最新高考數(shù)學(xué)解題方法模板50講專題17 求三角函數(shù)最值的常見題型及解題策略-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識，進一步夯實基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補缺，保強攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強各章節(jié)知識之間的橫向聯(lián)系，針對“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實際情況作出合理的安排。
三、提高運算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運算占很大比例，一定要重視運算技巧粗中有細，提高運算準(zhǔn)確性和速度，同時，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識體系。同學(xué)們在聽課時注意把重點要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動作要快要自信。
六、重視和加強選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過
高考數(shù)學(xué)
解題方法
模
板
50
講
專題17 求三角函數(shù)最值的常見題型及解題策略
【高考地位】
三角函數(shù)的最值或相關(guān)量的取值范圍的確定始終是三角函數(shù)中的熱點問題之一，所涉及的知識廣泛，綜合性、靈活性較強。解這類問題時要注意思維的嚴密性，如三角函數(shù)值正負號的選取、角的范圍的確定、各種情況的分類討論、及各種隱含條件等等。求三角函數(shù)的最值常用方法有：配方法、化一法、數(shù)形結(jié)合法、換元法、基本不等式法等等。在高考各種題型均有出現(xiàn)如選擇題、填空題和解答題，其試題難度屬中檔題.[來源
:學(xué)方法一化一法
例1 已知函數(shù)，則在上的最大值與最小值之差為．
【答案】
【解析】第一步，運用倍角公式、三角恒等變換等將所給的函數(shù)式化為形如形式：
第二步，利用輔助角公式化為只含有一個函數(shù)名的形式：
第三步，利用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的有界性來確定三角函數(shù)的最值：
當(dāng)時，，故，
即函數(shù)的值域為，故答案為．
考點：二倍角公式，兩角和公式，正弦函數(shù)的值域．
【點評】本題中主要考察了學(xué)生三角化簡能力，涉及有二倍角公式和兩角和公式，，進而利用的范圍得到，即為換元思想，把看作一個整體，利用的單調(diào)性即可得出最值，這是解決的常用做法．
【變式演練1】【湖北省鄂東南省級示范高中教學(xué)改革聯(lián)盟2020屆高三下學(xué)期6月模擬】已知函數(shù)，則在區(qū)間上（）
A．既有最大值，又有最小值B．有最大值，沒有最小值
C．有最小值，沒有最大值D．既沒有最大值，也沒有最小值
【答案】B
【分析】
本題先對函數(shù)進行化簡，再利用余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)直接解題即可.
【詳解】
解：
，
根據(jù)余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)：，無最小值.
故選：B
【變式演練2】【2020屆天津市河西區(qū)高考一?！恳阎瘮?shù)的最小正周期為，的圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上的值域為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意，利用輔助角公式化簡得，根據(jù)最小正周期求出，由函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，得出和，從而得出，最后利用整體法求出的值域.
【詳解】
解：由題可知，函數(shù)，
則，
由于的最小正周期為，
，
，
又已知的圖象關(guān)于軸對稱，
，，則，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
可以令，此時，
則函數(shù)，
所以在區(qū)間上，則，，
得，，所以，，
即的值域為，.
故選：A．
【變式演練3】【2020屆四川省宜賓市高三高考適應(yīng)性考試（三診）】已知函數(shù)的最小正周期為，最大值為4，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先化簡函數(shù)的解析式為，根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出，根據(jù)函數(shù)的最大值求出的值得解.
【詳解】
由題得
所以，
所以.
由題得.
故選：A
【變式演練4】【海南省?？谑腥A僑中學(xué)2021屆高三第一次月考】已知函數(shù)，（，，）的最小正周期為.
（1）從①；②；③，都有這三個條件中，選擇合適的兩個條件，求函數(shù)的解析式；
（2）求（1）中所求得的函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最小值為-1，最大值為.
【分析】
（1）先根據(jù)周期得，①或③都能確定，所以選①②或②③，再根據(jù)②確定；（2）先根據(jù)自變量范圍得范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.
【詳解】
（1）因為的最小正周期為，
所以，解得.
選①②：
因為，所以，
解得，.
因為，所以.
又因為，
所以，即，
所以.
所以.
選②③：
因為，都有，
所以時，取得最大值，即，
所以，，
所以，所以.
又因為，
所以，即，
所以.
所以.
（2）因為，
所以，
所以，
當(dāng)時，取得最小值為-1；
當(dāng)時，取得最大值為；
所以取得最小值為-1，最大值為.
【變式演練5】【2020屆湖南省湘潭市湘潭縣一中高三下學(xué)期5月高考模擬】已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在中，分別為角的對邊，且滿足，求的取值范圍．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）先化簡得到，解不等式即得的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）化簡已知得到，得到，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求的取值范圍．
【詳解】
（1），
由，得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）由條件，得，
又由，得．
由，得，故.
所以.
的取值范圍為．
方法二配方法
例2 函數(shù)的最小值為．
【答案】
【解析】
第一步，先將所給的函數(shù)式化為只含有一個三角函數(shù)的式子，通常采取換元法將其變?yōu)槎囗検胶瘮?shù)：
令，所以
第二步，利用函數(shù)單調(diào)性求解三角函數(shù)的最值：
所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)
第三步，得出結(jié)論：
所以，故填．
考點：1．二倍角公式；2．一元二次函數(shù)的值域．
【點評】本題解題的關(guān)鍵有兩點：一是正確的將函數(shù)化簡為只含有一個三角函數(shù)的式子；二是采用換元法即令，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)求最值問題.
【變式演練5】函數(shù) 的最大值是__________．
【答案】
【解析】=，
所以當(dāng) 時，有最大值．
故答案為： .
【變式演練6】函數(shù)的最小值是__________．
【答案】
【解析】f（x）=sinx+csx+2sinxcsx，x∈，
化簡f（x）=（sinx+csx）2+sinx+csx﹣1
設(shè)sinx+csx=t，則t=sin（x）x+，
那么函數(shù)化簡為：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈
∴x+∈[0， ]，所以：．∵函數(shù)g（t）=t2+t﹣1．
開口向上，對稱軸t=－，∴是單調(diào)遞增．
當(dāng)t=0時，g（t）取得最小值為-1．
求函數(shù)的最大值與最小值.
【高考再現(xiàn)】
1．（2021·北京高考真題）函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值（）
A．奇函數(shù)，最大值為2B．偶函數(shù)，最大值為2
C．奇函數(shù)，最大值為D．偶函數(shù)，最大值為
【答案】D
【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.
【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，
又，
所以當(dāng)時，取最大值.
故選：D.
2．（2021·浙江高考真題）設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）由輔助角公式得，
則，
所以該函數(shù)的最小正周期;
（2）由題意，
，
由可得，
所以當(dāng)即時，函數(shù)取最大值.
3．【2020年高考北京卷14】若函數(shù)的最大值為，則常數(shù)的一個取值為．
【答案】
【解析】∵
，
則，，∴，∴．
【專家解讀】本題考查了三角函數(shù)最值求法，考查輔助角公式，考查數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是正確運用有關(guān)公式合理轉(zhuǎn)化．
4.【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)17】中，．
（1）求；
（2）若，求周長的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【思路導(dǎo)引】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進而求得；
（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進而得到結(jié)果．
【解析】（1）由正弦定理可得：，，
，．
（2）由余弦定理得：，
即．
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
，
解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
周長，周長的最大值為．
【專家解讀】本題考查了正弦定理、余弦定理，考查三角形周長最大值的求解問題，考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值．
5.【2020年高考浙江卷18】
在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（I）求角B；
（II）求csA+csB+csC的取值范圍．
【答案】（I）；（II）
【思路導(dǎo)引】（I）首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定∠B的大小；
（II）結(jié)合(1)的結(jié)論將含有三個角的三角函數(shù)式化簡為只含有∠A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定∠A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍．
【解析】（I）由結(jié)合正弦定理可得：，△ABC為銳角三角形，故．
（II）結(jié)合(1)的結(jié)論有：
．
由可得：，，則，，即的取值范圍是．
【專家解讀】本題考查了正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用，考查三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵熟記有關(guān)公式，進行合理轉(zhuǎn)化．解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求最值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值．
6.【2018年北京卷】已知函數(shù)f(x)=sin2x+3sinxcsx.
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）若f(x)在區(qū)間[?π3,m]上的最大值為32，求m的最小值.
【答案】（Ⅰ）π . （Ⅱ）π3.
【解析】
分析：（1）將f(x)化簡整理成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式，利用公式T=2π|ω|可求最小正周期；（2）根據(jù)x∈[?π3,m]，可求2x?π6的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)，可得參數(shù)m的取值范圍.
詳解：
（Ⅰ）f(x)=1?cs2x2+32sin2x=32sin2x?12cs2x+12=sin(2x?π6)+12，
所以f(x)的最小正周期為T=2π2=π.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(2x?π6)+12.
因為x∈[?π3,m]，所以2x?π6∈[?5π6,2m?π6].
要使得f(x)在[?π3,m]上的最大值為32，即sin(2x?π6)在[?π3,m]上的最大值為1.
所以2m?π6≥π2，即m≥π3.
所以m的最小值為π3.
點睛：本題主要考查三角函數(shù)的有關(guān)知識，解題時要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，化簡時要注意特殊角三角函數(shù)值記憶的準(zhǔn)確性，及公式中符號的正負.
【反饋練習(xí)】
1．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.對于下列四種說法，正確的是
①函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱
②函數(shù)在上有8個極值點
③函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為
④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
【來源】黑龍江省大慶鐵人中學(xué)2021屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試試題
【答案】B
【詳解】
，將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.對于①，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于點成中心對稱，所以①錯誤；對于②，由得，結(jié)合函數(shù)圖象可得在上有8個極值點，所以②正確；對于③，由，得，則，所以的最大值為，最小值為，所以③正確；對于④，當(dāng)時，，故函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以④錯誤.故選B．
2．（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A．函數(shù)的最大值為2B．函數(shù)的最小值為
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點
【來源】2021新高考高考最后一卷數(shù)學(xué)第四模擬
【答案】BCD
【分析】
先用誘導(dǎo)公式及恒等變形，再通過換元成二次函數(shù)，研究這人二次函數(shù)就可以判斷每一個選項.
【詳解】
，令，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，為，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，為，所以的最大值為，最小值為，故A錯誤，B正確；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，此時單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，C正確；
當(dāng)時，先增后減且，易知在內(nèi)有且僅有一個零點，且，數(shù)形結(jié)合可知在內(nèi)有唯一根，即函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，D正確.
故選：BCD.
【點睛】
關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵一是換元思想的運用，二是數(shù)形結(jié)合思想的運用，三是單調(diào)性的研究.
3．【吉林省梅河口市第五中學(xué)2019-2020學(xué)年高三4月月考】已知函數(shù)，相鄰兩個對稱中心之間的距離為，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則函數(shù)在上的最大值為（）
A．B．0C．D．
【答案】C
【分析】
由對稱性和周期性關(guān)系可求得最小正周期，由此得到，根據(jù)圖象平移和偶函數(shù)的定義可得到，由此求得，得到；利用的范圍求得的范圍，對應(yīng)余弦函數(shù)圖象可求得值域，進而得到最大值.
【詳解】
函數(shù)相鄰兩個對稱中心之間的距離為，，即，，
，
函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到：，
圖象關(guān)于軸對稱，，
解得：，又，，，
當(dāng)時，，，
，在上的最大值為.
故選：.
4．【福建省三明市2019-2020學(xué)年高三（5月份）高考（理科）數(shù)學(xué)模擬】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)；
②在區(qū)間上單調(diào)遞增；
③在上有4個零點；
④的最大值為2.
其中所有正確結(jié)論的編號是（）
A．①②④B．②④C．①④D．①③
【答案】A
【分析】
由絕對值的意義可得函數(shù)，由奇偶性的定義可判斷①；由的符號，去絕對值可得，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷②；由，結(jié)合的解析式可判斷③；由余弦函數(shù)的值域，結(jié)合的解析式可判斷④．
【詳解】
分段函數(shù)討論.
①由，故①正確；
②時，，單調(diào)遞增，故②正確；
③時，，函數(shù)有無數(shù)個零點，故③錯誤；
④函數(shù)為偶函數(shù)，故只需討論x為正數(shù)的情況，
當(dāng)時，
，最大值為2，
當(dāng)
.故函數(shù)最大值為2，故④正確.
故選：．
5．【安徽省皖江名校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期11月第三次聯(lián)考】函數(shù)部分圖象如圖所示，當(dāng)時，最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先結(jié)合圖象求得的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)最值的求法，求得在區(qū)間上的最小值.
【詳解】
由已知，
由圖象可知取，，故最小正周期，所以，
所以，
由，及圖象單調(diào)性知，取，
所以，，，
最小值為.
故選：D
6．【四川省瀘縣第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試】函數(shù)向左平移個單位后圖象關(guān)于y軸對稱，則在上的最小值為（）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意，先得到平移后的解析式，再由其對稱性，由題中條件求出，得出，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出最值.
【詳解】
函數(shù)向左平移個單位后得到，
因為平移后的圖象關(guān)于y軸對稱，
所以，，即，，
又，所以，故，
因為，所以，
因此當(dāng)，即時，取得最小值.
故選：A.
7．【貴州省貴陽市第一中學(xué)2020屆高三高考適應(yīng)性月考】已知，則“直線與平行”是“”的（）條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要
【答案】A
【分析】
根據(jù)直線的平行，斜率相等，截距不等即可解決.
【詳解】
若直線與平行，
則，即，當(dāng)，時，
兩直線方程為，，此時兩直線重合，
故“直線與平行”是“”的充分不必要條件，
故選：A．
8.【廣東省深圳實驗學(xué)校2021屆高三上學(xué)期10月月考】已知，則函數(shù)的最小值為（）
A．-5B．-3C．D．-1
【答案】A
【分析】
由可求出值，再將化為關(guān)于的二次函數(shù)，即可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.
【詳解】
由，有，解得，
故，
故當(dāng)時，取最小值.
故選：A.
9．【江西省樂平市第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期聯(lián)考理】函數(shù)在上的值域為______.
【答案】
【分析】
由已知可得，可求出的取值范圍，進而求出的取值范圍，進而得解.
【詳解】
因為，所以，
所以，所以，
所以在上的值域為.
故答案為：.
10.【山東省德州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中考試】函數(shù)，則的最小值為__________.
【答案】
【分析】
先根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡為的形式即可求出答案.
【詳解】
因為，
所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為，
故答案為：.
11.【江蘇省揚州市邗江區(qū)蔣王中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第三次學(xué)情檢測】已知函數(shù)和的圖象的對稱軸完全相同，且．若，則函數(shù)的值域是______．
【答案】
【分析】
先根據(jù)函數(shù)和的圖象的對稱軸完全相同確定的值，再由的范圍確定的范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得到答案．
【詳解】
解：由題意可得，，，
由三角函數(shù)圖象知：
的最小值為，最大值為，
所以的取值范圍是，
故答案為：．
12.【山東省淄博實驗中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高三第一次模塊考試】已知向量，，函數(shù)．
（1）若，求的取值范圍；
（2）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，，求的面積．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)向量數(shù)量積公式與三角恒等變換公式，化簡得，再由利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得的取值范圍；
（2）根據(jù)的表達式化簡（B），算出．再根據(jù)已知條件利用正弦定理算出，結(jié)合得出，由三角形內(nèi)角和定理算出，得到是以為直角頂點的直角三角形，可得的面積．
【詳解】
（1）向量，
．
由此可得函數(shù)，
又，得．
，即的取值范圍是；
，（B），
又，，，可得．
，
根據(jù)正弦定理，可得，
由得，所以，
因此，可得是以為直角頂點的直角三角形，
的面積．
【點睛】
方法點睛：三角恒等變換方法：三看（看角、看名、看式）→三變（變角、變名、變式）
（1）“變角”主要指把未知的角向已知的角轉(zhuǎn)化，把未知的角變成已知角的和差，
或者變成已知角與特殊角的和差.是變換的主線，如, ,,等.
（2）“變名”指的是“切化弦”（正切余切化成正弦余弦.
（3）“變式”指的是利用升冪公式和降冪公式升冪降冪，利用和角和差角公式、輔助角公式展開和合并等.
13.【山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考】已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值與最小值及相應(yīng)的值．
【答案】（1）；（2）時，；時，．
【分析】
（1）利用兩角和的正弦公式及二倍角公式化為一個角的三角函數(shù)得最小正周期；
（2）求得結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解最值即可
【詳解】
（1）解：．
故函數(shù)的最小正周期．
（2）解：當(dāng)時，，
當(dāng)，即時，函數(shù)取得最大值；
當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值．
14.【福建省廈門第一中學(xué)2021屆高三（10月月考）數(shù)學(xué)第一次質(zhì)量檢測】已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)，當(dāng)時，求函數(shù)的值域．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由圖象先求周期可得，再利用過可以求出，利用與軸的交點坐標(biāo)可以求，從而可得函數(shù)的解析式；
（2）先根據(jù)圖象的平移變換求出解析式，可得解析式，利用輔助角公式化簡，再利結(jié)合正弦函數(shù)圖象即可求值域.
【詳解】
由圖知：，
所以，
又因為，且，令，得：，
由，得，所以，
（2），
所以

，
因為，所以，所以，
所以，
15.【重慶市第八中學(xué)2021屆高三上學(xué)期適應(yīng)性月考】已知函數(shù)，將曲線向右平移個單位，得到的曲線關(guān)于原點對稱.
（1）求；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先化簡得，由題得到，即得解；
（2）根據(jù)的范圍逐步求出函數(shù)在上的值域.
【詳解】
（1）由題得，
將曲線向右平移個單位，得到.
由題得，，所以，.
因為，所以.
（2）由（1）知：，
因為，所以.
從而，
故在上的值域為.
16．在銳角中，角，，所對的邊分別為，，.已知.
（1）求角的大??；
（2）求的取值范圍.
【來源】浙江省杭州市桐廬中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期暑期階段性測試試題
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理余弦定理化簡已知等式即得解；
（2）先求出，再求出，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.
【詳解】
（1）因為，
由正弦定理，
所以，
由余弦定理，
因為，所以.
（2）因為在銳角中，，
所以得，
，
因為，所以
即.

萬能模板
內(nèi) 容
使用場景
函數(shù)表達式形如類型
解題模板
第一步運用倍角公式、三角恒等變換等將所給的函數(shù)式化為形如形式；
第二步利用輔助角公式化為只含有一個函數(shù)
名的形式；
第三步利用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的有界性來確定三角函數(shù)的最值.
萬能模板
內(nèi) 容
使用場景
函數(shù)表達式可化為只含有一個三角函數(shù)的式子
解題模板
第一步先將所給的函數(shù)式化為只含有一個三角函數(shù)的式子，通常采取換元法將其變?yōu)槎囗検胶瘮?shù)；
第二步利用函數(shù)單調(diào)性求解三角函數(shù)的最值.
第三步得出結(jié)論.

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