對數(shù)函數(shù)的公式，即可求解．
【解答】解：設從2021年后，第年該公司全年投入的研發(fā)資金為萬元，
則，
由題意可得，，即，
故，則，
故該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是2029年．
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應用，掌握對數(shù)函數(shù)的公式是解本題的關鍵，屬于基礎題．
4．（5分）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有
A．120種B．90種C．60種D．30種
【答案】
【分析】讓場館去挑人，甲場館從6人中挑一人有：種結果；乙場館從余下的5人中挑2人有：種結果；余下的3人去丙場館；相乘即可求解結論．
【解答】解：因為每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，
甲場館從6人中挑一人有：種結果；
乙場館從余下的5人中挑2人有：種結果；
余下的3人去丙場館；
故共有：種安排方法；
故選：．
【點評】本題考查排列組合知識的應用，考查運算求解能力，是基礎題．
5．（5分）數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前10項和為
A．48B．49C．50D．51
【答案】
【分析】通過數(shù)列的遞推關系式，求解數(shù)列的和即可．
【解答】解：數(shù)列滿足，，，奇數(shù)項是等差數(shù)列，公差為2，偶數(shù)項是等比數(shù)列，公比為2，
所以數(shù)列的前10項和為：．
故選：．
【點評】本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，數(shù)列求和，是基礎題．
6．（5分）已知函數(shù)（1），則（2）（2）
A．B．12C．D．26
【答案】
【分析】先求出函數(shù)的導函數(shù)，進而求出（1），進而求解結論．
【解答】解：函數(shù)（1），
（1），
（1）（1），
（1），
，，
（2）（2）．
故選：．
【點評】本題主要考查導數(shù)知識的應用，考查計算能力，屬于基礎題．
7．（5分）已知等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，是的前項和，則等于
A．B．C．10D．0
【答案】
【分析】由，，成等比數(shù)列，可得，再利用等差數(shù)列的通項公式及其前項和公式即可得出．
【解答】解：，，成等比數(shù)列，，
，
化為，
解得．
則，
故選：．
【點評】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
8．（5分）已知函數(shù)，，若恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先作出函數(shù)的圖象，然后求解當時，與相切時的值，再將問題轉化為函數(shù)與有三個交點，由圖象分析即可得到答案．
【解答】解：函數(shù)的圖象如圖所示，
當時，，
當直線與相切時，設切點為，
又，則有，解得，
所以，
故切點為，此時，
因為恰有3個零點，
故直線與的圖象有三個交點，
由圖象可知，的取值范圍為．
故選：．
【點評】本題考查了函數(shù)的零點與方程根的關系，涉及了利用導數(shù)研究曲線的切線、分段函數(shù)圖象的作法，此類問題一般都是將函數(shù)零點轉化為兩個函數(shù)圖象的交點進行研究，屬于中檔題．
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）
9．（5分）已知函數(shù)的極值點為，則
A．B．
C．，D．
【答案】
【分析】求導可得，解，根據(jù)函數(shù)的單調性，即可得出極小值點，進而代入求出，即可得出答案．
【解答】解：對于項，由已知可得，，
令，則，
當時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增，
所以，在時，有極小值，且，故項正確；
對于項，由知，故項錯誤；
對于項，因為，，
所以，所以，即，故項錯誤；
對于項，由知，故項正確．
故選：．
【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，化歸轉化思想，屬中檔題．
10．（5分）數(shù)列的首項為1，且，是數(shù)列的前項和，則下列結論正確的是
A．B．數(shù)列是等比數(shù)列
C．D．
【答案】
【分析】由數(shù)列的遞推公式，整理可得是等比數(shù)列，公比為2，求出的通項公式，進而求出的通項公式，及前項和的表達式，可判斷，，，的真假．
【解答】解：因為，設，可得，可得，
所以是等比數(shù)列，公比為2，所以正確；
又因為，，所以，
所以，所以不正確；
所以，所以正確；
中，，所以不正確；
故選：．
【點評】本題考查由遞推公式求通項公式及前項和的代數(shù)式，屬于中檔題．
11．（5分）下列說法正確的是
A．的展開式中，的系數(shù)為30
B．將標號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有36種
C．已知，則
D．記，則
【答案】
【分析】對于，結合二項式定理，即可求解，
對于，先放1，2的卡片有種，再將3，4，5，6的卡片平均分成兩組再放置有種，再結合分步乘法計數(shù)原理，即可求解，
對于，結合組合數(shù)和排列數(shù)的公式，即可求解．
【解答】解：對于，，
其展開式的通項公式為，
令，得的通項公式為，
再令，解得，
故的展開式中，的系數(shù)為30，故正確，
對于，先放1，2的卡片有種，再將3，4，5，6的卡片平均分成兩組再放置有種，
故共有種，故錯誤，
對于，，
，解得，故正確，
對于，令得，，，
展開式通項為，令，
則，
，故正確．
故選：．
【點評】本題主要考查二項式定理的應用，考查轉化能力，屬于中檔題．
12．（5分）關于函數(shù)，下列判斷正確的是
A．是的極大值點
B．函數(shù)有且只有1個零點
C．存在正實數(shù)，使得成立
D．對兩個不相等的正實數(shù)，，若，則
【答案】
【分析】對求導，分析的正負，得的單調性，極值，即可判斷是否正確；對，求導，分析單調性，極值，即可判斷是否正確；若，得，令，只需小于的最小值，即可判斷是否正確；令，求導分析單調性，進而得，令，由，則，當時，成立，結合單調性即可判斷是否正確．
【解答】解：對于：函數(shù)的定義域為，
函數(shù)的導數(shù)，
所以在上，，單調性遞減，
在上，，單調遞增，
所以是的極小值點，即不正確；
對于，
所以，
函數(shù)在上單調遞減，且（1），
（2），
所以函數(shù)有且僅有1個零點，故正確；
對于：若，可得，令，
則，
令，
則，
所以在上，函數(shù)單調遞增，
在上，函數(shù)單調遞減，
所以（1），
所以，
所以在上單調遞減，函數(shù)無最小值，
所以不存在正實數(shù)，使得恒成立，即不正確；
對于：令，則，，
令
，
則，
所以在上單調遞減，
則，
令，由，得，
則，
當時，成立，
對任意兩個正實數(shù)，，且，若，
則，所以（4），故正確．
故選：．
【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用，解題中注意轉化思想的應用，屬于中檔題，屬于中檔題．
三、填空題（本大題共4小題，共10.0分）
13．（5分）在如圖所示的三角形邊上的9個點中任取3個，可構成三角形的個數(shù)是 69 ．
【答案】69．
【分析】先求出從9個點中任取3個的全部組合數(shù)為，然后減去三角形三個邊上三點共線的組合數(shù)，即可得出答案．
【解答】解：從9個點中任取3個的全部組合數(shù)為，
三角形三個邊上三點共線的組合數(shù)為，
所以能構成三角形的個數(shù)為．
故答案為：69．
【點評】本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎題．
14．（5分）若函數(shù)對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是 ， ．
【答案】，．
【分析】求出函數(shù)的定義域和，判斷函數(shù)的單調性求出最小值，再結合條件求出實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：由已知得定義域為，．
當時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增，
所以在處取得極小值，也是最小值，
所以（1）．
因為對任意的，都有成立，
所以對任意的，都有成立，
所以（1），
所以實數(shù)的取值范圍為，．
故答案為：，．
【點評】本題考查利用導數(shù)研究不等式的恒成立問題，考查運算求解能力，屬于中檔題．
15．（5分）已知數(shù)列的前項和為，且，則使不等式成立的的最大值為
A．8B．9C．10D．11
【答案】
【分析】由與的關系求出，然后求出，最后解不等式即可．
【解答】解：當時，，又，；
當時，，①
，②
①②得：，
即，
，
數(shù)列是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列．
．
．
，
，
又，
．
故選：．
【點評】本題考查數(shù)列的通項公式和前項和的求法，還考查了計算能力，屬于中檔題．
16．（5分）已知，，其中是關于的多項式，則 18 ；若，則除以81的余數(shù)為 ．
【答案】18；32．
【分析】利用二項式定理展開式，即可解出．
【解答】解：
，
，
所以，，
即．
若，即，則，
所以，
故所求的余數(shù)為32．
故答案為：18；32．
【點評】本題考查了二項式定理的展開式，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題．
四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（10分）已知，計算：
（1）展開式二項式系數(shù)之和；
（2）展開式各項系數(shù)之和；
（3）；
（4）．
【答案】（1）256；
（2）；
（3）256；
（4）．
【分析】根據(jù)已知條件，結合二項式定理，以及賦值法，即可求解．
【解答】解：（1）展開式二項式系數(shù)之和為；
（2），
令，
則展開式各項系數(shù)之和為；
（3），
令，
則；
（4），
令，，
令，，
故．
【點評】本題主要考查二項式定理，考查轉化能力，屬于基礎題．
18．（12分）有四個編有1、2、3、4的四個不同的盒子，有編有1、2、3、4的四個不同的小球，現(xiàn)把小球放入盒子里．
①小球全部放入盒子中有多少種不同的放法；
②恰有一個盒子沒放球有多少種不同的放法；
③恰有兩個盒子沒放球有多少種不同的放法．
【答案】
【分析】①由排列、組合及簡單計數(shù)問題得：小球全部放入盒子中有種不同的放法；
②由排列、組合及簡單計數(shù)問題及平均分組得：恰有一個盒子沒放球有種不同的放法；
③由排列、組合及簡單計數(shù)問題及平均分組得：恰有兩個盒子沒放球有種不同的放法．
【解答】解：①小球全部放入盒子中有種不同的放法，
②恰有一個盒子沒放球有種不同的放法，
③恰有兩個盒子沒放球有種不同的放法，
故答案為：①256 ②144 ③84
【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，屬中檔題．
19．（10分）已知數(shù)列的前項和為，，現(xiàn)有如下三個條件分別為：條件①；條件②；條件③；請從上述三個條件中選擇能夠確定一個數(shù)列的兩個條件，并完成解答．
您選擇的條件是___和___．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）若選①②時，由可得數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，再由求出，從而可求出通項公式，或由可求出通項公式，若②③時，由可得數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，再由求出，從而可求出通項公式，若選①③無法確定數(shù)列；
（2）由（1）可得，然后利用裂項相消求和法可求得．
【解答】解：（1）若選①②時：
解法1：由
可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，
又，，
解得，
故，即；
解法，數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，
又，，
，
即；
若選②③時：
，數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，
又，，，，
故，即；
若選①③這兩個條件時，無法確定數(shù)列；
（2），
，
．
【點評】本題考查等差數(shù)列定義及通項公式，方程思想，裂項法求和，屬中檔題．
20．（12分）已知函數(shù)．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）求在，上的最小值和最大值．
【答案】（1）；
（2）最小值，最大值1．
【分析】（1）對原函數(shù)求導數(shù)，求出時的函數(shù)值、導數(shù)值，利用點斜式求出切線方程；
（2）求出在，上的極值，再求出（1），（2），即可得到在，上的最大值、最小值．
【解答】解：（1）因為，，
故（2），（2），
故切線方程為：，即；
（2）由（1）知，
易知，時，，單調遞減，，，單調遞增，
故，又（1），（2），故（2）．
【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值的方法，屬于中檔題．
21．（12分）已知正項數(shù)列的前項和為，，，．
（1）求的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關系式的應用求出數(shù)列的通項公式；
（2）利用（1）的結論和裂項相消法求出數(shù)列的和．
【解答】解：（1）由題知：，
兩式相減得：；
所以
所以；所以，
又因為，
所以
因為，
所以適合
所以．
（2）由（1）得：①；
所以②，
①②得：，
所以，
又由①式得，適合上式
所以，
所以，
所以，
．
【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，數(shù)列的求和，裂項相消法在數(shù)列求和中的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于中檔題．
22．（12分）已知函數(shù)，．
（1）若函數(shù)在處存在極值，求的值，并求出此時函數(shù)在處的切線方程；
（2）當時，若函數(shù)有兩個極值點，，且不等式恒成立，試求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）根據(jù)在處有極值，得（e）求出的值，再結合導數(shù)的幾何意義求出切線方程；
（2）根據(jù)的兩根為，，結合韋達定理得到與的關系，進而得，再將不等式分離參數(shù)得到關于得函數(shù)，再構造函數(shù)利用導數(shù)研究其最值解決問題．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域為，
所以，
函數(shù)在處存在極值，則（e），故，
，則（1），（1），
故所求切線方程為，
即；
（2）由已知，
，
令，結合有兩個極值點，，
得有兩個不等實數(shù)根，，
所以△，且，，
從而，
由不等式恒成立，得恒成立，
又，
令，
所以，當時恒成立，
所以函數(shù)在上單調遞減，所以，
故實數(shù)的取值范圍是，．
【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值的方法和性質，并考查了不等式恒成立問題的解題思路，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/3/18 0:18:02；用戶：初中數(shù)學；郵箱：szjmjy@xyh.cm；學號：29841565

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