一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識(shí)，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對(duì)自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，針對(duì)“一?！笨荚囍械膯?wèn)題要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過(guò)程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過(guò)程及書(shū)寫(xiě)。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們?cè)诼?tīng)課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對(duì)問(wèn)題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們?cè)谒㈩}時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對(duì)于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過(guò)程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
專(zhuān)題18 圓錐曲線高頻壓軸解答題
【目錄】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156940026" PAGEREF _Tc156940026 \h 2
\l "_Tc156940027" PAGEREF _Tc156940027 \h 3
\l "_Tc156940028" PAGEREF _Tc156940028 \h 4
\l "_Tc156940029" PAGEREF _Tc156940029 \h 5
\l "_Tc156940030" PAGEREF _Tc156940030 \h 16
\l "_Tc156940031" 考點(diǎn)一：軌跡方程 PAGEREF _Tc156940031 \h 16
\l "_Tc156940032" 考點(diǎn)二：向量搭橋進(jìn)行翻譯 PAGEREF _Tc156940032 \h 20
\l "_Tc156940033" 考點(diǎn)三：弦長(zhǎng)、面積背景的條件翻譯 PAGEREF _Tc156940033 \h 24
\l "_Tc156940034" 考點(diǎn)四：斜率之和差商積問(wèn)題 PAGEREF _Tc156940034 \h 28
\l "_Tc156940035" 考點(diǎn)五：弦長(zhǎng)、面積范圍與最值問(wèn)題 PAGEREF _Tc156940035 \h 32
\l "_Tc156940036" 考點(diǎn)六：定值問(wèn)題 PAGEREF _Tc156940036 \h 36
\l "_Tc156940037" 考點(diǎn)七：中點(diǎn)弦與對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 PAGEREF _Tc156940037 \h 39
\l "_Tc156940038" 考點(diǎn)八：定點(diǎn)問(wèn)題 PAGEREF _Tc156940038 \h 42
\l "_Tc156940039" 考點(diǎn)九：三點(diǎn)共線問(wèn)題 PAGEREF _Tc156940039 \h 45
\l "_Tc156940040" 考點(diǎn)十：四點(diǎn)共圓問(wèn)題 PAGEREF _Tc156940040 \h 49
\l "_Tc156940041" 考點(diǎn)十一：切線問(wèn)題 PAGEREF _Tc156940041 \h 54
\l "_Tc156940042" 考點(diǎn)十二：定比點(diǎn)差法 PAGEREF _Tc156940042 \h 57
\l "_Tc156940043" 考點(diǎn)十三：齊次化 PAGEREF _Tc156940043 \h 60
\l "_Tc156940044" 考點(diǎn)十四：極點(diǎn)極線問(wèn)題 PAGEREF _Tc156940044 \h 64
\l "_Tc156940045" 考點(diǎn)十五：同構(gòu)問(wèn)題 PAGEREF _Tc156940045 \h 69
\l "_Tc156940046" 考點(diǎn)十六：蝴蝶問(wèn)題 PAGEREF _Tc156940046 \h 72
解析幾何是高考數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，常作為試卷的拔高與區(qū)分度大的試題，其思維要求高，計(jì)算量大．令同學(xué)們畏懼．通過(guò)對(duì)近幾年高考試題與模擬試題的研究，分析歸納出以下考點(diǎn)：
（1）解析幾何通性通法研究；
（2）圓錐曲線中最值、定點(diǎn)、定值問(wèn)題；
（3）解析幾何中的常見(jiàn)模型；
解析幾何的核心內(nèi)容概括為八個(gè)字，就是“定義、方程、位置關(guān)系”．所有的解析幾何試題都是圍繞這八個(gè)字的內(nèi)容與三大核心考點(diǎn)展開(kāi)．

1、直接推理計(jì)算，定值問(wèn)題一般是先引入?yún)?shù)，最后通過(guò)計(jì)算消去參數(shù)，從而得到定值．
2、先猜后證，從特殊入手，求出定點(diǎn)或定值，再證明定點(diǎn)或定值與參數(shù)無(wú)關(guān)．
3、建立目標(biāo)函數(shù)，使用函數(shù)的最值或取值范圍求參數(shù)范圍．
4、建立目標(biāo)函數(shù)，使用基本不等式求最值．
5、根據(jù)題設(shè)不等關(guān)系構(gòu)建不等式求參數(shù)取值范圍．
6、已知點(diǎn)是橢圓上一個(gè)定點(diǎn)，橢圓上有兩動(dòng)點(diǎn)、
（1）若直線，則直線過(guò)定點(diǎn)
（2）若直線，則直線斜率為定值；
（3）若直線，則直線過(guò)定點(diǎn)
（4）若直線，則直線斜率為定值；
（5）當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，則有（第三定義）；
7、過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)，、為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)
（1）若，則直線恒過(guò)定點(diǎn)．
（2）若直線，則直線斜率為定值；
（3）若，則直線恒過(guò)定點(diǎn)．
（4）若直線，則直線斜率為定值；
（5）當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，則有（第三定義）；
8、過(guò)拋物線上任一點(diǎn)引兩條弦、，
（1）若，則直線恒過(guò)定點(diǎn)．（2018全國(guó)一卷文科）
（2）若，則直線恒過(guò)定點(diǎn)．
（3）若直線，則直線斜率為定值則．
1．（2023?新高考Ⅱ）已知雙曲線中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，，離心率為．
（1）求的方程；
（2）記的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與的左支交于，兩點(diǎn)，在第二象限，直線與交于，證明在定直線上．
【解析】（1）雙曲線中心為原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，，離心率為，
則，解得，
故雙曲線的方程為；
（2）證明：過(guò)點(diǎn)的直線與的左支交于，兩點(diǎn)，
則可設(shè)直線的方程為，，，，，
記的左，右頂點(diǎn)分別為，，
則，，
聯(lián)立，化簡(jiǎn)整理可得，，
故△且，
，，
直線的方程為，直線方程，
故
，
故，解得，
所以，
故點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)．
2．（2023?甲卷）已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，．
（1）求；
（2）設(shè)為的焦點(diǎn)，，為上兩點(diǎn)，且，求面積的最小值．
【解析】設(shè)，，，，聯(lián)立，
消去得：，
，，△，
，，
，
，，，
，
（2）由（1）知，所以，顯然直線的斜率不可能為零，
設(shè)直線，，，，
由，可得，所以，，
△，
因?yàn)?，所以?br>即，即，
將，，代入得，
，所以，且，解得或．
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，
，
所以的面積，
又或，所以當(dāng)時(shí)，的面積．
3．（2023?天津）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，已知，．
（Ⅰ）求橢圓方程及其離心率；
（Ⅱ）已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若△的面積是△面積的二倍，求直線的方程．
【解析】（Ⅰ）由題意可知，，解得，
．
則橢圓方程為，橢圓的離心率為；
（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在且不為0，
當(dāng)時(shí)，直線方程為，取，得．
聯(lián)立，得．
△，
，得，則．
．
．
，即，得；
同理求得當(dāng)時(shí)，．
直線的方程為．
4．（2023?乙卷）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上．
（1）求的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
【解析】（1）由題意，，解得．
橢圓的方程為；
證明：（2）如圖，
要使過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則的斜率存在且小于0，
設(shè)，即，，，，，，
聯(lián)立，得．
△．
，，
直線，取，得；
直線，取，得．
．
的中點(diǎn)為，為定點(diǎn)．
5．（2023?新高考Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．
【解析】
（1）設(shè)點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意得，
兩邊平方可得：，
化簡(jiǎn)得：，符合題意．
故的方程為．
（2）解法一：不妨設(shè)，，三點(diǎn)在上，且．
設(shè)，，，
則，．
由題意，，即，
顯然，于是．
此時(shí)，．．于是，．
不妨設(shè)，則，
則
．
設(shè)，則，即，
又．
顯然，為最小值點(diǎn)．故，
故矩形的周長(zhǎng)為．
注意這里有兩個(gè)取等條件，一個(gè)是，另一個(gè)是，
這顯然是無(wú)法同時(shí)取到的，所以等號(hào)不成立，命題得證．
解法二：不妨設(shè)，，在拋物線上，不在拋物線上，欲證命題為．
由圖象的平移可知，將拋物線看作不影響問(wèn)題的證明．
設(shè)，，平移坐標(biāo)系使為坐標(biāo)原點(diǎn)，
則新拋物線方程為，寫(xiě)為極坐標(biāo)方程，
即，即．
欲證明的結(jié)論為，
也即．
不妨設(shè)，將不等式左邊看成關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)，
其最小值當(dāng)即時(shí)取得，
因此欲證不等式為，即，
根據(jù)均值不等式，有
，
由題意，等號(hào)不成立，故原命題得證．
6．（2022?乙卷）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸、軸，且過(guò)，，兩點(diǎn)．
（1）求的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)且平行于軸的直線與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足．證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
【解析】
（1）設(shè)的方程為，且，
將兩點(diǎn)代入得，
解得，，
故的方程為；
（2）由可得線段
（1）若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線．代入，
可得，，將代入，可得，得到，求得 方程：，過(guò)點(diǎn)．
②若過(guò)的直線的斜率存在，設(shè)，，，，，
聯(lián)立，得，
故有，，
，
，
聯(lián)立，可得，
，，
，，
又
，
，，三點(diǎn)共線，故直線過(guò)點(diǎn)，
綜上，可得直線過(guò)定點(diǎn)．
7．（2022?甲卷）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．
（1）求的方程；
（2）設(shè)直線，與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，記直線，的傾斜角分別為，．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線的方程．
【解析】（1）由題意可知，當(dāng)時(shí)，，得，可知，．
則在中，，得，解得．
則的方程為；
（2）設(shè)，，，，，，，，
當(dāng)與軸垂直時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可知，也與軸垂直，
此時(shí)，則，
由（1）可知，，則，
又、、三點(diǎn)共線，則，即，
，
得，即；
同理由、、三點(diǎn)共線，得．
則．
由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)，
由，得，
，，則，，
則，
，，
與正負(fù)相同，
，
當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，取最大值，
此時(shí)的直線方程為，即，
又，，
的方程為，即．
8．（2021?乙卷）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2．
（1）求的方程；
（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)滿(mǎn)足，求直線斜率的最大值．
【解析】（1）由題意知，，
．
（2）由（1）知，拋物線，，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
將點(diǎn)代入得，
整理得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，取得最大值．
故答案為：．
9．（2021?新高考Ⅰ）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿(mǎn)足．記的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)的兩條直線分別交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和．
【解析】（1）由雙曲線的定義可知，的軌跡是雙曲線的右支，設(shè)的方程為，
根據(jù)題意，解得，
的方程為；
（2）（法一）設(shè)，直線的參數(shù)方程為，
將其代入的方程并整理可得，，
由參數(shù)的幾何意義可知，，，則，
設(shè)直線的參數(shù)方程為，，，同理可得，，
依題意，，則，
又，故，則，即直線的斜率與直線的斜率之和為0．
（法二）設(shè)，直線的方程為，，，，，設(shè)，
將直線方程代入的方程化簡(jiǎn)并整理可得，，
由韋達(dá)定理有，，
又由可得，
同理可得，
，
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
同理可得，
又，則，化簡(jiǎn)可得，
又，則，即，即直線的斜率與直線的斜率之和為0．
考點(diǎn)一：軌跡方程
求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：
（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫(xiě)出方程；
（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程．
【例1】（2024·河北衡水·高三校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)滿(mǎn)足方程.
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）作曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的曲線，記為，在曲線上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，若切線與曲線交于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作曲線的切線、，證明：、的交點(diǎn)必在曲線上.
【解析】（1）由，
兩邊平方并化簡(jiǎn)，得，即，
故點(diǎn)的軌跡的方程為.
（2）依題可設(shè)點(diǎn)，，
曲線切于點(diǎn)的切線的斜率為，
切線l的方程為，整理得，
依題可知曲線，，
聯(lián)立方程組，即，，
設(shè)，，則，，
設(shè)曲線上點(diǎn)處的切線斜率為，
切線方程為，整理得，
同理可得曲線上點(diǎn)處的切線方程為，
聯(lián)立方程組，解得，
因?yàn)?，?br>所以，，、的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
滿(mǎn)足曲線的方程，即、的交點(diǎn)必在曲線上.
【變式1-1】（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中校考階段練習(xí)）已知橢圓C：（）的離心率為，左頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為3.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，（不同于A），且直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，求在上的射影的軌跡方程.
【解析】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)l：，，，
與橢圓方程聯(lián)立，，
得，
，，，
因?yàn)橹本€和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，
所以，
得，即，
所以或，
當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，與A重合，舍去，
當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，l：，此時(shí)，，滿(mǎn)足條件，
因?yàn)?，?br>所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（除去點(diǎn)），圓心坐標(biāo)為，半徑為，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
【變式1-2】已知直線交拋物線于兩點(diǎn).
（1）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若點(diǎn)在拋物線上，且關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求證：四點(diǎn)共圓：
（3）記為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)拋物線上的點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，若的面積是的面積的兩倍，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】（1）由得.
設(shè)，則
因?yàn)橹本€與相交，所以，得
由，得，所以，
解得，從而，
因?yàn)椋?，?
（2）設(shè)，
因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
則，故.
又于是，
即.
由點(diǎn)在拋物線上，有.
因?yàn)椋裕?br>于是
因此，同理，
于是點(diǎn)在以為直徑的圓上，
即四點(diǎn)共圓.
（3）易知設(shè)，則
設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則
由題設(shè)，可得，
所以或.
設(shè)線段的中點(diǎn)為，有
當(dāng)時(shí)，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，
由可得，
即
而，所以.
同理，當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合.符合
綜上，線段的中點(diǎn)的軌跡方程或.
考點(diǎn)二：向量搭橋進(jìn)行翻譯
把幾何語(yǔ)言轉(zhuǎn)化翻譯為向量語(yǔ)言，然后用向量知識(shí)來(lái)解決．
【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為．
(1)求雙曲線的方程．
(2)若過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，交軸于，設(shè)．試判斷是否為定值，若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由．
【解析】（1）不妨取雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，
因?yàn)榻裹c(diǎn)到一條漸近線的距離為，
所以解得.
又，且，解得.
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）可知左焦點(diǎn).
由題意可知，直線的斜率存在，且不等于.如圖所示
設(shè)直線的方程為則.
因?yàn)椋?br>所以
可得
由，消去整理得
所以
所以為定值.
【變式2-1】（2024·上海靜安·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線：，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
(1)設(shè)直線 過(guò)點(diǎn)，斜率為，它與雙曲線交于、兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；
(2)設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．記，求的取值范圍．
【解析】（1）直線的方程為．
由方程組得．
設(shè),則，
．
（2）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，，
．
因?yàn)?，所以?br>【變式2-2】（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上，已知，，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線分別與雙曲線漸近線相交于、兩點(diǎn)，且，，求雙曲線的方程；
(3)若過(guò)點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與（2）中雙曲線相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、，且（為非零常數(shù)），問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出所有這種定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）因?yàn)?，則，可得，
因?yàn)椋晒垂啥ɡ砜傻?，即?br>所以，，因此，該雙曲線的離心率為.
（2）因?yàn)椋瑒t，
所以，雙曲線的方程為，即，
雙曲線的漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)、、，
，可得，
因?yàn)?，即，可得?br>即點(diǎn)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，可得，
所以，，所以，，因此，雙曲線的方程為.
（3）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn) 使得，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立，可得，
由題意可得，可得，
由韋達(dá)定理可得，，易知、，
所以，，
，
因?yàn)?，所以，?br>即，即，
即，（*）
由可得，則，
將代入（*）可得，（**）
將代入韋達(dá)定理可得，所以，，
將代入（**）式可得，
故在軸上存在定點(diǎn)使得．
考點(diǎn)三：弦長(zhǎng)、面積背景的條件翻譯
首先仍是將題目中的基本信息進(jìn)行代數(shù)化，坐標(biāo)化，遵循直線與圓錐曲線題目通解中的套路，即設(shè)點(diǎn)設(shè)線、直由聯(lián)立、看判別式、韋達(dá)定理．
將有關(guān)弦長(zhǎng)、面積背景的問(wèn)題進(jìn)行條件翻譯時(shí)，一般是應(yīng)用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式及面積公式（在圓中要用半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形求弦長(zhǎng)）將有關(guān)弦長(zhǎng)、面積的條件翻譯為：（1）關(guān)于某個(gè)參數(shù)的函數(shù)，根據(jù)要求求出最值；（2）關(guān)于某個(gè)參數(shù)的方程，根據(jù)要求得出參數(shù)的值或兩參數(shù)間的關(guān)系．
【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)到橢圓：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)的距離之比為．
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若直線與的軌跡相交于，，與橢圓相交于，，求的值．
【解析】（1）由題意得，，所以左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，化簡(jiǎn)得，
所以點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）由（1）得，點(diǎn)的軌跡方程為，
所以圓心到直線距離為，
所以直線與相交的線段，
聯(lián)立直線與的軌跡方程，
，得，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，
直線曲線相交的線段
所以．
【變式3-1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，垂直于的直線與雙曲線相切于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于第一象限，且被軸分割為面積比為的兩部分時(shí)，求直線的方程.
【解析】（1）因?yàn)榈挠医裹c(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，解得．
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為．
聯(lián)立消去，得．
由得且，
解得．
因?yàn)榕c垂直，所以設(shè)的方程為．
聯(lián)立消去，化簡(jiǎn)得．
由且，得．
因?yàn)榕c雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以，即，
化簡(jiǎn)得，且點(diǎn)．
因?yàn)辄c(diǎn)位于第一象限，所以，．
不妨設(shè)，分別位于雙曲線的左、右兩支上，記與軸的交點(diǎn)為．
因?yàn)楸惠S分割為面積比為的兩部分，且與面積相等，
所以與的面積比為，由此可得．
因此，即．
又因?yàn)?，所以，解得?br>因?yàn)?，所以?br>故直線的方程為．
【變式3-2】（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，漸近線方程為，點(diǎn)在上；

(1)求雙曲線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別與雙曲線交于，兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），且兩條直線的斜率，滿(mǎn)足，直線與直線，軸分別交于，兩點(diǎn)，求證：的面積為定值.
【解析】（1），，依題意，，
所以雙曲線的方程為.
（2）依題意可知斜率存在，設(shè)方程為，，，
，
，①，
，
整理得.
1），，過(guò)舍去，
2），，過(guò)點(diǎn)，
此時(shí)，將代入①得，
與交于點(diǎn)，故（定值）
考點(diǎn)四：斜率之和差商積問(wèn)題
在面對(duì)有關(guān)等角、倍角、共線、垂直等幾何特征時(shí)，可設(shè)法將條件翻譯成關(guān)于斜率的關(guān)系式，然后將斜率公式代入其中，得出參數(shù)間的關(guān)系式，再根據(jù)要求做進(jìn)一步的推導(dǎo)判斷．
【例4】（2024·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為.
(1)求的方程；
(2)若不垂直于軸的直線過(guò)點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），分別為在軸上的左、右頂點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試問(wèn)是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
設(shè)的軌跡方程為，則，可得．
又，所以，所以的方程為．
（2）依題意，設(shè)直線，
聯(lián)立，消去得．
易知，且．
由，
得．
（方法一）
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以為定值，且定值為．
（方法二）
因?yàn)椋?br>所以，
所以為定值，且定值為．
【變式4-1】（2024·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．
(1)求動(dòng)點(diǎn)M軌跡W的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F的兩條直線分別交W于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，線段AB，CD的中點(diǎn)分別為P，Q．設(shè)直線AB，CD的斜率分別為，，且，試判斷直線PQ是否過(guò)定點(diǎn)．若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意可知，，
化簡(jiǎn)整理得，W的方程為．
（2）由題意知，設(shè)直線AB的方程為，與W的方程聯(lián)立可得，
，
設(shè)，，由韋達(dá)定理得，，
則，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
同理可得，Q的坐標(biāo)為．
所以，直線PQ的斜率為，
所以，直線PQ的方程為，
即，
又，則，
所以直線PQ的方程即為，
所以，直線PQ過(guò)定點(diǎn)．
【變式4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，記直線的斜率為k，直線的斜率為，且，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)若直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N在第四象限），記直線，的斜率為，直線的斜率為，若，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．
【解析】（1）設(shè)，則，，
整理得，
曲線的方程為．
（2）
由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線，
與方程聯(lián)立并化簡(jiǎn)，得，
設(shè)，，
則，，
點(diǎn)在曲線上，，
，
又，，
，
，即，
，
，
得，
，，
，
直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)．
考點(diǎn)五：弦長(zhǎng)、面積范圍與最值問(wèn)題
弦長(zhǎng)和面積的最值問(wèn)題首先需要將弦長(zhǎng)和面積表達(dá)出來(lái)，弦長(zhǎng)可用弦長(zhǎng)公式求出；面積的表達(dá)以直線與橢圓相交得到的為例，總結(jié)一下高考中常見(jiàn)的三角形面積公式．對(duì)于，有以下三種常見(jiàn)的表達(dá)式：
①（隨時(shí)隨地使用，但是相對(duì)比較繁瑣，想想弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離）②（橫截距已知的條件下使用）
③（縱截距已知的條件下使用）
【例5】（2024·江西南昌·高三?？紝W(xué)業(yè)考試）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在上.
(1)是上一動(dòng)點(diǎn)，求的范圍；
(2)過(guò)的右焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線交于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值.
【解析】（1）由題意知，所以.
將點(diǎn)代入，解得，所以橢圓的方程為.
設(shè)點(diǎn)，則.
又因?yàn)?，所以的范圍?
（2）依題意可設(shè)直線的方程為，，.
聯(lián)立得.，
所以，，
所以，
又因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以.
所以的面積的最大值為2.
【變式5-1】（2024·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在上.
(1)是上一動(dòng)點(diǎn)，求的范圍；
(2)過(guò)的右焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線交于，兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值.
【解析】（1）由題意知，所以.
將點(diǎn)代入，解得，所以橢圓的方程為：.
設(shè)點(diǎn)，則.
又因?yàn)椋缘姆秶?
（2）依題意可設(shè)直線的方程為，，.
聯(lián)立得.
所以，，
所以，
又因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以.
又因?yàn)槿切蝺?nèi)切圓半徑滿(mǎn)足.
所以的內(nèi)切圓面積的最大值為.
【變式5-2】（2024·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考一模）已知拋物線為拋物線外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為（在軸兩側(cè)），與分別交軸于.
(1)若點(diǎn)在直線上，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；
(2)若點(diǎn)在曲線上，求四邊形的面積的范圍.
【解析】（1）設(shè)，直線，
聯(lián)立，可得.
在軸兩側(cè)，，
，
由得，
所以點(diǎn)處的切線方程為，
整理得，
同理可求得點(diǎn)處的切線方程為，
由，可得，
又在直線上，.
直線過(guò)定點(diǎn).
（2）由（1）可得在曲線上，
.
由（1）可知，
，
，
令在單調(diào)遞增，
四邊形的面積的范圍為.
考點(diǎn)六：定值問(wèn)題
求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．
【例6】（2024·山東德州·高三德州市第一中學(xué)校考期末）已知點(diǎn)為橢圓C：的左焦點(diǎn)，在C上．
(1)求C的方程；
(2)已知兩點(diǎn)與，過(guò)點(diǎn)A的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，且，試判斷mn是否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由．
【解析】（1）由已知可得，且C的另一焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)為，
所以有，
所以，所以，所以C的方程為
（2）
設(shè)l：，代入C整理可得：，
設(shè)，，則 ①，②，
由，可得，
③，
由①②③可得：，
恒成立，所以，為定值．
【變式6-1】（2024·黑龍江雞西·高三校考期末）已知橢圓E：，已知橢圓過(guò)點(diǎn)M，.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線l：交E于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)、交x軸于P點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，直線BD交x軸于Q點(diǎn). 試探究是否為定值？若是定值，則求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）由題意可知，即
解得，所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
（2）因?yàn)橹本€l的方程為，顯然，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為
設(shè)，則
聯(lián)立直線與橢圓方程有
，整理得
所以有，即，且 ①
直線BD的方程為，
令，得Q的橫坐標(biāo)為
，
將①代入得
所以有，
所以為定值4 .
【變式6-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，且．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若為上異于的點(diǎn)，且直線過(guò)點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．
【解析】（1）由題意知，
則，得．
因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，得，
故的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
（2）由（1）知，．
可設(shè)直線，
聯(lián)立得，得，
則，
所以．
所以，為定值．
考點(diǎn)七：中點(diǎn)弦與對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)題常用點(diǎn)差法解決．
【例7】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB恰好被點(diǎn)平分.
(1)求直線l的方程；
(2)拋物線上是否存在點(diǎn)C和D，使得C，D關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)?若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）依題意，直線l的斜率存在，且不為0，設(shè)直線l的方程為，即，
由消去x得：，
，設(shè)，則有，
由，得，于是直線l的方程，即，
所以直線l的方程為.
（2）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)C，D滿(mǎn)足條件，由（1）設(shè)直線的方程為，
由消去x得：，有，解得，
設(shè)，則，于是線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
顯然點(diǎn)在直線上，即，解得，
所以?huà)佄锞€上不存在點(diǎn)C，D，使得C，D關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng).
【變式7-1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知曲線C的方程是，其中，，直線l的方程是．
(1)請(qǐng)根據(jù)a的不同取值，判斷曲線C是何種圓錐曲線；
(2)若直線l交曲線C于兩點(diǎn)M，N，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求a的值；
(3)若，試問(wèn)曲線C上是否存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得A，B關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，并說(shuō)明理由．
【解析】（1），即，
當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；
當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；
（2）設(shè)，，，
則，，
兩式相減得到：，
即，故，
故的中點(diǎn)為，代入直線得到，
解得或（舍），故.
（3）假設(shè)存在，直線方程為，雙曲線方程為，
設(shè)，，中點(diǎn)為，則，，
兩式相減得到，
即，，又，
解得，.
此時(shí)直線方程為：，即，
，化簡(jiǎn)得到，方程無(wú)解，故不存在.
【變式7-2】（2024·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．
(1)當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)，，，
聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，
消去y，得．
由且，得且．
由韋達(dá)定理，得．
所以，．
由消去k，得．
由且，得或．
所以，點(diǎn)M的軌跡方程為，其中或．
（2）雙曲線E的漸近線方程為．
設(shè)，，聯(lián)立得，同理可得，
因?yàn)椋?br>所以，線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)．
若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則．
即，．
而，．
所以，，解得，
所以，存在實(shí)數(shù)，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)．
考點(diǎn)八：定點(diǎn)問(wèn)題
求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明．
【例8】（2024·海南?？凇じ呷？茧A段練習(xí)）已知拋物線為E上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)P到E的準(zhǔn)線的距離為5.
（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，A，B為E上異于P的兩點(diǎn)，且直線與斜率乘積為，求證：直線過(guò)定點(diǎn).
【解析】（1）由題可知，解得.
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）知，，且，解得，所以.
設(shè)，則，同理可得，，
則，即.
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線的方程為，
整理得.
所以，即，
所以直線過(guò)定點(diǎn)；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得.
綜上，直線過(guò)定點(diǎn).
【變式8-1】（2024·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．
(1)求；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，，
由消去x并整理得，顯然，于是，
所以.
（2）由（1）知，
假定存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立，由拋物線對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)在x軸上，設(shè)，
則直線的斜率互為相反數(shù)，即，即，
整理得，即，亦即，而不恒為0，則，
所以存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【變式8-2】（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)（與不重合），直線和的斜率之積為，點(diǎn)在橢圓上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作斜率之和為1的兩條直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)，直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）依題意，，設(shè)，由點(diǎn)在橢圓上，得，
由直線和的斜率之積為，得，即，
由點(diǎn)在橢圓上，得，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，點(diǎn)，
由消去y并整理得，
則，，
點(diǎn)，由直線之和為1，得，即，
于是，
整理得，
則，整理得，
即，顯然直線不過(guò)點(diǎn)，即，
因此，即，直線：，過(guò)定點(diǎn)，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與橢圓交于，
不妨設(shè)，由，解得，此時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，
所以直線過(guò)定點(diǎn).
考點(diǎn)九：三點(diǎn)共線問(wèn)題
證明共線的方法：（1）斜率法：若過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過(guò)計(jì)算證明過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率相等證明三點(diǎn)共線；（2）距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和，則這三點(diǎn)共線；（3）向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；（4）直線方程法：求出過(guò)其中兩點(diǎn)的直線方程，在證明第3點(diǎn)也在該直線上；（5）點(diǎn)到直線的距離法：求出過(guò)其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的距離，若距離為0，則三點(diǎn)共線．（6）面積法：通過(guò)計(jì)算求出以這三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為0，則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問(wèn)題，離不開(kāi)解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”．
【例9】（2024·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線交軸負(fù)半軸于，且.
(1)若過(guò)、、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；
(2)設(shè).過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）依題意，設(shè)，由，得是線段的中點(diǎn)，則，
由直線與垂直，得，則
顯然過(guò)、、三點(diǎn)的圓的圓心為，半徑為，
由過(guò)、、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，得，解得，
有，，所以橢圓的方程為.
（2）由（1）及，得，，橢圓的方程為，
設(shè)直線方程為，，則，
由消去x并整理得，
，，
直線的方程為，
令得
，
所以在軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線.
【變式9-1】（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，為橢圓的兩焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)橢圓的上頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，直線交于點(diǎn)，求證：，，三點(diǎn)共線.
【解析】（1）在橢圓中，由，可得，
又由的周長(zhǎng)為，根據(jù)由橢圓的定義，可得，即，
則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）證明：如圖所示，設(shè)直線：，且，，，
聯(lián)立方程，整理得，
則，且，，
因?yàn)辄c(diǎn)，，三點(diǎn)共線，可得，即，
所以，
又由，
則
，
將，代入得，
所以三點(diǎn)共線.
【變式9-2】（2024·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在圓上，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿(mǎn)足，點(diǎn)P的軌跡為C.
(1)求C的方程；
(2)已知點(diǎn)，設(shè)A，B是曲線C上的兩點(diǎn)，直線AB與曲線相切.證明：A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是.
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P為，點(diǎn)M為，則點(diǎn)N為，
，，
由，可得，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，
所以，即，
所以C的方程為；
（2）證明：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB：，不合題意；
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)，，
必要性：
若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線AB：即，
由直線AB與曲線相切可得，解得，
聯(lián)立可得，
所以，，
所以，
所以必要性成立；
充分性：
設(shè)直線AB：，即，
由直線AB與曲線相切可得及（），
所以，
聯(lián)立可得，
所以，，
所以，
化簡(jiǎn)得，所以，
所以或，所以直線AB：或
所以直線AB過(guò)點(diǎn)，A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；
所以A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是.
考點(diǎn)十：四點(diǎn)共圓問(wèn)題
證明四點(diǎn)共圓的方法：
方法一：從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，則可肯定這四點(diǎn)共圓．
方法二：把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一同弧所對(duì)的圓周角相等證）．
方法三：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其中一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角時(shí)，則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角）．
方法四：證明被證共圓的四點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，或證明被證四點(diǎn)連成的四邊形其中三邊中垂線有交點(diǎn)），則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為圓）．
【例10】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的準(zhǔn)線方程為．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若斜率為1的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在C上且關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，求證：A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．
【解析】（1）由得，
所以?huà)佄锞€C的準(zhǔn)線方程為，得，
所以?huà)佄锞€C的方程為．
（2）設(shè)直線l的方程為，，，，，
將代入，得，
則，，．
連接PQ，由點(diǎn)P，Q關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，得，
所以，得，即．
因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)在直線上，
所以，得，
即，
故，
把代入上式，得，
即，
連接PA，PB，
所以
，
故，故點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上．
同理，點(diǎn)Q在以AB為直徑的圓上，
故A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．
【變式10-1】（2024·四川成都·成都七中?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)已知定點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，過(guò)點(diǎn)作斜率大于0的直線與曲線交于點(diǎn)、，其中點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方.曲線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，直線、與直線分別交于點(diǎn)、，若、、、四點(diǎn)共圓，求的值.
【解析】（1）由題得：，兩邊平分并化簡(jiǎn)得，
所以，曲線的方程為.
（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，
直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，
消去得.
則，可得，
由韋達(dá)定理：，.
由條件，直線的方程為，直線的方程為，
于是可得，.
因?yàn)?、、、四點(diǎn)共圓，由相交弦定理可得,
則，化簡(jiǎn)得，
又，，代入整理得：.
將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得：，即.
【變式10-2】（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和D到定直線的距離的比是常數(shù)2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)已知定點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線，過(guò)點(diǎn)P作斜率大于0的直線與曲線C交于點(diǎn)G，H，其中點(diǎn)G在x軸上方，點(diǎn)H在x軸下方．曲線C與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，直線，與直線分別交于點(diǎn)M，N，若A，O，M，N四點(diǎn)共圓，求t的值．
【解析】（1）由已知得：，兩邊平分并化簡(jiǎn)得：即為曲線的方程．
（2）
設(shè)點(diǎn)，．
直線與雙曲線C的方程聯(lián)立，
消去y得．
由韋達(dá)定理：，．
由條件，直線AG的方程為，直線AH的方程為，
于是可得，．
因?yàn)锳，O，M，N四點(diǎn)共圓，所以，
所以，于是．
即，化簡(jiǎn)得
又，，代入整理得：．
將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得：．
考點(diǎn)十一：切線問(wèn)題
（1）若點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為．
（2）若點(diǎn)是圓外的點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．
（3）若點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為．
（4）若點(diǎn)是橢圓外的點(diǎn)，由點(diǎn)P向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．
【例11】（2024·山西臨汾·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于M，Q兩點(diǎn)，且．
(1)求C的方程；
(2)若點(diǎn)P是C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，求點(diǎn)O到直線AB的距離的最大值．
【解析】（1）依題意，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，由，得，
不妨令點(diǎn)在第一象限，則，設(shè)拋物線C的方程為，即有，解得，
所以?huà)佄锞€C的方程為.
（2）由（1）知，拋物線C：的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)，
顯然切線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)切線方程為，
由消去x并整理得①，于是，
設(shè)方程的一個(gè)根為，則該方程的另一根為，
不妨令切線的方程為，方程①中取得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，其橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)，
同理得，當(dāng)時(shí)，直線方程為，整理得，
當(dāng)或時(shí)，直線方程為，因此直線過(guò)定點(diǎn)，為定值，
所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)O到直線AB的距離取得最大值1.
【變式11-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓的圓心是橢圓的左焦點(diǎn)，圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)是，其中是橢圓的右頂點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與圓在點(diǎn)處的切線分別交于兩點(diǎn)，求證：．
【解析】（1）圓的方程可化為，
所以圓心．
由解得或，
易得．因此，
于是，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，從而直線的方程分別為和，于是，則，
因此有，所以成立．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，
聯(lián)立得，消去得．
設(shè)，
則，得．
易知直線的方程為，圓在點(diǎn)處的切線方程為，
設(shè)，則，于是，
同理可得． 則直線的斜率，
直線的斜率，
，
所以，即，因此，
即， 故成立．
綜上，．
【變式11-2】（2024·廣東廣州·高三廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：．
【解析】（1）由拋物線定義可得：的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線．
所以曲線的方程為．
（2）
由題意，過(guò)點(diǎn)的切線斜率存在，設(shè)切線方程為，
聯(lián)立 ，消去可得，
所以，即（*），
因?yàn)?，所以方程?）存在兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為，
由韋達(dá)定理可得，所以．
考點(diǎn)十二：定比點(diǎn)差法
【例12】（2024·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)若，橢圓C上四點(diǎn)M，N，P，Q滿(mǎn)足，，求直線MN的斜率.
【解析】（1）由題意可知，c=1，
設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)代入橢圓方程，
得，
解得（舍），，
所以橢圓方程為.
（2）設(shè)，，，，，
因?yàn)?，所以，即?br>又，都在橢圓上，
所以，，
即，
②-①得，
即……③，
又，同理得……④
④-③得，
所以.
【變式12-1】（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限內(nèi)，射線，與橢圓的交點(diǎn)分別為，.
（1）若，，求橢圓的方程；
（2）若直線的斜率是直線的斜率的2倍，求橢圓的方程.
【解析】（1）由，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性知軸，過(guò)右焦點(diǎn)
所以，，，
則，由，可得
解得，代入橢圓方程得，解得，
所以，即，所以，故橢圓方程為；
（2）設(shè)，，令，則，
代入橢圓方程得，即，
又，所以，化簡(jiǎn)得到 ①
同理：令，同理解得，代入橢圓方程同理可得 ②
由題知，解得，③
①②得，將③式代入得，故，
故橢圓方程為.
【變式12-2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)的直線與橢圓交于P，Q，過(guò)P作軸且與橢圓交于另一點(diǎn)N，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，若，求證：
【解析】設(shè)，則
設(shè)直線NQ與x軸相交于點(diǎn)，
由題設(shè)知：，所以
，，即，①
設(shè)，則，，即，②
比較①②得，，
又，兩式作差得，
得到，
得到，即M和F重合．
所以．
考點(diǎn)十三：齊次化
【例13】已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：．
【解析】直線
由，得
則由，得：，
整理得：，即：．
所以，
則，即：．
【變式13-1】（2024·廣東·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)并垂直于x軸的直線PM交橢圓C于P，M（點(diǎn)P位于x軸上方）兩點(diǎn)，且△OPM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l交橢圓C于A，B（A，B異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，且直線PA與PB的斜率之積為，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．
【解析】（1）由題意可得，∴由題意可得且，解得，，
∴橢圓的方程為：．
（2）解法1：由（1）可得，
當(dāng)直線 沒(méi)有斜率時(shí)，設(shè)方程為： ，則 ，此時(shí)，化簡(jiǎn)得： 又，解得 或（舍去），此時(shí)P到直線l的距離為
設(shè)直線l有斜率時(shí)，設(shè)，，設(shè)其方程為：，聯(lián)立可得且整理可得：，
，且，，
，整理可得：，
整理可得，整理可得，即，或，
若，則直線方程為：，直線恒過(guò)，與P點(diǎn)重合，
若，則直線方程為：，∴直線恒過(guò)定點(diǎn)，∴P到直線l的距離的最大值為的值為，
由于
∴點(diǎn)P到直線l距離的最大值．
解法2：公共點(diǎn)，左移1個(gè)單位，下移個(gè)單位，，
，，
，等式兩邊同時(shí)除以，，，，，
過(guò)，右移1個(gè)單位，上移個(gè)單位，過(guò)，∴P到直線l的距離的最大值為的值為，
由于
∴點(diǎn)P到直線l距離的最大值．
【變式13-2】（2024·廣東汕頭·高二汕頭市第一中學(xué)校考期末）如圖，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線與橢圓相交于?兩點(diǎn)(在的上方)，.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)?是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，試問(wèn)直線的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）由得：，
橢圓的方程：
（2）依題意知直線的斜率存在，設(shè)方程：
，
代入橢圓方程得：(*)
，
由得
，
整理得：
或
當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)，不合題意
，，直線的斜率是定值
另設(shè)直線的方程為
橢圓的方程即：
即：
聯(lián)立得：
即
由得即：
直線的斜率為，是定值.
考點(diǎn)十四：極點(diǎn)極線問(wèn)題
【例14】（2024·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)且.
（1）求C的方程.
（2）若直線與C交于M，N兩點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)T，證明：點(diǎn)T在定直線上.
【解析】（1）設(shè)，，由，得，
則，
從而，
解得，故的方程為.
（2）證明：設(shè)，，，.
因?yàn)椋?
根據(jù)得，則，
同理得.
又兩式相加得，
即，由于，所以.
故點(diǎn)在定直線上.
【變式14-1】（2024·福建福州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，為原點(diǎn).以為對(duì)角線的正方形的頂點(diǎn)，在上.
（1）求的離心率；
（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)作與軸不重合的直線與交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，試判斷是否為定值？若是，求出定值，并加以證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】解法一：（1）以為對(duì)角線的正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，.
因?yàn)?，在橢圓上，所以，
所以，
所以，
所以橢圓的離心率；
（2）當(dāng)時(shí)，，所以橢圓的方程為.
為定值，理由如下：
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，則，，
所以，，所以.
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，
設(shè)，，
不妨設(shè)，且.
由可得，
，，.
要證，只要證明：，
只要證：，
只要證：，
只要證：，
因?yàn)?，，即證，
因?yàn)椋?，所?
所以成立，
綜上所述：.
解法二：（1）同解法一；
（2）當(dāng)時(shí)，，所以橢圓的方程為.
設(shè)的方程為，，
設(shè)，，不妨設(shè).
由可得，
，，.
所以，即.
.
綜上所述：.
解法三：（1）同解法一；
（2）當(dāng)時(shí)，，所以橢圓的方程為.
設(shè)的方程為，，
設(shè)，，不防設(shè).
由可得，
，，.
因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，
所以.
，
.
所以.
綜上所述：.
解法四：（1）同解法一；
當(dāng)時(shí)，，所以橢圓的方程為.
設(shè)，，
因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以.
所以，
同理.
設(shè)，則，
所以，①
，②
①+②得，
當(dāng)時(shí)得，不合題意，舍去.
當(dāng)時(shí)，，
所以直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
又過(guò)定點(diǎn)，故，解得.
綜上所述：.
【變式14-2】（2024·安徽·高考真題）設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn) ，且左焦點(diǎn)為
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線 與橢圓相交與兩不同點(diǎn) 時(shí)，在線段上取點(diǎn) ，滿(mǎn)足，證明：點(diǎn) 總在某定直線上
【解析】(1)由題意：
，解得，所求橢圓方程為
(2)方法一
設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為．
由題設(shè)知均不為零，記,則且
又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而
于是 ，
，
從而
，（1） ，（2）
又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即
（1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得
即點(diǎn)總在定直線上
方法二
設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零．
且
又四點(diǎn)共線，可設(shè),于是
（1）
（2）
由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得
（3）
(4)(4)－(3) 得
即點(diǎn)總在定直線上
考點(diǎn)十五：同構(gòu)問(wèn)題
【例15】（2024·貴州·校聯(lián)考一模）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓的短軸長(zhǎng)．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)是拋物線上位于第一象限的一點(diǎn)，過(guò)作（其中）的兩條切線，分別交拋物線于點(diǎn),,證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
【解析】（1）由橢圓方程可知短軸長(zhǎng)為，
∴拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，
故拋物線方程為．
（2）∵是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，∴且，∴．
設(shè)，，則直線方程為，
即，
∵直線DM：與圓E：相切，
∴，整理可得，，①
同理，直線DN與圓E相切可得，，②
由①②得a，b是方程的兩個(gè)實(shí)根，
∴，，
代入，化簡(jiǎn)整理可得，
，
令，解得，
故直線MN恒過(guò)定點(diǎn)．
【變式15-1】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考一模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn).當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，面積為8，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若l的斜率存在且為點(diǎn)，直線與E的另一交點(diǎn)為C，直線與E的另一交點(diǎn)為D，設(shè)直線的斜率為，證明：為定值.
【解析】（1）由題意不妨設(shè).
∴.
；
（2）設(shè).
則直線l的斜率為，直線為.
則.
又點(diǎn)在直線上，則.
同理，直線為.
點(diǎn)在直線上，則.
同理，直線為.
點(diǎn)在直線上，則.
又，則，
得證.
【變式15-2】（2024·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的焦距為2，離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與軸正半軸和軸分別交于點(diǎn)，與橢圓分別交于點(diǎn)，各點(diǎn)均不重合且滿(mǎn)足．若，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．
【解析】（1）依題意，．由，得．
故橢圓方程為．
（2）設(shè)，
．
由，得，．
∵點(diǎn)在橢圓上，，整理得．
同理，由可得．
為方程的兩不相等實(shí)數(shù)根，．
．又．∴直線恒過(guò)定點(diǎn)．
考點(diǎn)十六：蝴蝶問(wèn)題
【例16】（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．
【解析】（1）由橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上，
可得，所以，
又點(diǎn)在該橢圓上，所以，所以，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）由于的斜率為，設(shè)的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
所以，所以，
從而，即，
同理可得：由于的斜率為，則，
聯(lián)立方程組，可得，
即，
所以，所以，
從而，即，
當(dāng)時(shí)即；時(shí)，，過(guò)點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，，即，所以直線過(guò)點(diǎn)，
綜上可得，直線過(guò)點(diǎn).
【變式16-1】（2024·廣東·高二校聯(lián)考期末）橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)過(guò)其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)異于兩點(diǎn)時(shí)，證明：為定值．
【解析】（1）由題意，橢圓的方程為
易得直線不與兩坐標(biāo)軸垂直，
故可設(shè)的方程為，設(shè)，
由消去整理得，判別式
由韋達(dá)定理得，①
故，解得，
即直線的方程為．
（2）證明：直線的斜率為，故其方程為，
直線的斜率為，故其方程為，
由兩式相除得
即
由（1）知，
故
解得．易得，
故，
所以為定值1
【變式16-2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．

(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的斜率為，求的值．
【解析】（1）由題意可得點(diǎn)，故，解得
所以?huà)佄锞€C的方程為.
（2） 設(shè)，直線，
聯(lián)立直線，得，，
聯(lián)立直線，得，，
∴，同理可得，
由斜率公式可得，，∴．考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
軌跡問(wèn)題
2023年II卷第21題，12分
【命題預(yù)測(cè)】
預(yù)測(cè)2024年高考，多以解答題形式出現(xiàn)，具體估計(jì)為：
（1）以解答題形式出現(xiàn)，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算四大核心素養(yǎng)．
（2）熱點(diǎn)是定點(diǎn)定值與極點(diǎn)極線問(wèn)題.
弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題
2023年甲卷第21題，12分
2023年天津卷第18題，15分
2023年I卷第22題，12分
斜率之和差商積問(wèn)題
2022年甲卷第21題，12分
2021年乙卷第20題，12分
2021年I卷第21題，12分
定點(diǎn)定值問(wèn)題
2023年乙卷第21題，12分
2023年乙卷第20題，12分

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