專題29 規(guī)律探究題（共14道）-中考數(shù)學真題分項匯編（全國通用）-試卷下載-教習網(wǎng)

1．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是正方形，曲線叫作“正方形的漸開線”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，循環(huán)．當時，點的坐標是( )

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題得點的位置每4個一循環(huán)，經(jīng)計算得出在第三象限，與，，，…符合同一規(guī)律，探究出，，，...的規(guī)律即可．
【詳解】解：由圖得，，…
點C的位置每4個一循環(huán)，
，
∴在第三象限，與，，，…
符合規(guī)律，
∴坐標為．
故選：A．
【點睛】本題考查了點的坐標的規(guī)律的探究，理解題意求出坐標是解題關鍵．
2．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，那么的值為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)圖形中“●”的個數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進而求解即可．
【詳解】解：，
，
，
，
…，
；
∴
，
故選∶C．
【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解題的關鍵．
3．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）在“點燃我的夢想，數(shù)學皆有可衡”數(shù)學創(chuàng)新設計活動中，“智多星”小強設計了一個數(shù)學探究活動：對依次排列的兩個整式m，n按如下規(guī)律進行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后…
其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．
則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項之和是（）
A．B．mC．D．
【答案】D
【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循環(huán)，再求解第四次操作后所有的整式之和為：，結合，從而可得答案．
【詳解】解：第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后得到整式串m，n，，，；
第4次操作后得到整式串m，n，，，，；
第5次操作后得到整式串m，n，，，，，；
歸納可得：以上整式串每六次一循環(huán)，
∵，
∴第2023次操作后得到的整式中各項之和與第1次操作后得到整式串之和相等，
∴這個和為，
故選D
【點睛】本題考查的是整式的加減運算，代數(shù)式的規(guī)律探究，掌握探究的方法，并總結概括規(guī)律并靈活運用是解本題的關鍵．
4．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學家高斯推動了數(shù)學科學的發(fā)展，被數(shù)學界譽為“數(shù)學王子”，據(jù)傳，他在計算時，用到了一種方法，將首尾兩個數(shù)相加，進而得到．人們借助于這樣的方法，得到（n是正整數(shù)）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，其中，且是整數(shù)．記，如，即，即，即，以此類推．則下列結論正確的是（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用圖形尋找規(guī)律，再利用規(guī)律解題即可．
【詳解】解：第1圈有1個點，即，這時；
第2圈有8個點，即到；
第3圈有16個點，即到，；
依次類推，第n圈，；
由規(guī)律可知：是在第23圈上，且，則即，故A選項不正確；
是在第23圈上，且，即，故B選項正確；
第n圈，，所以，故C、D選項不正確；
故選B．
【點睛】本題考查圖形與規(guī)律，利用所給的圖形找到規(guī)律是解題的關鍵．
5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分數(shù)若排在第a行b列，則的值為( )

……
A．2003B．2004C．2022D．2023
【答案】C
【分析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分數(shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數(shù)，分母與其所在行數(shù)一致．
【詳解】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分數(shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數(shù)，分母與其所在行數(shù)一致，故在第20列，即；向前遞推到第1列時，分數(shù)為，故分數(shù)與分數(shù)在同一行．即在第2042行，則．
∴
故選：C．
【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索的知識點，解題的關鍵善于發(fā)現(xiàn)數(shù)字遞變的周期性和趨向性．
二、填空題
6．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形，，，，…都是平行四邊形，頂點，，，，，…都在軸上，頂點，，，，…都在正比例函數(shù)（）的圖象上，且，，，…，連接，，，，…，分別交射線于點，，，，…，連接，，，…，得到，，，…．若，，，則的面積為．

【答案】
【分析】根據(jù)題意和圖形可先求得，，，，，，，，，從而得，，，，利用三角形的面積公式即可得解．
【詳解】解：∵，，，
∴點與點的橫坐標相同，，，，，
∴軸，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形，，，，…都是平行四邊形，
∴，，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，，，，，，
∴，，
∴，
∵在上，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查相似三角形的判定及性質，平行四邊形的性質，坐標與圖形，坐標規(guī)律，熟練掌握相似三角形的判定及性質以及平行四邊形的性質是解題關鍵．
7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正三角形，點A在第一象限，點、．將線段繞點C按順時針方向旋轉至；將線段繞點B按順時針方向旋轉至；將線段繞點A按順時針方向旋轉至；將線段繞點C按順時針方向旋轉至；……以此類推，則點的坐標是．

【答案】
【分析】首先畫出圖形，然后得到旋轉3次為一循環(huán)，然后求出點在射線的延長線上，點在x軸的正半軸上，然后利用旋轉的性質得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性質求解即可．
【詳解】如圖所示，

由圖象可得，點，在x軸的正半軸上，
∴．旋轉3次為一個循環(huán)，
∵
∴點在射線的延長線上，
∴點在x軸的正半軸上，
∵，是正三角形，
∴由旋轉的性質可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴由旋轉的性質可得，，
∴如圖所示，過點作軸于點E，

∵，
∴，
∴，
∴，，
∴點的坐標是．
故答案為：．
【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉，勾股定理，等邊三角形的性質．正確確定每次旋轉后點與旋轉中心的距離長度是關鍵．
8．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）1261年，我國宋朝數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個數(shù)表稱為“楊輝三角”．

觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，展開的多項式中各項系數(shù)之和為．
【答案】
【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結果．
【詳解】根據(jù)題意得：展開后系數(shù)為：，
系數(shù)和：，
展開后系數(shù)為：，
系數(shù)和：，
展開后系數(shù)為：，
系數(shù)和：，
故答案為：．
【點睛】此題考查了多項式的乘法運算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關鍵是弄清系數(shù)中的規(guī)律．
9．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）已知，都是邊長為2的等邊三角形，按下圖所示擺放．點都在x軸正半軸上，且，則點的坐標是．

【答案】
【分析】先確定前幾個點的坐標，然后歸納規(guī)律，按規(guī)律解答即可．
【詳解】解：由圖形可得：
如圖：過作軸，

∵
∴
∴,
同理：
∴點的橫坐標為1，點的橫坐標為2，點的橫坐標為3，……縱坐標三個一循環(huán)，
∴的橫坐標為2023，
∵，674為偶數(shù)，
∴點在第一象限，
∴．
故答案為．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質、解直角三角形、坐標規(guī)律等知識點，先求出幾個點、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解答本題的關鍵．
10．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）在求的值時，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則．（結果用含n的代數(shù)式表示）

【答案】/
【分析】根據(jù)題意得出，進而即可求解．
【詳解】解：依題意，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關鍵．
11．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在軸上，點B在軸上，，連接，過點O作于點，過點作軸于點；過點作于點，過點作軸于點；過點作于點，過點作軸于點；…；按照如此規(guī)律操作下去，則點的坐標為．

【答案】
【分析】根據(jù)題意，結合圖形依次求出的坐標，再根據(jù)其規(guī)律寫出的坐標即可．
【詳解】解：在平面直角坐標系中，點A在軸上，點B在軸上，，
是等腰直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，
同理可得：均為等腰直角三角形，
，
根據(jù)圖中所有的三角形均為等腰直角三角形，
依次可得：
由此可推出：點的坐標為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系中點的坐標特征，以及點的坐標變化規(guī)律問題，等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是依次求出的坐標，找出其坐標的規(guī)律．
12．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A在直線上，頂點B在x軸上，垂直軸，且，頂點在直線上，；過點作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點作垂直x軸，交于點，連接，得到第一個；過點作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點作垂直x軸，交于點，連接，得到第二個；如此下去，……，則的面積是．
【答案】
【分析】解直角三角形得出，，求出，證明，，得出，，總結得出，從而得出．
【詳解】解：∵，
∴，
∵軸，
∴點A的橫坐標為，
∵，
∴點A的縱坐標為，
∴，
∴，
∵，
∴設，則，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵軸，軸，
∴，，
∵軸，軸，軸，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴，
，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質，解直角三角形，三角形面積的計算，平行線的判定和性質，一次函數(shù)規(guī)律探究，角平分線的性質，三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是得出一般規(guī)律．
13．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是正方形，點的坐標為，是以點為圓心，為半徑的圓??；是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以點，，，為圓心按上述作法得到的曲線稱為正方形的“漸開線”，則點的坐標是．
【答案】
【分析】將四分之一圓弧對應的A點坐標看作順時針旋轉，再根據(jù)A、、、、的坐標找到規(guī)律即可．
【詳解】∵A點坐標為，且為A點繞B點順時針旋轉所得，
∴點坐標為，
又∵為點繞O點順時針旋轉所得，
∴點坐標為，
又∵為點繞C點順時針旋轉所得，
∴點坐標為，
又∵為點繞A點順時針旋轉所得，
∴點坐標為，
由此可得出規(guī)律：為繞B、O、C、A四點作為圓心依次循環(huán)順時針旋轉，且半徑為1、2、3、、n，每次增加1．
∵，
故為以點C為圓心，半徑為2022的順時針旋轉所得
故點坐標為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了點坐標規(guī)律探索，通過點的變化探索出坐標變化的規(guī)律是解題的關鍵．
三、解答題
14．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）［材料閱讀]
用數(shù)形結合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知
的結果等于該正方形的面積，
即．
方法2：借助函數(shù)和的圖象，觀察圖②可知
的結果等于，，，…，…等各條豎直線段的長度之和，
即兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距離．因為兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距為1，
所以，．

【實踐應用】
任務一完善的求值過程．

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知______．
方法2：借助函數(shù)和的圖象，觀察圖④可知
因為兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為______，
所以，______．
任務二參照上面的過程，選擇合適的方法，求的值．
任務三用方法2，求的值（結果用表示）．
【遷移拓展】
長寬之比為的矩形是黃金矩形，將黃金矩形依次截去一個正方形后，得到的新矩形仍是黃金矩形．
觀察圖⑤，直接寫出的值．

【答案】任務一，方法1：；方法2：，；任務二，；任務三，；[遷移拓展]
【分析】任務一，仿照例題，分別根據(jù)方法1，2進行求解即可；
任務二，借助函數(shù)和得出交點坐標，進而根據(jù)兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距離．因為兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距為2，即可得出結果；
任務三參照方法2，借助函數(shù)和的圖象，得出交點坐標，即可求解；
[遷移拓展]觀察圖⑤第一個正方形的面積為，第二個正方形的面積為，……進而得出則的值等于長寬之比為的矩形減去1個面積為的正方形的面積，即可求解．
【詳解】解：任務一，方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知
故答案為：．
方法2：借助函數(shù)和的圖象，觀察圖④可知
因為兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為，
所以，．
故答案為：，．
任務二：參照方法2，借助函數(shù)和的圖象，，
解得：
∴兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為，
．
任務三參照方法2，借助函數(shù)和的圖象，兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為，
∴
[遷移拓展]根據(jù)圖⑤，第一個正方形的面積為，第二個正方形的面積為，……
則的值等于長寬之比為的矩形減去1個面積為1的正方形的面積，
即
【點睛】本題考查了一次函數(shù)交點問題，正方形面積問題，理解題意，仿照例題求解是解題的關鍵．

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