1．如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，下部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點(diǎn)P是圓錐的頂點(diǎn)，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1，BB1是圓柱的兩條母線，C是弧AB的中點(diǎn)．
(1)求異面直線PA1與BC所成角的余弦值；
(2)求點(diǎn)B1到平面PAC的距離．
2．如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，CC1＝2，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)．
(1)求過E，F(xiàn)，D1三點(diǎn)的截面的面積；
(2)一只小蟲從A點(diǎn)經(jīng)BB1上一點(diǎn)P到達(dá)C1點(diǎn)，求小蟲所經(jīng)過路程最短時(shí)，直線ED1與平面APC1所成的角的正弦值．
3．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM．
(1)求BC；
(2)求二面角A-PM-B的正弦值．
4．已知邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC，E，F(xiàn)分別為BC和AC的中點(diǎn)．PA＝2，且PA⊥平面ABC，設(shè)Q是CE的中點(diǎn)．
(1)求證：AE∥平面PFQ；
(2)求AE與平面PFQ間的距離．
5．如圖①，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝60°，AD＝DC＝BC＝1，DE⊥AB于點(diǎn)E，現(xiàn)將△DAE沿DE翻折到△DA′E的位置，使得二面角A′-DE-B的大小為120°，得到如圖②所示的四棱錐．點(diǎn)M為A′B的三等分點(diǎn)，且BM＝eq \f(1,3)BA′．
(1)證明：CM∥平面A′DE；
(2)求平面A′BE和平面A′DC夾角的余弦值．
6．如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AB＝a，PB＝PD＝eq \r(2)a，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，求異面直線PB與CE的距離．
課時(shí)過關(guān)檢測(cè)(四十四)
利用空間向量求空間角、空間距離【解析版】
1．如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，下部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點(diǎn)P是圓錐的頂點(diǎn)，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1，BB1是圓柱的兩條母線，C是弧AB的中點(diǎn)．
(1)求異面直線PA1與BC所成角的余弦值；
(2)求點(diǎn)B1到平面PAC的距離．
解：(1)根據(jù)題意可得OP⊥平面ABC, C是弧AB的中點(diǎn)，則OC⊥AB，
則以O(shè)為原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則P(0,0,4)，A1(0，－1,2)，B(0,1,0)，C(1,0,0),
eq \(PA1,\s\up7(―→))＝(0，－1，－2)，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(1，－1,0) ,
cs〈eq \(PA1,\s\up7(―→))，eq \(BC,\s\up7(―→))〉＝eq \f(eq \(PA1,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→)),|eq \(PA1,\s\up7(―→))|·|eq \(BC,\s\up7(―→))|)＝eq \f(1,\r(5)×\r(2))＝eq \f(\r(10),10)，
∴異面直線PA1與BC所成的角的余弦值為eq \f(\r(10),10)．
(2)B1(0,1,2)，A(0，－1,0)，eq \(PB1,\s\up7(―→))＝(0,1，－2)，eq \(PA,\s\up7(―→))＝(0，－1，－4)，eq \(PC,\s\up7(―→))＝(1,0，－4) ，設(shè)平面PAC的法向量n＝(x，y，z)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(PA,\s\up7(―→))＝－y－4z＝0，,n·eq \(PC,\s\up7(―→))＝x－4z＝0，))取z＝1，得n＝(4，－4,1),
∴點(diǎn)B1到平面PAC的距離為d＝eq \f(|eq \(PB1,\s\up7(―→))·n|,|n|)＝eq \f(6,\r(33))＝eq \f(2\r(33),11)．
2．如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，CC1＝2，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)．
(1)求過E，F(xiàn)，D1三點(diǎn)的截面的面積；
(2)一只小蟲從A點(diǎn)經(jīng)BB1上一點(diǎn)P到達(dá)C1點(diǎn)，求小蟲所經(jīng)過路程最短時(shí)，直線ED1與平面APC1所成的角的正弦值．
解：(1)如圖，連接AD1，AE，BC1，則四邊形ABC1D1為平行四邊形，
又因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，所以AD1∥BC1，EF∥BC1∥AD1，
所以所求截面為梯形EFD1A．
EF＝eq \r(EC2＋CF2)＝eq \r(2)，AD1＝2eq \r(2)，AE＝D1F＝eq \r(2)，
梯形的高h(yuǎn)＝ eq \r(D1F2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)?AD1－EF?))2)＝eq \f(\r(6),2)，
所以所求截面面積S＝eq \f(1,2)×(eq \r(2)＋2eq \r(2))×eq \f(\r(6),2)＝eq \f(3\r(3),2)．
(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則A(2,0,0)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)，E(1,1,0)，
若所經(jīng)過路程最短，則△APB與△C1PB1相似，所以eq \f(B1P,BP)＝eq \f(B1C1,AB)＝eq \f(2,1)，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1，\f(2,3)))．
eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(2,3)))，eq \(AC1,\s\up7(―→))＝(－2,1,2)，
設(shè)平面APC1的法向量n＝(x，y，z)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(AP,\s\up7(―→))＝0，,n·eq \(AC1,\s\up7(―→))＝0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋\f(2,3)z＝0，,－2x＋y＋2z＝0，))
令z＝3，則y＝－2，x＝2，
所以n＝(2，－2,3)，eq \(ED1,\s\up7(―→))＝(－1，－1,2)．
cs〈n，eq \(D1E,\s\up7(―→))〉＝eq \f(－2＋2＋6,\r(4＋4＋9)·\r(1＋1＋4))＝eq \f(\r(102),17)，
所以直線ED1與平面APC1所成的角的正弦值是eq \f(\r(102),17)．
3．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM．
(1)求BC；
(2)求二面角A-PM-B的正弦值．
解：(1)因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC．
在矩形ABCD中，AD⊥DC，故可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
設(shè)BC＝t，則A(t,0,0)，B(t,1,0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,2)，1，0))，P(0,0,1)，
所以eq \(PB,\s\up7(―→))＝(t,1，－1)，eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(t,2)，1，0))．
因?yàn)镻B⊥AM，所以eq \(PB,\s\up7(―→))·eq \(AM,\s\up7(―→))＝－eq \f(t2,2)＋1＝0，得t＝eq \r(2)，
所以BC＝eq \r(2)．
(2)易知C(0,1,0)，由(1)可得eq \(AP,\s\up7(―→))＝(－eq \r(2)，0,1)，eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1，0))，eq \(CB,\s\up7(―→))＝(eq \r(2)，0,0)，eq \(PB,\s\up7(―→))＝(eq \r(2)，1，－1)．
設(shè)平面APM的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·eq \(AP,\s\up7(―→))＝0，,n1·eq \(AM,\s\up7(―→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\r(2)x1＋z1＝0，,－\f(\r(2),2)x1＋y1＝0，))
令x1＝eq \r(2)，則z1＝2，y1＝1，所以平面APM的一個(gè)法向量為n1＝(eq \r(2)，1,2)．
設(shè)平面PMB的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，則
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·eq \(CB,\s\up7(―→))＝0，,n2·eq \(PB,\s\up7(―→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)x2＝0，,\r(2)x2＋y2－z2＝0，))
得x2＝0，令y2＝1，則z2＝1，所以平面PMB的一個(gè)法向量為n2＝(0,1,1)．
cs 〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(3,\r(7)×\r(2))＝eq \f(3\r(14),14)，
所以二面角A-PM-B的正弦值為eq \f(\r(70),14)．
4．已知邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC，E，F(xiàn)分別為BC和AC的中點(diǎn)．PA＝2，且PA⊥平面ABC，設(shè)Q是CE的中點(diǎn)．
(1)求證：AE∥平面PFQ；
(2)求AE與平面PFQ間的距離．
解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABC內(nèi)垂直于AC邊所在直線的直線為x軸，AC所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，
∴A(0,0,0)，B(2eq \r(3)，2,0)，C(0,4,0)，F(xiàn)(0,2,0)，E(eq \r(3)，3,0)，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(7,2)，0))，P(0,0,2)．
(1)證明：∵eq \(FQ,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0))，eq \(AE,\s\up7(―→))＝(eq \r(3)，3,0)，∴eq \(AE,\s\up7(―→))＝2eq \(FQ,\s\up7(―→))．∵AE與FQ無交點(diǎn)，∴AE∥FQ．
又FQ?平面PFQ，AE?平面PFQ，
∴AE∥平面PFQ．
(2)由(1)知，AE∥平面PFQ，
∴點(diǎn)A到平面PFQ的距離就是AE與平面PFQ間的距離．
設(shè)平面PFQ的法向量為n＝(x，y，z)，
則n⊥eq \(PF,\s\up7(―→))，n⊥eq \(FQ,\s\up7(―→))，即n·eq \(PF,\s\up7(―→))＝0，n·eq \(FQ,\s\up7(―→))＝0．
又eq \(PF,\s\up7(―→))＝(0,2，－2)，∴n·eq \(PF,\s\up7(―→))＝2y－2z＝0，即y＝z．
又eq \(FQ,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0))，∴n·eq \(FQ,\s\up7(―→))＝eq \f(\r(3),2)x＋eq \f(3,2)y＝0，即x＝－eq \r(3)y．
令y＝1，則x＝－eq \r(3)，z＝1，∴平面PFQ的一個(gè)法向量為n＝(－eq \r(3)，1,1)．又eq \(QA,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(7,2)，0))，∴所求距離d＝eq \f(|eq \(QA,\s\up7(―→))·n|,|n|)＝eq \f(2\r(5),5)．
5．如圖①，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝60°，AD＝DC＝BC＝1，DE⊥AB于點(diǎn)E，現(xiàn)將△DAE沿DE翻折到△DA′E的位置，使得二面角A′-DE-B的大小為120°，得到如圖②所示的四棱錐．點(diǎn)M為A′B的三等分點(diǎn)，且BM＝eq \f(1,3)BA′．
(1)證明：CM∥平面A′DE；
(2)求平面A′BE和平面A′DC夾角的余弦值．
解：(1)如圖，取A′E的三等分點(diǎn)G且A′G＝eq \f(2,3)A′E，連接GM，DG．
因?yàn)锽M＝eq \f(1,3)BA′，所以GM∥BE且GM＝eq \f(2,3)BE．
在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝60°，AD＝DC＝BC＝1，DE⊥AB，
所以DC∥BE且DC＝eq \f(2,3)BE，所以DC∥GM且DC＝GM，即四邊形DCMG為平行四邊形，
所以DG∥GM，又DG?平面A′DE，CM?平面A′DE，所以CM∥平面A′DE．
(2)因?yàn)镈E⊥AB，△DAE沿DE翻折到△DA′E的位置，所以DE⊥平面A′BE．
由題意得二面角A′-DE-B的大小為120°，即∠A′EB＝120°．
以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，DE，EB所在直線分別 為x軸，y軸，過點(diǎn)E且垂直于平面EBCD的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0，0))，A ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4)，\f(\r(3),4)))，eq \(A′D,\s\up7(――→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,4)，－\f(\r(3),4)))，eq \(DC,\s\up7(―→))＝(0,1,0)．
設(shè)n1＝(x，y，z)是平面A′DC的法向量，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·eq \(A′D,\s\up7(――→))＝0，,n1·eq \(DC,\s\up7(―→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2\r(3)x－y＋\r(3)z＝0，,y＝0.))
令x＝1，得n1＝(1,0，－2)為平面A′DC的一個(gè)法向量．
易知平面A′BE的一個(gè)法向量為n2＝(1,0,0)．
所以cs〈n1，n2〉＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，
即平面A′BE和平面A′DC夾角的余弦值為eq \f(\r(5),5)．
6．如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AB＝a，PB＝PD＝eq \r(2)a，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，求異面直線PB與CE的距離．
解：連接AC，BD，由PE∶ED＝2∶1，在BD上取點(diǎn)F使BF∶FD＝2∶1，
連接CF，易知PB∥EF，從而PB∥平面CEF，于是只需求直線PB到平面CEF的距離，可求點(diǎn)P到平面CEF的距離．
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由已知，P(0,0，a)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a，0))，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)a，\f(1,2)a，0))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)a，\f(1,3)a))，
則eq \(PE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)a，－\f(2,3)a))，eq \(CE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(1,6)a，\f(1,3)a))，eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)a，0，0))．
設(shè)平面CEF的法向量為n＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(CE,\s\up7(―→))＝－\f(\r(3),2)ax＋\f(1,6)ay＋\f(1,3)az＝0，,n·eq \(CF,\s\up7(―→))＝－\f(\r(3),3)ax＝0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＋2z＝0.))
于是令x＝0，y＝－2，z＝1，則n＝(0，－2,1)．
∴PB與平面CEF間的距離d＝eq \f(|n·eq \(PE,\s\up7(―→))|,|n|)＝eq \f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4a,3)－\f(2a,3)))),\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)a，
從而異面直線PB與CE的距離為eq \f(2\r(5),5)a．

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