2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）專題21概率與統(tǒng)計的綜合運用含解析答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、解答題
1．某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結(jié)果如下：
記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．
(1)求，；
(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）
2．某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)當(dāng)漏診率％時，求臨界值c和誤診率；
(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．
3．一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗結(jié)果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)計算試驗組的樣本平均數(shù)；
(2)（ⅰ）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表
（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
附：，
4．2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：
(1)若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個模型，記事件為小明取到紅色外觀的模型，事件為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求和，并判斷事件和事件是否獨立；
(2)該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給出以下假設(shè)：
假設(shè)1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；
假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項越高；
假設(shè)3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；
請你分析獎項對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)為獎金額，寫出的分布列并求出的數(shù)學(xué)期望．
5．甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
6．一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：
(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．
（?。┳C明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．
附，
7．在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
8．一只螞蟻位于數(shù)軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動一個單位長度，設(shè)它向右移動的概率為，向左移動的概率為.
(1)已知螞蟻2秒后所在位置對應(yīng)的實數(shù)為非負(fù)數(shù)，求2秒后這只螞蟻在處的概率；
(2)記螞蟻4秒后所在位置對應(yīng)的實數(shù)為，求的分布列與期望.
9．某學(xué)校為了學(xué)習(xí)、貫徹黨的二十大精神，組織了“二十大精神”知識比賽，甲、乙兩位教師進(jìn)行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時甲、乙同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得10分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分．根據(jù)以往答題經(jīng)驗，每道題甲、乙答對的概率分別為，且甲、乙答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響．
(1)求在一局比賽中，甲的得分的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)設(shè)這次比賽共有3局，若比賽結(jié)束時，累計得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝的概率．
10．某校高一年級開設(shè)建模，寫作，籃球，足球，音樂，朗誦，素描7門選修課，每位同學(xué)須彼此獨立地選3門課程，其中甲選擇籃球，不選擇足球，丙同學(xué)不選素描，乙同學(xué)沒有要求.
(1)求甲同學(xué)選中建模且乙同學(xué)未選中建模的概率；
(2)用表示甲、乙、丙選中建模的人數(shù)之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
11．假設(shè)某市大約有800萬網(wǎng)絡(luò)購物者，某電子商務(wù)公司對該地區(qū)n名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度上半年前6個月內(nèi)的消費情況進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿足，且從左到右6個小矩形依次對應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，
①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；
②在前2組所抽取的人中，再隨機(jī)抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
12．聊天機(jī)器人（chatterbt）是一個經(jīng)由對話或文字進(jìn)行交談的計算機(jī)程序.當(dāng)一個問題輸入給聊天機(jī)器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答.在對某款聊天機(jī)器人進(jìn)行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%.
(1)求一個問題的應(yīng)答被采納的概率；
(2)在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應(yīng)答是否被采納相互獨立，記這些應(yīng)答被采納的個數(shù)為，事件（）的概率為，求當(dāng)最大時的值.
13．為不斷改進(jìn)勞動教育，進(jìn)一步深化勞動教育改革，現(xiàn)從某單位全體員工中隨機(jī)抽取3人做問卷調(diào)查.已知某單位有N名員工，其中是男性，是女性.
(1)當(dāng)時，求出3人中男性員工人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)我們知道，當(dāng)總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現(xiàn)在全市范圍內(nèi)考慮.從N名員工（男女比例不變）中隨機(jī)抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作；有二項分布中（即男性員工的人數(shù)）男性員工恰有2人的概率記作.那么當(dāng)N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認(rèn)為超幾何分布近似為二項分布.（參考數(shù)據(jù)：）
14．乒乓球被稱為我國的“國球”，是一種深受人們喜愛的球類體育項目．在某高校運動會的女子乒乓球單打半決賽階段，規(guī)定：每場比賽采用七局四勝制，率先取得四局比賽勝利的選手獲勝，且該場比賽結(jié)束．已知甲、乙兩名運動員進(jìn)行了一場比賽，且均充分發(fā)揮出了水平，其中甲運動員每局比賽獲勝的概率為，每局比賽無平局，且每局比賽結(jié)果互不影響．
(1)若前三局比賽中，甲至少贏得一局比賽的概率為，求乙每局比賽獲勝的概率；
(2)若前三局比賽中甲只贏了一局，設(shè)這場比賽結(jié)束還需要比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求當(dāng)為何值時，最大．
15．已知正六棱錐的底面邊長為2，高為1．現(xiàn)從該棱錐的7個頂點中隨機(jī)選取3個點構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.
(1)求概率的值；
(2)求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望．
16．已知正四棱錐的底面邊長和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個頂點中隨機(jī)選取3個點構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.
（1）求概率的值；
（2）求隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.
17．為了解顧客對五種款式運動鞋的滿意度，廠家隨機(jī)選取了2000名顧客進(jìn)行回訪，調(diào)查結(jié)果如表：
注：
1．滿意度是指：某款式運動鞋的回訪顧客中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值；
2．對于每位回訪顧客，只調(diào)研一種款式運動鞋的滿意度．假設(shè)顧客對各款式運動鞋是否滿意相互獨立，用顧客對某款式運動鞋的滿意度估計對該款式運動鞋滿意的概率．
(1)從所有的回訪顧客中隨機(jī)抽取1人，求此人是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率；
(2)從A、E兩種款式運動鞋的回訪顧客中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)其中滿意的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用“”和“”分別表示對A款運動鞋滿意和不滿意，用“”和“”分別表示對B款運動滿意和不滿意，試比較方差與的大小．（結(jié)論不要求證明）
18．某人從地到地有路程接近的2條路線可以選擇，其中第一條路線上有個路口，第二條路線上有個路口.
(1)若，，第一條路線的每個路口遇到紅燈的概率均為；第二條路線的第一個路口遇到紅燈的概率為，第二個路口遇到紅燈的概率為，從“遇到紅燈次數(shù)的期望”考慮，哪條路線更好？請說明理由.
(2)已知；隨機(jī)變量服從兩點分布，且，.則，且.若第一條路線的第個路口遇到紅燈的概率為，當(dāng)選擇第一條路線時，求遇到紅燈次數(shù)的方差.
19．甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計如下：
(1)從上述10場比賽中隨機(jī)選擇一場，求甲獲勝的概率；
(2)在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機(jī)選擇兩場，設(shè)表示乙得分大于丙得分的場數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進(jìn)行6場投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場數(shù)，為乙獲勝的場數(shù)，為丙獲勝的場數(shù)，寫出方差，，的大小關(guān)系.
20．某大型公司招聘新員工，應(yīng)聘人員簡歷符合要求之后進(jìn)入考試環(huán)節(jié).考試分為筆試和面試，只有筆試成績高于75分的考生才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，已知2023年共有1000人參加該公司的筆試，筆試成績.
(1)從參加筆試的1000名考生中隨機(jī)抽取4人，求這4人中至少有一人進(jìn)入面試的概率；
(2)甲?乙?丙三名應(yīng)聘人員進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，且他們通過面試的概率分別為.設(shè)這三名應(yīng)聘人員中通過面試的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)：若，則，
21．某地區(qū)教育局?jǐn)?shù)學(xué)教研室為了了解本區(qū)高三學(xué)生一周用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間的分布情況，做了全區(qū)8000名高三學(xué)生的問卷調(diào)查，現(xiàn)抽取其中部分問卷進(jìn)行分析（問卷中滿時長為12小時），將調(diào)查所得學(xué)習(xí)時間分成，，，，，6組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）．
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．

(1)求a的值；
(2)以樣本估計總體，該地區(qū)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間近似服從正態(tài)分布，試估計該地區(qū)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的人數(shù)；
(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時間在，內(nèi)的學(xué)生隨機(jī)抽取8人，并從這8人中再隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步分析，設(shè)3人中學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的人數(shù)為變量X，求X的期望．
22．《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：年高考總成績由語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照（、分別為正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．如果山東省年某次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目的原始成績，．
(1)若規(guī)定等級、、、、、為合格，、為不合格，需要補(bǔ)考，估計這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；
(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名參加此次物理學(xué)科學(xué)業(yè)水平測試的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差．
附：當(dāng)時，，．
23．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過抽樣，獲得了某年200位居民家庭的月平均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中的值；
(2)該市決定設(shè)置議價收費標(biāo)準(zhǔn)，用水量低于的居民家庭按照“民用價”收費，不低于的按照“商業(yè)價”收費，為保障有的居民能享受“民用價”，請設(shè)置該標(biāo)準(zhǔn)；
(3)以每組數(shù)據(jù)的中點值作為該組數(shù)據(jù)的代表，分別是.規(guī)定“最佳穩(wěn)定值”是這樣一個量：與各組代表值的差的平方和最小.依此規(guī)定，請求出的值.
24．當(dāng)代大學(xué)生有著購物、精神、文化、社交等多元化需求，這些需求促進(jìn)大學(xué)城商圈的發(fā)展．某媒體調(diào)查了全國各地大學(xué)城中數(shù)千名消費者在大學(xué)城里的月均消費額及月均消費次數(shù)，從中隨機(jī)抽取500名消費者，把他們的月均消費額（單位：千元）按照，，，，，分組，得到如下頻率分布直方圖：
統(tǒng)計他們的月均消費次數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：
(1)從全國各地大學(xué)城中隨機(jī)抽取8000名消費者，估計這8000名消費者中月均消費額大于2000元的人數(shù)及樣本中500名樣本消費者的月均消費額的眾數(shù)及平均數(shù)．
(2)從月均消費次數(shù)超過5次的樣本消費者中按照月均消費次數(shù)分層抽樣，從中抽取n個人，抽取的月均消費6次的人數(shù)比月均消費8次的多4人．
①求n的值；
②若從抽取的n個人中再隨機(jī)抽取2個人給予禮品獎勵，求這2人的月均消費次數(shù)不都是6次的概率．
25．4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成、、、、、、、、九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在、、三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取8名學(xué)生，用表示這8名學(xué)生中恰有名學(xué)生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率，其中.當(dāng)最大時，請直接寫出的值.（不需要說明理由）
26．2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵外來務(wù)工人員選擇就地過年.某市統(tǒng)計了該市4個地區(qū)的外來務(wù)工人數(shù)與就地過年人數(shù)（單位：萬），得到如下表格：
(1)請用相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求y關(guān)于x的線性回歸方程.
(2)假設(shè)該市政府對外來務(wù)工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼.
①若該市E區(qū)有2萬名外來務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額；
②若A區(qū)的外來務(wù)工人員中甲、乙選擇就地過年的概率分別為p，，其中，該市政府對甲、乙兩人的補(bǔ)貼總金額的期望不超過1400元，求p的取值范圍.
參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.
27．某醫(yī)科大學(xué)實習(xí)小組為研究實習(xí)地晝夜溫差與感冒人數(shù)之間的關(guān)系，分別到當(dāng)?shù)貧庀蟛块T和某醫(yī)院抄錄了1月至3月每月5日、20日的晝夜溫差情況與因感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料：
該小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩余的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗．
參考公式：，．
(1)求剩余的2組數(shù)據(jù)都是20日的概率；
(2)若選取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日這4組數(shù)據(jù)．
①請根據(jù)這4組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
②若某日的晝夜溫差為7℃，請預(yù)測當(dāng)日就診人數(shù)．（結(jié)果保留整數(shù)）．
28．為了加快實現(xiàn)我國高水平科技自立自強(qiáng)，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點圖，其中年份代碼1～10分別對應(yīng)年份2013～2022.

根據(jù)散點圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗回歸方程模型，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計算得到如下表所示的一些統(tǒng)計量的值：
表中，.
(1)根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗回歸方程模型?并說明理由；
(2)（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；
（ii）設(shè)該科技公司的年利潤（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿足（且），問該科技公司哪一年的年利潤最大?
附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.
29．輕食是餐飲的一種形態(tài)、輕的不僅僅是食材分量，更是食材烹飪方式簡約，保留食材本來的營養(yǎng)和味道，近年來隨著消費者健康意識的提升及美顏經(jīng)濟(jì)的火熱，輕食行業(yè)迎來快速發(fā)展.某傳媒公司為了獲得輕食行業(yè)消費者行為數(shù)據(jù)，對中國輕食消費者進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計其中400名中國輕食消費者（表中4個年齡段的人數(shù)各100人）食用輕食的頻率與年齡得到如下的頻數(shù)分布表.
(1)若把年齡在的消費者稱為青少年，年齡在的消費者稱為中老年，每周食用輕食的頻率不超過3次的稱為食用輕食頻率低，不低于4次的稱為食用輕食頻率高，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗判斷食用輕食頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；
(2)從每天食用輕食1次及以上的樣本消費者中按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，從中抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，，，求的分布列與期望；
(3)已知小李每天早餐、晚餐都食用輕食，且早餐與晚餐在低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁3種輕食中選擇一種，已知小李在某天早餐隨機(jī)選擇一種輕食，如果早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，則晚餐選擇低卡甜品的概率分別為，求小李晚餐選擇低卡甜品的概率.
參考公式：，.
附：
30．例某市近年來空氣污染較為嚴(yán)重，現(xiàn)隨機(jī)抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣中PM2.5指數(shù)的檢測數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下：
記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失為S（單位：元），PM2.5指數(shù)為x．當(dāng)x在區(qū)間內(nèi)時對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失；當(dāng)x在區(qū)間內(nèi)時對企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失成直線模型；當(dāng)PM2.5指數(shù)為150時造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元；當(dāng)PM2.5指數(shù)為200時，造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元；當(dāng)PM2.5指數(shù)大于300時造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元．
(1)試寫出的表達(dá)式；
(2)試估計在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于500元且不超過900元的概率；
(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析該市本年度空氣重度污染是否與供暖有關(guān)．
附：
，其中．
31．2024年1月18日是中國傳統(tǒng)的“臘八節(jié)”，“臘八”是中國農(nóng)歷十二月初八（即臘月初八）這一天．臘八節(jié)起源于古代祭祀祖先和神靈的儀式，后逐漸成為民間節(jié)日，盛行于中國北方．為調(diào)查不同年齡人群對“臘八節(jié)”民俗文化的了解情況，某機(jī)構(gòu)抽樣調(diào)查了某市的部分人群．
(1)在100名受調(diào)人群中，得到如下數(shù)據(jù)：
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析受調(diào)群體中對“臘八節(jié)”民俗的了解程度是否存在年齡差異；
(2)調(diào)查問卷共設(shè)置10個題目，選擇題、填空題各5個．受調(diào)者只需回答8個題：其中選擇題必須全部回答，填空題隨機(jī)抽取3個進(jìn)行問答．某位受調(diào)者選擇題每題答對的概率為0.8，知道其中3個填空題的答案，但不知道另外2個的答案．求該受調(diào)者答對題目數(shù)量的期望．
參考公式：
①．
獨立性檢驗常用小概率值和相應(yīng)臨界值：
②隨機(jī)變量X，Y的期望滿足：
32．甲、乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方.若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，每回合比賽的結(jié)果相互獨立.經(jīng)抽簽決定，第1回合由甲發(fā)球.
(1)求第4個回合甲發(fā)球的概率；
(2)設(shè)前4個回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為，求的分布列及期望.
33．第24屆冬季奧運會于2022年2月4日至20日在中國舉行，其中冰壺比賽項目是本屆奧運會的正式比賽項目之一，冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線的左側(cè)）有一個發(fā)球區(qū)，運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心O的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)．
某學(xué)校冰壺隊舉行冰壺投擲測試，規(guī)則為：
①每人至多投3次，先在點M處投第一次，冰壺進(jìn)入營壘區(qū)得3分，未進(jìn)營壘區(qū)不得分；
②自第二次投擲開始均在點A處投擲冰壺，冰壺進(jìn)入營壘區(qū)得2分，未進(jìn)營壘區(qū)不得分；
③測試者累計得分高于3分即通過測試，并立即終止投擲．
已知投擲一次冰壺，甲得3分和2分的概率分別為0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分別為0.2和0.4，甲，乙每次投擲冰壺的結(jié)果互不影響．
(1)求甲通過測試的概率；
(2)設(shè)為本次測試中乙的得分，求的分布列，
34．甲、乙兩人組成“虎隊”代表班級參加學(xué)校體育節(jié)的籃球投籃比賽活動，每輪活動由甲、乙兩人各投籃一次，在一輪活動中，如果兩人都投中，則“虎隊”得3分；如果只有一個人投中，則“虎隊”得1分；如果兩人都沒投中，則“虎隊”得0分.已知甲每輪投中的概率是，乙每輪投中的概率是；每輪活動中甲、乙投中與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.
（1）假設(shè)“虎隊”參加兩輪活動，求：“虎隊”至少投中3個的概率；
（2）①設(shè)“虎隊”兩輪得分之和為，求的分布列；
②設(shè)“虎隊”輪得分之和為，求的期望值.（參考公式）
35．核酸檢測也就是病毒和的檢測，是目前病毒檢測最先進(jìn)的檢驗方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝?丙肝和艾滋病的病毒檢測.通過核酸檢測，可以檢測血液中是否存在病毒核酸，以診斷機(jī)體有無病原體感染.某研究機(jī)構(gòu)為了提高檢測效率降低檢測成本，設(shè)計了如下試驗，預(yù)備份試驗用血液標(biāo)本，從標(biāo)本中隨機(jī)取出份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標(biāo)本中各取部分，混合后檢測，若結(jié)果為陰性，則判定該組標(biāo)本均為陰性，不再逐一檢測；若結(jié)果為陽性，需對該組標(biāo)本逐一檢測.以此類推，直到確定所有樣本的結(jié)果：份陽性，份陰性.若每次檢測費用為元（為常數(shù)），記檢測的總費用為元.
(1)當(dāng)時，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)以檢測成本的期望值為依據(jù)，在與中選其一，應(yīng)選哪個？
36．隨著移動網(wǎng)絡(luò)的飛速發(fā)展，人們的生活發(fā)生了很大變化，其中在購物時利用手機(jī)中的支付寶?微信等APP軟件進(jìn)行掃碼支付也日漸流行開來.某商場對近幾年顧客使用掃碼支付的情況進(jìn)行了統(tǒng)計，結(jié)果如下表：
（1）觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，使用掃碼支付的人次y與年份代碼x的關(guān)系滿足經(jīng)驗關(guān)系式：，通過散點圖可以發(fā)現(xiàn)y與x之間具有相關(guān)性.設(shè)，利用與x的相關(guān)性及表格中的數(shù)據(jù)求出y與x之間的回歸方程，并估計2021年該商場使用掃碼支付的人次；
（2）為提升銷售業(yè)績，該商場近期推出兩種付款方案：方案一：使用現(xiàn)金支付，每滿200元可參加1次抽獎活動，抽獎方法如下：在抽獎箱里有8個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球有3個，黑球有5個)，顧客從抽獎箱中一次性摸出3個球，若摸到3個紅球，則打7折；若摸出2個紅球則打8折，其他情況不打折.方案二：使用掃碼支付，此時系統(tǒng)自動對購物的顧客隨機(jī)優(yōu)惠，據(jù)統(tǒng)計可知，采用掃碼支付時有的概率享受8折優(yōu)惠，有的概率享受9折優(yōu)惠，有的概率享受立減10元優(yōu)惠.若小張在活動期間恰好購買了總價為200元的商品.
（i）求小張選擇方案一付款時實際付款額X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（ii）試比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個方案更劃算？
附：最小二乘法估計公式：經(jīng)過點的回歸直線為相關(guān)數(shù)據(jù)：(其中.
37．在一個系統(tǒng)中，每一個設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”（即正在使用的設(shè)備出故障時才啟動的設(shè)備）．已知某計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺正常設(shè)備，兩臺備用設(shè)備）的配置，這三臺設(shè)備中，只要有一臺能正常工作，計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會斷掉．系統(tǒng)就能正常工作．設(shè)三臺設(shè)備的可靠度均為，它們之間相互不影響．
(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求的最小值；
(2)當(dāng)時，求能使系統(tǒng)正常工作的設(shè)備數(shù)的分布列；
(3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺設(shè)備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗可知，計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可給該產(chǎn)業(yè)園帶來約50萬的經(jīng)濟(jì)損失．為減少對該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案：
方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺設(shè)備的可靠度維持在0.8，更換設(shè)備硬件總費用為0.8萬元；
方案2：花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設(shè)備，達(dá)到“一用三備”．
請從經(jīng)濟(jì)損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．
38．在2023年成都大運會的射擊比賽中，中國隊取得了優(yōu)異的比賽成績，激發(fā)了全國人民對射擊運動的熱情．某市舉行了一場射擊表演賽，規(guī)定如下：表演賽由甲、乙兩位選手進(jìn)行，每次只能有一位選手射擊，用抽簽的方式確定第一次射擊的人選，甲、乙兩人被抽到的概率相等；若中靶，則此人繼續(xù)射擊，若未中靶，則換另一人射擊．已知甲每次中靶的概率為，乙每次中靶的概率為，每次射擊結(jié)果相互獨立．
(1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射擊后甲得20分的概率；
(2)求第n次射擊的人是乙的概率．
39．某品牌女裝專賣店設(shè)計摸球抽獎促銷活動，每位顧客只用一個會員號登陸，每次消費都有一次隨機(jī)摸球的機(jī)會．已知顧客第一次摸球抽中獎品的概率為；從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為．記該顧客第n次摸球抽中獎品的概率為．
(1)求的值，并探究數(shù)列的通項公式；
(2)求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過程．
40．馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，因俄國數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無關(guān)，即.已知甲盒子中裝有2個黑球和1個白球，乙盒子中裝有2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復(fù)次這樣的操作.記甲盒子中黑球個數(shù)為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為.
(1)求，和，；
(2)證明：為等比數(shù)列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
41．俗話說：“人配衣服，馬配鞍”．合理的穿搭會讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺．張老師準(zhǔn)備參加某大型活動，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，兩次的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，則稱為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲”，則記；若擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱為“不完美投擲”，出現(xiàn)“不完美投擲”，則記；若，則當(dāng)天穿深色，否則穿淺色．每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為．
(1)求出隨機(jī)變量的分布列，并求出期望及方差；
(2)求張老師當(dāng)天穿西裝的概率．
42．某中學(xué)選拔出20名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊，其中高一學(xué)生有8名、高二學(xué)生有7名、高三學(xué)生有5名．
(1)若從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊中隨機(jī)抽取3人參加一項數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一的概率．
(2)現(xiàn)學(xué)校欲對數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊成員進(jìn)行考核，考核規(guī)則如下：考核共4道題，前2道題答對每道題計1分，答錯計0分，后2道題答對每道題計2分，答錯計0分，累積計分不低于5分的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)員．已知張同學(xué)前2道題每道題答對的概率均為，后2道題每道題答對的概率均為，是否正確回答每道題之間互不影響．記張同學(xué)在本次考核中累積計分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱號的概率．
43．某城市有甲、乙兩個網(wǎng)約車公司，相關(guān)部門為了更好地監(jiān)管和服務(wù)，通過問卷調(diào)查的方式，統(tǒng)計當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)約車用戶（后面簡稱用戶，并假設(shè)每位用戶只選擇其中一家公司的網(wǎng)約車出行）對甲，乙兩個公司的乘車費用，等待時間，乘車舒適度等因素的評價，得到如下統(tǒng)計結(jié)果：
①用戶選擇甲公司的頻率為，選擇乙公司的頻率為：
②選擇甲公司的用戶對等待時間滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對等待時間滿意的頻率為；
③選擇甲公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為；
④選擇甲公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為.
將上述隨機(jī)事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率.
(1)分別求出網(wǎng)約車用戶對等待時間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費用滿意的概率，并比較用戶對哪個因素滿意的概率最大，對哪個因素滿意的概率最小.
(2)若已知某位用戶對乘車舒適度滿意，則該用戶更可能選擇哪個公司的網(wǎng)約車出行？并說明理由.
44．某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對某款血液試劑進(jìn)行試生產(chǎn).
(1)在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款血液試劑在生產(chǎn)中，經(jīng)過前三道工序后的次品率為.第四道工序中智能自動檢測為次品的血液試劑會被自動淘汰，合格的血液試劑進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗.
已知批次I的血液試劑智能自動檢測顯示合格率為98%，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品的概率；
(2)已知切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對任意，均有.藥廠宣稱該血液試劑對檢測某種疾病的有效率為，現(xiàn)隨機(jī)選擇了100份血液樣本，使用該血液試劑進(jìn)行檢測，每份血液樣本檢測結(jié)果相互獨立，顯示有效的份數(shù)不超過60份，請結(jié)合切比雪夫不等式，通過計算說明該企業(yè)的宣傳內(nèi)容是否真實可信.
45．統(tǒng)計與概率主要研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象，通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、描述及對事件發(fā)生的可能性刻畫，來幫助人們作出合理的決策.
(1)現(xiàn)有池塘甲，已知池塘甲里有50條魚，其中A種魚7條，若從池塘甲中捉了2條魚.用表示其中A種魚的條數(shù)，請寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望;
(2)另有池塘乙，為估計池塘乙中的魚數(shù)，某同學(xué)先從中捉了50條魚，做好記號后放回池塘，再從中捉了20條魚，發(fā)現(xiàn)有記號的有5條.
（?。┱垙姆謱映闃拥慕嵌裙烙嫵靥烈抑械聂~數(shù).
（ⅱ）統(tǒng)計學(xué)中有一種重要而普遍的求估計量的方法─最大似然估計，其原理是使用概率模型尋找能夠以較高概率產(chǎn)生觀察數(shù)據(jù)的系統(tǒng)發(fā)生樹，即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事件.請從條件概率的角度，采用最大似然估計法估計池塘乙中的魚數(shù).
46．五一小長假到來，多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點都推出了種種新奇活動以吸引游客，小明去成都某熊貓基地游玩時，發(fā)現(xiàn)了一個趣味游戲，游戲規(guī)則為：在一個足夠長的直線軌道的中心處有一個會走路的機(jī)器人，游客可以設(shè)定機(jī)器人總共行走的步數(shù)，機(jī)器人每一步會隨機(jī)選擇向前行走或向后行走，且每一步的距離均相等，若機(jī)器人走完這些步數(shù)后，恰好回到初始位置，則視為勝利.
(1)若小明設(shè)定機(jī)器人一共行走4步，記機(jī)器人的最終位置與初始位置的距離為步，求的分布列和期望；
(2)記為設(shè)定機(jī)器人一共行走步時游戲勝利的概率，求，并判斷當(dāng)為何值時，游戲勝利的概率最大；
(3)該基地臨時修改了游戲規(guī)則，要求機(jī)器人走完設(shè)定的步數(shù)后，恰好第一次回到初始位置，才視為勝利.小明發(fā)現(xiàn)，利用現(xiàn)有的知識無法推斷設(shè)定多少步時獲得勝利的概率最大，于是求助正在讀大學(xué)的哥哥，哥哥告訴他，“卡特蘭數(shù)”可以幫助他解決上面的疑惑：將個0和個1排成一排，若對任意的，在前個數(shù)中，0的個數(shù)都不少于1的個數(shù)，則滿足條件的排列方式共有種，其中，的結(jié)果被稱為卡特蘭數(shù).若記為設(shè)定機(jī)器人行走步時恰好第一次回到初始位置的概率，證明：對（2）中的，有
試驗序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸縮率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸縮率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
對照組
試驗組
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
紅色外觀
藍(lán)色外觀
棕色內(nèi)飾
12
8
米色內(nèi)飾
2
3
不夠良好
良好
病例組
40
60
對照組
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
運動鞋款式
A
B
C
D
E
回訪顧客（人數(shù)）
700
350
300
250
400
滿意度
場次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
8
10
10
7
12
8
8
10
10
13
乙
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
丙
12
11
9
11
11
9
9
8
9
11
月均消費次數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
8
人數(shù)
40
60
80
120
120
50
20
10
A區(qū)
B區(qū)
C區(qū)
D區(qū)
外來務(wù)工人數(shù)x/萬
3
4
5
6
就地過年人數(shù)y/萬
2.5
3
4
4.5
日期
1月5日
1月20日
2月5日
2月20日
3月5日
3月20日
晝夜溫差x（℃）
10
11
13
12
8
6
就診人數(shù)y（個）
22
25
29
26
16
12
75
2.25
82.5
4.5
120
28.35
使用頻率
偶爾1次
30
15
5
10
每周1~3次
40
40
30
50
每周4~6次
25
40
45
30
每天1次及以上
5
5
20
10
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
PM2.5指數(shù)
空氣質(zhì)量
優(yōu)
良
輕微污染
輕度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天數(shù)
4
13
18
30
9
11
15
非重度污染
重度污染
合計
供暖季
非供暖季
合計
100
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年齡
了解程度
不了解
了解
30歲以下
16
24
50歲以上
16
44
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代碼x
1
2
3
4
5
使用掃碼支付的人次y(單位：萬人)
5
12
16
19
21
參考答案：
1．(1)，；
(2)認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.
【分析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計算出，再得到所有的值，最后計算出方差即可；
（2）根據(jù)公式計算出的值，和比較大小即可.
【詳解】（1），
，
，
的值分別為: ，
故
（2）由（1）知:，，故有,
所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.
2．(1)，；
(2)，最小值為．
【分析】（1）根據(jù)題意由第一個圖可先求出，再根據(jù)第二個圖求出的矩形面積即可解出；
（2）根據(jù)題意確定分段點，即可得出的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出．
【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，
所以，解得：，
．
（2）當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
,
故，
所以在區(qū)間的最小值為．
3．(1)
(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能
【分析】（1）直接根據(jù)均值定義求解；
（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；
（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進(jìn)行檢驗，即可得解.
【詳解】（1）試驗組樣本平均數(shù)為：
（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，
故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，
所以，
故列聯(lián)表為：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.
4．(1)，，事件和事件不獨立．
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)古典概型概率公式和事件的獨立性定義即可得出.
（2）分別求出三種結(jié)果對應(yīng)的概率，比較大小，確定對應(yīng)的概率，求出分布列，利用期望公式進(jìn)行計算即可.
【詳解】（1）若紅色外觀的模型，則分棕色內(nèi)飾個，米色內(nèi)飾個，則對應(yīng)的概率，
若小明取到棕色內(nèi)飾，分紅色外觀個，藍(lán)色外觀個，則對應(yīng)的概率．
取到紅色外觀的模型同時是棕色內(nèi)飾的有個，即，
則，
，，
即事件和事件不獨立．
（2）由題意知，，，
則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率，
外觀和內(nèi)飾都異色的概率，
僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率，
，
，，，
則的分布列為：
則（元）．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；
（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；
（3）先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．
【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，
.
（2）設(shè)，依題可知，，則
，
即，
構(gòu)造等比數(shù)列，
設(shè)，解得，則，
又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
即．
（3）因為，，
所以當(dāng)時，，
故．
【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．
6．(1)答案見解析
(2)（i）證明見解析；(ii)；
【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i) 根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.
【詳解】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.
（2）(i)因為，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
7．(1)歲；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點值的和即可求出；
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；
（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．
【詳解】（1）平均年齡
（歲）．
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以
．
（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：
,
則由條件概率公式可得
從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．
8．(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）記螞蟻2秒后所在位置對應(yīng)的實數(shù)為非負(fù)數(shù)為事件，記2秒后這只螞蟻在處的概率為事件，則由題意可知事件包括2秒內(nèi)一直向可移動和一次向右移動與一次向左移動，事件為2秒內(nèi)一次向右移動與一次向左移動，然后利用獨立事件的概率公式求出，再利用條件概率公式可求得結(jié)果；
（2）由題意知可能的取值為，然后求出相應(yīng)的概率，從而可求出的分布列與期望.
【詳解】（1）記螞蟻2秒后所在位置對應(yīng)的實數(shù)為非負(fù)數(shù)為事件，記2秒后這只螞蟻在處的概率為事件，
則
故所求的概率為.
（2）由題意知可能的取值為，
則，
則的分布列為
9．(1)分布列見解析，
(2)
【分析】（1）由題意知，取值可能為，分別求出對應(yīng)的概率，寫出分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式即可.
（2）由獨立事件乘法公式及互斥事件的概率即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）取值可能為，
；
；
，
所以的分布列為
．
（2）由（1）可知在一局比賽中，乙獲得10分的概率為，乙獲得0分的概率為，乙獲得分的概率為．
在3局比賽中，乙獲得30分的概率為；
在3局比賽中，乙獲得20分的概率為；
在3局比賽中，乙獲得10分的概率為，
所以乙最終獲勝的概率為．
10．(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)甲選擇建模與乙同學(xué)未選中建模的概率求解即可；
（2）由題意可能的取值有0，1，2，3，再分別分情況求解即可.
【詳解】（1）由題意，甲選擇籃球，并在建模，寫作，音樂，朗誦，素描5門里再選2門，則選中建模的概率為；
乙同學(xué)沒有要求，則選中建模的概率為.
故甲同學(xué)選中建模且乙同學(xué)未選中建模的概率為.
（2）由（1）甲選中建模的概率為，乙選中建模的概率為，丙選中建模的概率為，
由題意可能的取值有0，1，2，3，故
，
，
，
.
故的分布列：
11．(1)，，，
(2)①各組應(yīng)該抽取的人數(shù)分別為3，4，5，6；②分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
【分析】（1）結(jié)合題意及頻數(shù)與頻率，頻率之和為1等知識建立方程組，計算即可;
（2）根據(jù)分層抽樣的定義即可求得各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；根據(jù)古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)可求得分布列，進(jìn)一步求得數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，第五小組的頻率為，又因為第五小組的頻數(shù)為2400，所以樣本容量．
因為第六小組的頻率為，所以第六小組的頻數(shù)是．
由頻率之和為1，得，所以．
因為頻率分布直方圖中的滿足，
所以．
所以代入中，得，
得，解得．所以．
（2）①因為前4組的頻率之比為，
且現(xiàn)從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，
所以在應(yīng)該抽取的人數(shù)分別是
．
②由題意，隨機(jī)變量的所有可能取值是．則
故隨機(jī)變量的分布列為
故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．
12．(1)0.75
(2)6
【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，
（2）根據(jù)二項分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.
【詳解】（1）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件， “一次應(yīng)答被采納”為事件，
由題意，，，則
，
.
（2）依題意，，，
當(dāng)最大時，有
即解得：，，
故當(dāng)最大時，.
13．(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
(2)N至少為145時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認(rèn)為超幾何分布近似為二項分布
【分析】（1）利用超幾何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求數(shù)學(xué)期望；
（2）利用二項分布概率模型和超幾何分布概率模型即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，男性員工有8人，女性員工有12人.
服從超幾何分布，，
，，
，，
∴的分布列為
數(shù)學(xué)期望為.
（2），
，
由于，則，
即，
即，
由題意易知，
從而，
化簡得，
又，于是.
由于函數(shù)在處有極小值，
從而當(dāng)時單調(diào)遞增，
又，.
因此當(dāng)時，符合題意，
而又考慮到和都是整數(shù)，則一定是5的整數(shù)倍，于是.
即N至少為145，
我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認(rèn)為超幾何分布近似為二項分布.
14．(1)
(2)分布列見解析，，當(dāng)時，最大
【分析】（1）根據(jù)題意求出甲每局比賽獲勝的概率，即可求得乙每局比賽獲勝的概率；
（2）由題意知，的所有可能取值分別為，分別求出每種取值的概率得到分布列和期望，然后求導(dǎo)得單調(diào)性即可求最大值.
【詳解】（1）設(shè)事件A為“前三局比賽中，甲至少嬴得一局比賽”，
則，
化簡得，即，
所以或（舍去），
所以乙每局比賽獲勝的概率為．
（2）由題意知，的所有可能取值分別為，
且，
，
．
則的分布列為
所以，，
令，得，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減．
所以當(dāng)且僅當(dāng)時，最大．
15．(1) .
(2)分布列見解析，.
【詳解】分析：（1）從個頂點中隨機(jī)選取個點構(gòu)成三角形，共有種取法，其中面積的三角形有個，由古典概型概率公式可得結(jié)果；(2)的可能取值，根據(jù)古典概型概率公式可求得隨機(jī)變量對應(yīng)的概率，從而可得分布列，進(jìn)而利用期望公式可得其數(shù)學(xué)期望．
詳解：（1）從個頂點中隨機(jī)選取個點構(gòu)成三角形，
共有種取法，其中的三角形如，
這類三角形共有個
因此.
（2）由題意，的可能取值為
其中的三角形如，這類三角形共有個；
其中的三角形有兩類，，如（個），（個），共有個；
其中的三角形如，這類三角形共有個；
其中的三角形如，這類三角形共有個；
其中的三角形如，這類三角形共有個；
因此
所以隨機(jī)變量的概率分布列為：
所求數(shù)學(xué)期望
.
點睛：在解古典概型概率題時，首先把所求樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次所求概率事件中含有多少個基本事件，然后根據(jù)公式求得概率；求解一般的隨機(jī)變量的期望和方差的基本方法是：先根據(jù)隨機(jī)變量的意義，確定隨機(jī)變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機(jī)變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的公式計算．注意在求離散型隨機(jī)變量的分布列時不要忽視概率分布列性質(zhì)的應(yīng)用，對實際的含義要正確理解.
16．（1）（2）見解析
【分析】（1）由題意，分別得出“從5個頂點中隨機(jī)選取3個點構(gòu)成三角形”和“”所包含的基本事件個數(shù)，基本事件個數(shù)比即為所求概率；
（2）先由題意得到的可能取值，求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而可得到分布列，求出期望.
【詳解】解：（1）從5個頂點中隨機(jī)選取3個點構(gòu)成三角形，
共有種取法.其中的三角形如，
這類三角形共有個.
因此.
（2）由題意，的可能取值為，2，.
其中的三角形是側(cè)面，這類三角形共有4個；
其中的三角形有兩個，和.
因此，.
所以隨機(jī)變量的概率分布列為：
所求數(shù)學(xué)期望
.
【點睛】本題主要考查古典概型，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，熟記概率計算公式，以及隨機(jī)變量的分布列與期望的概念即可，屬于?？碱}型.
17．(1)顧客是款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率是．
(2)的分布列見解答．的期望是1
(3)
【分析】（1）求出款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的人數(shù)，然后求解顧客是款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率．
（2）的取值為0，1，2，設(shè)事件為“從款式運動鞋的回訪顧客中隨機(jī)抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，事件為“從款式運動鞋的回訪顧客中隨機(jī)抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，說明事件與相互獨立．然后求解的概率，得到分布列，然后求解期望．
（3）由兩點分布的方差公式計算比較與的大?。?br>【詳解】（1）由題意知，是款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的人數(shù)為，
故從所有的回訪顧客中隨機(jī)抽取1人，此人是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率是．
（2）的取值為0，1，2．設(shè)事件為“從款式運動鞋的回訪顧客中隨機(jī)抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，
事件為“從款式運動鞋的回訪顧客中隨機(jī)抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，
且事件與相互獨立．
根據(jù)題意，，．
則，
，
，
所以的分布列為：
的期望是：．
（3）都服從兩點分布，，，
，，
所以.
18．(1)應(yīng)選擇第一條路線，理由見解析
(2)
【分析】（1）由題意，，分別求出相應(yīng)的概率然后，結(jié)合期望公式即可比較，得出結(jié)論.
（2）結(jié)合所給的均值方差性質(zhì)，以及等比數(shù)列前項和公式即可求解.
【詳解】（1）應(yīng)選擇第一條路線，
理由如下：設(shè)走第一、第二條路線遇到的紅燈次數(shù)分別為隨機(jī)變量、，
則，，
，，，
所以；
又，，，
所以；
因為，所以應(yīng)選擇第一條路線.
（2）設(shè)選擇第一條路線時遇到的紅燈次數(shù)為，
所以；，
設(shè)隨機(jī)變量，取值為，其概率分別為，且，
所以
，
又因為，所以.
19．(1)
(2)分布列見解析，
(3)
【分析】（1）從表格中可以發(fā)現(xiàn)甲獲勝的場數(shù)為3場，從而得到甲獲勝的概率；
（2）從表格中可以發(fā)現(xiàn)在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場。乙得分大于丙得分的場數(shù)的取值為0，1，2，通過超幾何分布的知識點，得到的分布列及數(shù)學(xué)期望.
（3）通過題目條件得到10場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，因為甲、乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項分布，從而得到方差，，的大小關(guān)系.
【詳解】（1）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第10場.
設(shè)表示“從10場比賽中隨機(jī)選擇一場，甲獲勝”，則.
（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，
分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，
分別是第2場、第5場、第8場、第9場.
所以的所有可能取值為0，1，2.
，，.
所以的分布列為
所以.
（3）由題意，每場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，還需要進(jìn)行6場比賽，
而甲、乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項分布，所以
，，
故.
20．(1)0.499
(2)分布列見解析，
【分析】（1）記“至少有一人進(jìn)入面試”，由正態(tài)分布可得，再根據(jù)對立事件和獨立事件概率乘法公式運算求解；
（2）由題意可得：的可能取值為，根據(jù)獨立事件概率乘法公式求分布列，進(jìn)而可得期望.
【詳解】（1）記“至少有一人進(jìn)入面試”，由已知得，
所以，
則，
即這4人中至少有一人進(jìn)入面試的概率為0.499.
（2）由題意可得：的可能取值為，則：
，
，
，
，
可得隨機(jī)變量的分布列為
所以.
21．(1)
(2)1087人
(3)0.75
【分析】（1）由概率之和為1計算即可得；
（2）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計算即可得；
（3）結(jié)合分層抽樣的性質(zhì)與期望計算公式計算即可得.
【詳解】（1）由題意得，解得；
（2）
則，
所以估計該地區(qū)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間在(8，9.48]內(nèi)的人數(shù)約為1087人；
（3），對應(yīng)的頻率比為，即為3∶1，
所以抽取的8人中學(xué)習(xí)時間在，內(nèi)的人數(shù)分別為6人，2人，
設(shè)從這8人中抽取的3人學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的人數(shù)為，
則的所有可能取值為0，1，2，
，
，
，
所以.
22．(1)；
(2)，.
【分析】（1）分析可得，由，解出的范圍，即可得出結(jié)論；
（2）由可得出，計算得出，分析可知，利用二項分布的期望和方差公式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）解：由題意可知，學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目合格的比例為，
由且，可得，
由，可得，
估計這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分為分.
（2）解：若，則，，
由題意可知，
，.
23．(1)0.0625
(2)19.2
(3)12
【分析】（1）根據(jù)每組小矩形的面積之和為1即可求解.
（2）由頻率分布直方圖求第p百分位數(shù)的計算公式即可求解.
（3）設(shè)與各數(shù)據(jù)的差的平方和為，由題意得，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，家庭月均用水量在中的頻率為，
同理，在中的頻率分別為.
由，解得；
（2）由（1）知，前4組的總頻率為，
前5組的總頻率為，所以，
所以根據(jù)百分位數(shù)的計算方法有，解得；
（3）設(shè)與各數(shù)據(jù)的差的平方和為，
則
，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時，取得最小值，
故.
24．(1)960，750，1140
(2)①8；②
【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖求出頻率，從而即可求出月均消費額大于2000元的人數(shù)，根據(jù)頻率分布直方圖即可求出眾數(shù)和平均數(shù)；
（2）①根據(jù)頻數(shù)分布表即可求解；②利用分層抽樣的定義，列舉法及古典概型即可求解．
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得500名樣本消費者中月均消費額大于2000元的頻率為，
所以這8000名消費者中月均消費額大于2000元的人數(shù)為，
500名樣本消費者的月均消費額的眾數(shù)為750元；
500名樣本消費者的月均消費額的平均數(shù)為
（千元）（元）．
（2）①月均消費次數(shù)超過5次的樣本消費者有80人，
由題意可得，解得．
②利用分層抽樣抽取的8人中，
月均消費6次的有5人，分別記為，，，，，
月均消費7次的有2人，分別記為，，
月均消費8次的有1人，記為c，
從這8人中隨機(jī)抽取2人，
所有可能的結(jié)果有，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，
，，，，，共28種，
其中這2人的月均消費次數(shù)不都是6次的結(jié)果有，，，，，，，
，，，，，，，，，，，共18種，
所以所求概率．
25．(1)
(2)分布列見解析
(3)
【分析】（1）由題意，根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，，能求出的值，進(jìn)而估計出概率；
（2）先按比例抽取人數(shù)，由題意可知此分布列為超幾何分布，即可求出分布列；
（3）求出的式子進(jìn)行判斷．
【詳解】（1）由概率和為1得：，
解得；
（2）由頻率分布直方圖得：這500名學(xué)生中日平均閱讀時間在、、三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為：
人，人，人，
若采用分層抽樣的方法抽取了10人，
則應(yīng)從閱讀時間在中抽取5人，從閱讀時間在中抽取4人，從閱讀時間在中抽取1人，
現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，
，，
，，
的分布列為：
數(shù)學(xué)期望．
（3），理由如下：
由頻率分布直方圖得學(xué)生日平均閱讀時間在,內(nèi)的概率為0.50，
從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取8名學(xué)生，恰有名學(xué)生日平均閱讀時間在,內(nèi)的分布列服從二項分布，
，由組合數(shù)的性質(zhì)可得時最大．
26．(1)y與x之間的線性相關(guān)程度非常強(qiáng)，
(2)①1750萬元；②
【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，線性回歸模型的擬合效果越好，即可以根據(jù)直接計算相關(guān)系數(shù)的值來判斷與之間的線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱；關(guān)于的線性回歸方程直接用參考公式求解.
（2）（i）將代入（1）中的線性回歸方程，即可求出E區(qū)就地過年的人數(shù)；
（ii）由X的所有可能取值為0，1，2，并分別求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列，然后求出期望，最后列出不等式求出的取值范圍.
【詳解】（1））由題，，，
，
，
，
所以相關(guān)系數(shù)，
因為y與x之間的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與x之間的線性相關(guān)程度非常強(qiáng)，所以可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系.
，，
故y關(guān)于x的線性回歸方程為.
（2）①將代入，得，
故估計該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額為（萬元）.
②設(shè)甲、乙兩人中選擇就地過年的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2，
，
，
.
所以，
所以，
由，得，
又，所以，
故p的取值范圍為.
27．(1)
(2)① ；②14人
【分析】（1）利用列舉法求解，先列出從這6組中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)，剩余的2組數(shù)據(jù)所有等可能的情況，然后找出其中2組數(shù)據(jù)都是20日的情況，然后利用古典概型的概率公式求解，
（2）①根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和公式求出y關(guān)于x的線性回歸方程，②把代入回歸方程求解即可
【詳解】（1）記6組依次為1，2，3，4，5，6，從這6組中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)，剩余的2組數(shù)據(jù)所有等可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，共15種，
其中2組數(shù)據(jù)都是20日，即都取自2，4，6組的情況有3種．
根據(jù)古典概型概率計算公式，剩余的2組數(shù)據(jù)都是20日的概率．
（2）①由所選數(shù)據(jù)，得，，
所以，
所以，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為．
②當(dāng)時，，
所以某日的晝夜溫差為7℃，預(yù)測當(dāng)日就診人數(shù)約為14人．
28．(1)選擇模型②更適宜，理由見解析
(2)（i）；（ii）該公司2028年的年利潤最大
【分析】（1）根據(jù)殘差圖確定；
（2）根據(jù)最小二乘法求非線性回歸方程即可求解；
【詳解】（1）根據(jù)圖2可知，模型①的殘差波動性很大，說明擬合關(guān)系較差；
模型②的殘差波動性很小，基本分布在0的附近，說明擬合關(guān)系很好，所以選擇模型②更適宜.
（2）（i）設(shè)，所以，
所以，，
所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為
（ii）由題設(shè)可得，
當(dāng)取對稱軸即，即時，年利潤L有最大值，
故該公司2028年的年利潤最大.
29．(1)有關(guān)
(2)分布列見解析；
(3)
【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表完善列聯(lián)表，再計算的觀測值并與臨界值表比對作答.
（2）利用分層抽樣求出8人中這兩個年齡段的人數(shù)，求出的可能值及各個值及各個對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答；
（3）利用全概率公式即可得解.
【詳解】（1）補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：
所以，
所以有99%的把握認(rèn)為食用輕食頻率的高低與年齡有關(guān).
（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在，內(nèi)的人數(shù)分別為1，2，
依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列為：
所以的數(shù)學(xué)期望為.
（3）記小李在某天早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，分別為事件，
晚餐選擇低卡甜品為事件，
則，，
所以，
所以小李晚餐選擇低卡甜品的概率為.
30．(1)
(2)
(3)列聯(lián)表見解析；認(rèn)為該市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05．
【分析】（1）由題意列出分段函數(shù)即可得；
（2）由概率公式計算即可得；
（3）由題意得出列聯(lián)表，計算出并與比較即可得.
【詳解】（1）當(dāng)時，設(shè)，當(dāng)PM2.5指數(shù)為150時造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元；
當(dāng)PM2.5指數(shù)為200時，造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元，代入解得，即；
綜上，可得
（2）設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于500元且不超過900元”為事件A，
由，即，
得，頻數(shù)為，
故．
（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：
零假設(shè)為：重度污染與供暖無關(guān)，
因為，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，
即認(rèn)為該市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05．
31．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）計算出參考獨立性檢驗常用小概率值和相應(yīng)臨界值表比較可得答案；
（2）用分別表示受調(diào)者答對選擇題、填空題的個數(shù)，求出、，由可得答案.
【詳解】（1），
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，
認(rèn)為受調(diào)群體中對“臘八節(jié)”民俗的了解程度不存在年齡差異；
（2）用分別表示受調(diào)者答對選擇題、填空題的個數(shù)，
則，所以，
則可取則，
所以，，，
所以，
由，
該受調(diào)者答對題目數(shù)量的期望為.
32．(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）分類討論結(jié)合獨立事件乘法公式計算即可；
（2）分情況討論列出分布列并計算期望即可.
【詳解】（1）由題可知，第2回合甲發(fā)球的概率為，乙發(fā)球的概率為.
所以第3回合甲發(fā)球的概率為，
乙發(fā)球的概率為.
可得第4個回合甲發(fā)球的概率為.
故第4個回合甲發(fā)球的概率為；
（2）由題意可知：可以取1，2，3，4.
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，前4個回合甲發(fā)球兩次的情況分以下三種：
第一種情況，甲第1，2回合發(fā)球，乙第3，4回合發(fā)球，其概率為.
第二種情況，甲第1，3回合發(fā)球，乙第2，4回合發(fā)球，其概率為.
第三種情況，甲第1，4回合發(fā)球，乙第2，3回合發(fā)球，其概率為.
故前4個回合甲發(fā)球兩次的概率為；
當(dāng)時，，
故的分布列為：
.
33．(1)
(2)分布列詳見解析
【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件概率計算方法，計算出甲通過測試的概率.
（2）的可能取值為，根據(jù)相互獨立事件概率計算方法，計算出的分布列.
【詳解】（1）甲通過測試包括種情況：
①第一次得分，第二次得分，概率為；
②第一次得分，第二次得分，第三次得分，概率為；
③第一次得分，第二次得分，第三次得分，概率為.
所以甲通過測試的概率為.
（2）的可能取值為，
，
，
，
，
，
所以的分布列為：
34．（1）；（2）①答案見解析；②.
【解析】（1）設(shè)甲、乙在第輪投中分別記作事件，，“虎隊”至少投中3個記作事件，根據(jù)相互獨立事件的概率公式，即可求解.
（2）①“虎隊”兩輪得分之和的可能取值為：0，1，2，3，4，6，求得相應(yīng)的概率，得到分布列；②得到，求得相應(yīng)的概率，結(jié)合期望的公式，即可求解.
【詳解】（1）設(shè)甲、乙在第輪投中分別記作事件，，“虎隊”至少投中3個記作事件，
則
.
（2）①“虎隊”兩輪得分之和的可能取值為：0，1，2，3，4，6，
則，
，
，
，
，.
故的分布列如下圖所示：
②，，
，，
∴，.
【點睛】本題主要考查了相互獨立事件的概率計算，以及離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，其中解答中熟記相互獨立事件概率的計算公式，以及求得隨機(jī)變量取值的概率，得到分布列是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力.
35．(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：
(2)時的方案更好一些
【分析】（1）分成份陽性在一組和份陽性各在一組兩種情況，由此可確定檢測次數(shù)及所有可能的取值，計算出每個取值對應(yīng)的概率即可得到分布列，由數(shù)學(xué)期望公式可求得；
（2）與（1）的方法相同，計算出時檢測費用的取值和對應(yīng)概率，由此可得分布列，由數(shù)學(xué)期望公式可求得，根據(jù)可得結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)時，共分組，
當(dāng)份陽性在一組時，第一輪檢測次，第二輪檢測次，共檢測次，
若份陽性各在一組，第一輪檢測次，第二輪檢測次，共檢測次，
檢測的總費用的所有可能值為，，任意檢測有種等可能結(jié)果，份陽性在一組有種等可能結(jié)果，
，，
檢測的總費用的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
（2）當(dāng)時，共分組，當(dāng)份陽性在一組，共檢測次，
若份陽性各在一組，共檢測次，
檢測的總費用的所有可能值為，，
任意檢測有種等可能結(jié)果，份陽性在一組有種等可能結(jié)果，
，，
檢測的總費用的分布列為：
數(shù)學(xué)期望，
，時的方案更好一些.
36．（1）回歸方程為，2021年該商場使用移動支付的有23萬人次；（2）（i）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：(元)；（ii）小張選擇方案二付款優(yōu)惠力度更大.
【分析】（1）先求出，再選擇數(shù)據(jù)代入求出，由求出，再將替換成即可求出y與x之間的回歸方程，將2021年年份代號為6代入即可求解對應(yīng)人次；
（2）（i）由題設(shè)付款金額為X元，則可能的取值為140，160，200，結(jié)合超幾何分布求出對應(yīng)概率，列出分布列求出期望即可；
（ii）結(jié)合離散型隨機(jī)變量公式求出方案二對應(yīng)的付款期望值，與方案一比較即可
【詳解】（1）計算知14.6，
所以=10，
，
所以所求的回歸方程為，
當(dāng)時，(萬人次)，
估計2021年該商場使用移動支付的有23萬人次；
（2）（i）若選擇方案一，設(shè)付款金額為X元，則可能的取值為140，160，200，
，
，
故X的分布列為
所以(元)；
（ii）若選擇方案二，記需支付的金額為Y元，
則Y的可能取值為160，180，190，
則其對應(yīng)的概率分別為，
所以，
由（1）知，
故從概率角度看，小張選擇方案二付款優(yōu)惠力度更大.
37．(1)0.8
(2)答案見解析
(3)決策部門應(yīng)選擇方案2，理由見解析
【分析】（1）先用表示出，結(jié)合題意即可求出的最小值；
（2）由題意可知，滿足二項分布，故易得能正常工作的設(shè)備數(shù)的分布列；
（3）分別計算兩種方案的損失期望值，即可做出決策.
【詳解】（1）要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，設(shè)能正常工作的設(shè)備數(shù)為，
則，
解得，故的最小值為0.8．
（2）設(shè)為正常工作的設(shè)備數(shù)，由題意可知，，
，
，
，
，
從而的分布列為：
（3）設(shè)方案1?方案2的總損失分別為，，
采用方案1，更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺設(shè)備的可靠度維持在0.8，
可知計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為：，
故萬元．
采用方案2，花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設(shè)備，達(dá)到“一用三備”，
計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為：，
故萬元．
因此，從經(jīng)濟(jì)損失期望最小的角度，決策部門應(yīng)選擇方案2．
38．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，把3次射擊后甲得20分的情況，第1次、第2次都是甲射擊且中靶，第3次甲射擊且未中靶和第1次乙射擊且未中靶，第2次、第3次甲射擊且均中靶，結(jié)合相互獨立的概率乘法公式，即可求解；
（2）設(shè)“第n次射擊的人是乙”為事件，得到，得到為等比數(shù)列，得到數(shù)列的通項公式，即可求解.
【詳解】（1）解：由題意，3次射擊后甲得20分的情況有以下兩種：
第1次、第2次都是甲射擊且中靶，第3次甲射擊且未中靶，其概率；
第1次乙射擊且未中靶，第2次、第3次甲射擊且均中靶，
其概率．
所以3次射擊后甲得20分的概率．
（2）解：設(shè)“第n次射擊的人是乙”為事件，
則，
所以，又由，所以，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，則，
故第n次射擊的人是乙的概率為．
39．(1)，
(2)第二次，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，利用抽獎規(guī)則，結(jié)合全概率公式即可由等比數(shù)列的定義求解，
（2）根據(jù)，即可對分奇偶性求解.
【詳解】（1）記該顧客第次摸球抽中獎品為事件A，依題意，，
．
因為，，，
所以，
所以，
所以，
又因為，則，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
故．
（2）證明：當(dāng)n為奇數(shù)時，，
當(dāng)n為偶數(shù)時，，則隨著n的增大而減小，
所以，．
綜上，該顧客第二次摸球抽中獎品的概率最大．
40．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）列舉出所有交換的情況，分別求出概率即可求解，
（2）由根據(jù)獨立事件的概率乘法公式，分類逐一討論，即可求解，，由等比數(shù)列的定義即可求證；
（3）利用等比數(shù)列的通項求解，進(jìn)而根據(jù)期望的計算公式即可求解．
【詳解】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，乙盒為2白，概率為，
所以，
①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，
②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，
綜上可知：，.
（2）經(jīng)過次這樣的操作.記甲盒子恰有2個黑1白的概率為，恰有1黑2白的概率為，3白的概率為，
①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，
②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，
③當(dāng)甲盒中3白，乙盒2黑，概率為，此時：
若甲盒取白，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
故.
，
因此，
因此為等比數(shù)列，且公比為.
（3）由（2）知為等比數(shù)列，且公比為，首項為，
故，所以，
.
【點睛】求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：
（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；
（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；
（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望.
（在計算時，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，
可結(jié)合其對應(yīng)的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算）．
41．(1)分布列見解析；，
(2)
【分析】（1）結(jié)合古典概型即可寫出分布列，進(jìn)而可求期望與方差；
（2）結(jié)合條件概率即可求解.
【詳解】（1）將一枚骰子連續(xù)投擲兩次共有基本事件種，
擲出的點數(shù)之和是3的倍數(shù)有：
，12種；
則擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)有24種，
隨機(jī)變量的取值為0，1，
，
所以的分布列為：
．
；
（2）設(shè)表示深色，則表示穿淺色，表示穿西裝，則表示穿休閑裝．
根據(jù)題意，穿深色衣物的概率為，則穿淺色衣物的概率為，
穿深色西裝的概率為，穿淺色西裝的概率為，
則當(dāng)天穿西裝的概率為．
所以張老師當(dāng)天穿西裝的概率為．
42．(1)
(2)分布列見解析；；
【分析】（1）利用組合數(shù)和古典概率求解；
（2）分別計算不同計分的概率，列出分布列，算出期望，再求出獲得優(yōu)秀學(xué)員的概率即可.
【詳解】（1）設(shè)事件A為“抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一”，
則.
（2）由題意可知的取值可為，
前兩道題答錯的概率為，后兩道題答錯的概率也為，
，
，
，
，
，
，
，
故X的分布列為：
數(shù)學(xué)期望為，
因為累積計分不低于5分的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)員，
所以張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱號的概率為.
43．(1)答案見解析
(2)該用戶選擇乙公司出行的概率更大，理由見解析
【分析】（1）利用全概率公式可計算出用戶網(wǎng)約車用戶對等待時間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費用滿意的概率，即可得出結(jié)論；
（2）利用條件概率公式計算出該用戶對甲、乙兩個公司網(wǎng)約車舒適度滿意率，比較大小后可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解：設(shè)事件用戶選擇甲公司的網(wǎng)約車出行，事件用戶對等待時間滿意，
事件用戶對乘車舒適度滿意，事件用戶對乘車費用滿意.
則，
，
所以，用戶對等待時間滿意的概率最大，對乘車費用滿意的概率最小.
（2）解：由題知，，
，
所以，，故該用戶選擇乙公司出行的概率更大.
44．(1)
(2)不可信
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式即可求解；
（2）根據(jù)題意結(jié)合切比雪夫不等式，求出有效份數(shù)不超過60份的概率即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)批次I的血液試劑智能自動檢測合格為事件A，人工抽檢合格為事件，
由已知得，
則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品的概率為
.
（2）設(shè)份血液樣本中檢測有效的份數(shù)為，假設(shè)該企業(yè)關(guān)于此新試劑有效率的宣傳內(nèi)容是客觀真實的，那么在此假設(shè)下，，
，
由切比雪夫不等式，有，
即在假設(shè)下，100份血液樣本中顯示有效的份數(shù)不超過60份的概率不超過0.04，此概率很小，
據(jù)此我們有理由推斷該企業(yè)的宣傳內(nèi)容不可信.
45．(1)分布列見解析，
(2)（i）200；（ii） 199或200
【分析】（1）根據(jù)超幾何概率公式即可求解概率，進(jìn)而得分布列和期望，
（2）根據(jù)抽樣比即可求解總數(shù)，根據(jù)最大似然思想結(jié)合概率的單調(diào)性即可求解最大值.
【詳解】（1）,
故分布列為：
.
（2）（i）設(shè)池塘乙中魚數(shù)為,則,解得,故池塘乙中的魚數(shù)為200.
（ii）設(shè)池塘乙中魚數(shù)為,令事件“再捉20條魚,5條有記號”,事件“池塘乙中魚數(shù)為”
則,由最大似然估計法,即求最大時的值,其中,
當(dāng)時，
當(dāng)時，
當(dāng)時
所以池塘乙中的魚數(shù)為199或200.
46．(1)分布列見解析，；
(2)時，游戲勝利的概率最大；
(3)證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)向前或向后行走的步數(shù)分類可知，的可能取值為，再分別計算出對應(yīng)的概率，即可得到的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)題意可知，，再由的單調(diào)性即可判斷；
（3）根據(jù)機(jī)器人第一步以及最后第步的行走方向討論，即可得出的表達(dá)式，從而將所證等式轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)組合數(shù)公式即可證出．
【詳解】（1）依題可知，的可能取值為.
，，，
所以，的分布列如下：
所以，．
（2）依題可知，時，，所以時勝利的概率最大.
（3）記事件“機(jī)器人行走步時恰好第一次回到初始位置”，“機(jī)器人第一步向前行走”，則“機(jī)器人第一步向后行走”.
下面我們對事件進(jìn)行分析.
發(fā)生時，假設(shè)機(jī)器人第步是向前行走，則之前的步機(jī)器人向前走的步數(shù)比向后走少一步，而因為機(jī)器人第一步為向前行走，
這說明存在使得機(jī)器人走了步時回到了初始位置，這與的發(fā)生矛盾，所以假設(shè)不成立.即機(jī)器人第步為向后行走，
從而機(jī)器人第2步到第步向前和向后行走的步數(shù)均為，且從第2步開始，到第步的這步，任意時刻機(jī)器人向前走的步數(shù)均不少于向后走的步數(shù)(否則在這過程中機(jī)器人會回到初始位置).
根據(jù)卡特蘭數(shù)，從第2步到第步共有種行走方式.通過上述分析知，，
所以．
由于，
，故等式成立．
【點睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)機(jī)器人第一步和最后一步的行走方向討論，利用“卡特蘭數(shù)”得出的表達(dá)式，再利用組合數(shù)公式運算即可得證.
合計
對照組
6
14
20
試驗組
14
6
20
合計
20
20
40
150
300
600
0
2
4
0
10
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
2
3
4
2
0
1
2
0.24
0.52
0.24
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
青少年
中老年
合計
食用輕食頻率低
125
95
220
食用輕食頻率高
75
105
180
合計
200
200
400
0
1
2
P
非重度污染
重度污染
合計
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
合計
85
15
100
1
2
3
4
0
1
2
3
4
6
140
160
200
0
1
2
3
0.027
0.189
0.441
0.343
0
1
X
0
1
2
3
4
5
6
P
0
1
2
0
2
4

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