考試時間：120分鐘
第I卷（選擇題）
一、單選題（每題5分，共8小題，總計40分）
1. 直線的一個方向向量是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根據(jù)方向向量的定義解答即可．
【詳解】直線的斜率為，則選項中是直線的一個方向向量，即B正確．
故選：B．
2. 為空間的一組基底，則下列各項中能構(gòu)成基底的一組向量是（）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】確定，，排除ABD，得到答案.
【詳解】對選項A：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；
對選項B：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；
對選項C：假設，即，這與題設矛盾，假設不成立，可以構(gòu)成基底，正確；
對選項D：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；
故選：C
3. 今有水平相當?shù)钠迨旨缀推迨忠疫M行某項圍棋比賽，勝者可獲得24000元獎金.比賽規(guī)定下滿五局，五局中獲勝局數(shù)多者贏得比賽，比賽無平局，若比賽已進行三局，甲兩勝一負，由于突發(fā)因素無法進行后面比賽，如何分配獎金最合理？（）
A. 甲12000元，乙12000元B. 甲16000元，乙8000元
C. 甲20000元，乙4000元D. 甲18000元，乙6000元
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)甲乙兩人最終獲勝的概率即可按比例分配.
【詳解】乙最終獲勝的概率為，甲最終獲勝的概率為，所以甲乙兩人按照分配獎金才比較合理，所以甲元，乙元，
故選：D
4. 已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）
A. 0.35B. 0.25C. 0.20D. 0.15
【答案】B
【解析】
【分析】已知三次投籃共有20種，再得到恰有兩次命中的事件的種數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解.
【詳解】三次投籃共有20種，
恰有兩次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5種
∴該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為
故選：B
【點睛】本題主要考古典概型的概率求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.
5. 如圖，空間四邊形中，，，.點在上，且，為的中點，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運算直接求解即可.
【詳解】為的中點，,
.
故選：C.
6. 十項全能是田徑運動中全能項目的一種，是由跑、跳、投等個田徑項目組成的綜合性男子比賽項目，比賽成績是按照國際田徑聯(lián)合會制定的專門田徑運動會全能評分表將各個單項成績所得的評分加起來計算的，總分多者為優(yōu)勝者.如圖，這是某次十項全能比賽中甲、乙兩名運動員的各個單項得分的雷達圖，則下列說法不正確的是（）
A. 在米跑項目中，甲的得分比乙的得分高
B. 在跳高和標槍項目中，甲、乙水平相當
C. 甲的各項得分比乙的各項得分更均衡
D. 甲的各項得分的極差比乙的各項得分的極差大
【答案】C
【解析】
【分析】利用雷達圖、結(jié)合方差、極差的概念逐項判斷即可.
【詳解】對于A，由圖中數(shù)據(jù)知，在米跑項目中，甲的得分比乙的得分高，正確；
對于B，由圖中數(shù)據(jù)知，在跳高和標槍項目中，甲、乙水平相當，正確；
對于C，甲的各項得分差異比乙的各項得分差異大，因此乙的各項得分更均衡，不正確；
對于D，甲的各項得分的極差大于400，乙的各項得分的極差小于200，所以乙的各項得分的極差大，正確.
故選：C.
7. 設直線l方程為，則直線l的傾斜角的范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】當時，可得傾斜角，當時，由直線方程可得斜率，然后由余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)求解．
【詳解】當時，方程為，直線的傾斜角，
當時，由直線方程可得斜率，
，且，
，即，
又，，
綜上，傾斜角的范圍是
故選：D．
8. 如圖，已知正方體，空間中一點滿足，且，當取最小值時，點位置記為點，則數(shù)量積的不同取值的個數(shù)為（）
A. 3B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】以為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間坐標系，由題意可得點在平面內(nèi)，且當平面時，取最小值，即平面,求出的坐標，計算出的值，即可得答案.
【詳解】以為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間坐標系，如圖所示：
設正方體的棱長為，
則，，，，，，，，
因為，且，
所以點在平面內(nèi)，
又因為三棱錐為正三棱錐，
當平面時，取最小值，此時點位置記為點，
所以為的重心，則，故，
又因為，，，，，，，
所以，，，，，，，
所以共3個不同的取值.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點睛：在平面中，如果，且，則三點共線；
在空間中，如果，且，則四點共面.
二、多選題（每題5分，共4小題，總計20分）
9. 甲?乙各投擲一枚骰子，下列說法正確的是（）
A. 事件“甲投得5點”與事件“甲投得4點”不是互斥事件
B. 事件“甲投得6點”與事件“乙投得5點”是相互獨立事件
C. 事件“甲?乙都投得6點”與事件“甲?乙不全投得6點”是對立事件
D. 事件“至少有1人投得6點”與事件“甲投得6點且乙沒投得6點”是相互獨立事件
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件、獨立事件和對立事件的定義逐一判斷即可.
【詳解】對于A，事件“甲投得5點”與事件“甲投得4點”不可能同時發(fā)生，二者為互斥事件，A錯誤；
對于B, 事件“甲投得6點”發(fā)生與否對事件“乙投得5點”沒有影響，二者是相互獨立事件，B正確；
對于C，事件“甲?乙都投得6點”的反面為“至少有1人沒有投得6點”，也即“甲?乙不全投得6點”，
故事件“甲?乙都投得6點”與事件“甲?乙不全投得6點”是對立事件，C正確；
對于D，事件“至少有1人投得6點”包含“甲投得6點且乙沒投得6點”的情況，
故事件“至少有1人投得6點”與事件“甲投得6點且乙沒投得6點”不是相互獨立事件，D錯誤，
故選：BC
10. 直線過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線在軸上的截距可能是（）
A. 3B. 0C. D. 1
【答案】ABD
【解析】
【分析】通過討論直線截距是否為的情況，即可得出結(jié)論
【詳解】由題意，直線過點，在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，
當直線的截距為0時，顯然滿足題意，為：；
當直線的截距不為0時，設橫、縱截距分別為，則直線方程為：，
∴，解得：或，
∴直線的縱截距可取.
故選：ABD.
11. 某校高二年級有男生600人，女生400人，張華按男生、女生進行分層，通過分層抽樣的方法，得到一個總樣本量為100的樣本，計算得到男生、女生的平均身高分別為170cm和160cm，方差分別為15和30，則下列說法正確的有（ ）
A. 若張華采用樣本量比例分配的方式進行抽樣，則男生、女生分別應抽取60人和40人；
B. 若張華采用樣本量比例分配的方式進行抽樣，則樣本的方差為37.8；
C. 若張華采用樣本量比例分配的方式進行抽樣，則樣本的平均數(shù)為166，此時可用樣本平均數(shù)估計總體的平均數(shù)；
D. 若張華采用等額抽取，即男生、女生分別抽取50人，則某男生甲被抽到的概率為.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣、方差、平均數(shù)、古典概型等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，男生抽取，女生抽取人，A選項正確.
C選項，樣本平均數(shù)為，可以用樣本平均數(shù)估計總體的平均數(shù)，C選項正確.
B選項，樣本方差為
，所以B選項錯誤.
D選項，男生甲被抽到的概率為，D選項錯誤.
故選：AC
12. 如圖，在長方體中，點P是底面內(nèi)的動點，分別為中點，若，則下列說法正確的是（）
A. 最大值為1
B. 四棱錐的體積和表面積均不變
C. 若面，則點P軌跡的長為
D. 在棱上存在一點M，使得面面
【答案】ACD
【解析】
【分析】，當點與點重合時，，可得最大值為1可判斷A；利用棱錐的體積公式計算可得四棱錐的體積；
當點與點重合、為上底面的中心時，計算出表面積可判斷B；取的中點，的中點，利用面面平行的判定定理可得平面平面，可得點P軌跡為線段，求出可判斷C；以為原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，設，求出平面、平面的一個法向量，利用面面垂直的向量求法求出可判斷D.
【詳解】對于A，，當點與點重合時，，即，所以，
所以
，
所以最大值為1，故A正確；
對于B，因為點到底面的距離為，底面面積為，
所以四棱錐的體積為，是定值；
當點與點重合時，四個側(cè)面都為直角三角形，所以表面積為
，
當點為上底面的中心時，連接，則，且，
，此時表面積為
，
所以，故C錯誤；
對于C，取的中點，的中點，分別連接，可得，
因為平面，平面，所以平面，
因為平面，平面，所以平面，且，
平面，所以平面平面，當時，平面，可得面，則點P軌跡為線段，此時，故C正確；
對于D，以為原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，
所以，設，則，
，，
設平面的一個法向量為，
所以，，令可得，
設平面的一個法向量為，
所以，，令可得，
由，解得，滿足題意，故D正確.
故選：ACD
【點睛】空間中面面角的解題步驟：
第一步 首先建立適當?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鱿鄳c的空間直角坐標；
第二步 然后求出兩個平面的法向量；
第三步 再利用向量的夾角公式即可得出結(jié)論.
第II卷（非選擇題）
三、填空題（每題5分，共4小題，總計20分）
13. 在空間直角坐標系中，點到平面的距離為________.
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)空間直角坐標系的定義和點的坐標得到答案.
【詳解】到平面的距離為豎坐標的絕對值，即為5
故答案為：5
14. 已知直線互相垂直，則的值為______ .
【答案】.
【解析】
【分析】根據(jù)兩條直線垂直的條件，得到所滿足的等量關(guān)系式，解方程，求得的值.
【詳解】因為直線互相垂直，
則有，即，
進一步化簡得，
解得或，故答案是0或2.
【點睛】該題所考查的是有關(guān)兩條直線垂直的條件，利用
垂直的條件是，得到關(guān)于所滿足的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.
15. 在正四棱錐S-ABCD中，O為頂點在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC的夾角是________．
【答案】30°
【解析】
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求線面角．
【詳解】解：如圖所示，以O為坐標原點建立空間直角坐標系Oxyz.
設OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，則A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，，
則＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0)．
設平面PAC的法向量為＝(x，y，z)，
因為⊥，，
所以所以x＝0，y＝z，
令y＝1，則＝(0，1，1)是平面PAC的一個法向量，
所以cs〈〉＝，
所以〈〉＝60°，
所以直線BC與平面PAC的夾角為90°－60°＝30°．
故答案為：30°．
【點睛】方法點睛：本題考查證明線面垂直，考查求直線與平面所成的角，求線面角常用方法：
（1）定義法：作出直線與平面所成的角并證明，然后在直角三角形中計算可得；
（2）向量法：建立空間直角坐標系，由直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦的絕對值等于直線與平面所成角的正弦值計算．
16. 已知正三棱柱的所有棱長均為2，為線段上的動點，則到平面的最大距離為________.
【答案】
【解析】
【分析】取的中點，連接，以為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可.
【詳解】取的中點，連接，
因為三棱柱為正三棱柱，所以，平面，
因為平面，所以，
所以以為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為正三棱柱的所有棱長均為2，
所以，
設，則，
所以,
當時，，
設平面的法向量為，則
，令，則，
設到平面的距離為，則
，
當時，設平面的法向量為，則
，令，則，
設到平面的距離為，則
，
所以當時，取得最大值，
因為，
所以到平面的最大距離為，
故答案為：
四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知直線過點．
（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；
（2）若直線與兩坐標軸上圍成的三角形面積為，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）設直線的方程為，代入點坐標可得答案；
（2）設直線的方程為，求出橫截距、縱截距，利用可得答案.
【小問1詳解】
設直線的方程為
過點，
的方程：；
【小問2詳解】
設直線的方程為，
橫截距為，縱截距為，
，
或，
方程為或.
18. 甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（1）若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；
（2）若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學校的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】
【詳解】甲校的男教師用A、B表示，女教師用C表示，乙校的男教師用D表示，女教師用E、F表示，
（1）根據(jù)題意，從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，
有（AD），（AE），（AF），（BD），（BE），（BF），（CD），（CE），（CF），共9種；
其中性別相同的有（AD）（BD）（CE）（CF）四種；
則選出的2名教師性別相同的概率為P=；
（2）若從報名的6名教師中任選2名，
有（AB）（AC）（AD）（AE）（AF）（BC）（BD）（BE）（BF）（CD）（CE）（CF）（DE）（DF）（EF）共15種；
其中選出的教師來自同一個學校的有6種；
則選出的2名教師來自同一學校的概率為P=．
19. 如圖，在四棱錐中，底面，，，，.
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量法即可求得異面直線的夾角余弦值；
（2）由向量法即可求得面面角的夾角余弦值.
【小問1詳解】
因為底面，底面，
所以，，
且，，所以，
以為坐標原點，分別以為軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
則，，
所以，
故異面直線與所成角的余弦值為.
【小問2詳解】
，設平面的法向量為，
則，即，
令，得.
易知是平面的一個法向量，
因為，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
20. 從2022年秋季學期起，四川省啟動實施高考綜合改革，實行高考科目“3+1+2”模式.“3”指語文、數(shù)學、外語三門統(tǒng)考學科，以原始分數(shù)計入高考成績；“1”指考生從物理、歷史兩門學科中“首選”一門學科，以原始分數(shù)計入高考成績；“2”指考生從政法、地理、化學、生物四門學科中“再選”兩門學科，以等級分計入高考成績.按照方案，再選學科的等級分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績從高到低劃分為A，B，C，D，E五個等級，各等級人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：
將各等級內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級分，轉(zhuǎn)換公式為，其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，，分別表示等級賦分區(qū)間的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，表示考生的等級分，規(guī)定原始分為時，等級分為，計算結(jié)果四舍五入取整.某次化學考試的原始分最低分為50，最高分為98，呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求此次化學考試成績的平均值；
（2）按照等級分賦分規(guī)則，估計此次考試化學成績A等級的原始分區(qū)間；
（3）用估計的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學生化學成線的原始分為90，試計算其等級分.
【答案】（1）73（2）
（3）91分
【解析】
【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出，由頻率分布直方圖中平均數(shù)的概念求解平均數(shù)；
（2）求出等級A的原始分區(qū)間的最低分，又最高分為98，即可得解；
（3）利用給定轉(zhuǎn)換公式求出等級分作答．
【小問1詳解】
由，可得，
此次化學考試成績的平均值為分．
【小問2詳解】
由頻率分布直方圖知，原始分成績位于區(qū)間的占比為，位于區(qū)間的占比為，
因為成績A等級占比為，所以等級A的原始分區(qū)間的最低分位于區(qū)間，
估計等級A的原始分區(qū)間的最低分為，
已知最高分為98，所以估計此次考試化學成績A等級的原始分區(qū)間為．
【小問3詳解】
由，解得，該學生的等級分為91分．
21. 如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,三角形為正三角形,且側(cè)面底面.分別為線段,的中點.
（1）求證:平面;
（2）在棱上是否存在點,使平面平面,請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造三角形的中位線得到線線平行,進而得到線面平行;
（2）在棱上存在點,為的中點時,平面⊥平面,先猜后證,先證線面垂直,由線面推出面面垂直.
【小問1詳解】
連接交于點,連接,
因為四邊形是菱形,
所以點為的中點.
又因為為的中點,
所以.
又因為平面平面,
所以平面.
【小問2詳解】
在棱上存在點為的中點時,平面平面.
證明:連接.
因為為正三角形,為的中點,
所以,
又因為平面平面,平面平面平面.
所以平面,又平面,
所以,
因為是菱形,為的中點,
所以是正三角形,,
因為,
所以,
因為,平面,平面,
所以平面,又平面,
所以.
因為分別為的中點,
所以,
所以,
因為是菱形,,
所以是正三角形.
又因為為的中點,
所以,
因為,平面,平面,
所以平面,
因為平面,
所以平面平面.
22. 如圖1，在中，，，分別為邊，的中點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接，.
圖1 圖2
（1）求證：平面；
（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；
（3）線段上一動點滿足，判斷是否存在，使二面角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在，
【解析】
分析】（1）由中位線和垂直關(guān)系得到，，從而得到線面垂直；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，求出線面角的正弦值；
（3）求出兩平面的法向量，根據(jù)二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.
【小問1詳解】
因為，分別為，的中點，所以.
因為，所以，所以.
又，，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
因為，，，所以，，兩兩垂直.
以坐標原點，所在直線分別為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
依題意有，，，，，，
則，，，
設平面的法向量，
則有
令，得，，所以是平面的一個法向量.
因為，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【小問3詳解】
假設存在，使二面角的正弦值為，
即使二面角的余弦值為.
由（2）得，，
所以，，.
易得平面的一個法向量為.
設平面的法向量，
，
解得，令，得，
則是平面的一個法向量.
由圖形可以看出二面角的夾角為銳角，且正弦值為，
故二面角的余弦值為，
則有，
即，解得，.
又因為，所以.
故存在，使二面角的正弦值為
等級
A
B
C
D
E
人數(shù)比例
賦分區(qū)間

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