帶有三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題，處理方法與指數(shù)、對數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)有類似的地方，也有不同之處.在研究帶三角部分的函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性時(shí)，除了常規(guī)的那些方法之外，還要適時(shí)運(yùn)用下面的幾個(gè)技巧：
1.和的有界性：例如當(dāng)時(shí)，x，，這些部分都會(huì)不斷增大，趨于，而，則始終在內(nèi)震蕩，利用這一特征，我們可以抓住函數(shù)的各個(gè)部分之中影響函數(shù)值的主要部分，放縮掉次要部分，進(jìn)而分區(qū)間進(jìn)行討論.這是三角類導(dǎo)數(shù)題相比其它導(dǎo)數(shù)題最主要的獨(dú)特特征.
2．取點(diǎn)技巧：在論證函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，往往需要取點(diǎn)，而三角函數(shù)的取點(diǎn)，很多時(shí)候可以考慮取一些特殊的角，如、、等.
3．三角不等式：，熟悉這一不等式及其圖形背景，解決問題時(shí)可用于適度放縮.
典型例題
【例1】已知函數(shù)，
（1）求和的最小值；
（2）證明：
【解析】解：（1）由題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上的最小值為，又當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，另一方面，，所以在上單調(diào)遞增．故.
（2）要證，只需證，即證，
設(shè)，
則，由（1）知當(dāng)時(shí)，，所以，而，
所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，結(jié)合知，
所以，故不等式成立.
【例2】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).
（1）證明：在上存在唯一的零點(diǎn)；
（2）判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明.
【解析】解法1：（1）由題意，的定義域?yàn)椋?br>，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
又，，所以在上存在唯一的零點(diǎn).
（2）設(shè)在上的零點(diǎn)為，
由（1）可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，因?yàn)?，所以，故，而，所以，又，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
另一方面，當(dāng)時(shí)，，所以在上沒有零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，易證,，所以，
而，，所以，故在上沒有零點(diǎn)，
綜上所述，在定義域上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
解法2：（1）由題意，的定義域?yàn)?，，，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
又，，所以在上存在唯一的零點(diǎn).
（2）設(shè)在上的零點(diǎn)為，
由（1）可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，易證，
所以，從而恒成立，故在上沒有零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，
結(jié)合知，所以，故在上沒有零點(diǎn)，綜上所述，在定義域上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
【例3】已知函數(shù)，其中a為非零常數(shù).
（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）設(shè)，且，證明：當(dāng)時(shí)，在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn).
【解析】（1）由題意，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以恒成立，即，所以，因?yàn)?，，所?又當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是0，因?yàn)椋?，故?shí)數(shù)a的取值范圍是.
（2）由（1）知
設(shè)，則，，
當(dāng)時(shí)，，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，又且，所以，從而在上的零點(diǎn)就是，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，易得，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，記作，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，所以在上恒成立；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，又，且，所以，，
，
從而在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別記作和，
則，或，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn).
強(qiáng)化訓(xùn)練
1.已知函數(shù)
（1）討論在上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.
【解析】（1）由題意，，且當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以，從而在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，，
所以，，從而在上單調(diào)遞增，
又，，所以在上有唯一的零點(diǎn)，記作，且，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以有且僅有1個(gè)零點(diǎn).
2．已知函數(shù)，其中，且在上的最大值為.
（1）求a的值；
（2）判斷在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明.
【解析】（1），顯然在上恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，
從而，解得：，符合題意，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，從而，不合題意，當(dāng)時(shí)，，不合題意，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為1.
（2）由（1）知，且在上單調(diào)遞增，
又，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
而在上單調(diào)遞減，又，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
3．已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1）由題意，
所以
，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，其中.
（2），設(shè)，
則，，所以在上單調(diào)遞增，
且，
當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，故在上單調(diào)遞增，
又，所以恒成立，即，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，故在上單調(diào)遞減，
又，所以當(dāng)時(shí)，，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，，所以在上有唯一的零點(diǎn)，記作，
且，，所以在上單調(diào)遞減，
結(jié)合可得當(dāng)時(shí)，，即，不合題意；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
4．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，所以，故在上單調(diào)遞增，
結(jié)合知，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，所以，從而在上單調(diào)遞減，綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由題意，，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，故恒成立，從而在上單調(diào)遞增，結(jié)合知在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，，所以，從而在上單調(diào)遞增，
又，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，所以無零點(diǎn)，
綜上所述，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
5.已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，證明：；
（2）若恰有2個(gè)零點(diǎn)，求a的最小整數(shù)值.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以恒成立.
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，所以，從而，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，從而在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，故，所以?dāng)時(shí)，恒成立，從而沒有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，，
，所以在上單調(diào)遞減，
又，，
所以在上有1個(gè)零點(diǎn)，記作，則，，
從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，，所以在和上各?個(gè)零點(diǎn)，從而共有2個(gè)零點(diǎn)，故a的最小整數(shù)值為2.
6.已知函數(shù)
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b的值；
（2）若，討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）
【解析】（1）由題意，，，所以，，
一方面，，所以，另一方面，切點(diǎn)在切線上，所以.
（2）由（1）可得，設(shè)，則，
，所以在上單調(diào)遞增，由于，所以，，從而在上有唯一的零點(diǎn)，記作，且，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時(shí)，，所以在上有唯一的零點(diǎn)，記作，
且當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，
從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，所以有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，又，所以在上有2個(gè)零點(diǎn)，記作，，且當(dāng)或時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以共有2個(gè)零點(diǎn).

相關(guān)試卷

第16節(jié) 含參不等式之整參問題 講義-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)從入門到精通：

這是一份第16節(jié) 含參不等式之整參問題 講義-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)從入門到精通，文件包含導(dǎo)數(shù)從入門到精通---第十六節(jié)含參不等式之整參問題-原卷版docx、導(dǎo)數(shù)從入門到精通---第十六節(jié)含參不等式之整參問題-解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共10頁， 歡迎下載使用。

第11節(jié) 隱零點(diǎn)問題之零點(diǎn)代換 講義-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)從入門到精通：

這是一份第11節(jié) 隱零點(diǎn)問題之零點(diǎn)代換 講義-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)從入門到精通，文件包含導(dǎo)數(shù)從入門到精通---第十一節(jié)隱零點(diǎn)問題之零點(diǎn)代換-原卷版docx、導(dǎo)數(shù)從入門到精通---第十一節(jié)隱零點(diǎn)問題之零點(diǎn)代換-解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共11頁， 歡迎下載使用。

第9節(jié) 函數(shù)公切線問題講義-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)從入門到精通：

這是一份第9節(jié) 函數(shù)公切線問題講義-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)從入門到精通，文件包含導(dǎo)數(shù)從入門到精通---第九節(jié)函數(shù)公切線問題-原卷版docx、導(dǎo)數(shù)從入門到精通---第九節(jié)函數(shù)公切線問題-解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共10頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考一輪復(fù)習(xí)——導(dǎo)數(shù)綜合講義及答案

高考一輪復(fù)習(xí)——導(dǎo)數(shù)綜合講義及答案
(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第17講《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-利用導(dǎo)數(shù)證明不等式》（解析版）

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第17講《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-利用導(dǎo)數(shù)證明不等式》（解析版）
(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第16講《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值》（解析版）

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第16講《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值》（解析版）
第20講 導(dǎo)數(shù)解答題之導(dǎo)數(shù)解決含三角函數(shù)式的證明-2022年新高考數(shù)學(xué)之導(dǎo)數(shù)綜合講義

第20講 導(dǎo)數(shù)解答題之導(dǎo)數(shù)解決含三角函數(shù)式的證明-2022年新高考數(shù)學(xué)之導(dǎo)數(shù)綜合講義
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部