專題15 立體幾何解答題全歸類（9大核心考點(diǎn)）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識(shí)，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對(duì)自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，針對(duì)“一模”考試中的問(wèn)題要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過(guò)程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過(guò)程及書(shū)寫(xiě)。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們?cè)诼?tīng)課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對(duì)問(wèn)題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們?cè)谒㈩}時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對(duì)于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過(guò)程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
專題15 立體幾何解答題全歸類
【目錄】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154731015" PAGEREF _Tc154731015 \h 2
\l "_Tc154731016" PAGEREF _Tc154731016 \h 3
\l "_Tc154731017" PAGEREF _Tc154731017 \h 3
\l "_Tc154731018" PAGEREF _Tc154731018 \h 4
\l "_Tc154731019" PAGEREF _Tc154731019 \h 7
\l "_Tc154731020" 考點(diǎn)一：非常規(guī)空間幾何體為載體 PAGEREF _Tc154731020 \h 7
\l "_Tc154731021" 考點(diǎn)二：立體幾何探索性問(wèn)題 PAGEREF _Tc154731021 \h 9
\l "_Tc154731022" 考點(diǎn)三：立體幾何折疊問(wèn)題 PAGEREF _Tc154731022 \h 10
\l "_Tc154731023" 考點(diǎn)四：立體幾何作圖問(wèn)題 PAGEREF _Tc154731023 \h 12
\l "_Tc154731024" 考點(diǎn)五：立體幾何建系繁瑣問(wèn)題 PAGEREF _Tc154731024 \h 13
\l "_Tc154731025" 考點(diǎn)六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問(wèn)題 PAGEREF _Tc154731025 \h 16
\l "_Tc154731026" 考點(diǎn)七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系 PAGEREF _Tc154731026 \h 17
\l "_Tc154731027" 考點(diǎn)八：空間中的點(diǎn)不好求 PAGEREF _Tc154731027 \h 19
\l "_Tc154731028" 考點(diǎn)九：創(chuàng)新定義 PAGEREF _Tc154731028 \h 21
空間向量是將空間幾何問(wèn)題坐標(biāo)化的工具，是常考的重點(diǎn)，立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合，以某個(gè)空間幾何體為依托，分步設(shè)問(wèn)，逐層加深．解決這類題目的原則是建系求點(diǎn)、坐標(biāo)運(yùn)算、幾何結(jié)論．作為求解空間角的有力工具，通常在解答題中進(jìn)行考查，屬于中等難度．

1、用綜合法求空間角的基本數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化與化歸，即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過(guò)解三角形求得．求解的一般步驟為：
（1）作圖：作出空間角的平面角．
（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的．
（3）計(jì)算：在證明的基礎(chǔ)上計(jì)算得出結(jié)果．
簡(jiǎn)稱：一作、二證、三算．
2、用定義作異面直線所成角的方法是“平移轉(zhuǎn)化法”，可固定一條，平移另一條；或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上．
3、求直線與平面所成角的常見(jiàn)方法
（1）作角法：作出斜線、垂線、斜線在平面上的射影組成的直角三角形，根據(jù)條件求出斜線與射影所成的角即為所求．
（2）等積法：公式，其中是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長(zhǎng)，是斜線段的長(zhǎng)，其中求出垂線段的長(zhǎng)（即斜線上的點(diǎn)到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點(diǎn)，為此可構(gòu)造三棱錐，利用等體積法來(lái)求垂線段的長(zhǎng)．
（3）證垂法：通過(guò)證明線面垂直得到線面角為90°．
4、作二面角的平面角常有三種方法
（1）棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角．
（2）面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角．
（3）空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角．
1．（2023?北京）如圖，四面體中，，，平面．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大?。?br>2．（2023?天津）在三棱臺(tái)中，若平面，，，，，分別為，中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求平面與平面所成角的余弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．
3．（2022?新高考Ⅰ）如圖，直三棱柱的體積為4，△的面積為．
（1）求到平面的距離；
（2）設(shè)為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．
4．（2021?新高考Ⅰ）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．
5．（2021?新高考Ⅱ）在四棱錐中，底面是正方形，若，，．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．
6．（2023?乙卷）如圖，在三棱錐中，，，，，，，的中點(diǎn)分別為，，，點(diǎn)在上，．
（1）求證：平面；
（2）若，求三棱錐的體積．
7．（2022?乙卷）如圖，四面體中，，，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，，點(diǎn)在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．
考點(diǎn)一：非常規(guī)空間幾何體為載體
關(guān)鍵找出三條兩兩互相垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系．
例1．（2023·上海虹口·高三統(tǒng)考期中）如圖，在圓錐中，是底面的直徑，且，，，是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
例2．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)校考三模）如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，為底面圓周上異于的點(diǎn).

(1)在平面內(nèi)，過(guò)作一條直線與平面平行，并說(shuō)明理由；
(2)若四棱錐的體積為，設(shè)平面平面，求的最小值.
例3．（2023·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)分別在棱、上·
(1)若P是的中點(diǎn)，證明：；
(2)若平面，且平面PQD與平面AQD的夾角的余弦值為，求四面體的體積．
考點(diǎn)二：立體幾何探索性問(wèn)題
與空間向量有關(guān)的探究性問(wèn)題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時(shí)的存在性問(wèn)題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)（有些是題中已給出），設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．
例4．（2023·福建莆田·高三莆田第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，且滿足，如圖甲，將沿折起到的位置，使二面角為直二面角，連接，如圖乙.

(1)求證：平面.
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成的角為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
例5．（2023·北京·高三匯文中學(xué)校考期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn).
(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)求二面角的正弦值；
(3)是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
例6．（2023·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在三棱臺(tái)中，若平面，為中點(diǎn)，為棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.
(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面.
(2)是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn)三：立體幾何折疊問(wèn)題
1、處理圖形翻折問(wèn)題的關(guān)鍵是理清翻折前后長(zhǎng)度和角度哪些發(fā)生改變，哪些保持不變．
2、把空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，把握?qǐng)D形之間的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)．
例7．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，，將沿著翻折，形成三棱錐.
(1)當(dāng)時(shí)，證明：；
(2)當(dāng)平面平面時(shí)，求直線與平面所成角的余弦值.
例8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，四邊形ABCD中，，，，，M為AD的中點(diǎn)，N為BC上一點(diǎn)，且．現(xiàn)將四邊形ABNM沿MN翻折，使得AB與EF重合，得到如圖2所示的幾何體MDCNFE，其中．

(1)證明：平面FND；
(2)若P為FC的中點(diǎn)，求二面角的正弦值．
例9．（2023·河南·高二校聯(lián)考期中）在（圖1）中，為邊上的高，且滿足，現(xiàn)將沿翻折得到三棱錐（圖2），使得二面角為.

(1)證明：平面；
(2)在三棱錐中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，若點(diǎn)到平面的距離為，求的值.
考點(diǎn)四：立體幾何作圖問(wèn)題
（1）利用公理和定理作截面圖
（2）利用直線與平面平行的性質(zhì)定理作平行線
（3）利用平面與平面垂直作平面的垂線
例10．（2023·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形.

(1)（如圖1）若點(diǎn)為內(nèi)任一點(diǎn)，作出與面的交點(diǎn)（作出圖象并寫(xiě)出簡(jiǎn)單的作圖過(guò)程，不需證明）；
(2)（如圖2）若面面，求二面角的余弦值.
例11．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，且.

(1)記線段的中點(diǎn)為，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
例12．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為直角梯形，平面，，，，，M為中點(diǎn)，過(guò)C，D，M的平面截四棱錐所得的截面為．
(1)若與棱交于點(diǎn)F，畫(huà)出截面，保留作圖痕跡（不用說(shuō)明理由），求點(diǎn)F的位置；
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
考點(diǎn)五：立體幾何建系繁瑣問(wèn)題
利用傳統(tǒng)方法解決
例13．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中校考三模）如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，，分別為，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，過(guò) 和的平面交于，交于.
（1）證明：，且平面平面；
（2）設(shè)為的中心，若，平面，且，求四棱錐的體積.
例14．（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市伍佑中學(xué)校考期中）如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，M，N分別為BC，的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）證明：，且平面；
（2）設(shè)O為的中心，若面，且，求直線與平面所成角的正弦值.
例15．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在三棱柱中，，平面，、分別是棱、的中點(diǎn).
(1)設(shè)為的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)若，直線與平面所成角的正切值為，求多面體的體積.
例16．（2023·山東泰安·高一期末）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐中，平面.

（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空：________________，則三棱錐為“鱉臑”；
（2）如圖，已知，垂足為，，垂足為，.
（i）證明：平面平面；
（ii）設(shè)平面與平面交線為，若，，求二面角的大小.
考點(diǎn)六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問(wèn)題
構(gòu)造垂直的全等關(guān)系
例17．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)是2的正方形，，分別是，的中點(diǎn)，，，且二面角的大小為.
(1) 求證：；
(2) 求二面角的余弦值.
例18．（2023·遼寧沈陽(yáng)·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，
（1）證明：平面平面；
（2）當(dāng)平面與平面所成銳二面角的余弦值，求直線與平面所成角正弦值.
例19．（2023·浙江杭州·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，已知，，
(1)求證：；
(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.
考點(diǎn)七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系
利用傳統(tǒng)方法證明關(guān)系，然后通過(guò)幾何關(guān)系建坐標(biāo)系．
例20．（2023·山東日照·高三山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓O的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)E在母線上，且，.
(1)求證：平面平面；
(2)若點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.
例21．（2023·山西·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在斜三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且四棱錐的體積為2.
(1)求三棱柱的高；
(2)若，平面平面為銳角，求平面與平面的夾角的余弦值.
例22．（2023·天津?yàn)I海新·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，線段的中點(diǎn)為且底面，，，是的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離；
(3)點(diǎn)在棱上，且直線與底面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.
考點(diǎn)八：空間中的點(diǎn)不好求
方程組思想
例23．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知底面為正三角形的斜三棱柱中，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面投影為邊的中點(diǎn)，，.
（1）證明：//平面；
（2）若，，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求點(diǎn)的位置.
例24．（2023·浙江·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，，，為的中點(diǎn)，二面角的大小為.
（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為？
例25．（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱臺(tái)的體積為，且，平面.
(1)證明：平面平面；
(2)若，，求二面角的正弦值.
例26．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，與均為正三角形.
(1)證明：平面.
(2)證明：平面.
(3)設(shè)平面平面，平面平面，若直線與確定的平面為平面，線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)到平面的距離.
考點(diǎn)九：創(chuàng)新定義
以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情境下的圖形閱讀，需要通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題．圖形怎么閱讀?一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實(shí)現(xiàn)“圖形→文字→符號(hào)”的轉(zhuǎn)化；三是要有問(wèn)題意識(shí)，帶著問(wèn)題閱讀圖形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問(wèn)題有機(jī)地融合在一起；四是要有運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，要“動(dòng)手”去操作，動(dòng)態(tài)地去閱讀圖形．
例27．（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，定義一種運(yùn)算：，在平行六面體中，，，.
(1)證明：平行六面體是直四棱柱；
(2)計(jì)算，并求該平行六面體的體積，說(shuō)明的值與平行六面體體積的關(guān)系.
例28．（2023·廣東東莞·高二校考期中）（1）在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面的法向量，且平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn).求證：.
（2）我們稱（1）中結(jié)論為平面的點(diǎn)法式方程，若平面過(guò)點(diǎn)，求平面的點(diǎn)法式方程.
例29．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為．

（1）求四棱錐的總曲率；
（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
線線角、二面角、線面角
2023年II卷第20題，12分
2023年北京卷第16題，13分
2022年I卷第19題，12分
2021年II卷第19題，12分
【命題預(yù)測(cè)】
預(yù)測(cè)2024年高考，多以解答題形式出現(xiàn)，高考仍將重點(diǎn)考查空間向量與立體幾何，距離問(wèn)題，異面直線夾角、線面角、二面角；解答題第一小題重點(diǎn)考查線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)，第二小問(wèn)重點(diǎn)考查利用向量計(jì)算線面角或二面角，難度為中檔題．
距離問(wèn)題
2023年天津卷第17題，15分
體積問(wèn)題
2023年乙卷第19題，12分
2022年乙卷第18題，12分
2021年上海卷第17題，14分
探索性問(wèn)題
2023年I卷第18題，12分
2021年甲卷第19題，12分
2021年I卷第20題，12分
2021年北京卷第17題，14分

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