知識梳理
1．異面直線所成角
設(shè)異面直線a，b所成的角為θ，則cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)， 其中a，b分別是直線a，b的方向向量．
2．直線與平面所成角
如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則sin φ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a||n|)
3．二面角
(1)若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補角)的大小就是向量eq \(AB,\s\up7(―→))與eq \(CD,\s\up7(―→))的夾角，如圖(1)．
(2)平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，〈n1，n2〉＝θ，則二面角α -l -β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則|cs φ|＝|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如圖(2)(3)．
4．利用空間向量求距離
(1)兩點間的距離
設(shè)點A(x1，y1，z1)，點B(x2，y2，z2)，則|AB|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2).
(2)點到平面的距離
如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為|eq \(BO,\s\up7(―→))|＝eq \f(|\(AB,\s\up7(―→))·n|,|n|).
題型歸納
題型1 異面直線所成的角
【例1-1】已知直角梯形中，，，，將直角梯形（及其內(nèi)部）以所在直線為軸順時針旋轉(zhuǎn)，形成如圖所示的幾何體，其中為的中點．
（1）求證：；
（2）求異面直線與所成角的大?。?br>【例1-2】在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，為中點．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值．
【跟蹤訓練1-1】如圖，四邊形為平行四邊形，且，點，為平面外兩點，且，．
（1）證明：；
（2）若，求異面直線與所成角的余弦值．
【名師指導】
用向量法求異面直線所成角的一般步驟
(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系；
(2)確定異面直線上兩個點的坐標，從而確定異面直線的方向向量；
(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；
(4)兩異面直線所成角的余弦等于兩向量夾角余弦值的絕對值．
題型2 直線與平面所成的角
【例2-1】如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．
（1）證明：平面；
（2）已知，為上的點，，求與平面所成角的正弦值．
【例2-2】如圖，在正方體中，為的中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
【跟蹤訓練2-1】如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．
（1）證明：平面；
（2）已知，為上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值．
【名師指導】
利用向量求線面角的2種方法
(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)．
(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線與平面所成的角．
題型3 二面角
【例3-1】在三棱錐中，已知，，為的中點，平面，，為中點．
（1）求直線與所成角的余弦值；
（2）若點在上，滿足，設(shè)二面角的大小為，求的值．
【例3-2】如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【跟蹤訓練3-1】如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．
（1）證明：點在平面內(nèi)；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【跟蹤訓練3-2】如圖，平面，，，，，．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長．
【跟蹤訓練3-3】如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【名師指導】
利用空間向量計算二面角大小的常用方法
(1)找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大?。?br>(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大?。?br>題型4 求空間距離
【例4-1】如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點．
（1）證明：平面；
（2）求點到平面的距離．
【跟蹤訓練4-1】如圖，中，，，，分別是，的中點，將沿折起，連結(jié)，，得到多面體．
（1）證明：在多面體中，；
（2）在多面體中，當時，求點到平面的距離．
【名師指導】
求點面距一般有以下三種方法
(1)作點到面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離．
(2)等體積法．

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