最新高考數(shù)學(xué)解題方法模板50講專題14 導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的解題模板-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識(shí)，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對(duì)自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，針對(duì)“一模”考試中的問(wèn)題要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過(guò)程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過(guò)程及書(shū)寫(xiě)。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們?cè)诼?tīng)課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對(duì)問(wèn)題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們?cè)谒㈩}時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對(duì)于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過(guò)
高考數(shù)學(xué)
解題方法
模
板
50
講
專題14 導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的解題模板
【高考地位】
導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題是高考的必考的重點(diǎn)內(nèi)容，主要在導(dǎo)數(shù)解答題的的第2小問(wèn)，已由解決函數(shù)、數(shù)列、不等式問(wèn)題的輔助工具上升為解決問(wèn)題的必不可少的工具，特別是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)的極值與最值、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等問(wèn)題，在高考中以各種題型中均出現(xiàn)，對(duì)于導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中求參數(shù)的取值范圍是近幾年高考中出現(xiàn)頻率較高的一類問(wèn)題，其試題難度考查較大.
類型一利用導(dǎo)數(shù)研究不等式證明問(wèn)題
例1 (2016·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－x＋1.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，1＜eq \f(x－1,ln x)＜x；
(3)設(shè)c＞1，證明：當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，1＋(c－1)x＞cx.
【解析】(1)(2)略
(3)證明：由題設(shè)c＞1，設(shè)g(x)＝1＋(c－1)x－cx，
[關(guān)鍵1：利用要證明的不等式直接構(gòu)造函數(shù)]
則g′(x)＝c－1－cxln c，令g′(x)＝0，解得x0＝eq \f(ln\f(c－1,ln c),ln c).
當(dāng)x＜x0時(shí)，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞x0時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減．
[關(guān)鍵2：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值]
由(2)知1＜eq \f(c－1,ln c)＜c，故0＜x0＜1.
[關(guān)鍵3：判斷極值點(diǎn)所在的區(qū)間]
又g(0)＝g(1)＝0，故當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g(x)＞0.
所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，1＋(c－1)x＞cx.
[關(guān)鍵4：利用函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)所在區(qū)間證得不等式]
【變式演練1】（作差法證明不等式）【河南省鄭州市第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)（文）】
已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
（1）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，證明：．
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，求得，解三角不等式則問(wèn)題得解；
（2）構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)二次求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，即可求得的最小值，則問(wèn)題得解.
【詳解】
（1）由已知，，
所以，，
令，得，解得，
令，得，解得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是；
單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）要證，只需證：．
設(shè)，，則．
記，則．
當(dāng)時(shí)，，又，，所以；
當(dāng)時(shí)，，，所以，
又，，所以．
綜上，當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增．
所以，，即，
所以，在上遞增，則，證畢．
【變式演練2】（換元法證明雙變量不等式）【四川省成都市新都一中2021屆高三9月月考數(shù)學(xué)（理）】已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，證明：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（I）對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)在內(nèi)的單調(diào)性得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出其最大值即可求出的取值范圍;
（Ⅱ）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，等價(jià)于在內(nèi)有兩根，，將極值點(diǎn)代入作差，設(shè)，得到時(shí)原不等式成立；時(shí)，將原不等式轉(zhuǎn)化為，令，，構(gòu)造函數(shù)，證明，即原不等式成立.
【詳解】
（I）由題可知，，
在內(nèi)單調(diào)遞減，
∴在內(nèi)恒成立，
即在內(nèi)恒成立，
令，則，
∴當(dāng)時(shí)，，即在內(nèi)為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，即在內(nèi)為減函數(shù)，
∴，即，，
∴；
（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，
則在內(nèi)有兩根，，
，兩式相減，得，
不妨設(shè)，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，要證明，只需證明，
即證明，即證明，
令，，
令，
，
在上單調(diào)遞減，
，
，
即成立，
.
【變式演練3】（利用二次方程韋達(dá)定理證明雙變量不等式）【四川省新津中學(xué)2021屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（文）】已知函數(shù)，其中．
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：．
【答案】（1）,單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）由函數(shù)導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，利用兩直線平行斜率相等，求出的值，再求的定義域，求，由，求得的遞增區(qū)間，由，求得遞減區(qū)間；
（2）函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)不相等的根.解不等式組，求得的范圍，再化簡(jiǎn)得到，再構(gòu)造，再利用導(dǎo)數(shù)證明，即得證.
【詳解】
（1）由，
得，
又在點(diǎn)處的切線與直線平行，
所以，解得．
則，
得．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，區(qū)間為．
（2）證明：因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，
所以
在上有兩個(gè)根，，且，
即在上有兩個(gè)不相等的根，，
則，，
由題意得，解得，
則
，
令，其中，
故．令，，
在上單調(diào)遞增．
由于，，
所以存在常數(shù)，使得，即，，
且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，
．
又，，
所以，即，
故得證．
【變式演練4】（極值點(diǎn)偏移類的不等式證明）【安徽省2020屆高三5月五校聯(lián)考數(shù)學(xué)理科】已知函數(shù)，.
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）記函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，求證：.
懷遠(yuǎn)一中、蒙城一中、淮南一中、潁上一中、渦陽(yáng)一中試題
【答案】（1）2個(gè)；（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性，然后再結(jié)合零點(diǎn)判定理即可求解；
（2）結(jié)合極值存在的條件及正弦與正切函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析可證．
【詳解】
（1），，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，，，，，
故函數(shù)在，上不存在零點(diǎn)，
存在，使得，同理使得
綜上，在區(qū)間上的零點(diǎn)有2個(gè).
（2），
由（1）可得，在區(qū)間，上存在零點(diǎn)，
所以在，上存在極值點(diǎn)，，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，
，
又因?yàn)椋矗?br>又，
即，
，
，，，
由在上單調(diào)遞增可得．
再由在上單調(diào)遞減，得，
，
所以．
【變式演練5】（函數(shù)與數(shù)列綜合的不等式證明）【江蘇省南通市如皋中學(xué)2020屆高三創(chuàng)新班下學(xué)期高考沖刺模擬（二）】已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最小值；
（2）設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1），分，，三種情況推理即可；
（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到證明.
【詳解】
（1）由，得.
當(dāng)時(shí)，方程的，因此在區(qū)間
上恒為負(fù)數(shù).所以時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立；
當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且滿足，
所以函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零，函數(shù)在區(qū)間
上單增，又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)在區(qū)間
上恒為正數(shù)，所以在區(qū)間上恒為正數(shù)，不滿足題意；
綜上可知：若時(shí)，不等式恒成立，的最小值為.
（2）由第（1）知：若時(shí)，.
若，則，
即成立.
將換成，得成立，即
，
以此類推，得，
，
上述各式相加，得，
又，所以.
【變式演練6】（拆分法證明不等式）【安徽省馬鞍山市2020屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】已知，.
（1）證明：時(shí)，；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）證明：時(shí)，.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；（3）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）采用二次求導(dǎo)法，，再令，求得，由時(shí)，得出單增，故，即可得證；
（2）解法同（1），二次求導(dǎo)法，，再令，得到，進(jìn)而單增，又，從而得出的增減區(qū)間；
（3）采用分析法，要證時(shí)，，即證，觀察表達(dá)式可知，若要利用（1）的結(jié)論，在中，多出的因式應(yīng)該要進(jìn)行適當(dāng)放縮才能求解，而不等式右側(cè)都有公因式，聯(lián)想到時(shí)，的放縮，故對(duì)不等式右側(cè)應(yīng)進(jìn)行正負(fù)的分段討論，再結(jié)合（2）的結(jié)論進(jìn)行放縮，即可求解
【詳解】
（1），令，則，因?yàn)?，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，則.
（2），令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（3）證明：要證，即證.
①當(dāng)時(shí)，，而
（以為例，故，所以）所以不等式成立.
②當(dāng)時(shí)，，由（2）知：時(shí)，，所以，所以只需證.
令（），則，所以在單調(diào)遞減，所以，即.
故只需證，即證：.
由（1）知，上述不等式成立.
③當(dāng)時(shí)，不等式等號(hào)顯然成立
綜上，當(dāng)時(shí)，.
【點(diǎn)睛】
本題考查由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求解原函數(shù)的增減區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式在給定區(qū)間恒成立問(wèn)題，放縮法、構(gòu)造函數(shù)法求解不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題，當(dāng)一次求導(dǎo)不能直接判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)時(shí)，往往需要二次求導(dǎo)，在放縮法的使用過(guò)程中，形如時(shí)，的放縮應(yīng)熟記，本題中第（3）問(wèn)難度較大，共用到了兩次放縮，在處理這種復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，往往采用分步放縮，分步得分策略
類型二利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題
例2(2016·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．
(1)當(dāng)a＝4時(shí)，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；
(2)若當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＞0，求a的取值范圍.
【解析】(1)略
(2)當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＞0等價(jià)于ln x－eq \f(a?x－1?,x＋1)＞0.設(shè)g(x)＝ln x－eq \f(a?x－1?,x＋1)，
[關(guān)鍵1：對(duì)條件進(jìn)行恒等變形，直接構(gòu)造函數(shù)]
則g′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(2a,?x＋1?2)＝eq \f(x2＋2?1－a?x＋1,x?x＋1?2)，g(1)＝0.
[關(guān)鍵2：利用導(dǎo)函數(shù)確定分類標(biāo)準(zhǔn)]
①當(dāng)a≤2，x∈(1，＋∞)時(shí)，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，因此g(x)＞0；
[關(guān)鍵3：通過(guò)放縮判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，研究函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)值域]
②當(dāng)a＞2時(shí)，令g′(x)＝0得x1＝a－1－eq \r(?a－1?2－1)，x2＝a－1＋eq \r(?a－1?2－1).由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故當(dāng)x∈(1，x2)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上單調(diào)遞減，此時(shí)g(x)＜g(1)＝0.
[關(guān)鍵4：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)值域]
綜上，a的取值范圍是(－∞，2].
【變式演練7】（分離參數(shù)法解決不等式恒成立問(wèn)題）【浙江省杭州高中2020屆高三下學(xué)期5月高考質(zhì)檢】已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的恒成立，求b的最小值.
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.
【解析】
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得，解導(dǎo)數(shù)不等式可得出單調(diào)性；
（2）由對(duì)任意的恒成立，變量分離得對(duì)任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求單調(diào)性，得到函數(shù)的最大值，進(jìn)而可得b的最小值.
【詳解】
（1）因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由，
因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，
對(duì)任意的恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，
.
∵，
∴，且單調(diào)遞增，
∵，，
∴一定存在唯一的，使得.
即，.
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
∴
.
∵，
∴b的最小值為.
【變式演練8】（利用函數(shù)最值解決雙參數(shù)恒成立問(wèn)題）【黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次驗(yàn)收考試】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）證明：在上單調(diào)遞增.
（2）設(shè)，函數(shù)，如果總存在，對(duì)任意，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)可得：，因?yàn)?，所以，?br>所以，即可得證.
（2）解讀題意可得：，求出最值，代入即可得解.
【詳解】
（1）證明：
因?yàn)?，所以，，?br>所以在上單調(diào)遞增.
（2）由題意得：
的對(duì)稱軸
所以
所以，令，∴，∴
∴，∴
【變式演練9】（等價(jià)轉(zhuǎn)化法解決不等式恒成立問(wèn)題）【湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試】已知函數(shù)f(x)＝ex＋，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）若關(guān)于x的不等式mf(x)≤＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）已知正數(shù)a滿足：存在x∈[1，＋∞)，使得f(x0)1，∴對(duì)任意t>1成立，
∵，∴，∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，
則m的取值范圍是；
（2）令函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，又a>0，故，
則在上的單調(diào)遞增函數(shù)，
則在上的最小值是，
由于存在，使得成立，
當(dāng)且僅當(dāng)最小值，故，即，
與均為正數(shù)，同取自然底數(shù)的對(duì)數(shù)，
即比較和的大小，即比較與的大小，
構(gòu)造函數(shù)，則，
再設(shè)，時(shí)，，從而m(x)在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，故在上恒成立，
則在上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)，
當(dāng)a=e時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
類型三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題
例3(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝eq \f(1,3)x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).
【解析】(1)略
(2)證明：由于x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等價(jià)于eq \f(x3,x2＋x＋1)－3a＝0.設(shè)g(x)＝eq \f(x3,x2＋x＋1)－3a，
[關(guān)鍵1：變形后構(gòu)造函數(shù)．此處結(jié)合分析法，考慮下一步判斷求導(dǎo)結(jié)果與零的關(guān)系，求導(dǎo)消參，需先變形]
則g′(x)＝eq \f(x2?x2＋2x＋3?,?x2＋x＋1?2)≥0，僅當(dāng)x＝0時(shí)g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增．
故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．
[關(guān)鍵2：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性]
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－eq \f(1,3)＝－6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,6)))2－eq \f(1,6)0，
故f(x)有一個(gè)零點(diǎn)．
[關(guān)鍵3：利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)]
綜上，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).
【變式演練9】（研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)）【江蘇省淮安市淮陰中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期8月測(cè)試】設(shè)函數(shù)（，）的導(dǎo)函數(shù)為.已知，是的兩個(gè)不同的零點(diǎn).
（1）證明：；
（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；
（3）求關(guān)于的方程的實(shí)根的個(gè)數(shù).
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）1.
【解析】
【分析】
（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)必有兩個(gè)不同零點(diǎn)列不等式，解得結(jié)果；
（2）先分離變量，轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，利用導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定最值，即得結(jié)果；
（3）先求，再構(gòu)造差函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性以及確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即得結(jié)果.
【詳解】
（1）證明：，令
∵有兩個(gè)不等的實(shí)根，∴.
（2）時(shí)，，由得
∴
令，
令，
∴在上單調(diào)遞減，注意到
∴當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減：
∴，∴.
（3）
令
∴在上單調(diào)遞增，故在上至多只有一個(gè)零點(diǎn)，注意到
∴在上只有1個(gè)零點(diǎn)，即的實(shí)根個(gè)數(shù)為1.
【變式演練10】（已知零點(diǎn)存在情況求參數(shù)的值）【安徽省六校教育研究會(huì)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次素質(zhì)測(cè)試】已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若為直線與函數(shù)圖像的一個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，且，求整數(shù)的所有可能的值.
【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（2）整數(shù)的所有可能的值為，0.
【解析】
【分析】
【詳解】
（1）由得
①當(dāng)時(shí)，，在為增
②當(dāng)時(shí)，由，
故在為增，在為減
③當(dāng)時(shí)，由，
故在為增，在為減.
（2）當(dāng)時(shí)，，
由
令，
，
定義在遞增，在也遞增，
而，，
故，
又，，
又得，
所以整數(shù)的所有可能的值為，0.
【變式演練11】（已知零點(diǎn)存在情況求參數(shù)的取值范圍）【黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次驗(yàn)收考試】已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性：
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）.
【解析】
【分析】
（1）將代入原函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出結(jié)果；
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)，易證函數(shù)在上單調(diào)遞增，最多有一個(gè)零點(diǎn)，此種情況不成立；當(dāng)時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，可知函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，若有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖像的趨勢(shì)和零點(diǎn)存在定理可知，又，，由此即可求出的范圍.
【詳解】
（1）時(shí)，，
令，得，令，得，
所以，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
（2）
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，最多有一個(gè)零點(diǎn)，此種情況不成立；
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
若有兩個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)令，得，
此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，令，所以，，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以；
所以，
綜上，.
【高考再現(xiàn)】
1.（零點(diǎn)問(wèn)題）（2021·浙江高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿足.
(注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
【答案】(1)時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
(2)；
(3)證明見(jiàn)解析.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
(2)將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)結(jié)合(2)的結(jié)論將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.
【解析】(1)，
①若，則，所以在上單調(diào)遞增；
②若，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
(2)有2個(gè)不同零點(diǎn)有2個(gè)不同解有2個(gè)不同的解，
令，則，
記，
記，
又，所以時(shí)，時(shí)，，
則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，
.
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(3)有2個(gè)不同零點(diǎn)，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).
由(2)可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為，較小者為，
，
注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，又由知，
，
要證，只需，
且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以只需證，
只需證，
只需證，
，只需證在時(shí)為正，
由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，
又，故在時(shí)為正，
從而題中的不等式得證.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
2.（函數(shù)圖象問(wèn)題）（2021·全國(guó)高考真題（理））已知且，函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.
【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，,
令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；
（2）,設(shè)函數(shù),
則,令，得,
在內(nèi),單調(diào)遞增；
在上,單調(diào)遞減；
,
又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，
所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,
所以的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，屬較難試題，關(guān)鍵是將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
3.（不等式證明問(wèn)題）（2021·全國(guó)高考真題（理））設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
【答案】1；證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；
（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解
【解析】（1）由，，
又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；
（2）由（1）得，，且，
當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；
同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；
令，再令，則，，
令，，
當(dāng)時(shí)，，單減，假設(shè)能取到，則，故；
當(dāng)時(shí)，，單增，假設(shè)能取到，則，故；
綜上所述，在恒成立
【點(diǎn)睛】本題為難題，根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問(wèn)解法并不唯一，分類討論對(duì)函數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價(jià)性問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問(wèn)題.
4.（零點(diǎn)問(wèn)題）【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)20】已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）．
【思路導(dǎo)引】（1）將代入函數(shù)解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別令導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，令，求導(dǎo)研究函數(shù)圖像的走向，從而求得結(jié)果．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，
令，解得，令，解得，
∴的減區(qū)間為，增區(qū)間為．
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，從方程可知，不成立，即有兩個(gè)解．
令，則有，
令，解得，令，解得或，
∴函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，有，∴滿足條件的的取值范圍是：．
【專家解讀】本題的特點(diǎn)是靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的圖像研究問(wèn)題．
5．（零點(diǎn)問(wèn)題）【2020年高考全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)20】已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性：
（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；(2)．
【思路導(dǎo)引】（1），對(duì)分和兩種情況討論即可；
（2）有三個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，且，解不等式組得到的范圍，再利用零點(diǎn)存在性定理加以說(shuō)明即可．
【解析】（1）由題，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
令，得或，∴在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
（2）由（1）知，有三個(gè)零點(diǎn)，則，且，即，解得，
當(dāng)時(shí)，，且，∴在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，
同理，，∴在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，又在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，∴有三個(gè)零點(diǎn)．
綜上可知的取值范圍為．
【專家解讀】本題的特點(diǎn)是注重導(dǎo)數(shù)的靈活運(yùn)用，本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等學(xué)科素養(yǎng)．
6．（恒成立問(wèn)題）【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)21】已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增;（2）．【思路導(dǎo)引】(1)由題意首先對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；
(2)首先討論的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，
由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
(2)由得，，其中，
①．當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意；
②．當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，
記，，
令，則，，
故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，
由可得：恒成立，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
因此，．綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
【專家解讀】本題的特點(diǎn)是注重導(dǎo)數(shù)的靈活運(yùn)用，本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值），考查數(shù)形結(jié)合、分類討論思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是正確構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)．
【考向總結(jié)】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；
(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
7．（恒成立問(wèn)題）【2020年高考山東卷21】
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）（2）
【思路導(dǎo)引】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，求出與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；
（2）先二次求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化情況，求出函數(shù)最小值，再根據(jù)基本不等式求最小值的最小值，最后根據(jù)不等式恒成立列不等式，解得結(jié)果．
【解析】（1）．
切線方程為，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
因此所求三角形面積為．
（2），，設(shè)，
在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，使得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因此存在唯一，使得，，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
因此，
對(duì)恒成立，．
【專家解讀】本題的特點(diǎn)是注重導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式恒成立的參數(shù)取值范圍問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思及分類討論思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是正確利用導(dǎo)數(shù)幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題．
8．（證明不等式問(wèn)題）【2020年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)21】設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直．
（1）求；
（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于的零點(diǎn)，證明：的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于．
【答案】
【思路導(dǎo)引】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；
（2）由（1）可得，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可．
【解析】（1），即．
（2）解法一：設(shè)為的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意，，且，則
，由，，顯然在，，
，易得，
設(shè)為的零點(diǎn)，則必有，即，
，，即．∴的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于．
解法二：由（1）可得，，
令，得或；令，得，
∴在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
且，
若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，則或，即或．
當(dāng)時(shí)，，
又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，
此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；
當(dāng)時(shí)，，
又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾．
綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．
【專家解讀】本題的特點(diǎn)是注重導(dǎo)數(shù)的靈活運(yùn)用，本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等學(xué)科素養(yǎng)．解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的圖像，合理分類解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題．
9．（零點(diǎn)問(wèn)題＋證明不等式問(wèn)題）【2020年高考浙江卷22】已知，函數(shù)，其中e=2．71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；
（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【答案】（I）證明見(jiàn)解析，（II）（i）證明見(jiàn)解析，（ii）證明見(jiàn)解析．
【思路導(dǎo)引】（I）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明結(jié)論；
（II）（i）先根據(jù)零點(diǎn)化簡(jiǎn)不等式，轉(zhuǎn)化求兩個(gè)不等式恒成立，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定最值，即可證得不等式；
（ii）先根據(jù)零點(diǎn)條件轉(zhuǎn)化：，再根據(jù)放縮，轉(zhuǎn)化為證明不等式，最后構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明．
【解析】（I）在上單調(diào)遞增，
，
∴由零點(diǎn)存在定理得在上有唯一零點(diǎn)；
（II）（i），
，
令
一方面：，
在單調(diào)遞增，，
，
另一方面：，
∴當(dāng)時(shí)，成立，
因此只需證明當(dāng)時(shí)，
∵
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，
在單調(diào)遞減，，，
綜上，．
（ii），
，，
，
∵，∴，
．
只需證明，即只需證明，
令，
則，
，即成立，因此．
【專家解讀】本題的特點(diǎn)是注重導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是正確利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．
【反饋練習(xí)】
1．已知對(duì)任意的，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【來(lái)源】江蘇省南京市第二十九中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期8月第二次學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題
【答案】A
【分析】
不等式中出現(xiàn)的指數(shù)式，對(duì)數(shù)式，故可以考慮同構(gòu)，將原不等式變形為，以實(shí)現(xiàn)不等式左、右兩邊統(tǒng)一于函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而由可得，再分離參數(shù)求最值即可.
【詳解】
因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，
即對(duì)任意的恒成立，
即對(duì)任意的恒成立，
設(shè)，則，
因?yàn)?，又?br>所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，
令，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以.
故選:A
2．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【來(lái)源】解密05 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（分層訓(xùn)練）-【高頻考點(diǎn)解密】2021年高考數(shù)學(xué)（理）二輪復(fù)習(xí)講義分層訓(xùn)練
【答案】B
【分析】
求出導(dǎo)函數(shù)、求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得出函數(shù)的極值，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即可.
【詳解】
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
∴在上只有一個(gè)極大值也是最大值，
顯然時(shí)，，時(shí)，，
因此要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，∴．
故選：B．
3．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．
【來(lái)源】湖南省永州市第四中學(xué)2021屆高三下學(xué)期高考沖刺（二）數(shù)學(xué)試題
【答案】
【分析】
轉(zhuǎn)化為與含有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求導(dǎo)，畫(huà)出大致圖象，結(jié)合圖象即可求解
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)，即方程的根，
而該方程可化為，
設(shè)，則的定義域?yàn)椋?br>且，由，得，
當(dāng)時(shí)，，遞減
當(dāng)時(shí)，，遞增
當(dāng)時(shí)，，遞減
所以極小值，的大致圖象如圖所示．
所以，要函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，
即方程有3個(gè)不同的根，
即與含有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
故．
故答案為：
4．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性：
（2）若在定義城上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．
【來(lái)源】湖南省永州市第四中學(xué)2021屆高三下學(xué)期高考沖刺（二）數(shù)學(xué)試題
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．
【分析】
（1）分類討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由于需要討論的正負(fù)，因此需要結(jié)合開(kāi)口方向、有無(wú)實(shí)數(shù)根以及有實(shí)數(shù)根的情況下根與0的關(guān)系進(jìn)行分類討論；
（2）結(jié)合（1）可知此時(shí)，且．進(jìn)而將轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)即可證出結(jié)論.
【詳解】
（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是
設(shè)，則．當(dāng)，且時(shí)，對(duì)稱軸，判別式，因此討論的分界點(diǎn)為．記．
當(dāng)時(shí)，有
當(dāng)時(shí)，有
當(dāng)時(shí)，有
當(dāng)時(shí)，有在上單調(diào)遞減．
綜上可知，取，
則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減．
（2）由（1）的結(jié)論可知，此時(shí)，且．
從而
設(shè)函數(shù)，則，
于是在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因此．
【點(diǎn)睛】
不等式證明問(wèn)題是近年高考命題的熱點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法主要有兩個(gè)：（1）不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)最值即可；（2）觀察不等式的特點(diǎn)，結(jié)合已解答問(wèn)題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，再化簡(jiǎn)或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.
5．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求在上的最值；
（2）設(shè)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【來(lái)源】陜西省漢中市2021屆高三下學(xué)期高考一模理科數(shù)學(xué)試題
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)其求導(dǎo)判斷單調(diào)性，比較極值和端點(diǎn)值即可得最值；
（2）求出，再分情況，和時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及極值，求解函數(shù)的零點(diǎn)，即可求解.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，可得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，，?br>所以，．
（2）因?yàn)椋?br>可得：．
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，故不成立；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，．
有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，成立；
③當(dāng)時(shí)，令，得或．
當(dāng)時(shí)，，恒成立，
在上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，即．
若或，則；若，則．
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，即．
若或，則；若時(shí)，則．
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，
．
僅有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．
綜上，有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的步驟：
①寫(xiě)定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；
②在定義域內(nèi)，解不等式和得到單調(diào)性；
③利用單調(diào)性判斷極值點(diǎn)，比較極值和端點(diǎn)值得到最值即可.
6．已知函數(shù)（）．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：．
【來(lái)源】押第21題導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)（理）臨考題號(hào)押題（全國(guó)卷2）
【答案】（1）時(shí)，在單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）先求函數(shù)的定義域，進(jìn)而對(duì)函數(shù)求導(dǎo)、通分，進(jìn)而討論a的范圍，得出單調(diào)區(qū)間；
（2）先將不等式化為，證明左邊最大值1時(shí),令，得到；令，得到或.此時(shí)在(1,a)上為減函數(shù),在(0,1)和(a,+∞)上為增函數(shù).
綜上：①當(dāng)時(shí)，在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+∞)上為增函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，在(a,1)上為減函數(shù)，在(0,a)和上為增函數(shù)；
③當(dāng)a=1時(shí)，在0,+∞)上為增函數(shù)；
④當(dāng)a>1時(shí)，在(1,a)上為減函數(shù),在(0,1)和(a,+∞)上為增函數(shù).
（2）在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
令則，
令，則，
顯然在上恒成立,故在上單調(diào)遞增.
因?yàn)閜(1)=0，所以當(dāng)，有，即所以單調(diào)遞減；
當(dāng)，有，即所以單調(diào)遞增；
因?yàn)椋?br>所以a的取值范圍
萬(wàn)能模板
內(nèi) 容
使用場(chǎng)景
一般函數(shù)的不等式證明問(wèn)題
解題模板
構(gòu)造法證明不等式是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明．常見(jiàn)的構(gòu)造方法有：
(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)－g(x)f(x)對(duì)x∈D恒成立，則只需a>f(x)max；若af(x)min；若存在x0∈D，使a

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