專題16 等腰三角形與直角三角形（共26道）-中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)．若點(diǎn)在邊上，且，則的長為（）

A．1B．2C．1或D．1或2
【答案】D
【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
①當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，如圖，

∴，
②當(dāng)點(diǎn)E為的四等分點(diǎn)時(shí)，如圖所示：

∴，
綜上所述：或2；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)E為延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，以B為圓心，長為半徑的圓弧過與的交點(diǎn)G，連接．若，，則（）

A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】C
【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得，在中，利用勾股定理即可求解.
【詳解】解：∵矩形中，
∴，
∵F為的中點(diǎn)，，
∴，
在中，，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，掌握“直角三角形斜邊中線的長等于斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵.
3．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，，，，連接DE，設(shè)，，，給出下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③；

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】如圖，過作于，則四邊形是矩形，則，由，可得，進(jìn)而可判斷①的正誤；由，可得，，，，則，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，進(jìn)而可判斷②的正誤；由勾股定理得，即，則，進(jìn)而可判斷③的正誤．
【詳解】解：如圖，過作于，則四邊形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正確，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正確，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正確，故符合要求；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
4．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為（）

A．①④B．②③C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出的重心，即可求解；當(dāng)，時(shí)，取得最大值，進(jìn)而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得的長，即可求解；③如圖5，若，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，，進(jìn)而求得，即可求解；④如圖6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求取得最大值時(shí)，．
【詳解】①有3種情況，如圖，和都是中線，點(diǎn)是重心；
如圖，四邊形是平行四邊形，是中點(diǎn)，點(diǎn)是重心；
如圖，點(diǎn)不是中點(diǎn)，所以點(diǎn)不是重心；
①正確

②當(dāng)，如圖時(shí)最大，，
，，，
，
，
②錯(cuò)誤；

③如圖5，若，，
∴，，，，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴③錯(cuò)誤；
④如圖6，，
∴，
即，
在中，，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，最大為5，
∴④正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點(diǎn)恰好落在邊上，若，則的長是（）

A．B．C．2D．1
【答案】A
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，，再判斷出點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上，連接，根據(jù)圓周角定理可得，，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：是以為腰的等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上，
如圖，連接，

由圓周角定理得：，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確判斷出點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上是解題關(guān)鍵．
6．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，延長至點(diǎn)F，使，連結(jié)，交于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，連結(jié)．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可由定理證，即可判定是等腰直角三角形，進(jìn)而可得，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得；由此即可判斷①正確；再根據(jù)，可判斷③正確，進(jìn)而證明，可得，結(jié)合，即可得出結(jié)論④正確，由隨著長度變化而變化，不固定，可判斷②不一定成立．
【詳解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正確；

又∵,,
∴,
∴，
∵，即：，
∴，
∴，故③正確，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故④正確，
∵若，則，
又∵，
∴，
而點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)，隨著長度變化而變化，不固定，
而，
則故不一定成立，故②錯(cuò)誤；
綜上，正確的有①③④共3個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合，涉及了正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形＂三線合一＂的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
7．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為__________．

【答案】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點(diǎn)，求得的長，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

依題意，，
∴圖中陰影部分的面積為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為3的正方形的外側(cè)，作等腰三角形，．

（1）的面積為________；
（2）若F為的中點(diǎn)，連接并延長，與相交于點(diǎn)G，則的長為________．
【答案】 3
【分析】（1）過點(diǎn)E作，根據(jù)正方形和等腰三角形的性質(zhì)，得到的長，再利用勾股定理，求出的長，即可得到的面積；
（2）延長交于點(diǎn)K，利用正方形和平行線的性質(zhì)，證明，得到的長，進(jìn)而得到的長，再證明，得到，進(jìn)而求出的長，最后利用勾股定理，即可求出的長．
【詳解】解：（1）過點(diǎn)E作，

正方形的邊長為3，
，
是等腰三角形，，，
，
在中，，
,
故答案為：3；
（2）延長交于點(diǎn)K，
正方形的邊長為3，
，，
，，
，
，
，
F為的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知，，，
，
，
，
，
，
在中，，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵．
9．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）矩形中，M為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊上，且．當(dāng)以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，的長為______．
【答案】2或
【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，

∵四邊形矩形，
∴，則，
由平行線分線段成比例可得：，
又∵M(jìn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，
∴，
∴，
即：，
∴，
當(dāng)時(shí)，

∵M(jìn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，
∴為的垂直平分線，
∴，
∵四邊形矩形，
∴，則，
∴
∴，
綜上，的長為2或，
故答案為：2或．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，垂直平分線的判定及性質(zhì)等，畫出草圖進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
10．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)在內(nèi)，，連接交于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接．給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________．
【答案】①③④
【分析】由題意易得，，，，則可證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，，
∴，故①正確；
∴，
∴，，故③正確；
∵，，，
∴，；故②錯(cuò)誤；
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，故④正確；
故答案為①③④．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，若，，則_________．

【答案】
【分析】過點(diǎn)A作于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，再根據(jù)，可得，從而可得，利用銳角三角函數(shù)求得，再由，求得，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：過點(diǎn)A作于H，
∵是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)P在對(duì)角線上，過點(diǎn)P作，交邊于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)E，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形的面積不變；③當(dāng)時(shí)，；④的最小值是20．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．

【答案】②③④
【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可知，可以判斷①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判斷②；根據(jù)相似可以得到，判斷③；利用將軍飲馬問題求出最小值判斷④．
【詳解】解：∵，，
∴，
在點(diǎn)P移動(dòng)過程中，不一定，
相矛盾，
故①不正確；

延長交于點(diǎn)P,
則為矩形，
∴
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴
故②正確；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故③正確，
，
即當(dāng)?shù)淖钚≈担鰾、D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),
把圖中的向上平移到圖2位置，使得，連接，即為的最小值，則，,
這時(shí)，
即的最小值是20，
故④正確；
故答案為：②③④

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的邊、為腰分別向外作等腰直角、，連結(jié)、、，過點(diǎn)的直線分別交線段、于點(diǎn)、，以下說法：①當(dāng)時(shí)，；②；③若，，，則；④當(dāng)直線時(shí)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．正確的有_________．(填序號(hào))

【答案】①②④
【分析】①當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，根據(jù)等角對(duì)等邊，以及三角形的內(nèi)角和定理即可得出，進(jìn)而判斷①；證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷②；作直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，，，即可得是的中點(diǎn)，故④正確，證明，可得，在中，，在中，，得出，在中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，
∴
∴
∵等腰直角、，
∴
∴
∴；故①正確；
②∵等腰直角、，
∴，
∴
∴
∴；故②正確；
④如圖所示，作直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，
∴，
又，
∴
又∵，
∴
同理得，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，即是的中點(diǎn)，故④正確，
∴，
設(shè)，則
在中，
在中，
∴
∴
解得：
∴，
∴，
∴
∴
在中，
∴,故③錯(cuò)誤
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線與交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動(dòng)點(diǎn)M在線段上，動(dòng)點(diǎn)N在直線上，若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________

【答案】或
【分析】如圖，由是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可得在以為直徑的圓上，，可得是圓與直線的交點(diǎn)，當(dāng)重合時(shí)，符合題意，可得，當(dāng)N在的上方時(shí)，如圖，過作軸于，延長交于，則，，證明，設(shè)，可得，，而，則，再解方程可得答案．
【詳解】解：如圖，∵是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴在以為直徑的圓上，，
∴是圓與直線的交點(diǎn)，

當(dāng)重合時(shí)，
∵，則，
∴，符合題意，
∴，
當(dāng)N在的上方時(shí)，如圖，過作軸于，延長交于，則，，
∴，

∵，，
∴，
∴，
∴，設(shè)，
∴，，
而，
∴，
解得：，則，
∴，
∴；
綜上：或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，本題屬于填空題里面的壓軸題，難度較大，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．
15．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，．過點(diǎn)作，延長到，使，連接．若，則________________．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】/
【分析】如圖，過作于，設(shè)，可得，證明，，為等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．
【詳解】解：如圖，過作于，

設(shè)，
∵，，
∴，
∵，
∴，，為等腰直角三角形，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
整理得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意；
∴；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
16．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)．若，則的長為__________．

【答案】/
【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長，交于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，得出，即，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長，交于點(diǎn)E，如圖所示：

則，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì)．
17．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，G，H分別為，的中點(diǎn)），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為____________，最大值為___________________．

【答案】 8
【分析】根據(jù)題意，可固定四邊形，平移或旋轉(zhuǎn)其它圖形，組合成四邊形，求出周長，判斷最小值，最大值．
【詳解】
如圖1，，，
∴四邊形周長=；

如圖2，
∴四邊形周長為；
故答案為：最小值為8，最大值.
【點(diǎn)睛】本題考查圖形變換及勾股定理，通過平移、旋轉(zhuǎn)組成滿足要求的四邊形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
18．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；
(2)如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．
【答案】(1)見解析
(2)，證明見解析
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；
（2）延長到H使，連接，，可得是的中位線，然后求出，設(shè)，，求出，證明，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可．
【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D是的中點(diǎn)；
（2）；
證明：如圖2，延長到H使，連接，，
∵，
∴是的中位線，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，，
設(shè)，，則，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點(diǎn)F，G，H分別是和的中點(diǎn)，連接．易證：．
若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．

【答案】圖②中，圖③中，證明見解析
【分析】圖②：如圖②所示，連接，先由三角形中位線定理得到，，再證明得到，則，進(jìn)一步證明，即可證明是等腰直角三角形，則；
圖③：仿照?qǐng)D②證明是等邊三角形，則．
【詳解】解：圖②中，圖③中，
圖②證明如下：
如圖②所示，連接，
∵點(diǎn)F，G分別是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
同理可得，
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴是等腰直角三角形，
∴；

圖③證明如下：
如圖③所示，連接，
∵點(diǎn)F，G分別是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
同理可得，
∵和都是等腰三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴是等邊三角形，
∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐
數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；
(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；
(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；
(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則______．
【答案】(1)，
(2)，，證明見解析
(3)
(4)或
【分析】（1）根據(jù)已知得出，即可證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；
（2）同（1）的方法即可得證；
（3）同（1）的方法證明，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)題意畫出圖形，連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進(jìn)而求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
設(shè)交于點(diǎn)，

∵
∴，
故答案為：，．
（2）結(jié)論：，；
證明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
（3），理由如下，
∵，
∴，
即，
又∵和均為等腰直角三角形
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（4）解：如圖所示，

連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，
延長至，使得，
則是等腰直角三角形，

∵,
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴
∴
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，則，
在中，，
在中，
∴
∴
解得：，則，
設(shè)交于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，
∴
在中，
∴
∴
又，
∴
∴
∴，
∴
∴，
在中，
∴，
綜上所述，或
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練運(yùn)用已知模型是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．
在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F．
【初步感知】
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫出證明過程．
【深入探究】
(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；
②請(qǐng)通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）
【拓展運(yùn)用】
(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)見解析
(2)①，證明過程略；②當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)F在延長線上時(shí)，
(3)
【分析】（1）連接，當(dāng)時(shí)，，即，證明，從而得到即可解答；
（2）①過的中點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；
②分類討論，即當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)F在延長線上時(shí)，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；
（3）如圖，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，可得的軌跡長度即為的長度，可利用建系的方法表示出的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長度．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，

當(dāng)時(shí)，，即，
，
，，,
，，即，
，
，
在與中，
，
，
，
；
（2）①
證明：如圖，過的中點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，即，
是的中點(diǎn)，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，
；
故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；
②解：當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，
如圖，在上取一點(diǎn)使得，過作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

同①，可得，
，，
，，
同①可得，
，
即線段之間數(shù)量關(guān)系為；
當(dāng)點(diǎn)F在延長線上時(shí)，
如圖，在上取一點(diǎn)使得，過作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接

同（1）中原理，可證明，
可得，
，，
，，
同①可得，
即線段之間數(shù)量關(guān)系為,
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)F在延長線上時(shí)，；
（3）解：如圖，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，可得的軌跡長度即為的長度，

如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)，

，
，，
，
，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
根據(jù)（2）中的結(jié)論，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對(duì)邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖①．在矩形．，點(diǎn)在邊上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，作，交邊或邊于點(diǎn)，連續(xù)．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（）

(1)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，線段的長為__________；
(2)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求；
(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請(qǐng)說明理由；
(4)作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，當(dāng)四邊形和矩形重疊部分圖形為軸對(duì)稱四邊形時(shí)，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)見解析
(4)或或
【分析】（1）證明四邊形是矩形，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．
（2）證明，得出；
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明得出，即可得出結(jié)論
（4）分三種情況討論，①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)重合時(shí)符合題意，此時(shí)如圖，③當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)與點(diǎn)重合，則是正方形，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，連接，

∵四邊形是矩形
∴
∵，
∴四邊形是矩形，
當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，
∴，
在中，，
故答案為：．
（2）如圖所示，

∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，
∴，
則四邊形是矩形，
∴
又∵
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
（4）①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，

∵，
在中，，
則，
∵，則，，
在中，，
∴
解得：
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在矩形內(nèi)部，符合題意，
∴符合題意，
②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)重合時(shí)符合題意，此時(shí)如圖，

則，，
在中，
，
解得：，
③當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)與點(diǎn)重合，則是正方形，此時(shí)

綜上所述，或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，求正切，軸對(duì)稱的性質(zhì)，分類討論，分別畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）【模型建立】
（1）如圖1，和都是等邊三角形，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．
①求證：；
②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型遷移】
（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

【答案】（1）①見解析；②，理由見解析；（2），理由見解析；（3）
【分析】（1）①證明：，再證明即可；②由和關(guān)于對(duì)稱，可得．證明，從而可得結(jié)論；
（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得，證明，．可得，證明，，可得，則，可得，從而可得結(jié)論；
（3）由，可得，結(jié)合，求解，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．可得，，可得，再利用余弦的定義可得答案．
【詳解】（1）①證明：∵和都是等邊三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∴．

②．理由如下：
∵和關(guān)于對(duì)稱，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）．理由如下：
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得．

∵和關(guān)于對(duì)稱，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵是直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，即．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

∵，
∴，
．
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的靈活應(yīng)用，本題難度較高，屬于中考?jí)狠S題，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
24．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊中，于點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），連接，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，連接，，與所在直線交于點(diǎn)，求證：；
(3)如圖3，連接交于點(diǎn)，連接，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，．若，直接寫出的最小值．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，即可得證；
（2）過點(diǎn)作，交點(diǎn)的延長線于點(diǎn)，連接，，證明四邊形四邊形是平行四邊形，即可得證；
（3）如圖所示，延長交于點(diǎn)，由（2）可知是等邊三角形，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得出是等邊三角形，由（2）可得，得出四邊形是平行四邊形，則，進(jìn)而得出，則，當(dāng)取得最小值時(shí)，即時(shí)，取得最小值，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，
∴，，
∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，
∴
∴
即
在和中
，
∴，
∴；
（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)作，交點(diǎn)的延長線于點(diǎn)，連接，，

∵是等邊三角形，
∴，
∵
∴
∴垂直平分，
∴
又∵，
∴，
∴,
∴在的垂直平分線上，
∵
∴在的垂直平分線上，
∴垂直平分
∴，
∴
又∵，
∴是等邊三角形，
∴
∴
∴，
又∵，
∴
∴，
∴
在與中，
∴
∴
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴；
（3）解：依題意，如圖所示，延長交于點(diǎn)，

由（2）可知是等邊三角形，
∴
∵將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴
由（2）可得
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴
由（2）可知是的中點(diǎn)，則
∴
∴
∵折疊，
，
∴，
又，
∴，
∴當(dāng)取得最小值時(shí)，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)如圖所示，

∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，連接．
初步嘗試：（1）與的數(shù)量關(guān)系是_________，與的位置關(guān)系是_________．
特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接．
（1）求的度數(shù)；
（2）求的長．
深入探究：（3）若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足，點(diǎn)在同一直線上時(shí)，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】初步嘗試：（1）；；（2）特例研討：（1）；（2）；（3）或
【分析】（1），點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，則是的中位線，即可得出結(jié)論；
（2）特例研討：（1）連接，，證明是等邊三角形，是等邊三角形，得出；（2）連接，證明，則，設(shè)，則，在中，，則，在中，，勾股定理求得，則；
（3）當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，且點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，則，得出，則在同一個(gè)圓上，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理得出，表示與，即可求解；當(dāng)在上時(shí)，可得在同一個(gè)圓上，設(shè)，則，設(shè)，則，則，表示與，即可求解．
【詳解】初步嘗試：（1）∵，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴；；
故答案是：；
（2）特例研討：（1）如圖所示，連接，，

∵是的中位線，
∴，
∴
∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，
∴；
∵點(diǎn)在同一直線上時(shí)，
∴
又∵在中，是斜邊的中點(diǎn)，
∴
∴
∴是等邊三角形，
∴，即旋轉(zhuǎn)角
∴
∴是等邊三角形，
又∵，
∴,
∴,
∴,
∴,
（2）如圖所示，連接，
∵，，
∴，,

∵,
∴,
∴,
設(shè)，則，
在中，，則，
在中，,
∴,
解得：或（舍去）
∴,
（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，且點(diǎn)在上時(shí)，

∵，
∴，
設(shè)，則，
∵是的中位線，
∴
∴，
∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，
∴，，
∴
∴，
∵點(diǎn)在同一直線上，
∴
∴，
∴在同一個(gè)圓上，

∴
∴
∵，
∴；
如圖所示，當(dāng)在上時(shí)，

∵
∴在同一個(gè)圓上，
設(shè)，則，
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，
設(shè)，則，則，
∴，
∵,
∴，
∵
∴
∴
綜上所述，或
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

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