第8節(jié) 討論單調(diào)區(qū)間講義-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)從入門到精通-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

研究帶參函數(shù)的單調(diào)性往往需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見的題型有兩類：
1．單零點(diǎn)：至多只有1個(gè)零點(diǎn)，討論的邏輯如圖1所示.
2．雙零點(diǎn)：至多只有2個(gè)零點(diǎn)，討論的邏輯如圖2所示.
求
圖1
求
圖2
注意：這類題主要的難點(diǎn)是分類討論的邏輯不易理清，建議同學(xué)們刷題后反思一下該題是屬于上面的哪種類型，不斷強(qiáng)化尋找分類討論分界點(diǎn)的方法.
典型例題
【例1】討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
變式1 討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，
當(dāng)時(shí)，，所以在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由得：，由得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
變式2 討論在上的單調(diào)性.
【解析】由題意，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以，故在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以，故在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，由得：，由得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
變式3 （2017·新課標(biāo)Ⅰ卷·節(jié)選）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，
當(dāng)時(shí)，，所以在R上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，由得：，由得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【反思】例1及其變式這幾道題都是屬于最多有一個(gè)零點(diǎn)的情況，討論的依據(jù)就是在定義域范圍內(nèi)是否有零點(diǎn).
【例2】（2019·新課標(biāo)III卷·節(jié)選）己知函數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，
當(dāng)時(shí)，由得：或，由得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由得：或，由得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
變式1 已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，
當(dāng)時(shí)，由得：，由得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由得：或，由得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由得：或，由得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
變式2 已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，或，
，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
變式3 已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，或，
，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.
變式4 已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，，
當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，或，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，或，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
變式5 已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，，
當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，或，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，或，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【反思】例2及其變式這幾道題，都是屬于最多有兩個(gè)零點(diǎn)的情形，討論的依據(jù)首先是有一個(gè)零點(diǎn)還是兩個(gè)零點(diǎn)，其次是有兩個(gè)零點(diǎn)的情形下，這兩個(gè)零點(diǎn)的大小關(guān)系是怎樣的.
強(qiáng)化訓(xùn)練
1.已知函數(shù)，討論在上的單調(diào)性.
【解析】由題意，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
2.已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
3.已知函數(shù)，求在上的最小值.
【解析】由題意，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故，
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
綜上所述，在上，
4.已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，
當(dāng)時(shí)，或，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，或，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
5.已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以或，
，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在R上遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以或，
，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
6.（2016·山東·節(jié)選）已知，，討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以或，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以或，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【反思】本題在時(shí)，雖然看似可以有1、這三個(gè)零點(diǎn)，但實(shí)際上，在定義域范圍內(nèi)只有兩個(gè)零點(diǎn).
7.已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，，
當(dāng)時(shí)，，所以，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，或，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，或，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
8.已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】由題意，，，
當(dāng)時(shí)，，所以，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以或，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以或，
，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

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