模
板
50
講
專(zhuān)題28 證明不等式的常見(jiàn)技巧
【高考地位】
證明數(shù)列不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的證明技巧。這類(lèi)問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)剡x擇不等式的證明技巧. 在高考中常常以解答題出現(xiàn)，其試題難度屬中高檔題.
方法一 比較法
例1設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求證：．
【變式演練1】【2020年全國(guó)普通高等學(xué)校統(tǒng)一招生考試試驗(yàn)檢測(cè)卷】設(shè)不等式的解集為且，．
（1）證明：；
（2）比較與的大?。?br>方法二 分析法
例2 設(shè)證明：。
【變式演練2】吉林省通化市梅河口五中2020屆高三高考數(shù)學(xué)（文科）七模】設(shè)函數(shù)．
（1）若的解集為，求實(shí)數(shù)，的值；
（2）當(dāng)，時(shí)，若存在，使得成立的的最大值為，且實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，證明：．
方法三 綜合法
例3 已知，，求證：
【變式演練3】【四川省巴中市2021屆高三零診考試】已知.
（1）若存在使得，求的取值范圍；
（2）記是（1）中的最大值且，證明.
11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若.
（1）求通項(xiàng)公式；
（2）若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.
【來(lái)源】2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
12．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，，證明：當(dāng)時(shí)，．
【來(lái)源】2020年高三11月大聯(lián)考考后強(qiáng)化卷（新課標(biāo)Ⅱ卷）
13．若，觀察下列不等式：
，，請(qǐng)你猜測(cè)將滿(mǎn)足的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
【來(lái)源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)（理）糾錯(cuò)筆記
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一般不等式證明
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第一步 通過(guò)兩個(gè)實(shí)數(shù)與的差或商的符號(hào)（范圍）確定與大小關(guān)系；
第二步 得出結(jié)論.
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一般不等式證明
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第一步 從求證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件；
第二步 把證明這個(gè)不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問(wèn)題；
第三步 如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立.
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第一步 從已知或證明過(guò)的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件；
第二步 根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式；
第三步 得出結(jié)論.

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