（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．
3．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上．寫在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
第I卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 圓心為，半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，由題中條件，可直接得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，圓心，半徑
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
故選：B．
2. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，求出其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到答案．
【詳解】，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以位于第四象限．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
3. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系求解.
【詳解】由空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，
可得點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選： B．
4. 在平行六面體中，M為與交點(diǎn)，，，，則下列向量中與相等的向量是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】利用空間向量的線性運(yùn)算進(jìn)行求解．
【詳解】．
故選：A．
5. 已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上，則AB的最小值為（）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)和直線的位置關(guān)系，易知當(dāng)與直線垂直時(shí)滿足題意，求出點(diǎn)到直線的距離即可.
【詳解】如下圖所示：
易知當(dāng)與直線垂直，且為垂足時(shí)，的值最??；
此時(shí)的最小值為點(diǎn)到直線的距離，
即.
故選：C
6. 從甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)中選2人參加普法知識(shí)競賽，則甲被選中的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用古典概型的概率求解.
【詳解】從甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)中選2人的基本事件有：
（甲、乙），（甲、丙），（甲、?。?，（甲、戊），（乙、丙），（乙、?。?，（乙、戊），（丙、?。ū?、戊），（丁、戊），共10種，
甲被選中的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、?。?、戊），共4種，
所以甲被選中的概率為，
故選：B.
7. 臺(tái)球運(yùn)動(dòng)中反彈球技法是常見的技巧，其中無旋轉(zhuǎn)反彈球是最簡單的技法，主球撞擊目標(biāo)球后，目標(biāo)球撞擊臺(tái)邊之后按照光線反射的方向彈出，想要讓目標(biāo)球沿著理想的方向反彈，就要事先根據(jù)需要確認(rèn)臺(tái)邊的撞擊點(diǎn)，同時(shí)做到用力適當(dāng)，方向精確，這樣才能通過反彈來將目標(biāo)球成功擊入袋中．如圖，現(xiàn)有一目標(biāo)球從點(diǎn)無旋轉(zhuǎn)射入，經(jīng)過直線（桌邊）上的點(diǎn)反彈后，經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得直線方程，將方程與聯(lián)立即可求得點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，
直線的方程為：，即，
由得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：B.
8. 已知直線：，若直線與連接兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線的方程確定直線所過的定點(diǎn)，利用斜率公式求得直線和的斜率，根據(jù)過定點(diǎn)的直線與線段總有交點(diǎn)分析運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：
如上圖，由題意，直線方程可化為：
，由解得：，
∴直線過定點(diǎn).
又∵，∴，，
∴由直線與線段總有公共點(diǎn)知直線的斜率滿足或，
∴直線的傾斜角滿足或，
即直線的傾斜角范圍為.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：共4小題，每小題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 經(jīng)過點(diǎn)P（1，1），且在兩軸上的截距相等的直線可以是（）
A. y=xB. x+y-2=0
C. x+2y-3=0D. 3x-y-2=0
【答案】AB
【解析】
【分析】分直線在兩坐標(biāo)軸的截距為，不為的兩種情況，即可得出答案.
【詳解】當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為時(shí)，設(shè)直線方程為：，
則，所以；
當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為時(shí)，設(shè)直線方程為：，
把P（1，1）代入直線方程得：，解得：,
所以直線方程為：.
故滿足條件的直線方程為：或.
故選：AB.
10. 下列選項(xiàng)正確的是（）
A. 若直線的一個(gè)方向向量是，則直線的傾斜角是
B. “”是“直線與直線垂直”的充要條件
C. “”是“直線與直線平行”的充要條件
D. 直線的傾斜角的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】
【分析】A項(xiàng)，通過求直線的斜率，即可得出直線的傾斜角；B項(xiàng)，討論時(shí)直線與直線是否垂直，以及直線與直線垂直時(shí)的值，即可得出結(jié)論；C項(xiàng)，討論時(shí)直線與直線是否平行，以及直線與直線平行時(shí)的值，即可得出結(jié)論；D項(xiàng)，通過求出直線的斜率，即可求出傾斜角的取值范圍.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，在直線中，一個(gè)方向向量是，則直線的斜率為
∴直線的傾斜角是，A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線與直線變?yōu)椋号c
顯然垂直，充分性成立.
當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，
解得：或，必要性不成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線與直線化為：與
即與，兩直線平行，充分性滿足要求.
若直線與直線平行
，解得：，必要性成立，故C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，在直線中，該直線的斜率為
故傾斜角范圍為.故D正確.
故選：ACD.
11. 隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次，記錄朝上一面的點(diǎn)數(shù).設(shè)事件“第一次為偶數(shù)”，“第二次為奇數(shù)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，則（）
AA與B互斥B. C. A與C相互獨(dú)立D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式求出、，即可判斷B；根據(jù)互斥事件的定義即可判斷A；根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義即可判斷C；根據(jù)事件表示第一次為偶數(shù)或第二次為奇數(shù)，求出此事件的對(duì)立事件的概率即可求出，即可判斷D.
【詳解】解：由題意可得，，
所以，故B正確；
因?yàn)槭录⒖梢酝瑫r(shí)發(fā)生或都不發(fā)生，故兩事件不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)槭录?、互不影響，所以、為相互?dú)立事件，
則，
因?yàn)槭录硎镜谝淮螢榕紨?shù)且第二次為偶數(shù)，
所以，
又，所以與相互獨(dú)立，故C正確；
事件表示第一次為偶數(shù)或第二次為奇數(shù)，
它的對(duì)立事件為第一次奇數(shù)且第二次都是偶數(shù)，
所以，故D正確.
故選：BCD.
12. 如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，過的截面與棱，分別交于點(diǎn)F，G（G，E，F(xiàn)可能共線），則下列說法中正確的是（）
A. 存在點(diǎn)F，使得
B. 線段長度的取值范圍是
C. 四棱錐的體積為2時(shí)，點(diǎn)F只能與點(diǎn)B重合
D. 設(shè)截面，，的面積分別為，，，則的最小值為4
【答案】BCD
【解析】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)、，其中，，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；求出與的關(guān)系式，利用反比例函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用等積法可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、、，設(shè)點(diǎn)、，其中，.
對(duì)于A選項(xiàng)，若存在點(diǎn)，使得，且，，
，解得，不合乎題意，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，其中、，
即，即，可得，
，則，所以，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，
其中，故，
又，故
即，故點(diǎn)F只能與點(diǎn)B重合，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，，
則點(diǎn)到直線的距離為，
，則點(diǎn)到直線的距離為
，
所以，，故，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，D對(duì).
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．
13. 平行直線與之間的距離為_________．
【答案】##0.3
【解析】
【分析】根據(jù)平行線間的距離公式即可求得答案.
【詳解】由題意得即
則平行直線與之間的距離為，
故答案為：
14. 已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及虛部的概念求解.
【詳解】由題可得，，
所以虛部為,
故答案為: .
15. 在空間直角坐標(biāo)系中，若，，且，則_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)列方程得到，然后求模即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以?
故答案為：.
16. 已知直線：，：，直線垂直于，，且垂足分別為A，B，若，，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件設(shè)出直線的方程為，求出點(diǎn)，坐標(biāo)，用表示出，再借助幾何意義即可計(jì)算得解．
【詳解】由直線垂直于，，則設(shè)的方程為，
由，得，由，得，
由，，得，
表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與的距離的和，
動(dòng)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)與在直線兩側(cè)，
則有，
當(dāng)且僅當(dāng)是直線與線段的交點(diǎn)，即原點(diǎn)時(shí)取“”，此時(shí)，
所以取最小值，
則的最小值為．
故答案為：．
四、解答題：共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，，．
（1）求AC邊所在直線的一般方程；
（2）求AC邊上的高所在直線方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程，求出直線AC的方程即可；
（2）求出直線AC的斜率，得到AC邊上高線的斜率，點(diǎn)斜式求AC邊上的高所在直線方程.
【小問1詳解】
三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，，．
則直線AC的方程為，
化為一般方程是；
【小問2詳解】
AC邊所在直線的斜率為，
則有AC邊上的高所在直線的斜率為，
所以AC邊上的高所在直線的方程為，
即．
18. 分別根據(jù)下列條件，求圓的方程：
（1）過點(diǎn)，，且圓心直線上；
（2）過、、三點(diǎn)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，由，解出，可求得圓心和半徑，得到圓的方程；
（2）設(shè)直線的一般式方程，代入、、三點(diǎn)，求出系數(shù)即可.
【小問1詳解】
圓心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，
圓過點(diǎn)，，則有
即，解得，
可得圓心坐標(biāo)為，圓的半徑，
所以圓的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)過、、三點(diǎn)的圓的方程為，
則有，解得，
故所求圓的方程為.
19. 俄羅斯與烏克蘭的軍事沖突導(dǎo)致石油、天然氣價(jià)格飆升．燃油價(jià)格問題是人們關(guān)心的熱點(diǎn)問題，某網(wǎng)站為此進(jìn)行了調(diào)查，現(xiàn)從參與者中隨機(jī)選出100人作為樣本，并將這100人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示：
（1）求的值及樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)；
（2）若將頻率視為概率，現(xiàn)在要從和兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求抽取的2人中至少有1人的年齡在這一組的概率．
【答案】（1），第50百分位數(shù)為；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用頻率分布直方圖所有小矩形面積和為1計(jì)算求解，根據(jù)頻率分布直方圖和第50百分位數(shù)定義計(jì)算；
（2）利用分層抽樣的概念和古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可．
【小問1詳解】
依題意，，；
前三組的頻率之和，
前四組的頻率之和
樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)落在第四組，且第50百分位數(shù)為；
【小問2詳解】
與兩組的頻率之比為1：2，
現(xiàn)從與兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，
則組抽取2人，記為，組抽取4人，記為．
從這6人中隨機(jī)抽取2人，所有可能的情況為：
，共15種，
其中至少有1人的年齡在的情況有，共9種，
記“抽取的2人中至少有1人的年齡在組”為事件A，則.
20. 如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，．
（1）求證：平面ACF；
（2）求AF與平面EBD所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解答
（2）
【解析】
【分析】（1）通過證明，得證平面ACF；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角的正弦值.
【小問1詳解】
證明：如圖，連接，
因?yàn)榈酌媸橇庑?，與交于點(diǎn)，可得點(diǎn)為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，所以為的中位線，可得，
又平面，平面，
可得平面；
【小問2詳解】
以，所在直線為，軸，過作的垂線所在直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
因?yàn)锳BCD是菱形，，為等邊三角形，
不妨設(shè)，則，，，，，
可得，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得，
不妨取，則，可得.
又，
可得與平面所成角的正弦值為：.
21. 過直線與的交點(diǎn)作直線分別與軸正半軸交于點(diǎn)．
（1）若與直線平行，求直線的方程；
（2）對(duì)于最小，面積最小，若選擇_____作為條件，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）若選，直線的方程為；若選，直線的方程為
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立方程組求出點(diǎn)坐標(biāo)，由與直線平行，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，即可求直線的方程；
（2）若選，利用基本不等式求最小時(shí)的條件，可求直線的方程；若選，利用基本不等式求面積最小時(shí)的條件，可求直線的方程.
【小問1詳解】
，解得，即，
若與直線平行，設(shè)直線的方程為，
代入，解得，
直線的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，，則直線的方程為，
代入點(diǎn)可得.
若選：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，有最小值，
此時(shí)直線l的斜率
所以直線l的方程為，即.
若選：
由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，即面積最小為4，
此時(shí)直線l的斜率，所以直線l的方程為，即.
22. 如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為.
（1）求證：平面；
（2）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；
（3）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）法一：利用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理與判定定理可證；
法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積為0，可證，從而得證；
法三：如法二建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，證明其與平行，從而得證；
（2）利用空間向量法求點(diǎn)到面的距離；
（3）利用空間向量求出二面角的余弦值，再借助函數(shù)性質(zhì)求值域.
【小問1詳解】
法一：連結(jié)，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸橹悬c(diǎn)，，
又平面，平面，
平面
平面，又平面，
由題設(shè)知四邊形為菱形，，
分別為中點(diǎn)，，
又平面平面.
法二：由平面，平面，
又為等邊三角形，為中點(diǎn)，，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則
又平面平面.
法三：（同法二建系）設(shè)平面的一個(gè)法向量為
，即
不妨取，則，則
所以平面的一個(gè)法向量為
，，，平面
【小問2詳解】
由（1）坐標(biāo)法得，平面的一個(gè)法向量為（或）
點(diǎn)到F到平面的距離=
【小問3詳解】
設(shè)，則，
；
由（1）知：平面平面的一個(gè)法向量
（或者由（1）中待定系數(shù)法求出法向量）；
設(shè)平面的法向量，
則，令，則；
，
令，則；
，
即銳二面角的余弦值的取值范圍為.

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