【考綱要求】
1.理解等比數(shù)列的概念.
2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.
3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
【考點預(yù)測】
1．等比數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．
(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.
2．等比數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項公式：an＝a1qn－1.
(2)前n項和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3．等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)對任意的正整數(shù)m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，則am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,k).
(3)若等比數(shù)列前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外)．
(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.
(5)若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a11，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數(shù)列，數(shù)列{anbn}的前n項和為eq \f(?2n－1?·3n＋1,2).
(1)分別求出數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n項和為Sn，?n∈N*，Sn≤m恒成立，求實數(shù)m的最小值．
【解析】(1)因為a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數(shù)列，
所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，
所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
因為a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝eq \f(?2n－1?·3n＋1,2)，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝eq \f(?2n－3?·3n－1＋1,2)(n≥2)，
兩式相減，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，
因為an＝2·3n－1，所以bn＝n(n≥2)，
當(dāng)n＝1時，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)因為數(shù)列{an}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首項為eq \f(1,2)，公比為eq \f(1,3)的等比數(shù)列，
所以Sn＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n)),1－\f(1,3))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n))0,02 020，k的最小值為10.
選擇②：
因為a3＝12，所以a1＝48，所以Sn＝eq \f(48×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝96eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))).
因為Sn2 020，整理得(－2)k2 019，
所以存在正整數(shù)k，使得Sk>2 020，k的最小值為11.
19. 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足2Sn＝－an＋n(n∈N*).
(1)求證：數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(1,2)))為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an－1}的前n項和Tn.
【解析】(1)證明 2Sn＝－an＋n，
當(dāng)n≥2時2Sn－1＝－an－1＋n－1，
兩式相減，得2an＝－an＋an－1＋1，
即an＝eq \f(1,3)an－1＋eq \f(1,3).
∴an－eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an－1－\f(1,2)))，
∴數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(1,2)))為等比數(shù)列.
(2)解 由2S1＝－a1＋1，得a1＝eq \f(1,3)，
由(1)知，數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(1,2)))是以－eq \f(1,6)為首項，eq \f(1,3)為公比的等比數(shù)列.
∴an－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(n－1)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(n)，
∴an＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(n)＋eq \f(1,2)，
∴an－1＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(n)－eq \f(1,2)，
∴Tn＝eq \f(－\f(1,6)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(n))),1－\f(1,3))－eq \f(n,2)
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(n)－1))－eq \f(n,2).
20. 已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.
【解析】(1)設(shè){an}的公比為q(q>1)，且a2＋a4＝20，a3＝8.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1q＋a1q3＝20，,a1q2＝8))
消去a1，得q＋eq \f(1,q)＝eq \f(5,2)，則q＝2，或q＝eq \f(1,2)(舍).
因此q＝2，a1＝2，
所以{an}的通項公式an＝2n.
(2)易知(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1·22n＋1，
則數(shù)列{(－1)n－122n＋1}公比為－4.
故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1·anan＋1
＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1
＝eq \f(23[1－（－4）n],1＋4)＝eq \f(8,5)[1－(－4)n]
＝eq \f(8,5)－(－1)n·eq \f(22n＋3,5).
21. 記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋1.設(shè)bn＝an＋1－2an.
(1)求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
(2)設(shè)cn＝|bn－100|，Tn為數(shù)列{cn}的前n項和．求T10.
【解析】(1)證明 由Sn＋1＝4an＋1，
得Sn＝4an－1＋1(n≥2，n∈N*)，
兩式相減得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)，
所以eq \f(bn,bn－1)＝eq \f(an＋1－2an,an－2an－1)
＝eq \f(2?an－2an－1?,an－2an－1)
＝2(n≥2)，
又a1＝1，S2＝4a1＋1，
故a2＝4，a2－2a1＝2＝b1≠0，
所以數(shù)列{bn}為首項與公比均為2的等比數(shù)列．
(2)解 由(1)可得bn＝2·2n－1＝2n，
所以cn＝|2n－100|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100－2n，n≤6，,2n－100，n>6，))
所以T10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400
＝200－eq \f(2?1－26?,1－2)＋27＋28＋29＋210
＝200＋2＋28＋29＋210
＝1 994.
22. 已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數(shù)列，數(shù)列{anbn}的前n項和為eq \f(?2n－1?·3n＋1,2).
(1)分別求出數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n項和為Sn，?n∈N*，Sn≤m恒成立，求實數(shù)m的最小值．
【解析】(1)因為a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數(shù)列，
所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，
所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
因為a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝eq \f(?2n－1?·3n＋1,2)，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝eq \f(?2n－3?·3n－1＋1,2)(n≥2)，
兩式相減，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，
因為an＝2·3n－1，
所以bn＝n(n≥2)，
當(dāng)n＝1時，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，所以bn＝n(n∈N*)．
(2)因為數(shù)列{an}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首項為eq \f(1,2)，公比為eq \f(1,3)的等比數(shù)列，
所以Sn＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n)),1－\f(1,3))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n))

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