A. B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線的特征結(jié)合傾斜角的定義分析求解.
【詳解】因?yàn)橹本€與x軸垂直，所以直線的傾斜角為.
故選：C.
2. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)稱即可求解.
【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,
故選：B
3. 直線在x軸上的截距是（ ）
A. B.
C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)截距的定義分析求解.
【詳解】令，則，解得，
所以直線在x軸上的截距是.
故選：C.
4. 已知，，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求，再由投影向量的定義，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，模的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，
所以，，
，
所以向量在上的投影向量是，
所以向量在上的投影向量的坐標(biāo)是，
故選：D.
5. 在同一直角坐標(biāo)系中，表示直線與正確的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】討論和，三種情況，判斷得到答案.
【詳解】直線經(jīng)過原點(diǎn)．直線的斜率為1，在軸上的截距為．
當(dāng)，則，只有A符合.
當(dāng)，則，沒有選項(xiàng)滿足
當(dāng)，則，沒有選項(xiàng)滿足.
故答案選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像問題，討論法是一個(gè)常規(guī)方法，需要熟練掌握.
6. 如圖與所在平面垂直，且，，則平面ABD與平面CBD的夾角的余弦值為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線面角的定義，作出平面ABD與平面CBD所成角的平面角，解三角形求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，即可求得答案.
【詳解】由題意知平面平面，
作交CB的延長(zhǎng)線于O，作于E，連接，
與所在平面垂直，且平面平面，
平面，，故平面，
平面，故，；
平面，故平面，
平面，故，
而平面，平面，則即為平面ABD與平面CBD的夾角，
設(shè)，而，
故，，，
在中，，
所以，
故選：D
7. 設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線斜率范圍求傾斜角的取值范圍.
【詳解】由得直線的斜率為，
因?yàn)椋剩?br>因?yàn)椋?br>所以直線的傾斜角的取值范圍.
故選：A
8. 已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出一個(gè)與都垂直的向量的坐標(biāo)，根據(jù)空間距離的向量求法即可求得答案.
【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，
設(shè)，
則；
設(shè)為與都垂直的向量，
則，令，則，
因?yàn)橛深}意點(diǎn)P到直線的距離的最小值可認(rèn)為是異面直線和的之間的長(zhǎng)度，
故點(diǎn)P到直線距離的最小值為，
故選：A
二、多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共4小題，共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 已知平面，其中點(diǎn)，法向量，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)題意，列出方程，得到，逐個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證，可得答案.
【詳解】設(shè)，可得，由，得到
，整理得，，分別代入各個(gè)選項(xiàng)，可得A與C選項(xiàng)符合題意.
故選：AC
10. 已知直線：，：，下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則
B. 當(dāng)時(shí)，是直線的一個(gè)方向向量
C. 若，則或
D. 若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線垂直可求出m的值判斷A；根據(jù)方向向量的含義可判斷B；根據(jù)直線的平行求出m判斷C；根據(jù)直線的一般式求出在坐標(biāo)軸上的截距，列式求得m，判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，則，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線：，
故是直線的一個(gè)方向向量，B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，：，：，不平行；
故，則，可得，即，
則或，
當(dāng)時(shí)，：，：，兩直線重合，
當(dāng)時(shí)，：，：，即，符合題意，
故，則，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，可知，
對(duì)于，令，則，
令，則，則，
解得或，D錯(cuò)誤，
故選：AB
11. 已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為2，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若點(diǎn)G為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則無論點(diǎn)F與G如何運(yùn)動(dòng)，直線與直線都是異面直線
B. 線段的長(zhǎng)度為
C. 異面直線和所成的角為
D. 的最小值為2
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)為F，的中點(diǎn)為E，說明四邊形為平行四邊形，直線與直線CD相交于E，即可判斷；對(duì)于B，解三角形求得線段的長(zhǎng)度即可判斷；對(duì)于C，取的中點(diǎn)為H，找到即為異面直線和所成的角或其補(bǔ)角，求得其大小，即可判斷；對(duì)于D，將面，面展開為一個(gè)平面，即可求得的最小值，進(jìn)行判斷，由此可得答案.
【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)為F，的中點(diǎn)為E，連接，，，，
則，，
所以，故四邊形為平行四邊形，
設(shè)與交于點(diǎn)G，故此時(shí)直線與直線相交于E，
因此此時(shí)直線與直線不是異面直線，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，連接，，四面體的所有棱長(zhǎng)均為2，
故，因?yàn)镸為中點(diǎn)，故，
所以，故B正確；
對(duì)于C，取的中點(diǎn)為H，連接，，因?yàn)镸，N分別為棱，的中點(diǎn)，
故，
則即為異面直線和所成的角或其補(bǔ)角，
因?yàn)?，故為等腰直角三角形?br>則，故C正確；
對(duì)于D，將平面，平面展開為一個(gè)平面，如圖示：
當(dāng)M，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線時(shí)，最小，因?yàn)镸，N分別為棱，的中點(diǎn)，
所以此時(shí)四邊形為平行四邊形，故，
即的最小值為2，故D正確，
故選：BCD
12. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（）
A.
B. 存在一點(diǎn)，使得
C. 三棱錐的體積為
D. 若，則面積的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用空間向量數(shù)量積可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可判斷B選項(xiàng)；利用錐體體積公式可判斷C選項(xiàng)；求出點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最小值，可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、、，
設(shè)點(diǎn)，其中，.
對(duì)于A選項(xiàng)，，，則，
所以，，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，若，則，解得，不合乎題意，
所以，不存在點(diǎn)，使得，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，點(diǎn)到平面的距離為，
所以，，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
若，則，可得，
由可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)槠矫妫矫?，?br>，D對(duì).
故選：ACD.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）
13. 一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線y軸反射后過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為_________________．
【答案】
【解析】
【分析】關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，反射光線所在的直線即為經(jīng)過的直線，求的直線方程即可.
【詳解】關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
根據(jù)光線反射的性質(zhì)知，反射光線所在的直線即為經(jīng)過的直線，
由兩點(diǎn)式得直線的方程為：，即.
故答案為：
14. 直線和直線分別過定點(diǎn)A和B，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】通過直線和直線分別計(jì)算定點(diǎn)坐標(biāo)A和B，從而計(jì)算的大小.
【詳解】直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為，直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為，
從而計(jì)算.
故答案為：.
15. 二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn),,線段與分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi),并且垂直于棱,若,,,,則平面與平面的夾角為________.
【答案】60°##
【解析】
【分析】先設(shè)平面與平面的夾角為,因?yàn)?,所以,,根據(jù)空間向量得,兩邊平方代入數(shù)值即可求出答案.
【詳解】設(shè)平面與平面的夾角為,因?yàn)?,
所以,,
由題意得,
所以
,
所以,即,
所以,即平面與平面的夾角為.
故答案為:.
16. 若空間兩個(gè)單位向量、與的夾角都等于θ，則當(dāng)θ取最小值時(shí)，______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由題設(shè)，結(jié)合空間向量模長(zhǎng)、夾角的坐標(biāo)公式列方程組，結(jié)合不等式求解最值，再由即可求結(jié)果．
【詳解】由題意可得，則，
由，
故，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，
故，由于，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)θ取最小值時(shí)，
故，
故答案為：
四．解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17. 已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)．
（1）求直線的斜率和傾斜角；
（2）若可以構(gòu)成平行四邊形，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)及CD所在直線方程；
（3）若是線段上一動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）1，
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線的斜率公式以及傾斜角的定義即可求得答案;
（2）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)結(jié)合直線的斜率公式即可求得答案；
（3）根據(jù)的幾何意義結(jié)合斜率公式即可求得答案.
【小問1詳解】
由題意得直線的斜率為，所以直線的傾斜角為；
【小問2詳解】
點(diǎn)在第一象限時(shí)，.
設(shè)，則，解得，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為；
故CD所在直線方程為：，即；
【小問3詳解】
由題意得為直線的斜率，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線的斜率最小，；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)，直線的斜率最大，；
故直線的斜率的取值范圍為，
即的取值范圍為.
18. 已知空間三點(diǎn)、、，設(shè)，．
（1）設(shè)，//，求．
（2）若與互相垂直，求．
【答案】（1）或
（2）或．
【解析】
【分析】（1）利用向量共線定理，結(jié)合即可得出；
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出.
【小問1詳解】
由于，，則，
由于//，設(shè)，由，則，即有，
則或．
【小問2詳解】
與互相垂直，則，
則，由（1），，即有，
解得或．
19. 已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為．
（1）求直線的方程；
（2）在兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答．
①角A的平分線所在直線方程為；
②邊上的中線所在的直線方程為．
若________________，求直線的方程．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線垂直，求得斜率，利用點(diǎn)斜式方程，可得答案；
（2）聯(lián)立直線方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，分別利用角平分線的對(duì)稱或中線的對(duì)稱，可得答案.
【小問1詳解】
因?yàn)檫吷系母咚诘闹本€方程為，
所以直線的斜率，又因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，
所以直線的方程為：，即；
【小問2詳解】
若選①，角的平分線所在直線方程為，
由，解得，所以點(diǎn)A坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，即坐標(biāo)為，
又點(diǎn)在直線上，所以的斜率，
所以直線的方程為，即．
若選②：邊上的中線所在的直線方程為，
由，解得，所以點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則的中點(diǎn)在直線上，
所以，即，又點(diǎn)在直線上，所以，
所以的斜率，所以直線的方程為，
即直線的方程為．
20. 空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸、軸?軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為，記作．
（1）若，，求的斜60°坐標(biāo)；
（2）在平行六面體中，，，N為線段D1C1的中點(diǎn)．如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．
①求的斜60°坐標(biāo)；
②若，求與夾角余弦值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】對(duì)于小問（1），因?yàn)?，，可以通過“空間斜60°坐標(biāo)系”的定義，化簡(jiǎn)為，，再計(jì)算的斜60°坐標(biāo).
對(duì)于小問（2），設(shè)，，分別為與，，同方向的單位向量，則，，，①中，通過平行六面體得到，從而得到的斜60°坐標(biāo)；
②中，因?yàn)?，所以，結(jié)合①中的的斜60°坐標(biāo)，并通過，計(jì)算與夾角的余弦值.
【小問1詳解】
由，，
知，，
所以，所以；
【小問2詳解】
設(shè)，，分別為與，，同方向的單位向量，
則，，，
①，
.
②因?yàn)椋裕?br>則，
∵， .
∴，
，
所以與的夾角的余弦值為
21. 如圖，在四棱錐中，面，，，，．E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，且，點(diǎn)G在棱上，且．
（1）求證：面；
（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)G到平面的距離；
（3）是否存實(shí)數(shù)，使得A，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由，得面；
（2）求出面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)G到平面AEF的距離為；
（3）若A，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，則，由此求得.
【小問1詳解】
由面面，則，
又且，面，
可得：面.
【小問2詳解】
以A為原點(diǎn)，面內(nèi)與垂直的直線為x軸，方向?yàn)閥軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
易知：，
由可得：，
由可得：，則，
設(shè)平面的法向量為：，則，
令得，
∴面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)?，則，，
∴點(diǎn)G到平面的距離為：，
即點(diǎn)G到平面AEF的距離為．
【小問3詳解】
存在這樣的.
由可得：，
則，
若A，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，則在面內(nèi)，
又面的一個(gè)法向量為，
∴，即，可得.
∴存在這樣的，使得四點(diǎn)共面.
22. 如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，，B為底面圓周上異于A，C的點(diǎn)．
（1）若P是線段BC的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）設(shè)平面平面，與平面QAC所成角為，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求的最大值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）作出平面和平面的交線，確定四棱錐的體積最大時(shí)B點(diǎn)位置，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間角的向量求法求出與平面QAC所成角的正弦值，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得其最大值.
【小問1詳解】
取中點(diǎn)H，連接，因P為中點(diǎn)，
則有，
在等腰梯形中，，故有，
則四邊形為平行四邊形，
即有，又平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
延長(zhǎng)交于點(diǎn)O，作直線，則直線即為直線，如圖，
過點(diǎn)B作于，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面?br>因此平面，
即為四棱錐的高，在中，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)與重合，
又梯形的面積S為定值，四棱錐的體積，
于是當(dāng)最大，即點(diǎn)與重合時(shí)四棱錐的體積最大，
此時(shí)，
以為原點(diǎn)，射線分別為軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，
在等腰梯形中，，
此梯形的高，
因?yàn)?故為的中位線，
則，
，
設(shè)，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
令，得，
則有，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
在時(shí)取到最小值，此時(shí)取到最大值
即當(dāng)，即時(shí)取到最大值，
所以的最大值為.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于與平面QAC所成角的正弦值的最大值，解答時(shí)要確定四棱錐的體積最大時(shí)B點(diǎn)位置，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角的正弦值.

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2021-2022學(xué)年四川省綿陽市南山中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)（文）試題含解析

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2020-2021學(xué)年四川省綿陽市高二（上）10月月考數(shù)學(xué)（文）試卷 (1)人教A版

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2020-2021學(xué)年四川省綿陽市高二（上）10月月考數(shù)學(xué)（文）試卷人教A版

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