第62講   隨機抽樣與用樣本估計總體 思維導圖知識梳理1．簡單隨機抽樣(1)定義：一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本．(2)常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法．2．分層抽樣(1)在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．3．頻率分布直方圖(1)縱軸表示，即小長方形的高＝；(2)小長方形的面積＝組距×＝頻率；(3)各個小方形的面積總和等于1.4．頻率分布表的畫法第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝；第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．5．條形圖、折線圖及扇形圖(1)條形圖：建立直角坐標系，用橫軸(橫軸上的數(shù)字)表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個樣本(或某個范圍內(nèi)的樣本)的數(shù)量多少畫出長短不同的等寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來，這樣一種表達和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為條形圖．(2)折線圖：建立直角坐標系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應(yīng)各點，然后把各點用線段順次連接，得到一條折線，用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為折線圖．(3)扇形圖：用一個圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個扇形的大小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為扇形圖．6．中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的定義(1)中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(2)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(3)平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)＝(x1＋x2＋…＋xn)．7．樣本的數(shù)字特征如果有n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個數(shù)的(1)標準差s＝ .(2)方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 題型歸納題型1    抽樣方法【例1-1】假設(shè)從高一年級全體同學(500人)中隨機抽出60人參加一項活動，利用隨機數(shù)法抽取樣本時，先將500名同學按000,001，…，499進行編號，如果從隨機數(shù)表第8行第11列的數(shù)開始，按三位數(shù)連續(xù)向右讀取，最先抽出的5名同學的號碼是(下面摘取了此隨機數(shù)表第7行和第8行)(　　)A．455　068　047　447　176B．169　105　071　286　443C．050　358　074　439　332D．447　176　335　025　212【解析】選B　由隨機數(shù)表法的隨機抽樣的過程可知最先抽出的5名同學的號碼為169,105,071,286,443.【例1-2】(2019·河南名校聯(lián)考)《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢，欲以錢數(shù)多少衰出之，問各幾何？”其意為：“今有甲帶了560錢，乙?guī)Я?/span>350錢，丙帶了180錢，三人一起出關(guān)，共需要交關(guān)稅100錢，依照錢的多少按比例出錢”，則丙應(yīng)出________錢(所得結(jié)果四舍五入，保留整數(shù))．【解析】按照錢的多少按比例出錢，所以丙應(yīng)該出錢為×100＝≈17.【答案】17【跟蹤訓練1-1】某學校三個興趣小組的學生人數(shù)分布如下表(每名同學只參加一個小組)(單位：人). 籃球組書畫組樂器組高一4530a高二151020 學校要對這三個小組的活動效果進行抽樣調(diào)查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個興趣小組的學生中抽取30人，結(jié)果籃球組被抽出12人，則a的值為________．【解析】由分層抽樣得＝，解得a＝30.【答案】30【名師指導】1．應(yīng)用簡單隨機抽樣應(yīng)注意的問題(1)一個抽樣試驗能否用抽簽法，關(guān)鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻．一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．(2)在使用隨機數(shù)法時，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)，可從選擇的隨機數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計起，每三個或四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復號碼的數(shù)字舍去．2．分層抽樣問題的類型及解題思路(1)求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算．(2)已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算．(3)分層抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝＝”． 題型2    頻率分布直方圖的應(yīng)用【例2-1】(2019·全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．【解】　(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.【跟蹤訓練2-1】(2019·南昌市第一次模擬測試)市面上有某品牌A型和B型兩種節(jié)能燈，假定A型節(jié)能燈使用壽命都超過5 000小時．經(jīng)銷商對B型節(jié)能燈使用壽命進行了調(diào)查統(tǒng)計，得到如下頻率分布直方圖：某商家因原店面需重新裝修，需租賃一家新店面進行周轉(zhuǎn)，合約期一年．新店面只需安裝該品牌節(jié)能燈5支(同種型號)即可正常營業(yè)．經(jīng)了解，A型20瓦和B型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當，都適合安裝．已知A型和B型節(jié)能燈每支的價格分別為120元、25元，當?shù)厣虡I(yè)電價為0.75元/千瓦時．假定該店面一年周轉(zhuǎn)期的照明時間為3 600小時，若正常營業(yè)期間燈壞了立即購買同型燈管更換．(用頻率估計概率)(1)根據(jù)頻率分布直方圖估算B型節(jié)能燈的平均使用壽命；(2)根據(jù)統(tǒng)計知識知，若一支燈管一年內(nèi)需要更換的概率為p，那么n支燈管估計需要更換np支，若該商家新店面全部安裝了B型節(jié)能燈，試估計一年內(nèi)需更換的數(shù)量；(3)若只考慮燈的成本和消耗電費，你認為該商家應(yīng)選擇哪種型號的節(jié)能燈，請說明理由．【解】(1)由題圖可知，各組中值依次為3 100,3 300,3 500，3 700，對應(yīng)的頻率依次為0.1,0.3,0.4,0.2，故B型節(jié)能燈的平均使用壽命為3 100×0.1＋3 300×0.3＋3 500×0.4＋3 700×0.2＝3 440(小時)．(2)由題圖可知，使用壽命不超過3 600小時的頻率為0.8，將頻率視為概率，每支燈管需要更換的概率為0.8，故估計一年內(nèi)5支B型節(jié)能燈需更換5×0.8＝4(支)．(3)若選擇A型節(jié)能燈，一年共需花費5×120＋3 600×5×20×0.75×10－3＝870(元)；若選擇B型節(jié)能燈，一年共需花費(5＋4)×25＋3 600×5×55×0.75×10－3＝967.5(元)．因為967.5>870，所以該商家應(yīng)選擇A型節(jié)能燈．【跟蹤訓練2-2】某網(wǎng)絡(luò)營銷部門隨機抽查了某市200名網(wǎng)友在2019年11月11日的網(wǎng)購金額，所得數(shù)據(jù)如下表：網(wǎng)購金額(單位：千元)人數(shù)頻率(0,1]160.08(1,2]240.12(2,3]xp(3,4]yq(4,5]160.08(5,6]140.07總計2001.00 已知網(wǎng)購金額不超過3千元與超過3千元的人數(shù)比恰為3∶2.(1)試確定x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖(如圖)；(2)該營銷部門為了了解該市網(wǎng)友的購物體驗，從這200名網(wǎng)友中，用分層抽樣的方法從網(wǎng)購金額在(1,2]和(4,5]的兩個群體中確定5人進行問卷調(diào)查，若需從這5人中隨機選取2人繼續(xù)訪談，則此2人來自不同群體的概率是多少？【解】(1)根據(jù)題意有解得∴p＝0.40，q＝0.25.補全頻率分布直方圖如圖所示．(2)根據(jù)題意，抽取網(wǎng)購金額在(1,2]內(nèi)的人數(shù)為×5＝3(人)．抽取網(wǎng)購金額在(4,5]內(nèi)的人數(shù)為×5＝2(人)．故此2人來自不同群體的概率P＝＝.【名師指導】熟記結(jié)論(1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所有小長方形的面積的和等于1；(2)×組距＝頻率；(3)＝頻率，此關(guān)系式的變形為＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)易錯防范頻率分布直方圖的縱坐標是，而不是頻率 題型3    用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【例3-1】　(2019·昆明市診斷測試)《中國大能手》是央視推出的一檔大型職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽類節(jié)目，旨在通過該節(jié)目，在全社會傳播和弘揚“勞動光榮、技能寶貴、創(chuàng)造偉大”的時代風尚．某公司準備派出選手代表公司參加《中國大能手》職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽．經(jīng)過層層選拔，最后集中在甲、乙兩位選手在一項關(guān)鍵技能的區(qū)分上，選手完成該項挑戰(zhàn)的時間越少越好．已知這兩位選手在15次挑戰(zhàn)訓練中，完成該項關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)所用的時間t(單位：秒)及挑戰(zhàn)失敗(用“×”表示)的情況如下表：序號x123456789101112131415t甲×9693×92×9086××8380787775t乙×95×93×92×8883×8280807473 據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，應(yīng)用統(tǒng)計軟件得下表： 均值/秒方差線性回歸方程甲8550.2甲＝－1.59x＋99.28乙8454乙＝－1.73x＋100.25 (1)根據(jù)上述回歸方程，預測甲、乙分別在下一次完成該項關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)所用的時間；(2)若該公司只有一個參賽名額，根據(jù)以上信息，判斷哪位選手代表公司參加職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽更合適？請說明你的理由．【解】　(1)當x＝16時，甲＝－1.59×16＋99.28＝73.84(秒)，乙＝－1.73×16＋100.25＝72.57(秒)．(2)甲、乙兩位選手完成該項關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)成功的次數(shù)都為10，失敗次數(shù)都為5，所以只需要比較他們完成該項關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)成功的情況即可，根據(jù)所給信息，結(jié)合(1)中預測結(jié)果，綜合分析，選手乙代表公司參加技能挑戰(zhàn)賽更合適，理由如下：因為在相同次數(shù)的挑戰(zhàn)練習中，兩位選手在該項關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)的完成次數(shù)和失敗次數(shù)都分別相同，甲>乙，所以乙選手用時更短．由于s<s，雖然甲選手的發(fā)揮更穩(wěn)定，但穩(wěn)定在較大的平均數(shù)上，隨著訓練次數(shù)增加，甲、乙用時都在逐漸減少，乙的方差大，說明乙進步更大．從(1)的計算結(jié)果乙<甲進一步說明，選手乙代表公司參加技能挑戰(zhàn)賽更合適．【跟蹤訓練3-1】甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則(　　)A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差【解析】選C　甲的平均數(shù)是＝6，中位數(shù)是6，極差是4，方差是＝2；乙的平均數(shù)是＝6，中位數(shù)是5，極差是4，方差是＝，比較可得選項C正確．【跟蹤訓練3-2】甲、乙兩人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績(單位：分)如圖所示：(1)分別求出甲、乙兩人成績的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，對兩人的成績作出評價．【解】(1)由題圖可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分．甲＝＝13, 乙＝＝13，s＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由s>s，可知乙的成績較穩(wěn)定．從題圖看，甲的成績基本呈上升趨勢，而乙的成績上下波動，因此甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高．【跟蹤訓練3-3】(2019·福建五校第二次聯(lián)考)甲、乙、丙三人去某地務(wù)工，其工作受天氣影響，雨天不能出工，晴天才能出工．其計酬方式有兩種，方式一：雨天沒收入，晴天出工每天250元；方式二：雨天每天120元，晴天出工每天200元．三人要選擇其中一種計酬方式，并打算在下個月(30天)內(nèi)的晴天都出工，為此三人作了一些調(diào)查，甲以去年此月的下雨天數(shù)(10天)為依據(jù)作出選擇；乙和丙在分析了當?shù)亟?/span>9年此月的下雨天數(shù)(n)的頻數(shù)分布表(見下表)后，乙以頻率最大的n值為依據(jù)作出選擇，丙以n的平均值為依據(jù)作出選擇.n8910111213頻數(shù)312021 (1)試判斷甲、乙、丙選擇的計酬方式，并說明理由；(2)根據(jù)統(tǒng)計范圍的大小，你覺得三人中誰的依據(jù)更有指導意義？(3)以頻率作為概率，求未來三年中恰有兩年此月下雨不超過11天的概率．【解】(1)按計酬方式一、二的收入分別記為f(n)，g(n)，f(10)＝250×(30－10)＝5 000，g(10)＝120×10＋200×(30－10)＝5 200，所以甲選擇計酬方式二；由頻數(shù)分布表知頻率最大的n＝8，f(8)＝250×(30－8)＝5 500，g(8)＝120×8＋200×(30－8)＝5 360，所以乙選擇計酬方式一；n的平均值為×(8×3＋9×1＋10×2＋12×2＋13×1)＝10，所以丙選擇計酬方式二．(2)甲統(tǒng)計了1個月的情況，乙和丙統(tǒng)計了9個月的情況，但乙只利用了部分數(shù)據(jù)，丙利用了所有數(shù)據(jù)，所以丙的統(tǒng)計范圍最大，三人中丙的依據(jù)更有指導意義．(3)任選一年，此月下雨不超過11天的頻率為＝，以此作為概率，則未來三年中恰有兩年此月下雨不超過11天的概率為C2×＝.【名師指導】利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小．標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征． 

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