新高考數(shù)學二輪復習專題講測練專題10 概率與統(tǒng)計的綜合運用（精講精練）（2份打包，解析版+原卷版，可預覽）-試卷下載-教習網(wǎng)

?專題10 概率與統(tǒng)計的綜合運用
【命題規(guī)律】
概率統(tǒng)計在高考中扮演著很重要的角色，概率統(tǒng)計解答題是新高考卷及多數(shù)省市高考數(shù)學必考內(nèi)容，考查熱點為古典概型、相互獨立事件的概率、條件概率、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布、統(tǒng)計圖表與數(shù)字特征、回歸分析、離散型隨機變量的分布列、期望與方差的實際應用等．
回顧近幾年的高考試題，可以看出概率統(tǒng)計解答題，大多緊密結合社會實際，以現(xiàn)實生活為背景設置試題，注重知識的綜合應用與實際應用，作為考查實踐能力的重要載體，命題者要求考生會收集，整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，建立數(shù)學模型，再應用數(shù)學原理和數(shù)學工具解決實際問題．
【核心考點目錄】
核心考點一：求概率及隨機變量的分布列與期望
核心考點二：超幾何分布與二項分布
核心考點三：概率與其它知識的交匯問題
核心考點四：期望與方差的實際應用
核心考點五：正態(tài)分布
核心考點六：統(tǒng)計圖表
核心考點七：回歸分析
核心考點八：獨立性檢驗
核心考點九：與體育比賽規(guī)則有關的概率問題
核心考點十：決策型問題
核心考點十一：條件概率、全概率公式、貝葉斯公式
【真題回歸】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
【解析】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為

．
（2）依題可知，的可能取值為，所以，
,
，
，
.
即的分布列為

0
10
20
30

0.16
0.44
0.34
0.06
期望.
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
【解析】（1）平均年齡
????（歲）．
（2）設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以
．
（3）設“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：
,
則由條件概率公式可得
從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：

準點班次數(shù)
未準點班次數(shù)
A
240
20
B
210
30
(1)根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；
(2)能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關？
附：，

0.100
0.050
0.010

2.706
3.841
6.635
【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準點班次有240次，
設A家公司長途客車準點事件為M，
則；
B共有班次240次，準點班次有210次，
設B家公司長途客車準點事件為N，
則.
A家公司長途客車準點的概率為；
B家公司長途客車準點的概率為.
（2）列聯(lián)表

準點班次數(shù)
未準點班次數(shù)
合計
A
240
20
260
B
210
30
240
合計
450
50
500

=，
根據(jù)臨界值表可知，有的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關.
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：
樣本號ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并計算得．
(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；
(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．
附：相關系數(shù)．
【解析】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值
樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值
據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，
平均一棵的材積量為
（2）

則
（3）設該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為，
又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，
可得，解之得．
則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為
5．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；
(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）
【解析】（1）由頻率估計概率可得
甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，
故答案為0.4
（2）設甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3
，

，

，
.
∴X的分布列為
X
0
1
2
3
P

∴
（3）丙奪冠概率估計值最大.
因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.
6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好
良好
病例組
40
60
對照組
10
90
(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．
（?。┳C明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y果給出R的估計值．
附，

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解析】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.
（2）(i)因為，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以

【方法技巧與總結】
（一）涉及的概率知識層面
主要考查隨機變量的概率分布與數(shù)學期望，一定要根據(jù)有關概念，判斷是等可能事件、互斥事件、相互獨立事件還是獨立重復試驗，以便選擇正確的計算方法，進行概率計算及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的計算，也要掌握幾種常見常考的概率分布模型：離散型有二項分布、超幾何分布，連續(xù)型有正態(tài)分布．考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力，
1、離散型隨機變量的期望與方差
一般地，若離散型隨機變量的分布列為

稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
稱為隨機變量的方差，它刻畫了隨機變量與其均值的偏離程度，其算術平方根為隨機變量的標準差．
（1）離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)
①；②．
（2）均值與方差的性質(zhì)
若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，
且
（3）分布列的求法
①與排列、組合有關分布列的求法．由排列、組合、概率知識求出概率，再求出分布列．
②與頻率分布直方圖有關分布列的求法．可由頻率估計概率，再求出分布列．
③與互斥事件有關分布列的求法．弄清互斥事件的關系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
④與獨立事件（或獨立重復試驗）有關分布列的求法．先弄清獨立事件的關系，求出各個概率，再列出分布列．
（4）常見的離散型隨機變量的概率分布模型
①二項分布； ②超兒何分布．
2、常見的連續(xù)型概率分布模型
正態(tài)分布．
（二）概率分布與不同知識背景結合考查對實際問題的解決能力
1、與數(shù)列結合的實際問題
2、與函數(shù)導數(shù)結合的實際問題
3、與分段函數(shù)求最值、解不等式結合的實際問題
4、與統(tǒng)計結合的實際問題
5、與其他背景結合的實際問題
【核心考點】
核心考點一：求概率及隨機變量的分布列與期望
【規(guī)律方法】
求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟：
（1）根據(jù)題中條件確定隨機變量的可能取值；
（2）求出隨機變量所有可能取值對應的概率，即可得出分布列；
（3）根據(jù)期望的概念，結合分布列，即可得出期望（在計算時，要注意隨機變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，可結合其對應的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算）
【典型例題】
例1．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）甲?乙兩個代表隊各有3名選手參加對抗賽．比賽規(guī)定：甲隊的1，2，3號選手與乙隊的1，2，3號選手按編號順序各比賽一場，某隊連贏3場，則獲勝，否則由甲隊的1號對乙隊的2號，甲隊的2號對乙隊的1號加賽兩場，勝場多者最后獲勝（每場比賽只有勝或負兩種結果）．已知甲隊的1號對乙隊的1，2號選手的勝率分別是0．5，0．6，甲隊的2號對乙隊的1，2號選手的勝率都是0．5，甲隊的3號對乙隊的3號選手的勝率也是0．5，假設每場比賽結果相互獨立．
（1）求甲隊僅比賽3場獲勝的概率；
（2）已知每場比賽勝者可獲得200個積分，求甲隊隊員獲得的積分數(shù)之和的分布列及期望．
【解析】（1）甲隊1，2，3號選手與乙隊1，2，3號選手比賽獲勝的概率分別為，，
甲隊比賽3場獲勝的概率為=；
（2）X所以可能取得值為；
，
，
，
，
．
即
X
0
200
400
600
800
P
0．125
0．075
0．2625
0．425
0．1125
所以．
例2．（2022春·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習）我校舉辦“學黨史”知識測試活動，每位教師3次測試機會，規(guī)定按順序測試，一旦測試合格就不必參加以后的測試，否則3次測試都要參加．甲教師3次測試每次合格的概率組成一個公差為的等差數(shù)列，他第一次測試合格的概率不超過，且他直到第二次測試才合格的概率為，乙教師3次測試每次測試合格的概率均為，每位教師參加的每次測試是否合格相互獨立．
（1）求甲教師第一次參加測試就合格的概率P；
（2）設甲教師參加測試的次數(shù)為m，乙教師參加測試的次數(shù)為n，求的分布列．
【解析】（1）由甲教師3次測試每次合格的概率組成一個公差為的等差數(shù)列，
又甲教師第一次參加測試就合格的概率為P，
故而甲教師參加第二、三次測試合格的概率分別是、，
由題意知，，解得或（舍），
所以甲教師第一次參加測試就合格的概率為．
（2）由（1）知甲教師參加第二、三次測試合格的概率分別是、，
由題意知，的可能取值為2，3，4，5，6，由題意可知
，
，

，

，
，
所以的分布列為：

2
3
4
5
6
P

例3．（2022春·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習）受新冠肺炎疫情的影響，某商場的銷售額受到了不同程度的沖擊，為刺激消費，該商場開展一項促銷活動，凡在商場消費金額滿300元的顧客可以免費抽獎一次，抽獎的規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個小球，其中：紅色小球1個，白色小球3個，黃色小球6個，顧客從箱子中依次不放回地摸出3個球，根據(jù)摸出球的顏色情況分別進行兌獎．將顧客摸出的3個球的顏色分成以下四種情況：A：1個紅球2個白球；B：3個白球；C：恰有1個黃球；D：至少兩個黃球，若四種情況按發(fā)生的機會從小到大的順序分別對應一等獎，二等獎，三等獎，不中獎．
（1）寫出顧客分別獲一?二?三等獎時所對應的概率；
（2）已知顧客摸出的第一個球是白球，求該顧客獲得二等獎的概率；
（3）若五名顧客每人抽獎一次，且彼此是否中獎相互獨立．記中獎的人數(shù)為，求的分布列和期望．
【解析】（1）由題意可得：，
，
所以中一等獎的概率為，二等獎的概率為，三等獎的概率為
（2）記事件為顧客摸出的第一個球是白球，事件為顧客獲得二等獎，
則．
（3）由（1）知一名顧客中獎的概率為．
由題意可得，，所以
則分布列為

0
1
2
3
4
5

核心考點二：超幾何分布與二項分布
【規(guī)律方法】
超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的、應用廣泛的概率模型，實際中的許多問題都可以利用這兩個概率模型來解決．
一般地，在含有件產(chǎn)品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，其中，且，稱為超幾何分布列．
一般地，在次獨立重復試驗中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為，則．此時稱隨機變量服從二項分布，記作，并稱為成功概率．此時有．
【典型例題】
例4．（2022春·北京·高三北京鐵路二中?？茧A段練習）2022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績．北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動，某校組織了一次全校冰雪運動知識競賽，并抽取了100名參賽學生的成績制作成如下頻率分布表：
競賽得分

頻率
0．1
0．1
0．3
0．3
0．2
（1）如果規(guī)定競賽得分在為“良好”，競賽得分在為“優(yōu)秀”，從成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學生中，使用分層抽樣抽取10個學生，問各抽取多少人？
（2）在（1）條件下，再從這10學生中抽取6人進行座談，求至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；
（3）以這100名參賽學生中競賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識競賽中得分為“優(yōu)秀”的學生被抽中的概率．現(xiàn)從該校學生中隨機抽取3人，記競賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．
【解析】（1）因為成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組頻率合計，共人，抽樣比為，
所以成績?yōu)椤傲己谩钡某槿∪?，成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的抽取人．
（2）抽取的6人中至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”可以分成兩類：3個優(yōu)3個良和4個優(yōu)2個良，
故至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率．
（3）由題意知，的可能取值，，，．
由題可知，任意1名學生競賽得分“優(yōu)秀”的概率為，競賽得分不是“優(yōu)秀”的概率為．若以頻率估計概率，則服從二項分布，
；；；．
故的分布列為

數(shù)學期望．
例5．（2022·浙江·模擬預測）高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學家高爾頓設計用來研究隨機現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．如圖所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2，…，7的球槽內(nèi)．

（1）如圖進行一次高爾頓板試驗，求小球落入6號球槽的概率；
（2）某商場店慶期間利用如圖的高爾頓板舉行有獎促銷活動，顧客只要在商場購物消費每滿800元就能得到一次抽獎機會，如消費400元沒有抽獎機會，消費900元有一次抽獎機會，消費1700元有兩次抽獎機會等，一次抽獎小球掉入號球槽得到的獎金為（元），其中．
（ⅰ）求一次抽獎的獎金（元）的分布列及數(shù)學期望；
（ⅱ）已知某顧客在商場消費2000元，設他所得的獎金為（元），求．
【解析】（1）記事件A：小球落入6號球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右．
所以．
（2）（i）記隨機變量M：小球掉入號球槽，則M的可能取值為：1，2，3，4，5，6，7．
由題意可得；；；；
所以M的分布列為：
M
1
2
3
4
5
6
7
P

因為，所以X的可能取值為：0，40，80，120．
其中，，，．
所以一次抽獎的獎金（元）的分布列為：
X
0
40
80
120
P

所以數(shù)學期望為．
（ii）某顧客在商場消費2000元，可以抽獎2次，所以他所得的獎金為．
因為，所以．
例6．（2022春·四川綿陽·高三綿陽中學校考階段練習）小區(qū)為了加強對“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應．為做好甲類生活物資的供應，超市對社區(qū)居民戶每天對甲類生活物資的購買量進行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖．

（1）從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶．若抽取的5戶中購買量在（單位：）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在（單位：）的戶數(shù)為，求的分布列和期望；
（2）將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當超出平均購買量不少于時，則該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值．
【解析】（1）隨機變量所有可能的取值為0，1，2．則
，，，

0
1
2

所以．
（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知，每天對甲類生活物資的需求平均值為
（）
則購買甲類生活物資為“迫切需求戶”的購買量為，從小區(qū)隨機抽取中隨機抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為．
若從小區(qū)隨機抽取10戶，且抽到X戶為“迫切需求戶”，則，
若k戶的可能性最大，則，
，得，
即，解得，由于，故．
核心考點三：概率與其它知識的交匯問題
【規(guī)律方法】
在知識交匯處設計試題是高考命題的指導思想之一，概率作為高中數(shù)學具有實際應用背景的主要內(nèi)容，除與實際應用問題相交匯，還常與排列組合、函數(shù)、數(shù)列等知識交匯．求解此類問題要充分理解題意．根據(jù)題中已知條件，聯(lián)系所學知識對已知條件進行轉(zhuǎn)化．這類題型具體來說有兩大類：
1、所給問題是以集合、函數(shù)、立體幾何、數(shù)列、向量等知識為載體的概率問題．求解時需要利用相關知識把所給問題轉(zhuǎn)化為概率模型，然后利用概率知識求解．
2、所給問題是概率問題，求解時有時需要把所求概率轉(zhuǎn)化為關于某一變量的函數(shù)，然后利用函數(shù)、導數(shù)知識進行求解；或者把問題轉(zhuǎn)化為與概率變量有關的數(shù)列遞推關系式，再通過構造特殊數(shù)列求通項或求和．
【典型例題】
例7．（2022春·上海長寧·高三上海市延安中學校考期中）投擲一枚均勻的骰子，每次擲得的點數(shù)為1或6時得2分，擲得的點數(shù)為2，3，4，5時得1分；獨立地重復擲一枚骰子，將每次得分相加的結果作為最終得分；
（1）設投擲2次骰子，最終得分為X，求隨機變量X的分布與期望；
（2）設最終得分為n的概率為，證明：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
【解析】（1）的可能取值為2，3，4，
，
，
，
∴ 的分布列為

2
3
4

數(shù)學期望．
（2）由題意知，
，
，，
，
是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
，
∴ 當時，

，
當時，上式也成立，
綜上：．
例8．（2022春·湖南長沙·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，一只螞蟻從單位正方體的頂點出發(fā)，每一步（均為等可能性的）經(jīng)過一條邊到達另一頂點，設該螞蟻經(jīng)過步回到點的概率．

（I）分別寫出的值；
（II）設頂點出發(fā)經(jīng)過步到達點的概率為，求的值；
（III）求．
【解析】（1）．
（2）由于頂點出發(fā)經(jīng)過步到達點的概率為，
則由出發(fā)經(jīng)過步到達點的概率也是，并且由出發(fā)經(jīng)過步不可能到這四個點，
所以當為奇數(shù)時，所以；
當為偶數(shù)時，．
（3）同理，由分別經(jīng)步到點的概率都是，由出發(fā)經(jīng)過再回到
的路徑分為以下四類：
①由經(jīng)歷步到，再經(jīng)步回到，概率為；
②由經(jīng)歷步到，再經(jīng)步回到，概率為；
③由經(jīng)歷步到，再經(jīng)步回到，概率為；
④由經(jīng)歷步到，再經(jīng)步回到，概率為；
所以，
又，
所以，
即，
所以，
故．
綜上所述，．
例9．（2022春·山東·高三校聯(lián)考階段練習）某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗試劑品分為兩類不同劑型和．現(xiàn)對其進行兩次檢測，第一次檢測時兩類試劑和合格的概率分別為和，第二次檢測時兩類試劑和合格的概率分別為和．已知兩次檢測過程相互獨立，兩次檢測均合格，試劑品才算合格．
（1）設經(jīng)過兩次檢測后兩類試劑和合格的種類數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；
（2）若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一使用試劑品進行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才確定為“感染高危戶”的概率為，若當時，最大，求的值．
【解析】（1）劑型合格的概率為：；
劑型合格的概率為：．
由題意知X的所有可能取值為0，1，2．
則，
，
，
則X的分布列為
X
0
1
2
P

數(shù)學期望．
（2）檢測3人確定“感染高危戶”的概率為，
檢測4人確定“感染高危戶”的概率為，
則．
令，因為，所以，
原函數(shù)可化為．
因為，
當且僅當，即時，等號成立．
此時，所以．
核心考點四：期望與方差的實際應用
【規(guī)律方法】
數(shù)學期望反映的是隨機變量取值的平均水平，而方差則是反映隨機變量取值在其平均值附近的離散程度．現(xiàn)代實際生活中，越來越多的決策需要應用數(shù)學期望與方差來對事件發(fā)生大小的可能性和穩(wěn)定性進行評估，通過計算分析可以比較科學地得出各個方案的預期效果及出現(xiàn)偏差的大小，從而決定要選擇的最佳方案．
（1）若我們希望實際的平均水平較理想，則先求隨機變量的期望，當時，不應認為它們一定一樣好，還需要用來比較這兩個隨機變量的方差，確定它們的偏離程度．
（2）若我們希望比較穩(wěn)定性，應先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．
（3）方差不是越小就越好，而是要根據(jù)實際問題的需要來判斷．
【典型例題】
例10．（2022春·河南·高三期末）根據(jù)疫情防控的需要，某地設立進口冷鏈食品集中監(jiān)管專倉，集中開展核酸檢測和預防性消毒工作，為了進一步確定某批進口冷鏈食品是否感染病毒，在入關檢疫時需要對其進行化驗，若結果為陽性，則有該病毒；若結果呈陰性，則沒有該病毒．對于份樣本，有以下兩種檢驗方式：一是逐份檢驗，則需要檢驗n次；二是混合檢驗，將k份樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結果為陰性，那么這k份全為陰性，檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份究竟哪些為陽性，需要對它們再次取樣逐份檢驗，則k份檢驗的次數(shù)共為次，若每份樣本沒有病毒的概率為，而且樣本之間是否有該病毒是相互獨立的．
（1）若取得8份樣本，采用逐個檢測，發(fā)現(xiàn)恰有2個樣本檢測結果為陽性的概率為，求的最大值點；
（2）若對取得的8份樣本，考慮以下兩種檢驗方案：方案一：采用混合檢驗；方案二：平均分成兩組，每組4份樣本采用混合檢驗，若檢驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．若“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，求p的取值范圍（精確到0．01）．
【解析】（1）根據(jù)題意可知，每份樣本檢測結果為陰性的概率為，則陽性概率為；
則8份樣本，采用逐個檢測，發(fā)現(xiàn)恰有2個樣本檢測結果為陽性的概率
即，所以，
因為，所以
當，即時，，所以在上單調(diào)遞增；
當，即時，，所以在上單調(diào)遞減；
所以在時取得最大值，
即的最大值點．
（2）若采用方案一，則需要檢驗的次數(shù)為8次，
即檢驗次數(shù)的期望值；
若采用方案二：平均分成兩組，每組4份樣本采用混合檢驗，
則每組檢測結果為陰性的概率為，則為陽性的概率為；
所以檢驗次數(shù)的所有可能取值為；
當兩組檢測結果全為陰性時，檢驗次數(shù)為2次，則；
當兩組檢測結果一組為陰性，另一組為陽性時，檢測次數(shù)為6次，則；
當兩組檢測結果全為陽性時，檢驗次數(shù)為10次，則；
此時，方案二的檢驗次數(shù)的期望值；
若“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，則，
即，得
即p的取值范圍為
例11．（2022春·湖北·高三黃岡中學校聯(lián)考階段練習）隨機變量的概念是俄國數(shù)學家切比雪夫在十九世紀中葉建立和提倡使用的．切比雪夫在數(shù)論?概率論?函數(shù)逼近論?積分學等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設為離散型隨機變量，則，其中為任意大于0的實數(shù)．切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量的分布未知的情況下，對事件的概率作出估計．
（1）證明離散型切比雪夫不等式；
（2）應用以上結論，回答下面問題：已知正整數(shù)．在一次抽獎游戲中，有個不透明的箱子依次編號為，編號為的箱子中裝有編號為的個大小?質(zhì)地均相同的小球．主持人邀請位嘉賓從每個箱子中隨機抽取一個球，記從編號為的箱子中抽取的小球號碼為，并記．對任意的，是否總能保證（假設嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結論．
附：可能用到的公式（數(shù)學期望的線性性質(zhì)）：對于離散型隨機變量滿足，則有．
【答案】（1）證明見解析
（2）不能保證，證明見解析
【分析】通過方差的計算公式，結合變形即可證明．
結合所給公式，再變形式子來解出，再利用第（1）證明的離散型切比雪夫不等式即可得到矛盾．
（1）設的所有可能取值為取的概率為．
則，
?????

（2）（2）由參考公式，．

，用到
而，故．
當時，，
因此，不能保證．
例12．（2022·全國·高三專題練習）一臺機器設備由和兩個要件組成，在設備運轉(zhuǎn)過程中，發(fā)生故障的概率分別記作，假設和相互獨立．設表示一次運轉(zhuǎn)過程中需要維修的要件的數(shù)目，若．
（1）求出；
（2）依據(jù)隨機變量的分布，求和；
（3）若表示需要維修的數(shù)目，表示需要維修的數(shù)目，寫出和的關系式，并依據(jù)期望的線性性質(zhì)和方差的性質(zhì)，求和．
【解析】（1）因為，
所以，
，
．
（2）由（1）得的分布列為：

0
1
2

0．72
0．26
0．02
所以，
．
（3）由題意可得，且均服從兩點分布，
所以，
，
所以，
因為相互獨立，所以．
核心考點五：正態(tài)分布
【規(guī)律方法】
解決正態(tài)分布問題有三個關鍵點：（1）對稱軸標準差分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意在標準正態(tài)分布下對稱軸為．
【典型例題】
例13．（2022春·福建泉州·高三福建省南安國光中學校考階段練習）某中學在一次考試后，對本年級學生物理成績進行分析，隨機抽取了300名同學的物理成績（均在50~100分之間），將抽取的成績分組為，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求這300名同學物理平均成績與第三四分位數(shù)的估計值；（結果精確到1）
（2）已知全年級同學的物理成績服從正態(tài)分布，其中?。?）中的，經(jīng)計算，=11，現(xiàn)從全年級隨機選取一名同學的物理成績，求該成績在區(qū)間的概率（結果精確到0．1）；
（3）根據(jù)（2）的條件，用頻率估計概率，現(xiàn)從全年級隨機選取n名同學的物理成績，若他們的成績都在的概率不低于1%，求n的最大值（n為整數(shù)）．
附：，若，則，．
【解析】（1）．
，
則這300名同學物理平均成績與第三四分位數(shù)的估計值分別為73，79
（2），
（3），即，
故的最大值為20．
例14．（2022·全國·高三專題練習）已知某高校共有10000名學生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設學生是否去自習是相互獨立的，且每個學生在每天的晚自習時間去閱覽室自習的概率均為0．1．
（1）將每天的晚自習時間去閱覽室自習的學生人數(shù)記為，求的期望和方差；
（2）18世紀30年代，數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當比較大時，二項分布可視為正態(tài)分布．此外，如果隨機變量，令，則．當時，對于任意實數(shù)，記．已知下表為標準正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標準正態(tài)分布對應的概率值．例如當時，由于，則先在表的最左列找到數(shù)字0．1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0．06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0．5636便是的值．

0．00
0．01
0．02
0．03
0．04
0．05
0．06
0．07
0．08
0．09
0．0
0．5000
0．5040
0．5080
0．5120
0．5160
0．5199
0．5239
0．5279
0．5319
0．5359
0．1
0．5398
0．5438
0．5478
0．5517
0．5557
0．5596
0．5636
0．5675
0．5714
0．5753
0．2
0．5793
0．5832
0．5871
0．5910
0．5948
0．5987
0．6026
0．6064
0．6103
0．6141
0．3
0．6179
0．6217
0．6255
0．6293
0．6331
0．6368
0．6404
0．6443
0．6480
0．6517
0．4
0．6554
0．6591
0．6628
0．6664
0．6700
0．6736
0．6772
0．6808，
0．6844
0．6879
0．5
0．6915
0．6950
0．6985
0．7019
0．7054
0．7088
0．7123
0．7157'
0．7190
0．7224
①求在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率；
②若要使在晚自習時間閱覽室座位夠用的概率高于0．7，則至少需要添加多少個座位？
【解析】（1）由題意可得，隨機變量X服從二項分布，
則，
，
（2）①由于（1）中二項分布的n值增大，
故可以認為隨機變量X服從二項分布，
由（1）可得，，
可得，則，
則，
由標準正態(tài)分布性質(zhì)可得，，
故，
故，
在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率為；
②查表可得，，則，
即，
又，
故座位數(shù)至少要1016個，
，
故閱覽室座位至少需要添加22個．
例15．（2022·全國·高三專題練習）某收費APP（手機應用程序）自上架以來，憑借簡潔的界面設計?方便的操作方式和實用的強大功能深得用戶喜愛．為回饋市場并擴大用戶量，該APP在2022年以競價形式做出優(yōu)惠活動，活動規(guī)則如下：①每月1到15日，大家可通過官網(wǎng)提交自己的報價（報價低于原價），但在報價時間截止之前無法得知其他人的報價和當月參與活動的總?cè)藬?shù)；②當月競價時間截止后的第二天，系統(tǒng)將根據(jù)當期優(yōu)惠名額，按出價從高到低的順序給相應人員分配優(yōu)惠名額，獲得優(yōu)惠名額的人的最低出價即為該APP在當月的下載優(yōu)惠價，出價不低于優(yōu)惠價的人將獲得數(shù)額為原價減去優(yōu)惠價的優(yōu)惠券，并可在當月下載該APP時使用．小明擬參加2022年7月份的優(yōu)惠活動，為了預測最低成交價，他根據(jù)網(wǎng)站的公告統(tǒng)計了今年2到6月參與活動的人數(shù)，如下表所示：
時間t（月）
2
3
4
5
6
參與活動的人數(shù)y（萬人）
0．5
0．6
1
1．4
1．7
（1）若可用線性回歸模型擬合參與活動的人數(shù)y（單位：萬人）與時間t（單位：月）之間的關系，請用最小二乘法求y關于t的回歸方程，并預測今年7月參與活動的人數(shù)；
（2）某自媒體對200位擬參加今年7月份活動的人進行了一個抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：
報價X（單位：元）

頻數(shù)
20
60
60
30
20
10
①求這200人的報價X（單位：元）的平均值和方差（同一區(qū)間的報價用該價格區(qū)間的中點值代替）；
②假設所有參與活動的人的報價X（單位：元）可視為服從正態(tài)分布，且與可分別由①中所求的樣本平均數(shù)及估計，若2022年7月計劃發(fā)放優(yōu)惠名額數(shù)量為3173，請你合理預測該APP在當月的下載優(yōu)惠價，并說明理由．
參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，，；②，，；③若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，．
【解析】（1）由題意可得，
，
又因為，，
所以，
，
所以回歸直線方程為：，
當時，可得（萬人），
故預計今年7月參與活動的人數(shù)為萬人；
（2）①依題意可得這200人的報價（單位：元）的平均值，
方差
；
②由①可知，依題意發(fā)放的優(yōu)惠名額為張，預測參加的人數(shù)為人，
所以能夠得到優(yōu)惠名額的概率，設下載優(yōu)惠價為，則
又，，因為，
所以，
則，
所以預測該APP在當月的下載優(yōu)惠價為元．
核心考點六：統(tǒng)計圖表
【規(guī)律方法】
1、制作頻率分布直方圖的步驟．
第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距
第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；
第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表；
第四步：畫頻率分布直方圖．
2、解決頻率分布直方圖問題時要抓住3個要點．
（1）直方圖中各小矩形的面積之和為1；
（2）直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距
（3）直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率總體個數(shù)．
3、用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法．
（1）眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標；
（2）中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；
（3）平均數(shù)等于每個小矩形面積與小矩形底邊中點橫坐標之積的和．
【典型例題】
例16．（2022·云南昆明·昆明一中模擬預測）為了響應教育部門疫情期間“停課不停學”的號召，某校實施網(wǎng)絡授課，為了檢驗學生上網(wǎng)課的效果，在高三年級進行了一次網(wǎng)絡模擬考試，從中抽取了100人的數(shù)學成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1．

（1）根據(jù)頻率分布直方圖求學生成績在區(qū)間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學數(shù)學成績的中位數(shù)
（2）若將頻率視為概率，從全校高三年級學生中隨機抽取3個人，記抽取的3人成績在[100，130）內(nèi)的學生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．
【解析】（1）由直方圖可知，數(shù)學成績落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，
所以數(shù)學成績落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，
因為數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1，
所以數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120）的頻率為，
數(shù)學成績落在區(qū)間[70，100）的頻率為，
所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，
設中位數(shù)為，則，解得，
所以抽取的這100名同學數(shù)學成績的中位數(shù)為．
（2）由（1）知，數(shù)學成績落在區(qū)間[100，130）內(nèi)的頻率為，
由題意可知，，的所有可能取值為，
，，
，，
所以的分布列為：

0
1
2
3

所以數(shù)學期望．
例17．（2022·貴州貴陽·貴陽六中校考一模）某校組織1000名學生進行科學探索知識競賽，成績分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．若圖中未知的數(shù)據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為400．

（1）求出直方圖中a，b，c的值；
（2）估計中位數(shù)（精確到0．1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；
（3）若用頻率估計概率，設從這1000人中抽取的6人，得分在區(qū)間內(nèi)的學生人數(shù)為X，求X的數(shù)學期望．
【解析】（1）依題意可得：，
又a，b，c成等差數(shù)列，所以且，
解得：
所以．
（2）因為，設中位數(shù)為，
則，所以，
解得：，即中位數(shù)約為，
平均數(shù)為．
（3）由題意可知：得分在區(qū)間內(nèi)概率為，
根據(jù)條件可知：的所有可能值為，且，
所以．
例18．（2022·全國·高三專題練習）為豐富學生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書法比賽，比賽分兩個階段進行：第一階段由評委為所有參賽作品評分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會按規(guī)則另行確定．數(shù)據(jù)統(tǒng)計員對第一階段的分數(shù)進行了統(tǒng)計分析，這些分數(shù)X都在內(nèi)，再以5為組距畫分數(shù)的頻率分布直方圖（設“”）時，發(fā)現(xiàn)Y滿足：．
（1）試確定n的所有取值，并求k；
（2）組委會確定：在第一階段比賽中低于85分的同學無緣獲獎也不能參加附加賽；分數(shù)在內(nèi)的同學評為一等獎；分數(shù)在內(nèi)的同學評為二等獎，但通過附加賽有的概率提升為一等獎；分數(shù)在內(nèi)的同學評為三等獎，但通過附加賽有的概率提升為二等獎（所有參加附加賽的獲獎人員均不降低獲獎等級，且附加賽獲獎等級在第一階段獲獎等級基礎上，最多升高一級）．已知學生A和B均參加了本次比賽，且學生A在第一階段獲得二等獎．
①求學生B最終獲獎等級不低于學生A最終獲獎等級的概率；
②已知學生A和B都獲獎，記A，B兩位同學最終獲得一等獎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．
【解析】（1）根據(jù)題意，X在內(nèi)，按5為組距可分成5個小區(qū)間，
分別是，，，，，
因為，由，，所以．
每個小區(qū)間的頻率值分別是
由，解得．
（2）①由于參賽學生很多，可以把頻率視為概率．
由（1）知，學生B的分數(shù)屬于區(qū)間，，，，的概率分別是：，，，，．
我們用符號（或）表示學生A（或B）在第一輪獲獎等級為i，通過附加賽最終獲獎等級為j，其中
記“學生B最終獲獎等級不低于學生A的最終獲獎等級”為事件W，
則

．
②學生A最終獲得一等獎的概率是，
學生B最終獲得一等獎的概率是，
，，
．
所以的分布列為：

0
1
2
P

．
核心考點七：回歸分析
【規(guī)律方法】
線性回歸分析的原理、方法和步驟：
（1）利用圖表和數(shù)字特征可以對數(shù)據(jù)做簡單的分析，但是用回歸直線方程可以對數(shù)據(jù)的未來值進行預測．在選取數(shù)據(jù)觀察的時候，要注意大量相對穩(wěn)定的數(shù)據(jù)比不穩(wěn)定的數(shù)據(jù)更有價值，近期的數(shù)據(jù)比過去久遠的數(shù)據(jù)更有價值．
（2）判斷兩組數(shù)據(jù)是否具有線性相關關系的方法：散點圖，相關系數(shù)．
（3）相關指數(shù)與相關系數(shù)在含有一個解釋變量的線性回歸模型中是等價的量，都是用來判斷線性回歸模型擬合效果好不好的量．
（4）利用換元法，可以將一元非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸．
【典型例題】
例19．（2022春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）隨著電池充電技術的逐漸成熟，以鋰電池為動力的新一代無繩類電動工具以其輕巧便攜?工作效率高?環(huán)保?可適應多種應用場景下的工作等優(yōu)勢，被廣泛使用．在消費者便攜無繩化需求與技術發(fā)展的雙重驅(qū)動下，鋰電類無繩電動工具及配套充電器市場有望持續(xù)擴大．某公司為適應市場并增強市場競爭力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升，現(xiàn)對2017~2021年的研發(fā)人數(shù)作了相關統(tǒng)計，如下圖：
2017~2021年公司的研發(fā)人數(shù)情況（年份代碼1~5分別對應2017~2021年）

（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)，計算該公司研發(fā)人數(shù)與年份代碼的相關系數(shù)，并由此判斷其相關性的強弱；
（2）試求出關于的線性回歸方程，并預測2023年該公司的研發(fā)人數(shù)．（結果取整數(shù)）
參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：相關系數(shù)．線性回歸方程的斜率，截距．
附：

相關性
弱
一般
強
【解析】（1）由條形統(tǒng)計圖，得，
，
所以

，
．
所以．
因為相關系數(shù)，所以與具有很強的線性相關關系，且為正相關．
（2），
所以，
所以．
由題意知，2023年對應的年份代碼，
當時，，
故預測2023年該公司的研發(fā)人數(shù)約為613人．
例20．（2022春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度x有關，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．
平均溫度
21
23
25
27
29
31
33
平均產(chǎn)卵數(shù)/個
7
11
21
24
66
115
325

1．9
2．4
3．0
3．2
4．2
4．7
5．8

（1）根據(jù)散點圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結果及表中數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸方程，（計算結果精確到0．01）
（2）根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，假設該地每年平均溫度達到以上的概率為．該地今后4年中至少有兩年需要人工防治的概率．
參考數(shù)據(jù)

5215
17713
717
81．3
3．6
附：回歸方程．
【解析】（1）由散點圖可以判斷，適宜作為卵數(shù)y關于溫度x的回歸方程類型．
對兩邊取自然對數(shù)，得，
令，則，
由數(shù)據(jù)得，
，，
所以，
，
所以z關于x的線性回歸方程為，
則y關于x的回歸方程為；
（2）若今后4年中有X年需要人工防治，且服從，
所以，今后4年中至少有兩年需要人工防治的概率．
例21．（2022·全國·模擬預測）住房和城鄉(xiāng)建設部等六部門發(fā)布通知提出，到2025年，農(nóng)村生活垃圾無害化處理水平明顯提升．我國生活垃圾主要有填埋、焚燒與堆肥三種處理方式，隨著我國垃圾處理結構的不斷優(yōu)化調(diào)整，焚燒處理逐漸成為市場主流．根據(jù)國家統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，對2013—2020年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)y（單位：座）進行統(tǒng)計，得到如下表格：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代碼x
1
2
3
4
5
6
7
8
生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)y
166
188
220
249
286
331
389
463
（1）由表中數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與x之間的關系，請用相關系數(shù)加以說明；（精確到0．01）
（2）求出y關于x的線性回歸方程，并預測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)；
（3）對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)，還能用所求的線性回歸方程預測嗎？請簡要說明理由．
參考公式：相關系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．
參考數(shù)據(jù)：，，，，，，．
【解析】（1）由題意，，，
相關系數(shù)
，因為y與x的相關系數(shù)，接近于1，
所以y與x的線性相關程度相當高，可用線性回歸模型擬合y與x之間的關系；
（2）由題意，
，
，
所以y關于x的線性回歸方程為，
易知2022年對應的年份代碼，
當時，，所以預測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)為513；
（3）對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)，不能用所求線性回歸方程預測，
理由如下（說出一點即可）：
①線性回歸方程具有時效性，不能預測較遠情況；
②全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)有可能達到上限，一段時間內(nèi)不再新建；
③受國家政策的影響，可能產(chǎn)生新的生活垃圾無害化處理方式．
核心考點八：獨立性檢驗
【規(guī)律方法】
解獨立性檢驗應用問題的注意事項．
（1）兩個明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個問題．
（2）在列聯(lián)表中注意事件的對應及相關值的確定，不可混淆．
（3）在實際問題中，獨立性檢驗的結論僅是一種數(shù)學關系表述，得到的結論有一定的概率出錯．
（4）對判斷結果進行描述時，注意對象的選取要準確無誤，應是對假設結論進行的含概率的判斷，而非其他．
【典型例題】
例22．（2022·河南·模擬預測）為了檢測產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)從甲、乙兩條生產(chǎn)線上分別抽取件產(chǎn)品作為樣本，檢測其質(zhì)量指標值，質(zhì)量指標值的范圍為．根據(jù)該產(chǎn)品的質(zhì)量標準，規(guī)定質(zhì)量指標值在內(nèi)的產(chǎn)品為“優(yōu)等品”，否則為“非優(yōu)等品”．抽樣統(tǒng)計后得到的數(shù)據(jù)如下：
質(zhì)量指標值

甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量

乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量

（1）填寫下面的列聯(lián)表，計算，并判斷能否有的把握認為產(chǎn)品是否為“優(yōu)等品”與生產(chǎn)線有關；

優(yōu)等品
非優(yōu)等品
合計
甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量

乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量

合計

（2）由于樣本中來自乙生產(chǎn)線“非優(yōu)等品”的個數(shù)多于來自甲生產(chǎn)線的，為找出原因，該廠質(zhì)量控制部門在抽出的“非優(yōu)等品”中，按甲、乙生產(chǎn)線采用分層抽樣的方法抽出件產(chǎn)品，然后再從中隨機抽出件產(chǎn)品進行全面分析，求其中至少有件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的概率．
附：，．

k

【解析】（1）依題意可得列聯(lián)表如下表所示：

優(yōu)等品
非優(yōu)等品
合計
甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量

乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量

合計

所以，，
所以，沒有的把握認為產(chǎn)品是否為“優(yōu)等品”與生產(chǎn)線有關．
（2）由列聯(lián)表可知，甲、乙生產(chǎn)的“非優(yōu)等品”之比為，
按甲、乙生產(chǎn)線采用分層抽樣的方法抽出件產(chǎn)品，則甲生產(chǎn)線應抽出件產(chǎn)品，分別記為、、，
乙生產(chǎn)線應抽出件產(chǎn)品，分別記為、、、，
從隨機抽出件產(chǎn)品，所有的情況為：、、、、、、、、
、、、、、、、、、、、、，共種，
其中，至少有件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品所包含的情況有：、、、、、
、、、、、、、、、、、、，共種，
故所求概率為．
例23．（2022·重慶江北·?？家荒＃榱擞嗅槍π缘靥岣邔W生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素是否對學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：
性別
鍛煉
不經(jīng)常
經(jīng)常
女生
40
60
男生
20
80
（1）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有關系；
（2）從這200人中隨機選擇1人，已知選到的學生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；
（3）為了提高學生體育鍛煉的積極性，集團設置了“學習女排精神，塑造健康體魄”的主題活動，在該活動的某次排球訓練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人．求第次傳球后球在甲手中的概率．
附：

0．010
0．005
0．001

6．635
7．879
10．828
【解析】（1），
故依據(jù)的獨立性檢驗，可以認為性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有關系；
（2）設從這200人中隨機選擇1人，設選到經(jīng)常鍛煉的學生為事件A，選到的學生為男生為事件B，
則，
則已知選到的學生經(jīng)常參加體育鍛煉，他是男生的概率；
（3）設n次傳球后球在甲手中的概率為，，
則有，，
設，則，
所以，解得：，
所以，其中，
故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，
故，
故第次傳球后球在甲手中的概率為．
例24．（2022春·四川成都·高三?？茧A段練習）為考查某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：

患病
未患病
總計
沒服用藥
20
30
50
服用藥
x
y
50
總計
M
N
100
設從沒服用藥的動物中任取2只，未患病數(shù)為：從服用藥物的動物中任取2只，未患病數(shù)為，工作人員曾計算過
（1）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，y，M，N的值：
（2）求與的均值（期望）并比較大小，請解釋所得結論的實際含義：
（3）能夠以99%的把握認為藥物有效嗎？
（參考公式，其中
P（K2≥k）
0．10
0．05
0．010
0．001
k
2．706
3．841
6．635
10．828
【解析】（1），
，
，，，；
即，，，；
（2）取值為0、1、2，
，

0
1
2
P

∴
取值為0、1、2，
，，

0
1
2
P

∴
∴，即說明藥物有效．
（3）∵，
∵4．76

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