專題22 新高考新題型第19題新定義壓軸解答題歸納（9大核心考點）（講義）-2024年高考數學二輪復習講義（新教材新高考）-試卷下載-教習網

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\l "_Tc159338427" PAGEREF _Tc159338427 \h 5
\l "_Tc159338428" 考點一：集合新定義 PAGEREF _Tc159338428 \h 5
\l "_Tc159338429" 考點二：函數與導數新定義 PAGEREF _Tc159338429 \h 7
\l "_Tc159338430" 考點三：立體幾何新定義 PAGEREF _Tc159338430 \h 8
\l "_Tc159338431" 考點四：三角函數新定義 PAGEREF _Tc159338431 \h 12
\l "_Tc159338432" 考點五：平面向量與解三角形新定義 PAGEREF _Tc159338432 \h 13
\l "_Tc159338433" 考點六：數列新定義 PAGEREF _Tc159338433 \h 15
\l "_Tc159338434" 考點七：圓錐曲線新定義 PAGEREF _Tc159338434 \h 17
\l "_Tc159338435" 考點八：概率與統(tǒng)計新定義 PAGEREF _Tc159338435 \h 20
\l "_Tc159338436" 考點九：高等數學背景下新定義 PAGEREF _Tc159338436 \h 24
創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應用是新時代的主旋律，也是高中數學教學與學習中需要不斷滲透與培養(yǎng)的一種基本精神與能力！借助“新定義”，可以巧妙進行數學知識中的概念類比、公式設置、性質應用、知識拓展與創(chuàng)新應用等的交匯與融合，很好地融入創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應用.
所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了高中數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求同學們讀懂題意并結合已有知識、能力進行理解，根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型。
1、代數型新定義問題的常見考查形式
（1）概念中的新定義；
（2）運算中的新定義；
（3）規(guī)則的新定義等．
2、解決“新定義”問題的方法
在實際解決“新定義”問題時，關鍵是正確提取新定義中的新概念、新公式、新性質、新模式等信息，確定新定義的名稱或符號、概念、法則等，并進行信息再加工，尋求相近知識點，明確它們的共同點和不同點，探求解決方法，在此基礎上進行知識轉換，有效輸出，合理歸納，結合相關的數學技巧與方法來分析與解決！
1．（2018?北京）設為正整數，集合，，，，，，2，，，對于集合中的任意元素，，，和，，，記，．
（Ⅰ）當時，若，1，，，1，，求和的值；
（Ⅱ）當時，設是的子集，且滿足：對于中的任意元素，，當，相同時，是奇數；當，不同時，是偶數．求集合中元素個數的最大值；
（Ⅲ）給定不小于2的，設是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同的元素，，，寫出一個集合，使其元素個數最多，并說明理由．
2．（2023?北京）數列，的項數均為，且，，2，，，，的前項和分別為，，并規(guī)定．對于，1，2，，，定義，，1，2，，，其中，表示數集中最大的數．
（Ⅰ）若，，，，，，求，，，的值；
（Ⅱ）若，且，，2，，，求；
（Ⅲ）證明：存在，，使得．
3．（2022?北京）已知，，，為有窮整數數列．給定正整數，若對任意的，2，，，在中存在，，，，，使得，則稱為連續(xù)可表數列．
（Ⅰ）判斷，1，4是否為連續(xù)可表數列？是否為連續(xù)可表數列？說明理由；
（Ⅱ）若，，，為連續(xù)可表數列，求證：的最小值為4；
（Ⅲ）若，，，為連續(xù)可表數列，且，求證：．
4．（2021?北京）設為實數．若無窮數列滿足如下三個性質，則稱為數列：
①，且；
②，2，；
③，，2，；，2，．
（Ⅰ）如果數列的前四項為2，，，，那么是否可能為數列？說明理由；
（Ⅱ）若數列是數列，求；
（Ⅲ）設數列的前項和為，是否存在數列，使得恒成立？如果存在，求出所有的；如果不存在，說明理由．
考點一：集合新定義
【例1】（2024·北京順義·高三統(tǒng)考期末）給定正整數，設集合．若對任意，，，兩數中至少有一個屬于，則稱集合具有性質．
(1)分別判斷集合與是否具有性質；
(2)若集合具有性質，求的值；
(3)若具有性質的集合中包含6個元素，且，求集合．
【變式1-1】（2024·北京·高三北京四中?？计谀┮阎?，集合，且滿足，，與恰有一個成立.對于定義，以及，其中.
例如.
(1)若，，求的值及的最大值；
(2)從中任意刪去兩個數，記剩下的數的和為，求的最小值（用表示）；
(3)對于滿足的每一個集合，集合中是否都存在三個不同的元素，，，使得恒成立？請說明理由.
【變式1-2】（2024·北京·高三景山學校?？计谀┰O集合，如果對于的每一個含有個元素的子集P，P中必有4個元素的和等于，稱正整數為集合的一個“相關數”.
(1)當時，判斷5和6是否為集合的“相關數”，說明理由；
(2)若為集合的“相關數”，證明：；
(3)給定正整數，求集合的“相關數”m的最小值.
【變式1-3】（2024·北京·101中學?？寄M預測）設A是正整數集的一個非空子集，如果對于任意，都有或，則稱A為自鄰集.記集合的所有子集中的自鄰集的個數為.
(1)直接寫出的所有自鄰集；
(2)若為偶數且，求證：的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數是偶數；
(3)若，求證：.
考點二：函數與導數新定義
【例2】（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）若函數在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數”.
(1)若，判斷是否為上的“3類函數”；
(2)若為上的“2類函數”，求實數的取值范圍；
(3)若為上的“2類函數”，且，證明：，，.
【變式2-1】（2024·山東·高三校聯考階段練習）定義函數．
(1)求曲線在處的切線斜率；
(2)若對任意恒成立，求k的取值范圍；
(3)討論函數的零點個數，并判斷是否有最小值．若有最小值m﹐證明：；若沒有最小值，說明理由．
（注：…是自然對數的底數）
【變式2-2】（2024·上海嘉定·統(tǒng)考一模）對于函數，把稱為函數的一階導，令，則將稱為函數的二階導，以此類推得到n階導.為了方便書寫，我們將n階導用表示.
(1)已知函數，寫出其二階導函數并討論其二階導函數單調性.
(2)現定義一個新的數列：在取作為數列的首項，并將作為數列的第項.我們稱該數列為的“n階導數列”
①若函數（），數列是的“n階導數列”，取Tn為的前n項積，求數列的通項公式.
②在我們高中階段學過的初等函數中，是否有函數使得該函數的“n階導數列”為嚴格減數列且為無窮數列，請寫出它并證明此結論.（寫出一個即可）
【變式2-3】（2024·上海·高三上海市七寶中學校聯考階段練習）已知函數，，其中為自然對數的底數，設函數，
(1)若，求函數的單調區(qū)間，并寫出函數有三個零點時實數的取值范圍；
(2)當時，分別為函數的極大值點和極小值點，且不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.
(3)對于函數，若實數滿足，其中F、D為非零實數，則稱為函數的“篤志點”.
①已知函數，且函數有且只有3個“篤志點”，求實數a的取值范圍；
②定義在R上的函數滿足：存在唯一實數m，對任意的實數x，使得恒成立或恒成立.對于有序實數對，討論函數“篤志點”個數的奇偶性，并說明理由
考點三：立體幾何新定義
【例3】（2024·安徽·校聯考模擬預測）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數軸構成直角坐標系，如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．現有一種空間斜坐標系，它任意兩條數軸的夾角均為60°，我們將這種坐標系稱為“斜60°坐標系”．我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60°坐標系”下向量的斜60°坐標：分別為“斜60°坐標系”下三條數軸（軸、軸?軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序實數組相對應，稱向量的斜60°坐標為，記作．

(1)若，，求的斜60°坐標；
(2)在平行六面體中，，，N為線段D1C1的中點．如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標系”．
①求的斜60°坐標；
②若，求與夾角的余弦值．
【變式3-1】（2024·河南·高三校聯考期末）三階行列式是解決復雜代數運算的算法，其運算法則如下：．若，則稱為空間向量與的叉乘，其中（），（），為單位正交基底．以O為坐標原點、分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，已知A，B是空間直角坐標系中異于O的不同兩點．
(1)①若，，求；
②證明：．
(2)記的面積為，證明：．
(3)證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．
【變式3-2】（2024·上海普陀·高三?？计谀τ谝粋€三維空間，如果一個平面與一個球只有一個交點，則稱這個平面是這個球的切平面.已知在空間直角坐標系中，球的半徑為，記平面、平面、平面分別為、、.
(1)若棱長為的正方體、棱長為的正四面體的內切球均為球，求的值；
(2)若球在處有一切平面為，求與的交線方程，并寫出它的一個法向量；
(3)如果在球面上任意一點作切平面，記與、、的交線分別為、、，求到、、距離乘積的最小值.
【變式3-3】（2024·全國·高三專題練習）無數次借著你的光，看到未曾見過的世界：國慶七十周年?建黨百年天安門廣場三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士紀念日”向人民英雄敬獻花籃儀式的凝重莊嚴金帆合唱團，這絕不是一個抽象的名字，而是艱辛與光耀的延展，當你想起他，應是四季人間，應是繁星璀璨！這是開學典禮中，我校金帆合唱團的頒獎詞，聽后讓人熱血沸騰，讓人心向往之.圖1就是金帆排練廳，大家都親切的稱之為“六角樓”，其造型別致，可以理解為一個正六棱柱（圖2）由上底面各棱向內切割為正六棱臺（圖3），正六棱柱的側棱交的延長線于點，經測量，且
(1)寫出三條正六棱臺的結構特征.
(2)“六角樓”一樓為辦公區(qū)域，二樓為金帆排練廳，假設排練廳地板恰好為六棱柱中截面，忽略墻壁厚度，估算金帆排練廳對應幾何體體積.（棱臺體積公式：）
(3)“小迷糊”站在“六角樓”下，陶醉在歌聲里.“大聰明”走過來說：“數學是理性的音樂，音樂是感性的數學.學好數學方能更好的欣賞音樂，比如咱們剛剛聽到的一個復合音就可以表示為函數，你看這多美妙!”
“小迷糊”：“”
親愛的同學們，快來幫“小迷糊”求一下的最大值吧.
【變式3-4】（2024·重慶·重慶市石柱中學校校聯考一模）正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個頂點聚集的棱的條數都相等，這樣的多面體就叫做正多面體.可以驗證一共只有五種多面體.令（均為正整數），我們發(fā)現有時候某正多面體的所有頂點都可以和另一個正多面體的一些頂點重合，例如正面體的所有頂點可以與正面體的某些頂點重合，正面體的所有頂點可以與正面體的所有頂點重合，等等.
(1)當正面體的所有頂點可以與正面體的某些頂點重合時，求正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值；
(2)當正面體在棱長為的正面體內，且正面體的所有頂點均為正面體各面的中心時，求正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積；
(3)已知正面體的每個面均為正五邊形，正面體的每個面均為正三角形.考生可在以下2問中選做1問.
（第一問答對得2分，第二問滿分8分，兩題均作答，以第一問結果給分）
第一問：求棱長為的正面體的表面積；
第二問：求棱長為的正面體的體積.
考點四：三角函數新定義
【例4】對于定義域R上的函數，如果存在非零常數T，對任意，都有成立，則稱為“T函數”．
設函數，判斷是否為“T函數”，說明理由；
若函數且的圖象與函數的圖象有公共點，證明：為“T函數”；
若函數為“T函數”，求實數m的取值范圍．
7．將函數的圖象按向量平移指的是：當時，圖形向右平移m個單位，當時，圖形向左平移個單位；當時，圖形向上平移n個單位，當時，圖形向下平移個單位．已知，將的圖象按平移得到函數的圖象．
求的解析式；
若函數在區(qū)間上至少含30個零點，在所有滿足上述條件的中，求的最小值；
對任意的，不等式恒成立，求實數m的取值范圍．
【變式4-1】若對于定義在R上的連續(xù)函數，存在常數，使得對任意的實數x成立，則稱是回旋函數，且階數為
試判斷函數是否是一個階數為1的回旋函數，并說明理由；
已知是回旋函數，求實數的值；
若回旋函數在恰有100個零點，求實數的值．
考點五：平面向量與解三角形新定義
【例5】已知O為坐標原點，對于函數，稱向量為函數的相伴特征向量，同時稱函數為向量的相伴函數．
記向量的相伴函數為，若當且時，求的值；
已知，，為的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點P，使得若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由；
記向量的相伴函數為，若當時不等式恒成立，求實數k的取值范圍．
【變式5-1】如圖，半圓O的直徑為2cm，A為直徑延長線上的點，，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形設
當時，求四邊形OACB的周長；
克羅狄斯托勒密所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號，根據以上材料，則當線段OC的長取最大值時，求
問：B在什么位置時，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值．
【變式5-2】將平面直角坐標系中的一列點、、、、，記為，設，其中為與y軸方向相同的單位向量．若對任意的正整數n，都有，則稱為T點列．
判斷、、、、、是否為T點列，并說明理由；
若為T點列，且任取其中連續(xù)三點、、，證明為鈍角三角形；
若為T點列，對于正整數k、l、，比較與的大小，并說明理由．
【變式5-3】對于給定的正整數n，記集合，其中元素稱為一個n維向量．特別地，稱為零向量．
設，，，定義加法和數乘：，
對一組向量，，…，，若存在一組不全為零的實數，，…，，使得，則稱這組向量線性相關．否則，稱為線性無關．
Ⅰ對，判斷下列各組向量是線性相關還是線性無關，并說明理由．
①，；
②，，；
③，，，
Ⅱ已知向量，，線性無關，判斷向量，，是線性相關還是線性無關，并說明理由．
Ⅲ已知個向量，，…，線性相關，但其中任意個都線性無關，證明下列結論：
ⅰ如果存在等式，則這些系數，，…，或者全為零，或者全不為零；
ⅱ如果兩個等式，同時成立，其中，則
考點六：數列新定義
【例6】（2024·北京·高三北京市第五中學?？茧A段練習）若數列滿足：，且，則稱為一個X數列. 對于一個X數列，若數列滿足：，且，則稱為的伴隨數列.
(1)若X數列中，，，，寫出其伴隨數列中的值；
(2)若為一個X數列，為的伴隨數列.
①證明：“為常數列”是“為等比數列”的充要條件；
②求的最大值.
【變式6-1】（2024·北京西城·北京師大附中?？寄M預測）已知為有限個實數構成的非空集合，設，，記集合和其元素個數分別為，.
設.例如當時，，，，所以.
(1)若，求的值；
(2)設是由3個正實數組成的集合且，證明：為定值；
(3)若是一個各項互不相同的無窮遞增正整數數列，對任意，設，.已知，且對任意，求數列的通項公式.
【變式6-2】（2024·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預測）已知數列：1，，，3，3，3，，，，，，，即當（）時，，記（）.
(1)求的值；
(2)求當（），試用、的代數式表示()；
(3)對于，定義集合是的整數倍，，且，求集合中元素的個數.
【變式6-3】（2024·全國·高三專題練習）對于無窮數列，若存在正整數，使得對一切正整數都成立，則稱無窮數列是周期為的周期數列.
(1)已知無窮數列是周期為的周期數列，且，，是數列的前項和，若對一切正整數恒成立，求常數的取值范圍；
(2)若無窮數列和滿足，求證：“是周期為的周期數列”的充要條件是“是周期為的周期數列，且”；
(3)若無窮數列和滿足，且，是否存在非零常數，使得是周期數列？若存在，請求出所有滿足條件的常數；若不存在，請說明理由.
考點七：圓錐曲線新定義
【例7】直線族是指具有某種共同性質的直線的全體．如：方程中，當k取給定的實數時，表示一條直線；當k在實數范圍內變化時，表示過點的直線族不含y軸記直線族其中為，直線族其中為
分別判斷點，是否在的某條直線上，并說明理由；
對于給定的正實數，點不在的任意一條直線上，求的取值范圍用表示；
直線族的包絡被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上每一點處的切線都是該直線族中的某條直線．求的包絡和的包絡．
【變式7-1】（2024·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）閱讀材料：
在平面直角坐標系中，若點與定點（或的距離和它到定直線（或）的距離之比是常數，則，化簡可得，設，則得到方程，所以點的軌跡是一個橢圓，這是從另一個角度給出了橢圓的定義.這里定點是橢圓的一個焦點，直線稱為相應于焦點的準線；定點是橢圓的另一個焦點，直線稱為相應于焦點的準線.
根據橢圓的這個定義，我們可以把到焦點的距離轉化為到準線的距離.若點在橢圓上，是橢圓的右焦點，橢圓的離心率，則點到準線的距離為，所以，我們把這個公式稱為橢圓的焦半徑公式.
結合閱讀材料回答下面的問題：
已知橢圓的右焦點為，點是該橢圓上第一象限的點，且軸，若直線是橢圓右準線方程，點到直線的距離為8.
(1)求點的坐標；
(2)若點也在橢圓上且的重心為，判斷是否能構成等差數列？如果能，求出該等差數列的公差，如果不能，說明理由.
【變式7-2】（2024·重慶·高三重慶八中校考階段練習）類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標系中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點的坐標均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標的點均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為.已知曲面的方程為.
(1)已知直線過曲面上一點，以為方向向量，求證：直線在曲面上（即上任意一點均在曲面上）；
(2)已知曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉一周所得的旋轉面；同時，過曲面上任意一點，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設直線在曲面上，且過點，求異面直線與所成角的余弦值.
【變式7-3】（2024·廣東中山·高三統(tǒng)考期末）類比平面解析幾何的觀點，在空間中，空間平面和曲面可以看作是適合某種條件的動點的軌跡，在空間直角坐標系中，空間平面和曲面的方程是一個三元方程．
(1)類比平面解析幾何中直線的方程，直接寫出：
①過點，法向量為的平面的方程；
②平面的一般方程；
③在x，y，z軸上的截距分別為a，b，c的平面的截距式方程（）；（不需要說明理由）
(2)設為空間中的兩個定點，，我們將曲面定義為滿足的動點P的軌跡，試建立一個適當的空間直角坐標系，并推導出曲面的方程．
【變式7-4】（2024·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）定義：一般地，當且時，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓.
(1)如圖，已知為上的動點，延長至點，使得的垂直平分線與交于點，記點的軌跡為曲線，求的方程；
(2)在條件（1）下，已知橢圓是橢圓的相似橢圓，是橢圓的左?右頂點.點是上異于四個頂點的任意一點，當（為曲線的離心率）時，設直線與橢圓交于點，直線與橢圓交于點，求的值.
【變式7-5】（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，例如：點，點，因為，所以點與點的“切比雪夫距離”為，記為．
(1)已知點，B為x軸上的一個動點，
①若，寫出點B的坐標；
②直接寫出的最小值
(2)求證：對任意三點A，B，C，都有；
(3)定點，動點滿足，若動點P所在的曲線所圍成圖形的面積是36，求r的值．
【變式7-6】（2024·上海黃浦·高三格致中學校考開學考試）定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”，記作.已知橢圓的一個焦點坐標為，且橢圓過點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求“共軛點對”中點所在直線的方程；
(3)設為坐標原點，點在橢圓上，且，（2）中的直線與橢圓交于兩點，且點的縱坐標大于0，設四點在橢圓上逆時針排列.證明：四邊形的面積小于.
考點八：概率與統(tǒng)計新定義
【例8】在平面直角坐標系xOy中，設點集…，，，……，，令從集合中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距離．
當時，求X的概率分布；
對給定的正整數，求概率用n表示
【變式8-1】（2024·河北·高三雄縣第一高級中學校聯考期末）在信息論中，熵（entrpy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵?平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數據流中的事件?樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的熵越大）來自信源的另一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當它發(fā)生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分布的對數的相反數是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構成了一個隨機變量，這個隨機變量的均值（即期望）就是這個分布產生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通常為比特，但也用、、計量，取決于定義用到對數的底.采用概率分布的對數作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1的信息，而擲次就為位.更一般地，你需要用位來表示一個可以取個值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農將熱力學的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農滳.而正是信息熵的發(fā)現，使得1871年由英國物理學家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學第二定律的可能性而設想的麥克斯韋妖理論被推翻.設隨機變量所有取值為，定義的信息熵，（，）.
(1)若，試探索的信息熵關于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此時的信息熵.
【變式8-2】（2024·北京·高三階段練習）設離散型隨機變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為，，，，．指標可用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為．設．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值；
(3)對任意與有相同可能取值的隨機變量，證明：，并指出取等號的充要條件
【變式8-3】（2024·山西朔州·高三?？奸_學考試）某校20名學生的數學成績和知識競賽成績如下表：
計算可得數學成績的平均值是，知識競賽成績的平均值是，并且，，.
(1)求這組學生的數學成績和知識競賽成績的樣本相關系數（精確到0.01）；
(2)設，變量和變量的一組樣本數據為，其中兩兩不相同，兩兩不相同.記在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定義變量和變量的“斯皮爾曼相關系數”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關系數.
（i）記，.證明：；
（ii）用（i）的公式求得這組學生的數學成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關系數”約為0.91，簡述“斯皮爾曼相關系數”在分析線性相關性時的優(yōu)勢.
注：參考公式與參考數據.
；；.
【變式8-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中學?？寄M預測）在一個典型的數字通信系統(tǒng)中，由信源發(fā)出攜帶著一定信息量的消息，轉換成適合在信道中傳輸的信號，通過信道傳送到接收端.有干擾無記憶信道是實際應用中常見的信道，信道中存在干擾，從而造成傳輸的信息失真.在有干擾無記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個取值的隨機變量，分別記作和.條件概率，描述了輸入信號和輸出信號之間統(tǒng)計依賴關系，反映了信道的統(tǒng)計特性.隨機變量的平均信息量定義為：.當時，信道疑義度定義為
(1)設有一非均勻的骰子，若其任一面出現的概率與該面上的點數成正比，試求扔一次骰子向上的面出現的點數的平均信息量；
(2)設某信道的輸入變量與輸出變量均取值0，1.滿足：.試回答以下問題：
①求的值；
②求該信道的信道疑義度的最大值.
【變式8-5】（2024·北京海淀·統(tǒng)考模擬預測）對于數組，各項均為自然數，如下定義該數組的放縮值：三個數最大值與最小值的差．如果放縮值m≥1，可進行如下操作：若a、b、c最大的數字是唯一的，把最大的數減2，剩下的兩個數一共加2，且每個數得到的相等；若a、b、c最大的數有兩個，則把最大的數各減1，第三個數加上最大數共減少的值．此為第一次操作，記為放縮值記為，可繼續(xù)對再次進行該操作，操作n次以后的結果記為，放縮值記為．
(1)若，求的值
(2)已知的放縮值記為t，且．若n=1，2，3．．．．．．時，均有，若，求集合
(3)設集合中的元素是以4為公比均為正整數的等比數列中的項，，且，在一個集合中有唯一確定的數．證明：存在滿足=0．
考點九：高等數學背景下新定義
【例9】（2024·河南·統(tǒng)考模擬預測）離散對數在密碼學中有重要的應用．設是素數，集合，若，記為除以的余數，為除以的余數；設，兩兩不同，若，則稱是以為底的離散對數，記為．
(1)若，求；
(2)對，記為除以的余數（當能被整除時，）．證明：，其中；
(3)已知．對，令．證明：．
【變式9-1】（2024·北京海淀·高三中關村中學?？茧A段練習）設數陣，其中．設，其中且．定義變換為“對于數陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個數都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數均保持不變”表示“將經過變換得到，再將經過變換得到以此類推，最后將經過變換得到．記數陣中四個數的和為．
(1)若，寫出經過變換后得到的數陣，并求的值；
(2)若，求的所有可能取值的和；
(3)對任意確定的一個數陣，證明：的所有可能取值的和不超過．
【變式9-2】（2024·山東濟南·高三統(tǒng)考期末）帕德近似是法國數學家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數的方法．給定兩個正整數，，函數在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：
(1)求實數，的值；
(2)求證：；
(3)求不等式的解集，其中．
【變式9-3】（2024·安徽六安·安徽省舒城中學校考模擬預測）羅爾中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．羅爾定理描述如下：如果上的函數滿足以下條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)，②在開區(qū)間內可導，③，則至少存在一個，使得．據此，解決以下問題：
(1)證明方程在內至少有一個實根，其中；
(2)已知函數在區(qū)間內有零點，求的取值范圍．
考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
集合新定義
2018年北京卷第20題，14分
【命題預測】
2024年九省聯考之后，第19題將考查新定義問題?，F在也有部分地區(qū)考試采用該結構考試，比如安徽合肥一中省十聯考等。預測2024年新高考試卷第19題結構考查新定義問題，壓軸題，難度比較大．
數列新定義
2023年北京卷第21題，15分
2022年北京卷第21題，15分
2021年北京卷第21題，15分
學生編號i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
數學成績
100
99
96
93
90
88
85
83
80
77
知識競賽成績
290
160
220
200
65
70
90
100
60
270
學生編號i
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
數學成績
75
74
72
70
68
66
60
50
39
35
知識競賽成績
45
35
40
50
25
30
20
15
10
5

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