【考綱要求】
1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.
2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.
3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.
4.理解直線的方向向量及平面的法向量.
5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.
【考點(diǎn)預(yù)測】
1.空間向量的有關(guān)概念
2.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底.
3.空間向量的數(shù)量積
(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
5.直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.
6.空間位置關(guān)系的向量表示
【常用結(jié)論】
1．在平面中，A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)．
2．在空間中，P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點(diǎn)．
【方法技巧】
1.用基向量表示指定向量的方法
(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．
(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．
(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．
2.證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法
(1)eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；
(2)對空間任一點(diǎn)O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；
(3)對空間任一點(diǎn)O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋zeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；
(4)eq \(PM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))(或eq \(PA,\s\up6(→))∥eq \(MB,\s\up6(→))或eq \(PB,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→)))．
3.由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準(zhǔn)確．
4.利用向量法證明平行問題
①線線平行：方向向量平行．
②線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂直．
③面面平行：兩平面的法向量平行．
5.利用向量法證明垂直問題的類型及常用方法
二、【題型歸類】
【題型一】空間向量的線性運(yùn)算
【典例1】在空間四邊形ABCD中，若eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，5，2)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－7，－1，－4)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則eq \(EF,\s\up6(→))的坐標(biāo)為( )
A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1)
【解析】因為點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))，eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))，eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))．所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]
＝eq \f(1,2)(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．
故選B.
【典例2】正方體ABCD -A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心．若向量eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)x，y的值分別為( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝eq \f(1,2)
C．x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2) D．x＝eq \f(1,2)，y＝1
【解析】如圖，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(A1C1,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，故x＝y(tǒng)＝eq \f(1,2).故選C.
【典例3】在三棱錐O -ABC中，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是△ABC的重心，用基向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))表示(1)eq \(MG,\s\up6(→))；(2)eq \(OG,\s\up6(→)).
【解析】(1)eq \(MG,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)（\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→))）－\(OA,\s\up6(→))))
＝－eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
(2)eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MG,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
【題型二】共線、共面向量定理的應(yīng)用
【典例1】已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))．
(1)判斷eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三個向量是否共面；
(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．
【解析】(1)由題知eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(OM,\s\up6(→))，
所以eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＋(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，
即eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \(BM,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，
所以eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面．
(2)由(1)知，eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面且基線過同一點(diǎn)M，
所以M，A，B，C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)．
【典例2】如圖所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點(diǎn)M，N分別在AC1和BC上，且滿足eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．判斷向量eq \(MN,\s\up6(→))是否與向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面．
【解析】因為eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(BC,\s\up6(→))
＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(B1C1,\s\up6(—→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(B1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－k(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝(1－k)eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AA1,\s\up6(→))，
所以由共面向量定理知向量eq \(MN,\s\up6(→))與向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面．
【典例3】已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))．
(1)判斷eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三個向量是否共面；
(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．
【解析】(1)由已知得eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(OM,\s\up6(→))，
所以eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＋(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))．
即eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \(BM,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，
所以eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面．
(2)由(1)知eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面且過同一點(diǎn)M.
所以M，A，B，C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)．
【題型三】空間向量數(shù)量積的運(yùn)算
【典例1】如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計算：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→)).
(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．
【解析】設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c.
則|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c－eq \f(1,2)a，
eq \(BA,\s\up6(→))＝－a，eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－\f(1,2)a))·(－a)
＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)a·c＝eq \f(1,4).
(2)eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，
eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－b＋eq \f(1,2)a，
cs〈eq \(AG,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AG,\s\up6(→))·\(CE,\s\up6(→)),|\(AG,\s\up6(→))||\(CE,\s\up6(→))|)
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋\f(1,2)c))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－b＋\f(1,2)a)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋\f(1,2)c))2)·\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－b))2))
＝eq \f(－\f(1,2),\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2))＝－eq \f(2,3)，
由于異面直線所成角的范圍是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為eq \f(2,3).
【典例2】已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動，正方體的棱長是2，則eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，4)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，4)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))
【解析】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為O，
則OM＝ON＝1，
eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PO,\s\up6(→))＋\(OM,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PO,\s\up6(→))＋\(ON,\s\up6(→))))＝eq \(PO,\s\up6(→))2＋eq \(PO,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OM,\s\up6(→))＋\(ON,\s\up6(→))))＋eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))，
∵M(jìn)N為球O的直徑，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝0，eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝－1，
∴eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－1，
又P在正方體表面上移動，
∴當(dāng)P為正方體頂點(diǎn)時，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(PO,\s\up6(→))))最大，最大值為eq \r(3)；當(dāng)P為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(PO,\s\up6(→))))最小，最小值為1，
∴eq \(PO,\s\up6(→))2－1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))，
即eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范圍為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2)).
【典例3】如圖所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.
(1)求AC1的長；
(2)求證：AC1⊥BD；
(3)求BD1與AC夾角的余弦值．
【解析】(1)解 記eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
則|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2).
|eq \(AC1,\s\up6(—→))|2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，
∴|eq \(AC1,\s\up6(—→))|＝eq \r(6)，即AC1的長為eq \r(6).
(2)證明 ∵eq \(AC1,\s\up6(—→))＝a＋b＋c，eq \(BD,\s\up6(→))＝b－a，
∴eq \(AC1,\s\up6(—→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝0.
∴eq \(AC1,\s\up6(—→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，∴AC1⊥BD.
(3)解 eq \(BD1,\s\up6(—→))＝b＋c－a，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，
∴|eq \(BD1,\s\up6(—→))|＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，
eq \(BD1,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cs〈eq \(BD1,\s\up6(—→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BD1,\s\up6(—→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD1,\s\up6(—→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(6),6).
∴AC與BD1夾角的余弦值為eq \f(\r(6),6).
【題型四】利用向量證明平行與垂直
【典例1】如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq \r(5)，AA1＝eq \r(7)，BB1＝2eq \r(7)，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn).
(1)求證：EF∥平面A1B1BA；
(2)求證：平面AEA1⊥平面BCB1.
【證明】因為AB＝AC，E為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.
因為AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，
所以過E作平行于BB1的垂線為z軸，EC，EA所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因為AB＝3，BE＝eq \r(5)，所以AE＝2，
所以E(0，0，0)，C(eq \r(5)，0，0)，A(0，2，0)，B(－eq \r(5)，0，0)，B1(－eq \r(5)，0，2eq \r(7))，A1(0，2，eq \r(7))，則Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2))).
(1)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－eq \r(5)，－2，0)，eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，eq \r(7)).
設(shè)平面A1B1BA的一個法向量為n＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AA1,\s\up6(→))＝0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\r(5)x－2y＝0，,\r(7)z＝0，))
取eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝\r(5)，,z＝0，))所以n＝(－2，eq \r(5)，0).
因為eq \(EF,\s\up6(→))·n＝eq \f(\r(5),2)×(－2)＋1×eq \r(5)＋eq \f(\r(7),2)×0＝0，
所以eq \(EF,\s\up6(→))⊥n.
又EF?平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)因為EC⊥平面AEA1，
所以eq \(EC,\s\up6(→))＝(eq \r(5)，0，0)為平面AEA1的一個法向量.
又EA⊥平面BCB1，
所以eq \(EA,\s\up6(→))＝(0，2，0)為平面BCB1的一個法向量.
因為eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＝0，所以eq \(EC,\s\up6(→))⊥eq \(EA,\s\up6(→))，
故平面AEA1⊥平面BCB1.
【典例2】如圖，正方形ABCD的邊長為2eq \r(2)，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點(diǎn)G，O為GC的中點(diǎn)，F(xiàn)O＝eq \r(3)，且FO⊥平面ABCD.
(1)求證：AE∥平面BCF；
(2)求證：CF⊥平面AEF.
【證明】如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接OH，則OH∥BD，又四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，
故以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(3，0，0)，C(－1，0，0)，D(1，－2，0)，F(xiàn)(0，0，eq \r(3))，B(1，2，0).
eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2，－2，0)，eq \(CF,\s\up6(→))＝(1，0，eq \r(3))，eq \(BF,\s\up6(→))＝(－1，－2，eq \r(3)).
(1)設(shè)平面BCF的一個法向量為n＝(x，y，z).
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(BC,\s\up6(→))＝0，,n·\(CF,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x－2y＝0，,x＋\r(3)z＝0，))
取z＝1，得n＝(－eq \r(3)，eq \r(3)，1).
又四邊形BDEF為平行四邊形，
∴eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＝(－1，－2，eq \r(3))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))
＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，eq \r(3))
＝(－3，－4，eq \r(3))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))·n＝3eq \r(3)－4eq \r(3)＋eq \r(3)＝0，
∴eq \(AE,\s\up6(→))⊥n，又AE?平面BCF，
∴AE∥平面BCF.
(2)eq \(AF,\s\up6(→))＝(－3，0，eq \r(3))，
∴eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝－3＋3＝0，eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝－3＋3＝0，
∴eq \(CF,\s\up6(→))⊥eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))⊥eq \(AE,\s\up6(→))，即CF⊥AF，CF⊥AE.
又AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，
∴CF⊥平面AEF.
【典例3】在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1，BC＝2.求證：
(1)EF∥平面PAB；
(2)平面PAD⊥平面PDC.
【解析】以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，
所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，\f(1,2)))，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，0))，eq \(PB,\s\up6(→))＝(1，0，－1)，eq \(PD,\s\up6(→))＝(0，2，－1)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(0，0，1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)．
(1)因為eq \(EF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(EF,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，即EF∥AB.
又AB?平面PAB，EF?/ 平面PAB，
所以EF∥平面PAB.
(2)因為eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(0，0，1)·(1，0，0)＝0，
所以eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))⊥eq \(DC,\s\up6(→))，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD.所以平面PAD⊥平面PDC.
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】(多選)如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD -A1B1C1D1，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，則下列說法中正確的是( )
A．(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq \(AC,\s\up6(→)))2
B.eq \(AC1,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝0
C．向量eq \(B1C,\s\up6(→))與eq \(AA1,\s\up6(→))的夾角是60°
D．BD1與AC所成角的余弦值為eq \f(\r(6),3)
【解析】以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，可設(shè)棱長為1，則eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝1×1×cs 60°＝eq \f(1,2)，所以(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝eq \(AA1,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋2eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋3×2×eq \f(1,2)＝6.又2(eq \(AC,\s\up6(→)))2＝2(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1＋2×\f(1,2)))＝2×3＝6，所以 (eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq \(AC,\s\up6(→)))2，所以A正確.eq \(AC1,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))2＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＋1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－1＝0，所以B正確．由已知條件，得△AA1D為等邊三角形，則∠AA1D＝60°，所以向量eq \(A1D,\s\up6(→))與eq \(AA1,\s\up6(→))的夾角是120°，向量eq \(B1C,\s\up6(→))＝eq \(A1D,\s\up6(→))，即向量eq \(B1C,\s\up6(→))與eq \(AA1,\s\up6(→))的夾角是120°，所以C不正確．因為eq \(BD1,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，所以|eq \(BD1,\s\up6(→))|＝eq \r(\a\vs4\al(（\(AD,\s\up6(→))＋\(AA1,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))）2))＝eq \r(1＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)＋1－\f(1,2)－\f(1,2)－\f(1,2)＋1)＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(\a\vs4\al(（\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))）2))＝eq \r(1＋2×\f(1,2)＋1)＝eq \r(3)，eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)＋1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－1－eq \f(1,2)＝1，所以cs〈eq \(BD1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BD1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD1,\s\up6(→))|·|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(2)×\r(3))＝eq \f(\r(6),6)，所以D不正確．故選AB.
【訓(xùn)練二】如圖，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E為棱AB的中點(diǎn)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→))＝2eq \(GA1,\s\up6(→))，AC1與平面EFG交于點(diǎn)M，則eq \f(AM,AC1)＝________.
【解析】由題圖知，設(shè)eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AC1,\s\up6(→))(0＜λ＜1)，
由已知eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
＝2eq \(AE,\s\up6(→))＋3eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(AG,\s\up6(→))，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝2λeq \(AE,\s\up6(→))＋3λeq \(AF,\s\up6(→))＋eq \f(3λ,2)eq \(AG,\s\up6(→)).
因為M，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，所以2λ＋3λ＋eq \f(3λ,2)＝1，解得λ＝eq \f(2,13).
【訓(xùn)練三】已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq \(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，當(dāng)eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值時，eq \(OQ,\s\up6(→))的坐標(biāo)是______．
【解析】因為點(diǎn)Q在直線OP上，所以設(shè)點(diǎn)Q(λ，λ，2λ)，
則eq \(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
eq \(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10
＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(4,3)))2－eq \f(2,3).
即當(dāng)λ＝eq \f(4,3)時，eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值－eq \f(2,3)，
此時eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).
【訓(xùn)練四】如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周)．若AM⊥MP，則點(diǎn)P形成的軌跡長度為________．
【解析】由題意可知，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
則A(0，－1,0)，M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))，
設(shè)P(x，y,0)，
∴eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，－\f(\r(3),2)))，
eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y，－\f(\r(3),2)))，
由AM⊥MP得eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，解得y＝eq \f(3,4)，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為y＝eq \f(3,4).
根據(jù)圓的弦長公式，可得點(diǎn)P形成的軌跡長度為
2eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2)＝eq \f(\r(7),2).
【訓(xùn)練五】如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求證：BD⊥AA1；
(2)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由.
【解析】(1)證明 設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，
則BD⊥AC.連接A1O，
在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
所以A1O2＝AAeq \\al(2,1)＋AO2－2AA1·AOcs 60°＝3，
所以AO2＋A1O2＝AAeq \\al(2,1)，所以A1O⊥AO.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
A1O?平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABCD.
以O(shè)B，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，－1，0)，B(eq \r(3)，0，0)，C(0，1，0)，
D(－eq \r(3)，0，0)，A1(0，0，eq \r(3))，C1(0，2，eq \r(3)).
由于eq \(BD,\s\up6(→))＝(－2eq \r(3)，0，0)，eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0，1，eq \r(3))，eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0×(－2eq \r(3))＋1×0＋eq \r(3)×0＝0，
所以eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(AA1,\s\up6(→))，即BD⊥AA1.
(2)解 假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，
使BP∥平面DA1C1，
設(shè)eq \(CP,\s\up6(→))＝λeq \(CC1,\s\up6(→))，P(x，y，z)，
則(x，y－1，z)＝λ(0，1，eq \r(3))，
從而有P(0，1＋λ，eq \r(3)λ)，
eq \(BP,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1＋λ，eq \r(3)λ).
又eq \(A1C1,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq \(DA1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，0，eq \r(3))，
設(shè)平面DA1C1的一個法向量為
n3＝(x3，y3，z3)，
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n3·\(A1C1,\s\up6(→))＝0，,n3·\(DA1,\s\up6(→))＝0，))
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2y3＝0，,\r(3)x3＋\r(3)z3＝0，))取n3＝(1，0，－1).
因為BP∥平面DA1C1，所以n3⊥eq \(BP,\s\up6(→))，
即n3·eq \(BP,\s\up6(→))＝－eq \r(3)－eq \r(3)λ＝0，解得λ＝－1，
即點(diǎn)P在C1C的延長線上，且CP＝CC1.
【訓(xùn)練六】如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝eq \r(3)，BC＝4.
(1)求證：BD⊥PC；
(2)設(shè)點(diǎn)E在棱PC上，eq \(PE,\s\up6(→))＝λeq \(PC,\s\up6(→))，若DE∥平面PAB，求λ的值．
【解析】如圖，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)D作直線DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DF，DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(1，eq \r(3)，0)，D(0，0，0)，C(－3，eq \r(3)，0)．
設(shè)PD＝a，則P(0，0，a)，
(1)證明：eq \(BD,\s\up6(→))＝(－1，－eq \r(3)，0)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(－3，eq \r(3)，－a)，
因為eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝3－3＝0，
所以BD⊥PC.
(2)由題意知，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3)，0)，eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，0，a)，eq \(PA,\s\up6(→))＝(1，0，－a)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(－3，eq \r(3)，－a)，
因為eq \(PE,\s\up6(→))＝λeq \(PC,\s\up6(→))，所以eq \(PE,\s\up6(→))＝(－3λ，eq \r(3)λ，－aλ)，
eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DP,\s\up6(→))＋eq \(PE,\s\up6(→))＝(0，0，a)＋(－3λ，eq \r(3)λ，－aλ)
＝(－3λ，eq \r(3)λ，a－aλ)．
設(shè)n＝(x，y，z)為平面PAB的法向量，
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·n＝0，,\(PA,\s\up6(→))·n＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(3)y＝0，,x－az＝0.))令z＝1，得x＝a，所以n＝(a，0，1)，
因為DE∥平面PAB，所以eq \(DE,\s\up6(→))·n＝0，
所以－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0，
因為a≠0，所以λ＝eq \f(1,4).
四、【強(qiáng)化測試】
【單選題】
1. 已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是( )
A.eq \f(7,5) B．2 C.eq \f(5,3) D．1
【解析】因為a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
所以a·b＝－1，|a|＝eq \r(2)，|b|＝eq \r(5)，
又ka＋b與2a－b互相垂直，
所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
即4k＋k－2－5＝0，所以k＝eq \f(7,5).
故選A.
2. 如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，AC與BD的交點(diǎn)為O，點(diǎn)M在BC′上，且BM＝2MC′，則下列向量中與eq \(OM,\s\up6(→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(7,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up6(—→))
B．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA′,\s\up6(—→))
C.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up6(—→))
D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA′,\s\up6(—→))
【解析】因為BM＝2MC′，所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC′,\s\up6(—→))，
在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，
eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC′,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up6(—→)).
故選C.
3. 在空間四邊形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．不確定
【解析】如圖，
令eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
故選B.
4. 如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2) C．1 D.eq \r(3－\r(2))
【解析】∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BF,\s\up6(→))|2＋|eq \(FE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＋2eq \(FE,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq \r(2)＝3－eq \r(2)，
故|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
故選D.
5. 已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，則“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的( )
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解析】由x＋y＋z＝1，得P，A，B，C四點(diǎn)共面，
當(dāng)P，A，B，C四點(diǎn)共面時，x＋y＋z＝1，顯然不止2，－3,2.
故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的充分不必要條件．
故選B.
6. 已知空間向量a＝(1,0,1)，b＝(1,1，n)，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
【解析】由題意，a·b＝1＋0＋n＝3，
解得n＝2，
又|a|＝eq \r(1＋0＋1)＝eq \r(2)，|b|＝eq \r(1＋1＋4)＝eq \r(6)，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3,\r(2)×\r(6))＝eq \f(\r(3),2)，
又〈a，b〉∈[0，π]，
所以a與b的夾角為eq \f(π,6).
故選A.
7. 如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C.1 D.eq \r(3－\r(2))
【解析】∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BF,\s\up6(→))|2＋|eq \(FE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＋2eq \(FE,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq \r(2)＝3－eq \r(2)，故|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
故選D.
8. 如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A.(1，1，1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，1))
【解析】設(shè)AC與BD相交于O點(diǎn)，連接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO.
又O是正方形ABCD對角線交點(diǎn)，
∴M為線段EF的中點(diǎn).
在空間直角坐標(biāo)系中，E(0，0，1)，F(xiàn)(eq \r(2)，eq \r(2)，1)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，知點(diǎn)M的坐標(biāo)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).
【多選題】
9. 已知空間三點(diǎn)A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)，若eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，且|eq \(AP,\s\up6(→))|＝eq \r(14)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A．(4，－2,2) B．(－2,2,4)
C．(－4,2，－2) D．(2，－2,4)
【解析】因為B(－1,1,4)，C(2，－1,3)，
所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，－2，－1)，
因為eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，
所以可設(shè)eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＝(3λ，－2λ，－λ)，
因為|eq \(AP,\s\up6(→))|＝eq \r(?3λ?2＋?－2λ?2＋?－λ?2)＝eq \r(14)，
解得λ＝±1，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝(3，－2，－1)或eq \(AP,\s\up6(→))＝(－3,2,1)，
設(shè)點(diǎn)P(x，y，z)，則eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y，z－3)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝3，,y＝－2，,z－3＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝－3，,y＝2，,z－3＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，,z＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝2，,z＝4.))
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，－2,2)或(－2,2,4)．故選AB.
10. 已知空間中三點(diǎn)A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3,1)，則下列結(jié)論正確的有( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))是共線向量
B．與eq \(AB,\s\up6(→))共線的單位向量是(1,1,0)
C.eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))夾角的余弦值是－eq \f(\r(55),11)
D．平面ABC的一個法向量是(1，－2,5)
【解析】對于A，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,2,1)，不存在實(shí)數(shù)λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))不是共線向量，所以A錯誤；
對于B，因為eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，所以與eq \(AB,\s\up6(→))共線的單位向量為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)，0))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)，0))，
所以B錯誤；
對于C，向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－3,1,1)，
所以cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝－eq \f(\r(55),11)，
所以C正確；
對于D，設(shè)平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)，
因為eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,2,1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝0，,－x＋2y＋z＝0.))
令x＝1，則n＝(1，－2,5)，所以D正確．
故選CD.
11. 下面四個結(jié)論正確的是( )
A．向量a，b(a≠0，b≠0)，若a⊥b，則a·b＝0
B．若空間四個點(diǎn)P，A，B，C，eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(PB,\s\up6(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線
C．已知向量a＝(1,1，x)，b＝(－3，x，9)，若x

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