解二次函數(shù)的實際應用問題的一般步驟：
審：審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關系是什么，找出等量關系（即函數(shù)關系）；
設：設出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設變量的單位要準確；
列：列函數(shù)解析式，抓住題中含有等量關系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)；
解：按題目要求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應的問題；
檢：檢驗所得的解，是否符合實際，即是否為所提問題的答案；
答：寫出答案.
題型一 拱橋問題
【例1】如圖所示是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水位在l時，水面寬4m，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m．則當水面寬為3m時，水位上升了（ ）

A．0.675mB．0.875mC．0.975mD．1.125m
【答案】B
【分析】建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，確定拋物線的解析式即可求解．
【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標系：

可得拋物線的頂點坐標為
設拋物線的解析式為：
將點代入得：，解得：
∴
令，則
即：則當水面寬為3m時，水位上升了0.875m
故選：B
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應用．建立適當?shù)闹苯亲鴺讼凳墙忸}關鍵．
【例2】如圖，一陣拱橋的跨度長為，拱橋頂部距離水面的高度為，現(xiàn)在以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系．
(1)拋物線頂點的坐標是______，并求拋物線的表達式．
(2)在（1）條件下，直接寫出拱橋倒影所在拋物線的函數(shù)表達式______．
(3)一艘游船寬6米，載客后水面以上高為3.2米，請問能否從橋下通過?
【答案】(1)，
(2)
(3)貨船不能順利通過此橋洞，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題目中給出的拱橋的跨度長為，拱橋頂部距離水面的高度為，先確定頂點坐標；再結(jié)合所示坐標系設出對應的函數(shù)解析式，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)倒影與拱橋關于軸對稱，求出倒影的解析式即可；
（3）把代入解析式求出即可．
【詳解】（1）解：因為拱橋的跨度長為，拱橋頂部距離水面的高度為，
又以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，
，
故答案為：；
根據(jù)題意設拋物線的解析式為，
把代入解析式得：，
解得：，
∴函數(shù)表達式為；
（2）解：∵拋物線在水面中的倒影與拋物線關于x軸對稱，
∴倒影所在拋物線開口向上且頂點為，
∴倒影所在拋物線函數(shù)表達式為；
故答案為：；
（3）解：貨船不能順利通過此橋洞，理由如下：
因為船寬6米，當船行駛到拱橋中心時，離對稱軸左右各3米，
又因為拋物線對稱軸為直線 ，
所以由題意得：把代入表達式，得：
，
貨船不能順利通過此橋洞．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，當橋洞的拱形是拋物線關鍵是根據(jù)坐標系列出相應的函數(shù)解析式．
【變式1-1】如圖是某河上一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀，拋物線兩端點與水面的距離都是1m，拱橋的跨度為10m，橋洞與水面的最大距離是5m．若把拱橋的截面圖放在如圖所示的平面直角坐標系中，拋物線的解析式為 ．

【答案】
【分析】先根據(jù)題意和圖象得出頂點坐標，然后設出拋物線的頂點式為：，再把代入解析式求出的值即可．
【詳解】解：橋洞與水面的最大距離是，且拱橋的跨度為，
拋物線的頂點坐標為，
則可設拋物線的解析式為：，
根據(jù)題意和圖象把代入解析式可得：，
解得：，
拋物線的解析式為：；
故答案為：．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的實際應用，解題關鍵是求出頂點坐標并設出拋物線的頂點式．
【變式1-2】如圖1為某新建住宅小區(qū)修建的一個橫斷面為拋物線的拱形大門，點Q為頂點，其高為6米，寬為12米．以點O為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系．

(1)求出該拋物線的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；
(2)拱形大門下的道路設雙向行車道供車輛出入（正中間是寬1米的值班室），其中的一條行車道能否行駛寬2.5米、高3.5米的消防車輛？請通過計算說明；
(3)如圖2，小區(qū)物業(yè)計劃在拱形大門處安裝一個矩形“光帶”，使點A，D在拋物線上，點B，C在上，求出所需的三根“光帶”，，的長度之和的最大值．
【答案】(1)；
(2)能，理由見解析；
(3)米時，三根“光帶”長度之和L的最大值為15米．
【分析】（1）根據(jù)所建坐標系知頂點P和與x軸交點M的坐標，可設解析式為頂點式形式求解，x的取值范圍是；
（2）根據(jù)對稱性當車寬2.5米時，或9，求此時對應的縱坐標的值，與車高米進行比較得出結(jié)論；
（3）求三段和的最大值須先列式表示三段的和，再運用性質(zhì)求最大值，可設點A或點B的坐標表示三段的長度從而得出表達式．
【詳解】（1）解：∵，．
∴設這條拋物線的函數(shù)解析式為，
∵拋物線過，
∴，解得，
∴這條拋物線的函數(shù)解析式為， 即.
（2）當時，，
故能行駛寬2.5米、高米的消防車輛．
（3）設點A的坐標為，則，，
根據(jù)拋物線的軸對稱，可得：，
∴，即，
令，
當 時，最大值為：，
故當，即米時，三根“光帶”長度之和L的最大值為15米．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應用．關鍵是首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后利用函數(shù)性質(zhì)解決問題．
【變式1-3】一座拱橋的輪廓是拋物線（如圖所示），拱高，跨度，相鄰兩支柱間的距離均為．求支柱的長度．

建立坐標系：
我們可以以點為原點建立平面直角坐標系，則三點的坐標分別為_________，_________，_________．根據(jù)圖象可以設拋物線的解析式為_________，將兩點中的任意一點的坐標代入解析式即可確定函數(shù)解析式，進而求出支柱的長度．你還有其他建立直角坐標系的方法嗎？試一試，然后對比一下哪種更簡單．
【答案】；；；；支柱的長度是；其他方法見解析
【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標系，然后利用待定系數(shù)法求出表達式，然后將代入求出，進而得到的長度．
【詳解】解：以點為原點建立平面直角坐標系，如圖所示．

由題意得，，．
設拋物線的解析式為．
把代入，得到，
拋物線的解析式為．
當時，，
；
如圖所示，以中點為原點建立平面直角坐標系，

根據(jù)題目條件，，，，
將，代入，得
解得：，
，
設，故，
∴，
∴支柱的長度是．
∵第一種方法得到的表達式只有二次項，第一種方法得到的表達式有二次項和常數(shù)項，
∴第一種方法更簡單．
【點睛】本題考查點的坐標的求法及二次函數(shù)的實際應用．此題為數(shù)學建模題，求出二次函數(shù)解析式時關鍵．
題型二 圖形問題
【例3】用72米木料制作成一個如圖所示的“目”形長方形大窗框（橫檔，也用木料）．其中，要使窗框的面積最大，則的長為（ ）

A．8米B．9米C．10米D．米
【答案】B
【分析】設的長為米，則的長為米．表示出窗框的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：設的長為米，則的長為米
則窗框的面積
∵
∴當時，窗框的面積最大
故選：B
【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用．掌握建模思想是解題關鍵．
【例4】裝潢公司要給邊長為6米的正方形墻面進行裝潢，設計圖案如圖所示（四周是四個全等的矩形，用材料甲進行裝潢；中心區(qū)是正方形，用材料乙進行裝潢），兩種裝潢材料的成本如下表：
設矩形的較短邊的長為x米，裝潢材料的總費用為y元．
(1)的長為________米（用含x的代數(shù)式表示）；
(2)求y關于x的函數(shù)解析式；
(3)當中心區(qū)的邊長不小于2米時，求裝潢材料的總費用的最大值及此時中心區(qū)的邊長．
【答案】(1)
(2)
(3)裝潢材料的總費用的最大值為1760元，此時中心區(qū)的邊長2米
【分析】（1）用大正方形的邊長減去兩個矩形的短邊長可求解；
（2）根據(jù)總費用等于兩種材料的費用之和即可求解；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，米，
故答案為：；
（2）解：由題意，米，米，
則裝潢材料的總費用
，
即y關于x的函數(shù)解析式為；
（3）解：∵中心區(qū)的邊長不小于2米，
∴，則，
∵，
∴該二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，
∴當時，y隨x的增大而增大，
當時，y有最大值，最大值為，
答：裝潢材料的總費用的最大值為1760元，此時中心區(qū)的邊長2米．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的幾何應用，理解題意，找到題中隱含等量關系列出函數(shù)關系式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關鍵．
【變式2-1】如圖，利用一個直角墻角修建一個的四邊形儲料場，其中．若新建墻與總長為，則該儲料場的最大面積是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先添加輔助線，把直角梯形分成矩形和含直角三角形，求出梯形的上、下底和高，最后由梯形面積公式得出面積與之間的函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解．
【詳解】如圖，過點作于點，易得：四邊形為矩形，

∴，
，
設，
∴，，
∴，，
則四邊形的面積為：
，
整理得：，
∴當長為時，儲料場 的面積最大為．
故選：．
【點睛】此題考查了梯形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的運用，利用梯形的面積建立二次函數(shù)是解題的關鍵．
【變式2-2】某學校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個長，寬的長方形水池進行加長改造（如圖①，改造后的水池仍為長方形，以下簡稱水池1），同時，再建造一個周長為12m的矩形水池（如圖②，以下簡稱水池2）.如果設水池的邊AD加長長度DM為，加長后水池1的總面積為，設水池2的邊的長為，水池2的面積為.

(1)直接寫出，關于x的函數(shù)解析式.
(2)當水池1與水池2的面積相等時，求此時x的值.
(3)當時，設，求W的最大值和此時x的值.
【答案】(1)，
(2)當或時，水池1與水池2的面積相等
(3)當時，最大，最大值為
【分析】（1）根據(jù)長方形的面積公式解答即可；
（2）當時，可得關于x的方程，解方程即得答案；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可
【詳解】（1），
（2）當時，，
解得，，
∴當或時，水池1與水池2的面積相等；
（3）當時，，
∵，
∴當時，最大，最大值為.
【點睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應用，正確理解題意、熟練掌握解一元二次方程的方法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.
【變式2-3】如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長度不限）的矩形空地，為美化環(huán)境，用總長為100米的籬笆圍成三塊面積相等的矩形花圃（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計）．當矩形的邊為多長時，矩形區(qū)域的面積最大？其最大面積是多少？

【答案】米時，最大面積為：平方米．
【分析】設，求解，，再建立面積函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：設，矩形，矩形，矩形，
∴，，，，，
∵矩形，矩形，矩形的面積相等，
∴設，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴矩形區(qū)域的面積
，
由，解得：，
當時，矩形面積最大，
最大面積為：（平方米）．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的實際應用，理解題意，準確的建立二次函數(shù)的解析式是解本題的關鍵．
題型三 銷售利潤問題
【例5】為慶祝第五個中國農(nóng)民豐收節(jié)，宣傳玉龍縣特色農(nóng)產(chǎn)品，“迎盛會·慶豐收·促振興”農(nóng)特產(chǎn)品展銷推薦會在白華生態(tài)農(nóng)貿(mào)市場舉行．某農(nóng)戶銷售一種商品，成本價為每千克40元，按規(guī)定，該商品每千克的售價不低于成本價，且不高于60元．經(jīng)調(diào)查每天的銷售量（千克）與每千克售價（元）滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表：
設銷售該商品每天的利潤為（元），則的最大值為（ ）
A．1800B．1600C．1400D．1200
【答案】B
【分析】設出與的函數(shù)關系式，把，代入求出關系式，再根據(jù)題意列出利潤的二次函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和實際情況求解最大值即可．
【詳解】提示：設與的函數(shù)關系式，把，代入，
得，解得，
∴，
由題意得，
∵，開口方向向下，
∴當時，隨的增大而增大，
又∵，
∴時，（元）．
故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出相關函數(shù)關系式是解題的關鍵．
【例6】金秋十月，梁子湖區(qū)成功獲評“國家生態(tài)文明建設示范區(qū)”，以生態(tài)環(huán)境保護與綠色經(jīng)濟共贏的特色吸引各地游客紛紛前來觀光．梁湖超市銷售一批成本為20元/千克的綠色健康食品，深受游客青睞．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該食品每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示．

(1)求該食品每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關系式；
(2)若超市按售價不低于成本價，且不高于40元銷售，則銷售單價定為多少，才能使銷售該食品每天獲得的利潤W（元）最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關系式為
(2)銷售單價定為40元時，才能使銷售該食品每天獲得的利潤W（元）最大，最大利潤是2000元
【分析】（1）設每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關系式為，
將點代入一次函數(shù)表達式，用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)利潤=每千克的利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：設每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關系式為，
由圖象得：，
解得：，
∴每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關系式為；
（2）解：，
∴函數(shù)的對稱軸為直線，
∵，，
∴當時，W隨x的增大而增大，
∴當時，W有最大值，最大值為2000，
∴銷售單價定為40元時，才能使銷售該食品每天獲得的利潤W（元）最大，最大利潤是2000元．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)在銷售問題中的應用，理清題中的數(shù)量關系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．
【變式3-1】某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進時的單價是元，經(jīng)市場預測，銷售單價為元時，可售出個；面銷售單價每漲元，銷售量將減少個，設每個銷售單價為元．
(1)寫出銷售量件和獲得利潤元與銷售單價元之間的函數(shù)關系；
(2)若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價不低于元，且商場要完成不少于件的銷售任務，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？
【答案】(1)，
(2)8640
【分析】（1）根據(jù)面銷售單價每漲元，銷售量將減少個，求出銷售量件與銷售單價元之間的函數(shù)關系，利用總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出獲得利潤元與銷售單價元之間的函數(shù)關系；
（2）根據(jù)題意，列出不等式組，求出的取值范圍，利用二次函數(shù)求最值解決問題．
【詳解】（1）解：設每個銷售單價為元，由題意，得：
；
；
（2）由題意，得：，
∴；
∵，
∴當，隨著的增大而增大，
∴時，取最大值，為：；
答：最大利潤為元．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是正確的求出二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解．
【變式3-2】水果商店經(jīng)銷一種高檔水果，原價每千克50元，連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，但商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應漲價多少元？
(3)為了響應脫貧致富攻堅戰(zhàn)，商場決定每賣出1千克捐贈m元給貧困山區(qū)學生，設每千克漲價x元后，若要保證當時，每天盈利隨著x的增加而增大，求m的取值范圍．
【答案】(1)每次下降的百分率為；
(2)每千克應漲價5元；
(3)
【分析】（1）由題意設每次下降的百分率為x，根據(jù)相等關系列出方程，進而即可求得每次下降的百分率；
（2）根據(jù)題意設每千克應漲價y元，根據(jù)總盈余=每千克盈余×數(shù)量列方程，即可求解；
（3）由題意設扣除捐贈后的每天盈利為S元，進而根據(jù)，結(jié)合函數(shù)開口向下，對稱軸在的右側(cè)得出的取值范圍．
【詳解】（1）解：設每次下降的百分率為x，則，
解得：，
∵，
∴，
答：每次下降的百分率為；
（2）設每千克應漲價y元，則
解得：，
∵，
∴，
答：每千克應漲價5元；
（3）設扣除捐贈后的每天盈利為S元，
，
∵當時，S隨x的增大而增大，
∴，解得，
∴m的取值范圍為：．
【點睛】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意找到題目中的等量關系并列出方程求解是解答本題的關鍵．
【變式3-3】某工廠計劃從現(xiàn)在開始，在每個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號設備，該設備的生產(chǎn)成本為萬元/件．設第個生產(chǎn)周期設備的售價為萬元/件，售價與之間的函數(shù)解析式是，其中是正整數(shù)．當時，；當時，．
(1)求，的值；
(2)設第個生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設備的數(shù)量為件，且y與x滿足關系式．
當時，工廠第幾個生產(chǎn)周期獲得的利潤最大?最大的利潤是多少萬元?
當時，若有且只有個生產(chǎn)周期的利潤不小于萬元，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2)，；．
【分析】（）用待定系數(shù)法求出，的值即可；
（）當，根據(jù)利潤(售價成本)設備的數(shù)量，可得出關于的二次函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)求出最值；
當時，關于的函數(shù)解析式，再畫出關于的函數(shù)圖象的簡圖，由題意可得結(jié)論．
【詳解】（1）把時，；時，代入得：
，解得：，；
（2）設第個生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤為萬元，由（）知，當時，，
∴，
，
，
∵，，
∴當時，取得最大值，最大值為，
∴工廠第個生產(chǎn)周期獲得的利潤最大，最大的利潤是萬元；
當時，，
∴，
∴，
則與的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知，若有且只有個生產(chǎn)周期的利潤不小于萬元，
∴當，時，，
當，時，，
∴的取值范圍．
【點睛】此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)在銷售問題中的應用，明確一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)并分類討論是解題的關鍵．
題型四 方案設計問題
【例7】某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進價為元/件．試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價為元時，每天的銷售量為件；銷售單價每上漲元，每天的銷售量就減少件．
(1)寫出每天所得的銷售利潤（元）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關系式；并求當x為多少時，有最大值，最大值是多少？
(2)商場的營銷部結(jié)合上述情況，提出了甲、乙兩種營銷方案：方案甲：該文具的銷售單價高于進價且不超過元；方案乙：每天銷售量不少于件，且每件文具的利潤至少為元．請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．
【答案】(1)，有最大值，當時，最大值為；
(2)甲方案最大利潤最高．
【分析】（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關系式，再通過配方即可求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的最值問題即可求解．
【詳解】（1）由題意得：，
，
，
∵，
∴有最大值，當時，最大值為；
（2）甲方案最大利潤最高，理由如下：
甲方案：，把代入函數(shù)表達式，
最大值為，
乙方案：，
解得：，
當時，有最大值為，
∵，
∴甲方案最大利潤最高．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應用，解題的關鍵是要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，注意在自變量的取值范圍內(nèi)求最值．
【例8】根據(jù)以下提供的素材，完成任務．
如何制定商店的銷售定價方案
根據(jù)以下商店提供的信息，請你設計一個合適的商品定價方案．
素材一：商品成本：元/件，每天進貨件，并且全部賣出；商品有兩種包裝，目前的售價和日銷量如下表：
素材二：
為了增加盈利，該商店準備降低包裝商品的售價，同時提高包裝商品的售價．通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，包裝商品售價每降低元可多賣出件，包裝商品售價每提高元就少賣出件．商店發(fā)現(xiàn)若按照當前的總銷量銷售兩種包裝商品，最大總利潤為元．
素材三：
銷售一段時間后，商店發(fā)現(xiàn)若減少兩種包裝商品的總銷量，兩種包裝商品的銷售總利潤反而有所增長．為進一步增加盈利，商店決定將兩種包裝商品的總銷量減少件．
【問題解決】
任務一：探究商品銷量
設每件包裝商品售價降低元（為整數(shù)），用含的代數(shù)式表示降價后包裝商品每日的總銷售量為________件．
任務二：探究商品售價
在每日兩種包裝商品的總銷量為件的前提下，為使總利潤達到最大，試求出此時兩種包裝商品的售價．
任務三：確定定價方案
請設計一種兩種包裝商品的定價方案，使一天的銷售總利潤超過元．（直接寫出方案即可）
【答案】；包裝商品的售價為元，包裝商品的售價元；包裝商品的售價為元，包裝商品的售價為元
【分析】任務一：探究商品銷量：根據(jù)題目中包裝商品售價每降低元可多賣出件，由此即可求解；
任務二：探究商品售價：設每件包裝商品售價降低元（為整數(shù)），利潤為，可用含的式子表示包裝商品的售價和日銷售量，設包裝商品售價提高元（為整數(shù)），利潤為，則用含的式子表示包裝商品的售價和日銷售量，根據(jù)題意即可求解；
任務三：確定定價方案：根據(jù)任務一、二的信息可得包裝商品的售價，銷量，包裝商品的售價，銷量，根據(jù)數(shù)量關系，列不等式即可求解．
【詳解】解：任務一：探究商品銷量
每件包裝商品的售價是元/件，日銷售量為件，設每件包裝商品售價降低元（為整數(shù)），
∴降價后包裝商品的售價為元，
∵包裝商品售價每降低元可多賣出件，
∴降價后包裝商品的日銷售量為件，
故答案為：；
任務二：探究商品售價
由任務一可知，設每件包裝商品售價降低元（為整數(shù)），則降價后包裝商品的售價為元，降價后包裝商品的日銷售量為件，設包裝商品的利潤為，
∴包裝商品的利潤為，
同理，設每件包裝商品售價提高元（為整數(shù)），則提價后包裝商品的售價為元，提價后包裝商品的日銷售量為件，設包裝商品的利潤為，
∴包裝商品的利潤為，
∵每日兩種包裝商品的總銷量為件，
∴，則，即降低的價格等于提高的價格，
∵總利潤達到最大，最大總利潤為元，
∴，且，
∴，
∴，整理得，，
∴，
∴，即降價元，提價元，
∴包裝商品的售價為（元），包裝商品的售價為（元），
∴包裝商品的售價為元，包裝商品的售價元；
任務三：確定定價方案
由任務一可知，包裝商品的銷售量為件，售價為元/件，
將兩種包裝商品的總銷量減少件，則每日兩種包裝商品的總銷量為件，
假設包裝商品銷量不變，包裝商品銷量減少件，則售價增加了元，售價為（元），銷量為件，
∴總利潤為，解得，，
∴當時，包裝商品的售價為（元），包裝商品的售價為（元），
∴包裝商品的售價為元，包裝商品的售價為元．
【點睛】本題主要考查銷售與方程的綜合運用，理解題目中的數(shù)量關系，掌握方程與實際問題的綜合運用，解方程的方法等知識的綜合是解題的關鍵．
【變式4-1】某商場準備購進A、B兩種商品進行銷售，已知一件A種商品的進價比一件B種商品的進價多10元，且用16000元采購A種商品件數(shù)是用7500元采購B種商品件數(shù)的2倍．
(1)每件A種和B種商品的進價分別為多少元？
(2)該商場欲購進A，B兩種商品共250件進行銷售，其中A種商品件數(shù)不小于20件，且不大于B種商品件數(shù)．
若B種商品的售價定為210元/件，A種商品的售價與A種商品銷量之間的關系如下表所示：
商場購進這兩種商品能全部售出的前提下，請求出該商場銷售這兩種商品能獲得的最大利潤，并求出此時的進貨方案．
【答案】(1)每件A種商品的進價160元，每件B種商品的進價為150元
(2)該商場銷售這兩種商品能獲得的最大利潤為14600元，此時的進貨方案是A種商品進20件，B種商品進230件
【分析】（1）設每件A種商品的進價x元，則每件B種商品的進價為元，根據(jù)：用16000元采購A種商品件數(shù)是用7500元采購B種商品件數(shù)的2倍，即可列出關于x的方程，解方程并檢驗后即得答案；
（2）由表格中的數(shù)據(jù)可知：A種商品的售價y與A種商品銷量m滿足一次函數(shù)關系，利用待定系數(shù)法求出其關系式，再根據(jù)利潤=兩種商品的利潤之和，列出二次函數(shù)關系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.
【詳解】（1）解：設每件A種商品的進價x元，則每件B種商品的進價為元，
根據(jù)題意，得，
解得：，
經(jīng)檢驗：是方程的根，
，
答：每件A種商品的進價160元，每件B種商品的進價為150元.
（2）解：設銷售A種商品銷量m件，則銷售B種商品件，
根據(jù)題意可得：，
解得，
由表格中的數(shù)據(jù)可知：A種商品的售價y與A種商品銷量m滿足一次函數(shù)關系，設為，
由題意可得；，解得，
∴，
設獲得的利潤w元，
則
，
∵，
∴當時，w隨m的增大而減小，
∵，
∴當時，w有最大值為元；
此時進貨方案為：A種商品進20件，B種商品進230件；
答：該商場銷售這兩種商品能獲得的最大利潤為14600元，此時的進貨方案是A種商品進20件，B種商品進230件．
【點睛】本題考查了分式方程的應用、一次函數(shù)和二次函數(shù)的應用，屬于?？碱}型，正確理解題意、學會構(gòu)建方程或函數(shù)是解題的關鍵．
【變式4-2】某公司準備推出一種水杯，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該水杯前期的日銷售情況如下：進價每個20元，每天銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間滿足一次函數(shù)關系：
(1)求銷售單價為多少元時，該水杯每天的銷售利潤最大；
(2)經(jīng)市場反饋，售價高于25元時，若每個水杯每漲價1元，每天要少賣出10個，商場的營銷部在調(diào)控價格方面，提出了A，B兩種營銷方案：方案A：每個水杯漲價不超過5元；方案B：每個水杯的利潤至少為16元．哪種方案的最大利潤較大，并說明理由．
【答案】(1)當銷售單價為元時，該水杯每天的銷售利潤最大
(2)方案的最大利潤較大，理由見解析
【分析】（1）設銷售利潤為，得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
（2）分別求出兩種方案的最大值，進而即可求解．
【詳解】（1）解：設銷售利潤為，根據(jù)題意得，
，
當時，該水杯每天的銷售利潤最大
∴當銷售單價為元時，該水杯每天的銷售利潤最大
（2）方案：設銷售利潤為，設漲價元，；
當售價為元時，銷售量為個，
∴當時，取得最大值為，
由（1）可得，
方案：銷售單價為:，利潤為:（元）
∴方案的最大利潤較大
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用、二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出函數(shù)關系式是解題的關鍵．
【變式4-3】冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奧運會的吉祥物，據(jù)反饋冰墩墩、雪容融玩偶一經(jīng)上市，非常暢銷，小許選兩款玩偶各50個，決定在網(wǎng)店進行銷售．售后統(tǒng)計，一個冰墩墩玩偶利潤為30元/個，一個雪容融玩偶利潤為5元/個，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：冰墩墩的數(shù)量在50個的基礎上每增加3個，平均每個利潤減少1元；而雪容融的利潤始終不變；小許計劃第二次購進兩種玩偶共100個進行售賣．設冰墩墩的數(shù)量比第一次增加個，第二次冰墩墩售完后的利潤為元．
(1)用含的代數(shù)式表示第二次冰墩墩售完后的的利潤；
(2)如何安排購買方案，使得第二次售賣兩種玩偶的銷售利潤最大，最大利潤是多少？
【答案】(1)
(2)購進冰墩墩62個，雪容融38個或購進冰墩墩63個，雪容融37個時，第二次售賣兩種玩偶的銷售利潤最大，最大利潤是1802元
【分析】（1）由題意第二次購進冰墩墩的數(shù)量為（50+x）個，平均每個的利潤減少元，根據(jù)利潤=一個利潤×數(shù)量，即可求得第二次冰墩墩售完后的的利潤；
（2）由題意知，第二次購買雪容融的數(shù)量為個，根據(jù)兩種玩偶銷售利潤的和得關于x的函數(shù)式，然后求最大值即可．
【詳解】（1）由題意，第二次購進冰墩墩的數(shù)量為（50+x）個，平均每個的利潤減少元，則第二次冰墩墩售完后的的利潤；
整理得：．
（2）第二次購進冰墩墩的數(shù)量為（50+x）個，第二次購買雪容融的數(shù)量為個，
∴第二次售賣兩種玩偶的銷售利潤
,
∴,
由題意知，x為正整數(shù)，所以當x=12或13時，w最大，最大值為1802；
當x=12時，50+x=62，50-x=38；當x=13時，50+x=63，50-x=37；
即購進冰墩墩62個，雪容融38個或購進冰墩墩63個，雪容融37個時，第二次售賣兩種玩偶的銷售利潤最大，最大利潤是1802元．
【點睛】本題是二次函數(shù)的應用問題，考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確理解題意是解題的關鍵．
題型五 拋物線型軌跡問題
【例9】一位運動員在距籃圈中心（點）水平距離處豎直跳起投籃（為出手點），球運行的路線是拋物線的一部分，當球運行的水平距離為時，達到最高點（點），此時高度為，然后準確落入籃圈.已知籃圈中心（點）到地面的距離為，該運動員身高，在這次跳投中，球在頭頂上方處出手，球出手時，他跳離地面的高度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設拋物線的表達式為，根據(jù)題意可知圖象經(jīng)過的坐標，由此可得的值，然后將代入拋物線解析式，得，再由即可求解．
【詳解】解：如圖所示，以水平面所在的直線為x軸，以過點B且與水平面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系，
則，，
設拋物線的表達式為，
∵拋物線經(jīng)過，
∴
∴，
∴拋物線的表達式為，
當時，，
，
∴球出手時，他跳離地面的高度是，
故選D．
【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的相關知識，利用二次函數(shù)解決拋物線形的實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上是解題關鍵．
【例10】學校組織學生去同安進行研學實踐活動，小王同學發(fā)現(xiàn)在賓館房間的洗手盤臺面上有一瓶洗手液（如圖①）.于是好奇的小王同學進行了實地測量研究.當小王用一定的力按住頂部A下壓如圖②位置時，洗手液從噴口B流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口B為該拋物線的頂點．洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形．小王同學測得：洗手液瓶子的底面直徑，噴嘴位置點B距臺面的距離為，且B、D、H三點共線．小王在距離臺面處接洗于液時，手心Q到直線DH的水平距離為，若小王不去接，則洗手液落在臺面的位置距的水平距離是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意：所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，噴口為拋物線頂點，共線的三點B、D、H所在直線為拋物線的對稱軸，得出各點坐標，利用待定系數(shù)法求拋物線解析式進而求解．
【詳解】解：根據(jù)題意：所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，噴口為拋物線頂點，共線的三點B、D、H所在直線為拋物線的對稱軸，

根據(jù)題意，，，，
將點坐標代入解析式得，，
解得：，
∴拋物線解析式為：，
當時，即，
解得：，或（舍去），
所以洗手液落在臺面的位置距的水平距離是，
故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，解決本題的關鍵是明確待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及準確進行計算．
【變式5-1】某班級在一次課外活動中設計了一個彈珠投箱子的游戲（長方體無蓋箱子放在水平地面上）．同學們受游戲啟發(fā)，將彈珠抽象為一個動點，并建立了如圖所示的平面直角坐標系（x軸經(jīng)過箱子底面中心，并與其一組對邊平行，矩形為箱子的截面示意圖），某同學將彈珠從處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線(單位長度為)的一部分，且當彈珠的高度為時，對應的兩個位置的水平距離為．已知，，．

(1)求拋物線L的解析式和頂點坐標．
(2)請判斷該同學拋出的彈珠是否能投人箱子．若能，請通過計算說明原因；若不能，在不改其它條件的情況下，調(diào)整的高度，使得彈珠可以投入箱子，請直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)題意可求出的長，將點的橫坐標代入解析式．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，拋物線過點，
將把點，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
，
頂點坐標為；
（2），
．
，
，
即點．
，，
．
點，，．
當時，，
，
該同學拋出的彈珠不能投入箱子；
若調(diào)整的高度，使得彈珠可以投入箱子，的取值范圍為．
【點睛】本題屬于二次函數(shù)的應用，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識，解題的關鍵是學會尋找特殊點解決問題．
【變式5-2】某公園內(nèi)人工噴泉有一個豎直的噴水槍，噴出的水流路徑可以看作是拋物線的一部分．記噴出的水流距噴水槍的水平距離為x米，距地面的豎直高度為y米，獲得數(shù)據(jù)如表：
小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究．
下面是小明的探究過程，請補充完整：
(1)在平面直角坐標系中，描出以表中各對對應值為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象；

(2)水流的最高點距噴水槍的水平距離為_________米；
(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：若公園準備在距噴水槍水平距離為米處加裝一個石柱，使該噴水槍噴出的水流剛好落在石柱頂端，則石柱的高度約為_________米．（精確到米）
【答案】(1)函數(shù)的圖像見解析
(2)2
(3)
【分析】（1）在平面直角坐標系中，描出以表中各對對應值為坐標的點，用光滑的曲線順次連接即可；
（2）設拋物線的解析式為，利用待定系數(shù)法求出解析式，把拋物線的解析式化成頂點式，即可得到答案；
（3）把代入（2）中求出的拋物線的解析式即可求得答案．
【詳解】（1）解：函數(shù)圖象如圖所示：

（2）解：∵ 噴出的水流路徑可以看作是拋物線的一部分，
∴設拋物線的解析式為，
任取三組拋物線點的坐標，分別代入得，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為，
∵，
∴當時，y取最大值5，
故水流的最高點距噴水槍的水平距離為．
故答案為：2．
（3）解：∵拋物線的解析式為，
∴當時，，
∴石柱的高度為，
故答案為：．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的實際應用問題，也考查了描點法畫函數(shù)圖象、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識，解題的關鍵是讀懂題意，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式．
【變式5-3】某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，噴水池中心為原點建立直角坐標系．
(1)求水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達式；
(2)主師傅在噴水池內(nèi)維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？
(3)經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到24米（高度不變）處匯合，請?zhí)骄繑U建改造后噴水池水柱的最大高度．
【答案】(1)
(2)7
(3)
【分析】（1）利用軸對稱性質(zhì)可得水柱所在拋物線（第二象限部分）的頂點，根據(jù)頂點坐標可設拋物線函數(shù)為，再代入拋物線上已知點的坐標可求出的值，即可得出水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達式；
（2）根據(jù)（1）所得的函數(shù)解析式，代入時求得的值，結(jié)合圖形即可得出答案；
（3）根據(jù)（1）的函數(shù)解析式求出與軸的交點坐標，再二次函數(shù)圖像的性質(zhì)拋物線的形狀不變時，可設改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達式為，再由函數(shù)圖象過點代入函數(shù)表達式，求出的值，得到改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達式，再利用配方法將二次函數(shù)表達式變形為頂點式，即可得出答案．
【詳解】（1）解：由題意得第一象限拋物線的頂點坐標為，
∵水柱關于軸對稱，
∴第二象限拋物線的頂點坐標為
設水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達式為，
將代入，得：，
解得：，
∴水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達式為．
（2）解：當函數(shù)值時，有，
解得，，
結(jié)合圖形可得，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內(nèi)．
（3）解：當時，，
噴出水柱的形狀不變，水池的高度不變，
設改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達式為，
該函數(shù)圖象過點，
，
解得，
改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達式為，
該拋物線的頂點坐標為，
故擴建改造后噴水池水柱的最大高度為米．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出當時的值；（3）根據(jù)點的坐標及二次函數(shù)性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達式．
題型六 圖形運動問題
【例11】如圖，正方形邊長為4，E、F、G、H分別是上的點，且．設A、E兩點間的距離為x，四邊形的面積為y，則y與x的函數(shù)圖象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了動點的函數(shù)圖象，先判定圖中的四個小直角三角形全等，再用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，得函數(shù)的表達式，結(jié)合選項的圖象可得答案．
【詳解】解：正方形邊長為4，
，
是的二次函數(shù)，函數(shù)的頂點坐標為，開口向上
從4個選項來看，開口向上的只有A和B，C和D圖象開口向下，不符合題意
但是的頂點在軸上，故B不符合題意，只有A符合題意
故選：A．
【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，正確地寫出函數(shù)解析式并數(shù)形結(jié)合分析是解題的關鍵．
【例12】如圖，等腰直角三角形的直角邊與正方形的邊都在直線上（點與點重合），且它們都在直線同側(cè)，，現(xiàn)等腰直角三角形以每秒1個單位的速度從左到右沿直線運動，當點運動到與點重合時運動結(jié)束．設運動時間為，與正方形重疊部分的面積為．
(1)請直接寫出與之間的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍．
(2)當時，求的值．
【答案】(1)
(2)當時，求的值為10或．
【分析】（1）當點由點運動到點時，與正方形重疊部分的面積是一個以為長的等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積公式進行計算即可得出答案；當點由點運動到點時，與正方形重疊部分的面積為梯形，根據(jù)梯形的面積公式進行計算即可；
（2）把分別代入（1）中的式子進行計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：當點由點運動到點時，與正方形重疊部分的面積是一個以為長的等腰直角三角形，
，
則，
即當，，
當點由點運動到點時，與正方形重疊部分的面積為梯形，
，
則，，，
即當，，
∴綜上所述：；
（2）解：當，時，，
解得；
當，時，，
解得；
綜上，當時，求的值為10或．
【點睛】本題主要考查了實際問題與二次函數(shù)，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想解題，是解決問題的關鍵．
【變式6-1】如圖，在中，平分，過點D作的平行線交的延長線于點C，連接．

(1)求證：四邊形是菱形．
(2)如果，（）的長（單位：米）是一元二次方程的兩根，求的長．
(3)若動點M從A出發(fā)，沿AC以的速度勻速直線運動到點C，動點N從B出發(fā)，沿以的速度勻速直線運動到點D，當M運動到C點時運動停止．若M、N同時出發(fā)，問出發(fā)幾秒鐘后，的面積為．
【答案】(1)見解析
(2)5
(3)秒，秒，秒
【分析】（1）根據(jù)題意，先證明四邊形是平行四邊形，再用鄰邊相等證明菱形即可；
（2）解方程可得，的長，用勾股定理即可求的長；
（3）根據(jù)點M、N運動過程中與O點的位置關系，分三種情況分別討論即可解答．
【詳解】（1）證明：∵平分，，
∴，
∴是等腰三角形，則，
又∵，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是菱形；
（2）解：解方程，
得，，
又∵，
∴，，
∴；
（3）解：在第（2）問的條件下，設M、N同時出發(fā)x秒鐘后，的面積為，
當點M在上時，即時，
,
解得：，（大于2，舍去）；
當點M在上且點N在上時，即時，
，
解得：；
當點M在上且點N在上時，即時，
，
解得：，（小于3，舍去）；
綜上所述，M，N出發(fā)秒，秒，秒鐘后，△MON的面積為．
【點睛】本題考查了菱形的判定定理，一元二次方程的應用，三角形的面積計算方法，屬于綜合類題，解題的關鍵是運用分類討論的數(shù)學思想及熟練掌握以上知識點．
【變式6-2】如圖，在中，，，cm．點從點出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊向終點運動．過點作交折線于點，為中點，以為邊向右側(cè)作正方形．設正方形與重疊部分圖形的面積是y（cm），點的運動時間為x（s）．

(1)當點在邊上時，正方形的邊長為 cm（用含的代數(shù)式表示）；
(2)如圖當點不與點重合時，求點落在邊上時的值；
(3)當時，求關于的函數(shù)解析式；并求出為何值時，為最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)關于的函數(shù)解析式為或或；當時，有最大值
【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，求得，由于為中點，于是得到；
（2）如圖①，延長交于，由題意得，由于為中點，得到，求得，列方程于是得到結(jié)論；
（3）如圖②，當時，根據(jù)正方形的面積公式得到；當時，過作于，交于，則，根據(jù)正方形和三角形面積公式得到關于的函數(shù)解析式，求出最大值；當時，，根據(jù)三角形的面積公式得到關系式即可．
【詳解】（1）解：，，，
，
，
為中點，
，
故答案為：；
（2）如圖①，延長交于，由題意得，

為中點，
，
，
，
；
（3）分三種情況：
如圖②，當時，，

；
如圖③，當時，過作于，交于，則，

，，
，，
，
，
；
當時，有最大值；
如圖④，當時，，

，
，
，
；
綜上所述，關于的函數(shù)解析式為或或；當時，有最大值．
【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圖形面積的計算、二次函數(shù)、以及分類討論等知識；正確的作出圖形是解題的關鍵，注意分類討論．
【變式6-3】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與坐標軸相交于A，B，C三點，其中A點坐標為，B點坐標為，連接，．動點P從A點出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點Q從B點出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接，設運動時間為t秒．
(1) ， ；
(2)在P，Q運動的過程中，當t為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？
(3)已知點M是該拋物線對稱軸上一點，當點P運動1秒時，若要使得線段的值最小，則試求出點M的坐標．
【答案】(1)2，3
(2)當時，四邊形的面積最小，最小值為4
(3)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）過點P作軸，垂足為E，利用表示出四邊形的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；
（3）直接利用對稱點的性質(zhì)得出M點位置，進而得出答案．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，B，
則 ，
解得：；
故答案為：2；3；
（2）令，則有，即有；
∵，，，
∴，，即，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由點P、Q的運動可知：，，
結(jié)合，可得：，
即：，
過點P作軸，垂足為H，如圖，
∴，即，
∴
，
∵當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，且，
∴即，，
∴當時，四邊形的面積最小，最小值為4；
（3）由（2）可知，當時，可得點P的坐標為（2，1），
根據(jù)拋物線的對稱性可知，點A，B關于對稱軸：對稱，
連接，與拋物線對稱軸交于點M，點M即為所求，

∵，，
∴利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為：，
當時，．
即點M的坐標為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對稱最值問題，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．
1．（2022秋·北京海淀·九年級?？计谥校┤鐖D，鉛球運動員擲鉛球的高度與水平距離之間的函數(shù)關系式是，則該運動員此次擲鉛球的成績是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
依題意，該二次函數(shù)與x軸的交點的x值為所求．即在拋物線解析式中．令，求x的正數(shù)值．
【詳解】
解：把代入得：
，
解之得：．
又，解得．
故選：D．
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．
2．（2023秋·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖所示，某橋從正面觀察，上面部分是一條拋物線，若，，以所在直線為軸，拋物線的頂點在軸上建立平面直角坐標系，則此橋上半部分所在拋物線的解析式為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意可得：，，且拋物線的頂點為，設拋物線解析式為，代入，求解即可．
【詳解】解：由題意可得：，，且拋物線的頂點為，
則拋物線解析式為
將代入可得：
解得
即解析式為
故選：A
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應用，求拋物線解析式，解題的關鍵是理解題意，正確設出解析式．
3．（2022秋·陜西西安·九年級西安市東方中學校聯(lián)考期中）行駛中的汽車剎車后行駛的距離y（單位：米）與行駛的時間x（單位：秒）的函數(shù)關系式是，那么汽車剎車后到靜止所需時間為 秒，剎車后汽車行駛的距離為 米.
【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標的縱坐標即可求解．
【詳解】解：

當時，y取得最大值，即，
故汽車剎車后到靜止所需要的時間為秒，剎車后行駛的距離為米，
故答案為：，．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，解決本題的關鍵是運用二次函數(shù)的最值解決問題．
4．（2022秋·陜西寶雞·九年級?？计谀┤鐖D，某農(nóng)場要蓋一排三間長方形的羊圈，打算一面利用舊墻（足夠長），其余各面用木材圍成柵欄，該農(nóng)場計劃用木材圍成總長的柵欄，設每間羊圈垂直于墻的一邊長為，三間羊圈的總面積，則關于的函數(shù)解析式是 ，的取值范圍是 ，當 時，最大．
【答案】 / 3
【分析】先根據(jù)柵欄的總長度表示出三間羊圈與舊墻平行的一邊的總長為，再根據(jù)長方形的面積公式表示即可得到關于的函數(shù)關系式；結(jié)合圖形，列出關于的不等式組，解之即可求出的取值范圍；利用二次函數(shù)的頂點公式即可求得開口向下的拋物線的最大值及對稱軸，即可獲得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，該農(nóng)場計劃用木材圍成總長的柵欄，每間羊圈垂直于墻的一邊長為，則平行于墻的一邊長為，
所以，關于的函數(shù)解析式是，
由圖可知，解得，
所以，的取值范圍是，
因為，
所以，當時，三間羊圈的總面積最大．
故答案為：，，3．
【點睛】本題主要考查了利用二次函數(shù)解決實際問題，理解題意，正確列出二次函數(shù)解析式是解題關鍵．
5．（2023秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠程攻擊的武器，發(fā)射出去的石塊的運動軌跡是拋物線的一部分，且距離發(fā)射點20米時達到最大高度10米．將發(fā)石車置于山坡底部處，山坡上有一點，點與點的水平距離為30米，與地面的豎直距離為3米，是高度為3米的防御墻．若以點為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系．

(1)求石塊運動軌跡所在拋物線的解析式；
(2)試通過計算說明石塊能否飛越防御墻；
【答案】(1)
(2)能
【分析】（1）設石塊運行的函數(shù)關系式為，用待定系數(shù)法求得a的值即可求得答案；
（2）把代入，求得y的值，與6作比較即可．
【詳解】（1）解：∵發(fā)射出去的石塊的運動軌跡是拋物線的一部分，且距離發(fā)射點20米時達到最大高度10米，
∴設石塊運行的函數(shù)關系式為，由圖象可知，拋物線過點，
把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）∵，當時，，
∵，
∴能飛越防御墻．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用．讀懂題意，正確的列出二次函數(shù)解析式，是解題的關鍵．
6．（2022秋·貴州畢節(jié)·九年級?？计谥校┠成碳页鍪垡环N商品的成本價為20元/千克，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：．設這種商品每天的銷售利潤為w元．
(1)求w與x之間的函數(shù)表達式；
(2)該商品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大?
【答案】(1)
(2)該商品銷售價定為每千克30元時，每天的銷售利潤最大
【分析】（1）根據(jù)每天的利潤等于每千克的利潤乘以每天的銷售量，可得w關于x 的函數(shù)關系式；
（2）將配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．
【詳解】（1）解：由題意得：，
故w與x的函數(shù)表達式為：；
（2）解：，
，
當時，w取最大值．
即該商品銷售價定為每千克30元時，每天的銷售利潤最大．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)在銷售問題中的應用，明確成本、利潤的基本數(shù)量關系及二次函數(shù)的相關性質(zhì)是解題的關鍵．
7．（2022秋·福建三明·九年級校考期中）如圖，一小球（看做一個點）從斜坡上的點處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫、若小球到達的最高的點坐標為，解答下列問題：

(1)求拋物線的表達式；
(2)小球落點為，求點的坐標；
(3)在斜坡上的點有一棵樹（樹高看成線段且垂直于軸），點的橫坐標為2，樹高為4，小球能否飛過這棵樹？通過計算說明理由；
(4)若過點作軸的垂線，交斜坡于點，則線段的最大值為____．（直接寫出答案）
【答案】(1)；
(2)；
(3)小球能飛過這棵樹；
(4)．
【分析】（1）根據(jù)小球到達的最高的點坐標為，設，把代入得，，即可求出拋物線的表達式；
（2）點A在一次函數(shù)又在拋物線上，即解方程，得，，即可求出點A的坐標；
（3）依題意，把分別代入一次函數(shù)和拋物線，求出y值，再進行比較即可作答；
（4）設點M坐標為，那么點N坐標，記線段的長度為，然后根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)作答即可．
【詳解】（1）解：∵小球到達的最高的點坐標為，
∴設拋物線的表達式為，
把代入得，，
解得：，
拋物線的表達式為；
（2）解：解方程，得，，
當時，，
所以；
（3）解：當時，，
，
∵，
∴小球能飛過這棵樹；
（4）解：設點M坐標為，
那么點N坐標，
記線段的長度為，
因為，所以在上，有最大值，
則
線段的最大值為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，正確掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關鍵，本題難度適中．
8．（2023秋·山東濟寧·九年級?？计谀┏珀柨h“眾望科工貿(mào)有限公司”生產(chǎn)的“眾望小麻花”色香味美，老少皆宜，深受消費者青睞，“青嬣超市”從該公司購進“眾望小麻花”進行銷售，每箱進價30元，超市將銷售價定為每箱40元時，每月可以賣出100箱，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)，銷售價每箱提高5元，每月就會少賣10箱．
(1)直接寫出每月的銷售量y（箱）與銷售價格x（元/箱）之間的關系式；
(2)“青嬣超市”計劃漲價銷售，請你幫助超市計算一下，每箱銷售價格為多少時，每月的銷售利潤最大，最大月銷售利潤為多少？
(3)疫情期間，相關部門嚴格督查穩(wěn)定物價，要求超市的利潤不得超過平時的，可由于防控交通不便等原因，“眾望科工貿(mào)有限公司”的生產(chǎn)成本提高，“青嬣超市”的每箱麻花進價上漲了a元，該期間月銷售量與銷售價格仍然滿足（1）中的函數(shù)關系，結(jié)果當月超市獲得最大銷售利潤元，求a的值．
【答案】(1)
(2)每箱銷售價格為元時，每月的銷售利潤最大，最大月銷售利潤為元．
(3)當月超市獲得最大銷售利潤元，進價上漲了元．
【分析】（1）根據(jù)題意列出表達式即可；
（2）設銷售利潤為w，據(jù)題意，即可求解；
（3）據(jù)題意，對方程進行變換即可求解；
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，
∴．
（2）設銷售利潤為w，
據(jù)題意，
∴每箱銷售價格為元時，每月的銷售利潤最大，最大月銷售利潤為元．
（3）
，
∵，
∴，
∴當月超市獲得最大銷售利潤1500元，進價上漲了5元．
【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的應用，正確列出函數(shù)表達式是解題的關鍵．
9．（2023秋·廣西南寧·九年級三美學校?？计谥校┠彻旧a(chǎn)的某種產(chǎn)品每件成本為40元，經(jīng)市場調(diào)查整理出如下信息：
①該產(chǎn)品90天內(nèi)日銷售量（m件）與時間（第x天）滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表：
②該產(chǎn)品90天內(nèi)每天的銷售價格與時間（第x天）的關系如下表：
(1)求m關于x的一次函數(shù)表達式；
(2)設銷售該產(chǎn)品每天利潤為y元，請寫出y關于x的函數(shù)表達式，并求出在90天內(nèi)該產(chǎn)品哪天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
(3)在該產(chǎn)品銷售的過程中，共有多少天銷售利潤不低于5400元，請直接寫出結(jié)果．
【答案】(1)
(2)第40天利潤最大，最大利潤為7200元
(3)共有46天利潤不低于5400元
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法解出一次函數(shù)解析式即可；
（2）設利潤為元，則當時，；當時，，分別求出各段上的最大值，比較即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)和時，由求得的范圍，據(jù)此可得銷售利潤不低于5400元的天數(shù)．
【詳解】（1）解：與成一次函數(shù)，
設，將，，，代入，得：
，
解得：．
所以關于的一次函數(shù)表達式為；
（2）設銷售該產(chǎn)品每天利潤為元，關于的函數(shù)表達式為：
，
當時，，
，
當時，有最大值，最大值是7200；
當時，，
，
隨增大而減小，即當時，的值最大，最大值是6000；
綜上所述，當時，的值最大，最大值是7200，
即在90天內(nèi)該產(chǎn)品第40天的銷售利潤最大，最大利潤是7200元；
（3）當時，由可得，
解得：，
，
；
當時，由可得，
解得：，
，
，
綜上，，
故在該產(chǎn)品銷售的過程中，共有46天銷售利潤不低于5400元．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是理解題意根據(jù)銷售問題中總利潤的相等關系，結(jié)合的取值范圍列出分段函數(shù)解析式及二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)．
10．（2022秋·山西陽泉·九年級校聯(lián)考期末）如圖是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點O正上方4米處的A點滑出，滑出后沿一段拋物線運動．

(1)當運動員運動到離A處的水平距離為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
(2)在（1）的條件下，當運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米？
(3)當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求b的取值范圍．
【答案】(1)拋物線的函數(shù)解析式為：
(2)運動員運動的水平距離為12米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意將點和代入求出、的值即可寫出的函數(shù)解析式；
（2）設運動員運動的水平距離為米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米，依題意得：，解出即可；
（3）求出山坡的頂點坐標為，根據(jù)題意即，再解出的取值范圍即可．
【詳解】（1）由題意可知拋物線過點和，將其代入得：
，
解得，
∴拋物線的函數(shù)解析式為：；
（2）設運動員運動的水平距離為m米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米，依題意得：
，
整理得：，
解得：，（舍去），
故運動員運動的水平距離為12米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米；
（3），
當時，運動員到達坡頂，
即，
解得：．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及其應用，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，并能將實際問題與二次函數(shù)模型相結(jié)合是解決本題的關鍵．
11．（2022秋·四川成都·九年級成都實外?？计谥校佄锞€的頂點為，與軸交于點和（點在點的右側(cè)），與軸交于點，直線是拋物線的對稱軸．
(1)當時，求頂點P的坐標；
(2)將拋物線向左平移1個單位長，向上平移2個單位長，所得拋物線的頂點恰好與點C重合，求平移后所得拋物線的解析式；
(3)設E是直線上的一點，F(xiàn)是直線上的一點，若四邊形的三邊的最小值為5，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化成頂點式即可求得；
（2）求得的坐標以及頂點的坐標，即可得到平移后的頂點為，根據(jù)題意得到，求得，然后根據(jù)頂點坐標寫出解析式即可；
（3）如圖，作點關于直線的對稱點，點關于拋物線對稱軸的對稱點，連接與直線交于點，與對稱軸交于點，此時的最?。蟪鼍€段即可．
【詳解】（1）解：當時，拋物線
頂點的坐標為；
（2）解：由拋物線可知，點為，
，
頂點為，
將拋物線向左平移1個單位長，向上平移2個單位長，所得拋物線的頂點為，
點恰好與點重合，
，
頂點為
平移后所得拋物線的解析式
（3）解：，
，
如圖，作點關于直線的對稱點，點關于拋物線對稱軸的對稱點，連接與直線交于點，與對稱軸交于點，此時最?。?br>
，
過點作，過點作于點，
，
在中，，
，
整理得，，
解得或（舍去），
．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與幾何變換、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、最短問題等知識，解題的關鍵是靈活運用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，屬于中考壓軸題．
12．（2022秋·四川成都·九年級成都實外?？计谥校┩趿镣瑢W善于改進學習方法，他發(fā)現(xiàn)對解題過程進行回顧反思，效果會更好．某一天他利用了分鐘時間進行自主學習．假設他用于解題的時間(單位：分)鐘與學習收益量的關系如圖所示，用于回顧反思的時間(單位：分鐘)與學習收益量的關系如圖所示(其中是拋物線的一部分，為拋物線的頂點)，且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間．

(1)求王亮解題的學習收益量與用于解題的時間之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；
(2)求王亮回顧反思的學習收益量與用于回顧反思的時間之間的函數(shù)關系式；
(3)王亮如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這分鐘的學習收益總量最大？（注：學習收益總量解題的學習收益量回顧反思的學習收益量）
【答案】(1)；
(2)；
(3)王亮用于解題的時間為分鐘，用于回顧反思的時間為分鐘時，學習收益總量最大
【分析】（1）設代入可得k與y的值；
（2）當時，設，代入可得，則可以求出y的解，當時，；
（3）根據(jù)題意可得可推出z隨著x的增大而減小．
【詳解】（1）解：設，
把代入，得．
．
自變量的取值范圍是：．
∴；
（2）解：當時，設，
把代入，得，．
∴．
當時，．
即；
（3）解：設王亮用于回顧反思的時間為分鐘，學習效益總量為，
則他用于解題的時間為分鐘．
當時，．
∴當時，．
當時，．
∵Z隨的增大而減小，
∴當時，，
綜合所述，當時，，此時．
即王亮用于解題的時間為分鐘，用于回顧反思的時間為分鐘時，學習收益總量最大．
【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應用，特別是分段函數(shù)中自變量的取值范圍問題，綜合性較強．
材料
甲
乙
價格（元/米2）
50
40
售價（元/千克）
40
50
60
銷售量（千克）
120
100
80
包裝
包裝
售價（元/件）
日銷售量（件）
A種商品的銷量
0
5
10
15
20
……
A種商品的售價
240
230
220
210
200
……
x（米）
y（米）
時間（第天）
1
3
6
10
日銷售量件）
198
194
188
180
時間（第天）
銷售價格（元件）
100

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熱點專題05 概率初步（10個熱點）-九年級數(shù)學全冊重難熱點提升精講與過關測試（人教版）：

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