（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
第Ⅰ卷
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．
1. 已知復數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則的虛部是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用復數(shù)乘方運算法則和除法法則計算得到，得到虛部.
【詳解】，則，
則其虛部為．
故選：D
2. 若，，三點共線，則（）
A. 4B. C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量平行坐標關(guān)系計算求解即可.
【詳解】因為，，所以，
解得．故．
故選：A.
3. 已知直三棱柱的所有棱長均為1，則直線與直線所成夾角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.
【詳解】直三棱柱的所有棱長均為1，
以為坐標原點，在平面內(nèi)過作的垂線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，
設(shè)直線與直線夾角為，
則直線與直線夾角的余弦值為．
故選：C．
4. 已知直線，則直線l的傾斜角為（）
A. 120°B. 60°C. 30°D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線方程得到，然后根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求傾斜角即可.
【詳解】直線方程可整理為，即，所以直線的斜率，
設(shè)傾斜角為，則，因為，所以.
故選：D.
5. 若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）
AB.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)公式，即可求解.
【詳解】由題意可知，，則，
所以雙曲線的漸近線方程為，即.
故選：A
6. 從2023年6月開始，浙江省高考數(shù)學使用新高考全國數(shù)學I卷，與之前浙江高考數(shù)學卷相比最大的變化是出現(xiàn)了多選題.多選題規(guī)定：在每題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對且沒有選錯的得2分.若某題多選題正確答案是BCD，某同學不會做該題的情況下打算隨機選1個到3個選項作為答案，每種答案都等可能（例如，選A，AB，ABC是等可能的），則該題得2分的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用組合數(shù)求得隨機地填涂了1個或2個或3個選項，每種可能性都是相同的，然后列舉計數(shù)能得2分的涂法種數(shù)，求得所求概率．
【詳解】隨機地填涂了1個或2個或3個選項，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有14種涂法，
得2分的涂法為BC，BD，CD，B，C，D，共6種，
故能得2分的概率為．
故選：B．
7. 已知點是直線：和：的交點，點是圓：上的動點，則的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意分析可知點的軌跡是以的中點，半徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)運算求解.
【詳解】因為直線：，即，
令，解得，可知直線過定點，
同理可知：直線過定點，
又因為，可知，
所以直線與直線的交點的軌跡是以的中點，半徑的圓，
因為圓的圓心，半徑，
所以的最大值是.
故選：B.
8. 設(shè)是雙曲線的左?右焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先求得焦點到漸近線的距離為，在直角中，求得，再在中，利用余弦定理求得，結(jié)合和離心率的定義，即可求解.
【詳解】由雙曲線，可得，漸近線方程為，
如圖所示，則焦點到漸近線的距離為，
在直角中，可得，
在中，由余弦定理得，
即，所以，
又由，所以，可得，
所以雙曲線的離心率為.
故選：A.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）
A. 空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面
B. 若對空間中任意一點，有，則四點共面
C. 已知向量組是空間的一個基底，則也是空間的一個基底
D. 若，則是鈍角
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)向量共面的定義可判斷A，根據(jù)共面定理可判斷B，根據(jù)基底的定義可判斷C，利用向量夾角的取值范圍判斷D.
【詳解】對于A，因為有兩個向量共線，所以這三個向量一定共面，A正確；
對于B，因為且，
所以P，A，B，C四點共面，B正確；
對于C，因為是空間中的一組基底，所以不共面且都不為，
假設(shè)共面，則，
即，則，與其為基底矛盾，所以不共面，
所以也是空間的一組基底，C正確；
對于D，若，則鈍角或是，D錯誤；
故選：ABC
10. 下列說法正確的有（）
A. 擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，事件“點數(shù)之和為奇數(shù)”，事件“出現(xiàn)3點”，則
B. 袋中有大小質(zhì)地相同的3個白球和2個紅球.從中依次不放回取出2個球，則“兩球不同色”的概率是
C. 甲，乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶率為0.8，乙的中靬率為0.9，則“至少一人中靶”的概率為0.98
D. 某學生在上學的路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為
【答案】BC
【解析】
【分析】計算古典概率判斷A；利用列舉法結(jié)合古典概型計算判斷B；利用對立事件及相互獨立事件求出概率可判斷CD.
【詳解】對于A，擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，共有種不同的結(jié)果，
事件“點數(shù)之和為奇數(shù)且出現(xiàn)3點”有共6種不同的結(jié)果，則，故A錯誤；
對于B，記3個白球為，2個紅球為，從5個球中任取2個的不同結(jié)果有：
，共10個，
其中兩球不同色的結(jié)果有：共6個，
所以“兩球不同色”的概率是，故B正確；
對于C，依題意，“至少一人中靶”的概率為，故C正確；
對于D，該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈，即在前兩個路口都沒有遇到紅燈，
第3個路口遇到紅燈，所以到第3個路口首次遇到紅燈概率為，故D錯誤.
故選：BC.
11. 已知橢圓，若在橢圓上，是橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的有（）
A. 若，則B. 面積的最大值為2
C. 的最大值為D. 的最大值為4
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用余弦定理可判斷A選項；利用三角形的面積公式可判斷B選項；利用橢圓的定義可判斷C選項；利用基本不等式可判斷D選項．
【詳解】在橢圓中，，且，
對于A選項，當時，則為橢圓的上下頂點，故，
由余弦定理可得，
因為，所以，，A對；
對于B選項，當點為橢圓的短軸頂點時，點到軸的距離最大，
所以，△面積的最大值為，B錯誤；
對于C選項，因為，即，
所以，C對；
對于D選項，由橢圓定義可知，
所以，當且僅當時取等號．
故選：ACD．
12. 已知正方體棱長為為棱中點，為正方形上的動點，則（）
A. 滿足的點的軌跡長度為
B. 滿足平面的點的軌跡長度為
C. 存在點，使得平面經(jīng)過點
D. 存在點滿足
【答案】AB
【解析】
【分析】對于A，建立空間直角坐標系，找出的坐標，設(shè)，進而對B進行計算驗證即可；
對于B，利用線面平行的判定定理找出的軌跡，進而求解判斷即可；
對于C，連接，取的中點，連接，，得到平面截正方體所得截面與正方形沒有交點，進而即可判斷；
對于D，借助空間直角坐標系，求得的最小值及處于邊界處的的值，進而判斷即可.
【詳解】如圖，以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，
則，，設(shè)，且，，
所以，，，
對于A，由，得，即，
因為，，所以點的軌跡為線段，且，，
則，即點的軌跡長度為，故A正確；
對于B，取的中點，的中點，如圖，
因為點為的中點，由正方體的性質(zhì)知，，
因為平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又，，
所以平面平面，又平面，
所以平面，
所以點的軌跡為線段，故B正確；
對于C，如圖，連接，取的中點，連接，，
則平面截正方體所得截面為，與正方形沒有交點，
所以不存在點，使得平面經(jīng)過點，故C錯誤；
對于D，由A知，點關(guān)于平面的對稱點為，
所以當三點共線時最小，
即，
且當與重合時，，
當與重合時，，
當與重合時，，
當與重合時，，
綜上所述，不存在點滿足，故D錯誤.
故選：AB.
【點睛】方法點睛：立體幾何中關(guān)于動點軌跡問題，常常結(jié)合線、面判定定理及性質(zhì)尋求，或借助空間直角坐標系進行輔助計算求解.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 橢圓的四個頂點所圍成的四邊形的面積是__________.
【答案】40
【解析】
【分析】利用橢圓方程可寫出四個頂點的坐標，即可求出圍成的四邊形的面積.
【詳解】由橢圓方程可得橢圓的四個頂點分別為，
故這四個頂點圍成的四邊形為菱形，
所以面積.
故答案為：40
14. 已知直線，直線，若，則=_________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)直線的平行可得出關(guān)于m的方程，求得m的值，檢驗后即得答案.
【詳解】由題意直線，直線，
若，則有，
即，解得或，
當時，，直線，兩直線重合，不合題意，
當時，，直線，則，
故
故答案為：2
15. 已知雙曲線C：，偶函數(shù)，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可以求得的值，再依據(jù)所給條件求得的取值范圍，代入離心率的計算公式求解即可.
【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以
即，解得，故函數(shù)解析式為，因為，即，
解得，雙曲線離心率為，則
，，所以離心率的取值范圍是.
故答案為：
16. 已知橢圓的右焦點是，直線交橢圓于兩點﹐直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為____________．
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)橢圓的左焦點為，利用已知條件結(jié)合橢圓的對稱性可得四邊形為矩形，再利用勾股定理方程組求解即可.
【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，連接，，，，
由直線交橢圓于兩點﹐及，
結(jié)合橢圓的對稱性可得，
所以，，均為直角三角形，所以四邊形為矩形，
設(shè)，則，，，
所以在直角中，即①，
在直角中，即②，
由②解得，
將代入①得，即，
所以，
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知圓，點，直線
（1）若直線與相交于A、B兩點，求．
（2）求過點且與相切的直線方程．
【答案】（1）
（2）和
【解析】
【分析】（1）根據(jù)弦長公式，即可求解；
（2）根據(jù)直線與圓相切的幾何意義，列式求解.
小問1詳解】
圓的圓心為，圓心到直線的距離，
弦長；
【小問2詳解】
過點的直線的斜率不存在時，直線與圓相切，滿足條件；
當過點的直線的斜率存在時，設(shè)切線方程為，
圓心到直線的距離，得，
此時切線方程為.
綜上可知，切線方程為和.
18. 根據(jù)世行2020年標準，人均GDP低于1035美元為低收入國家；人均GDP為美元為中等偏下收入國家；人均GDP為美元為中等偏上收入國家；人均GDP不低于美元為高收入國家．某城市有5個行政區(qū)，各區(qū)人口占該城市人口比例及人均GDP如下表：
（1）判斷該城市人均GDP是否達到中等偏上收入國家標準；
（2）現(xiàn)從該城市5個行政區(qū)中隨機抽取2個，求抽到的2個行政區(qū)人均GDP至少一個沒達到中等偏上收入國家標準的概率．
【答案】（1）該城市人均GDP達到了中等偏上收入國家標準
（2）
【解析】
【分析】（1）計算該城市該城市人均GDP，比較即可得結(jié)論；
（2）利用列舉法，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.
【小問1詳解】
設(shè)該城市人口總數(shù)為a，則該城市人均GDP為
（美元）．
因為，
所以該城市人均GDP達到了中等偏上收入國家標準．
【小問2詳解】
“從5個行政區(qū)中隨機抽取2個”的所有的基本事件是：，，，，
，，，，，，共10個．
設(shè)事件M為“抽到的2個行政區(qū)人均GDP至少一個沒達到中等偏上收入國家標準”，
則事件M包含的基本事件是：，，，，，，，共7個，
所以所求概率為．
19. 雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線上．
（1）求的最小值
（2）若，求
【答案】（1）2（2）13
【解析】
【分析】（1）利用兩點間的距離公式，結(jié)合雙曲線的取值范圍，即可求解；
（2）根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合（1）的結(jié)果，即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)，，左焦點，
，或，
當時，取得最小值2，
所以的最小值為2；
【小問2詳解】
由方程可知，，
所以，即，解得：或,
根據(jù)對稱性，以及（1）的結(jié)果可知，的最小值為2，
所以舍去，，
所以的值為.
20. 已知橢圓：的離心率為，是橢圓上一點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若，是橢圓上兩點，且線段的中點坐標為M，
①求直線的方程．
②求的面積．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由離心率，過點，及橢圓的定義列方程組求解即可；
（2）設(shè)，利用點差法即可求出直線的方程；再利用弦長公式，點到直線的距離公式即可求得面積．
【小問1詳解】
由題意得，，解得，
所以橢圓的方程為．
【小問2詳解】
設(shè)，
由，是橢圓上兩點得，，
兩式相減得，即，
因為線段的中點坐標為M，所以，
所以，即，
所以直線的方程為，即；
由得，，
則，
所以，
點到直線的距離，
所以．
21. 在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面，且分別為的中點．
（1）證明：平面；
（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，即可證明結(jié)論；
（2）由直線與平面所成的角為，可得，建立以G為原點的空間直角坐標系，利用向量方法可得答案.
【小問1詳解】
證明：取中點，連接，
為的中點，
，又，
，
四邊形為平行四邊形：
，
平面平面，
平面；
【小問2詳解】
平面平面，平面平面平面，平面，
取中點，連接，則平面，
，
，又，
如圖以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，
，
，設(shè)平面的一個法向量，，
則，取，則，
平面的一個法向量可取，
設(shè)平面與平面所成的夾角為，
,平面與平面所成的夾角的余弦為
22. 已知橢圓的左焦點為，點在上．
（1）求橢圓的方程；
（2）過的兩條互相垂直的直線分別交于兩點和兩點，若的中點分別為，探究直線是否過定點，若過定點，求出此定點坐標，若不過定點，請說明理由．
【答案】22.
23. 過定點
【解析】
【分析】（1）確定焦點得到，解得，，得到橢圓方程.
（2）考慮斜率存在和不存在的情況，設(shè)出直線，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，確定中點坐標得到直線的方程，取代入計算得到答案.
【小問1詳解】
橢圓的左焦點為，，則右焦點為，點在橢圓上，
取得到，即，又，
解得，，（舍去負值），故橢圓方程為，
小問2詳解】
當兩條直線斜率存在時，設(shè)的直線方程為，，，
則，整理得到，
，
故，，即，
同理可得：，則，
故直線的方程為：，
取，
.
故直線過定點.
當有直線斜率不存在時，為軸，過點.
綜上所述：直線必過定點.
行政區(qū)
區(qū)人口占城市人口比例
區(qū)人均GDP（單位：美元）
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10000

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