最新高考數(shù)學(xué)解題方法模板50講專題25 含參數(shù)的“一元二次不等式”解法-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識，進(jìn)一步夯實基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補缺，保強攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強各章節(jié)知識之間的橫向聯(lián)系，針對“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實際情況作出合理的安排。
三、提高運算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運算占很大比例，一定要重視運算技巧粗中有細(xì)，提高運算準(zhǔn)確性和速度，同時，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識體系。同學(xué)們在聽課時注意把重點要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動作要快要自信。
六、重視和加強選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過
高考數(shù)學(xué)
解題方法
模
板
50
講
專題25 含參數(shù)的“一元二次不等式”解法
【高考地位】
解含參一元二次不等式，常涉及對參數(shù)的分類討論以確定不等式的解，這是解含參一元二次不等式問題的一個難點. 在高考中各種題型多以選擇題、填空題等出現(xiàn)，其試題難度屬中高檔題.
類型一根據(jù)二次項系數(shù)的符號分類
例1 已知關(guān)于的不等式.
（1）若不等式的解集為，求的值．
（2）求不等式的解集
【答案】（1）（2）①當(dāng)時，或②當(dāng)時，③當(dāng)時，④當(dāng)時，⑤ 當(dāng)時，原不等式解集為
（2）第一步，直接討論參數(shù)大于0、小于0或者等于0：
不等式為，即
第二步，分別求出其對應(yīng)的不等式的解集：
當(dāng)時，原不等式的解集為；
當(dāng)時，方程的根為；
所以當(dāng)時，；
②當(dāng)時，，
③當(dāng)時，，
④當(dāng)時，，
第三步，得出結(jié)論：
綜上所述，原不等式解集為①當(dāng)時，或；②當(dāng)時，
③當(dāng)時，；④當(dāng)時，；⑤當(dāng)時，原不等式解集為.
考點：一元二次不等式的解法.
【點評】（1）本題考察的是一元二次不等式和一元二次方程的關(guān)系，由題目所給條件知的兩根為，且，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出的值．（2）本題考察的是解含參一元二次不等式，根據(jù)題目所給條件和因式分解化為，然后通過對參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可求出不等式的解集．
【變式演練1】【湖北省黃岡市麻城市2020-2021學(xué)年模擬】已知二次函數(shù) ．
（1）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
（2）解關(guān)于的不等式（其中）．
【答案】（1）a＜；（2）①當(dāng)時，不等式解集為；
②當(dāng)時，不等式解集為；
③當(dāng)時，不等式解集為；
④當(dāng)時，不等式解集為；
⑤當(dāng)時，不等式解集為．
【分析】
（1）不等式轉(zhuǎn)化為，利用參數(shù)分離法得，即，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值即可.
（2）不等式，即，對進(jìn)行分類討論，由二次不等式的解法，即可得到所求解集.
【詳解】
(1)不等式即為：，
當(dāng) 時，可變形為：，即.
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，，即
實數(shù)的取值范圍是：
（2）不等式，即，
等價于，即，
①當(dāng)時，不等式整理為，解得：；
當(dāng)時，方程的兩根為：，
②當(dāng)時，可得，解不等式得：或；
③當(dāng)時，因為，解不等式得：；
④當(dāng)時，因為，不等式的解集為；
⑤當(dāng)時，因為，解不等式得：；
綜上所述，不等式的解集為：
①當(dāng)時，不等式解集為；
②當(dāng)時，不等式解集為；
③當(dāng)時，不等式解集為；
④當(dāng)時，不等式解集為；
⑤當(dāng)時，不等式解集為．
類型二根據(jù)二次不等式所對應(yīng)方程的根的大小分類
例2 解關(guān)于的不等式（為常數(shù)且）.
【答案】時不等式的解集為；時不等式的解集為；時不等式的解集為；時不等式的解集為.
若，，不等式的解集為
試題分析：,先討論時不等式的解集；當(dāng)時，討論與的大小，即分，，分別寫出不等式的解集即可.
【解析】第一步，將所給的一元二次不等式進(jìn)行因式分解：
原不等式可化為
第二步，比較兩根的大小關(guān)系并根據(jù)其大小進(jìn)行分類討論：
（1）時，不等式的解集為；
（2）時，若，，不等式的解集為；
若，不等式的解集為；
若，，不等式的解集為；
第三步，得出結(jié)論：
時不等式的解集為；時不等式的解集為；時不等式的解集為；時不等式的解集為.
若，，不等式的解集為
考點：1.一元二次不等式的解法；2.含參不等式的解法.
【變式演練2】【北京市第八中學(xué) 2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期期末】設(shè)，不等式的解集記為集合.
（1）若，求的值；
（2）當(dāng)時，求集合.
【答案】（1）；（2）答案見解析.
【分析】
（1）由題意可知，關(guān)于的方程的兩根分別為、，利用韋達(dá)定理列等式可求得實數(shù)的值；
（2）解方程可得或，對與的大小進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次不等式的解法可求得集合.
【詳解】
（1）由題意可知，關(guān)于的方程的兩根分別為、，
所以，，由韋達(dá)定理可得，解得；
（2）當(dāng)時，由可得，
解方程，可得或.
①當(dāng)時，即當(dāng)時，或；
②當(dāng)時，即當(dāng)時，原不等式為，則；
③當(dāng)時，即當(dāng)時，或.
綜上所述，當(dāng)時，或；
當(dāng)時，則；
當(dāng)時，或.
類型三根據(jù)判別式的符號分類
例3 設(shè)集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，試求k的取值范圍．
【答案】
【解析】第一步，首先求出不等式所對應(yīng)方程的判別式：
B中的不等式不能分解因式，故考慮判斷式，
(1)當(dāng)k=0時，.
(2)當(dāng)k＞0時，△＜0，x.
(3)當(dāng)k＜0時，.
第二步，討論判別式大于0、小于0或等于0所對應(yīng)的不等式的解集：
故：當(dāng)時，由B=R，顯然有A，
當(dāng)k＜0時，為使A，需要k，于是k時，.
，比較
因為
(1)當(dāng)k＞1時，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}.
(2)當(dāng)k=1時，x.
(3)當(dāng)k＜1時，3k－1＜k＋1，A=.
第三步，得出結(jié)論：
綜上所述，k的取值范圍是：
【點評】解含參的一元二次不等式，可先分解因式，再討論求解，若不易分解，也可對進(jìn)行分類，或利用二次函數(shù)圖像求解.對于二次項系數(shù)不含參數(shù)且不能因式分解時，則需對判別式的符號分類.
【變式演練3】在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上,不等式 SKIPIF 1 < 0 有解，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
考點：一元二次不等式定區(qū)間定軸問題.
【變式演練4】【2020湖北襄陽四中高三六月全真模擬一數(shù)學(xué)（文）試卷】若存在x∈[?2,3]，使不等式2x?x2≥a成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A． (?∞,1] B． (?∞,?8] C． [1,+∞) D． [?8,+∞)
【答案】A
【解析】
試題分析：設(shè)f(x)=2x?x2=?(x?1)2+1≤1，因為存在，使不等式2x?x2≥a成立，可知，所以，故選A．

【高考再現(xiàn)】
1.【2015高考江蘇，7】不等式的解集為________.
【答案】
【解析】由題意得：，解集為
【考點定位】解指數(shù)不等式與一元二次不等式
【名師點晴】指數(shù)不等式按指數(shù)與1的大小判斷其單調(diào)性，決定其不等號是否變號；對于一元二次方程的解集，先研究，按照，，三種情況分別處理，具體可結(jié)合二次函數(shù)圖像直觀寫出解集.
2.【2012年福建卷】已知關(guān)于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______．
【答案】（0,8）
【解析】試題分析：因為不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立．
∴△=（-a）2-8a＜0，解得0＜a＜8
故答案為：（0，8）
考點：一元二次不等式的應(yīng)用，以及恒成立問題
3.【2015高考廣東，文11】【2008年高考廣東卷理科數(shù)學(xué)試題】已知若關(guān)于的方程有實根，則的取值范圍是。
【答案】
【解析】本題考查二次方程有關(guān)知識與絕對值不等式知識的綜合應(yīng)用；由于關(guān)于的二次方程有實根，那么即，而，從而，解得。
4.【2015高考上海，文16】下列不等式中，與不等式解集相同的是（）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【考點定位】同解不等式的判斷.
【名師點睛】求解本題的關(guān)鍵是判斷出. 本題也可以解出各個不等式，再比較解集.此法計算量較大.
【反饋練習(xí)】
1．【浙江省嘉興市2020屆高三模擬】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，集合A={x|f(x)≤0}，集合B={x|f(f(x))≤54}，若A=B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A． [5,5] B． [?1,5] C． [5,3] D． [?1,3]
【答案】A
【解析】設(shè)B={x|f(f(x))≤54}={x|m≤f(x)≤n}，(m,n為f(x)=54的兩根)，因為A=B≠?，所以n=0且m≤fmin(x)，Δ=a2?4b≥0，于是f(n)=f(0)=54，b=54，Δ=a2?5≥0 ? a≤?5或a≥5，令t=f(x)，f(f(x))≤54?f(t)≤54?t2+at+54≤54??a≤t≤0，即B={x|f(f(x))≤54}={x|m≤f(x)≤n}={x|?a≤f(x)≤0}?m=?a，所以?a≤fmin(x)，即?a≤f(?a2)?a∈[?1,5]，即a∈[5,5]，故選A.
點睛：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題；設(shè)集合B={x|f(f(x))≤54}={x|m≤f(x)≤n}，根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程根的關(guān)系結(jié)合A=B≠?，得出b和m=?a，即可求出實數(shù)a的取值范圍.
2．【湖北省龍泉中學(xué)、荊州中學(xué)、宜昌一中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考】設(shè)p：實數(shù)滿足，q：實數(shù)滿足，則p是q的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】
分類討論求出集合，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行求解即可
【詳解】
本題考查充分必要條件，不等式的解法，考查運算求解能力，邏輯推理能力.
，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)，，
，
因為?，所以的充分不必要條件.
故選：A
3．【河南省2020屆高三6月聯(lián)考全國1卷階段性測試】關(guān)于的不等式成立的一個充分不必要條件是，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由題意可知，是不等式解集的一個真子集，然后對與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，求得不等式的解集，利用集合的包含關(guān)系可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
由題可知是不等式的解集的一個真子集.
當(dāng)時，不等式的解集為，此時?；
當(dāng)時，不等式的解集為，
?，合乎題意；
當(dāng)時，不等式的解集為，
由題意可得?，此時.
綜上所述，.
故選：D.
4．【吉林省長春市普通高中2020屆高三質(zhì)量監(jiān)測】若關(guān)于x的方程(lnx?ax)lnx=x2存在三個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍是
A． (?∞,1e2?1e) B． (1e2?1e,0) C． (?∞,1e?e) D． (1e?e,0)
【答案】C
【解析】原方程可化為(lnxx)2?alnxx?1=0，
令t=lnxx，則t2?at?1=0．
設(shè)y=lnxx，則y'=1?lnxx2得，
當(dāng)0

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