知識梳理
1．空間向量及其有關概念
2．數(shù)量積及坐標運算
(1)兩個空間向量的數(shù)量積：①a·b＝|a||b|cs〈a，b〉；②a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)；③設a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝eq \r(x2＋y2＋z2).
(2)空間向量的坐標運算：
3．直線的方向向量與平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或共線，則稱此向量a為直線l的方向向量．
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．
4．空間位置關系的向量表示
題型歸納
題型1 空間向量的線性運算
【例1-1】如圖所示，在平行六面體中，，，，是的中點，點是上的點，且，用表示向量的結果是
A．B．C．D．
【例1-2】如圖已知正方體中，是的中點，，，，，則
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【跟蹤訓練1-1】已知空間四邊形中，，點在線段上，且，點為的中點，則
A．B．C．D．
【跟蹤訓練1-2】如圖，是三棱錐的底面的重心，若、、，則的值為
A．B．C．D．1
【名師指導】
進行向量的線性運算，有以下幾個關鍵點
(1)結合圖形，明確圖形中各線段的幾何關系．
(2)正確運用向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義．
(3)平面向量的三角形法則、平行四邊形法則在空間中仍然成立．
題型2 共線、共面向量定理的應用
【例2-1】已知空間向量，1，，，，，且，則實數(shù)
A．B．C．D．6
【例2-2】在四面體中，空間的一點滿足，若共面，則
A．B．C．D．
【例2-3】已知空間三點，1，，，3，，，5，在一條直線上，則實數(shù)的值是
A．2B．4C．D．
【跟蹤訓練2-1】已知，，若，則
A．B．C．D．
【跟蹤訓練2-2】已知點，2，，，4，，，，三點共線，則 ．
【跟蹤訓練2-3】（在下列條件中，使與，，一定共面的是
A．B．
C．D．
【名師指導】
共線、共面向量定理的類比
題型3 空間向量數(shù)量積的應用
【例3-1】棱長為2的正方體中，，分別是，的中點，在棱上，且，是的中點．
（1）證明：．
（2）求．
（3）求的長．
【例3-2】已知空間向量，，若，則實數(shù)
A．B．C．1D．2
【跟蹤訓練3-1】已知，1，，，，，，1，，則
A．18B．C．D．
【跟蹤訓練3-2】在平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）中，，，則的長為
A．3B．C．6D．
【名師指導】
空間向量數(shù)量積的3個應用
題型4 利用空間向量證明平行或垂直
【例4-1】在邊長是2的正方體中，，分別為，的中點．應用空間向量方法求解下列問題．
（1）求的長
（2）證明：平面；
（3）證明：平面．
【跟蹤訓練4-1】如圖，設為長方形所在平面外一點，在上，在上，若，用向量法證明：直線平面．
【跟蹤訓練4-2】已知正方體的棱長為2，，分別是，的中點，求證：
（1）平面；
（2）平面平面．
【名師指導】
利用空間向量證明空間垂直、平行的一般步驟
(1)建立空間直角坐標系，建系時要盡可能地利用條件中的垂直關系．
(2)建立空間圖形與空間向量之間的關系，用空間向量表示出問題中所涉及的點、直線、平面的要素．
(3)通過空間向量的運算求出直線的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直關系．
(4)根據(jù)運算結果解釋相關問題．概念
語言描述
共線向量(平行向量)
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合
共面向量
平行于同一個平面的向量
共線向量定理
對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb
空間向量基本定理及推論
定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序實數(shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
推論：設O，A，B，C是不共面的四點，則對平面ABC內任一點P都存在唯一的三個有序實數(shù)x，y，z，使eq \(OP, \s\up7(―→))＝xeq \(OA, \s\up7(―→))＋yeq \(OB, \s\up7(―→))＋zeq \(OC, \s\up7(―→))且x＋y＋z＝1
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)量積
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夾角公式
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
位置關系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝km(k∈R)
平面α，β的法向量分別為n，m
α∥β
n∥m?n＝km(k∈R)
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
三點P，A，B共線
空間四點M，P，A，B共面
eq \(PA, \s\up7(―→))＝λeq \(PB, \s\up7(―→))
eq \(MP, \s\up7(―→))＝xeq \(MA, \s\up7(―→))＋yeq \(MB, \s\up7(―→))
對空間任一點O，eq \(OP, \s\up7(―→))＝eq \(OA, \s\up7(―→))＋teq \(AB, \s\up7(―→))
對空間任一點O，eq \(OP, \s\up7(―→))＝eq \(OM, \s\up7(―→))＋xeq \(MA, \s\up7(―→))＋yeq \(MB, \s\up7(―→))
對空間任一點O，eq \(OP, \s\up7(―→))＝xeq \(OA, \s\up7(―→))＋(1－x)eq \(OB, \s\up7(―→))
對空間任一點O，eq \(OP, \s\up7(―→))＝xeq \(OM, \s\up7(―→))＋yeq \(OA, \s\up7(―→))＋(1－x－y)eq \(OB, \s\up7(―→))
求夾角
設向量a，b夾角為θ，則cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，進而可求兩異面直線所成的角
求長度(距離)
利用公式|a|2＝a·a，可將線段長度的計算問題轉化為向量數(shù)量積的計算問題
解決垂直問題
利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉化為向量數(shù)量積的計算問題

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