最新高考數(shù)學(xué)解題方法模板50講專題44 巧求圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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50
講
專題44 巧求圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題
【高考地位】
最值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，而圓錐曲線的最值問(wèn)題幾乎是高考的必考點(diǎn)，不僅會(huì)在選擇題或填空題中進(jìn)行考察，在綜合題中也往往將其設(shè)計(jì)為試題考查的核心.
方法一圓錐曲線的定義轉(zhuǎn)化法
例1.已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)是雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
【變式演練1】拋物線上一點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離之差的最大值為（）
A. B. C. D.
方法二切線法
例2.求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo).
【變式演練2】如圖，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，且
（1）求橢圓的離心率；
（2）已知是過(guò)三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，若的面積為，求點(diǎn)到直線距離的最大值．
方法三參數(shù)法
例3.在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是________.
【變式演練3】設(shè)，求的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)的值.
方法四基本不等式法
例4. 【江蘇省南通市如皋中學(xué)2020屆高三（創(chuàng)新班）下學(xué)期6月高考模擬】已知是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，，則的最大值為________.
【變式演練4】（2020·山西大同·高三月考（理））已知P為橢圓上任意一點(diǎn)，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).則的最小值為________.
【變式演練5】已知點(diǎn)（0，-2），橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程.
方法五函數(shù)法
例5. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn).
（1）若，求直線的斜率；
（2）設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求四邊形面積的最小值.
【變式演練6】【湖南省五市十校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次大聯(lián)考】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，順次連接橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的菱形.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、是橢圓上兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)、）上，求面積的取值范圍.
【高考再現(xiàn)】
1．（2021·全國(guó)高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）
A．13B．12C．9D．6
2．（2021·全國(guó)高考真題）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（）
A．點(diǎn)到直線的距離小于
B．點(diǎn)到直線的距離大于
C．當(dāng)最小時(shí)，
D．當(dāng)最大時(shí)，
3．（2021·北京高考真題）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，以四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k，交橢圓E于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC交y=-3于點(diǎn)M、N，直線AC交y=-3于點(diǎn)N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范圍．
4．（2021·浙江高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.
5．（2021·全國(guó)高考真題（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．
（1）求；
（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．
6.【2020年高考全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)9】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）
A．4B．8C．16D．32
7．【2020年高考江蘇卷14】在平面直角坐標(biāo)系中，已知，是圓：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則面積的最大值是________．
8. 【2020年高考江蘇卷18】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)
在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)．
（1）求的周長(zhǎng)；
（2）在軸上任取一點(diǎn)，直線與橢圓的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，求的最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，記與的面積分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
9．【2020年高考浙江卷21】如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．
【反饋練習(xí)】
1．【湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)、湖南師大附中、長(zhǎng)沙市一中聯(lián)合體2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考】已知?分別為橢圓：的左?右頂點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，與直線交于，兩點(diǎn)，與的外接圓的周長(zhǎng)分別為，，則的最小值為（）
A．B．C．D．
2．【安徽省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2020屆高三下學(xué)期押題卷】如圖，已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與過(guò)的直線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線與的交點(diǎn)（第一象限）在橢圓上，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
3．【四川省瀘縣第四中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知，，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作與垂直的直線交直線于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
4．（多選）【湖北省十一?？荚嚶?lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考】已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)，，，，…組成公差為的等差數(shù)列，則（）
A．的面積最大時(shí)，
B．的最大值為8
C．的值可以為
D．橢圓上存在點(diǎn)，使
5．（2021·四川省資陽(yáng)中學(xué)高三月考）已知，是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是上在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則的最大值為（）
A．B．5C．D．4
6．（2021·長(zhǎng)沙市湖南師大第二附屬中學(xué)有限公司高三開學(xué)考試）為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則
的取值范圍是
A．B．C．D．
7．（2021·江蘇鹽城·高三）設(shè)雙曲線的焦距為2，若以點(diǎn)為圓心的圓過(guò)的右頂點(diǎn)且與的兩條漸近線相切，則長(zhǎng)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
8．（2021·湖北漢陽(yáng)一中高三）設(shè)雙曲線的離心率為，A，B是雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，M是雙曲線C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線斜率分別，若，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
9．（2021·浙江高三）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過(guò)作的垂線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，過(guò)、分別作、的垂線交于點(diǎn).若到直線的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
10．（2021·河南高三開學(xué)考試（文））已知過(guò)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則兩點(diǎn)、縱坐標(biāo)的比值范圍是（）
A．B．
C．D．
11．(多選)（2021·沙坪壩·重慶八中高三月考）已知拋物線與圓的公共點(diǎn)為A，B，點(diǎn)P為圓C的劣弧上不同于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線l交拋物線E于點(diǎn)N，則下列四個(gè)命題中正確的是（）
A．
B．點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍是
C．點(diǎn)N到圓心C距離的最小值為1
D．若l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則周長(zhǎng)的取值范圍是
12．【四川省綿陽(yáng)市綿陽(yáng)南山中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期11月月考】已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，過(guò)與中點(diǎn)的直線與曲線交于點(diǎn)，則的取值范圍是______.
13．（2021·賓縣第一中學(xué)（文））以，為焦點(diǎn)作橢圓，橢圓上一點(diǎn)到，的距離之和為，求的最大值______
14．（2021·河南高三月考（理））在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓，雙曲線，，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為______．
15．（2021·山東德州·高三）已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)作平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是______．
16．【山西省2021屆高三上學(xué)期八校聯(lián)考】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩個(gè)焦點(diǎn)為，．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)圓，若直線l與橢圓C，圓D都相切，切點(diǎn)分別為A和B，求的最大值．
17．【江西省名校2021屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）圓的一條切線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，求：
①的值；
②的取值范圍.
18．【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（三）】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)的直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為8.
（1）求橢圓C的方程；
（2）動(dòng)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．點(diǎn)是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的半徑為．設(shè)為的中點(diǎn)，，與分別相切于點(diǎn)，，求的最小值.
19．【貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué)2021屆高考適應(yīng)性月考卷（三）】已知橢圓橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且△MNF2的周長(zhǎng)為8，橢圓的離心率為
（1）求橢圓的方程
（2）設(shè)點(diǎn)A為橢圓上任意一點(diǎn)，直線AF2(斜率存在)與橢圓C交于另一點(diǎn)B.是否存在點(diǎn)P(0，m)，使?若存在，求出m的取值范圍：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
20．【2020屆山西省太原市高三下學(xué)期模擬測(cè)試（三）】已知橢圓的焦距為2，且過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）已知是橢圓的內(nèi)接三角形，若坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心，求點(diǎn)到直線距離的最小值.
21．（2021·河西·天津市新華中學(xué)高三月考）已知、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，且，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且線段的長(zhǎng)度最大為2，直線，與軸分別交于，兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求線段的長(zhǎng)度的最小值．
22．（2021·武岡市第二中學(xué)高三）已知橢圓，A是橢圓的右頂點(diǎn)，B是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且M點(diǎn)位于第一象限．
（1）若，證明：直線和的斜率之積為定值；
（2）若，求四邊形的面積的最大值．
23．（2021·陜西西安中學(xué)高三月考（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，滿足.
（1）求拋物線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線被拋物線截得的弦為，若點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，求的取值范圍.
24．（2021·廣東深圳·高三月考）已知拋物線，點(diǎn)是的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn).
（1）求向量與的數(shù)量積；
（2）設(shè)，若，求在軸上截距的取值范圍.
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圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題
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第一步根據(jù)圓錐曲線的定義，把所求的最值轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)線之間
的距離等；
第二步利用兩點(diǎn)間線段最短，或垂線段最短，或三角形的三邊性質(zhì)等找到取得最值的
臨界條件，進(jìn)而求出最值.
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當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上點(diǎn)到某條直線的距離的最值時(shí)
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第一步設(shè)出與這條直線平行的圓錐曲線的切線，
第二步切線方程與曲線方程聯(lián)立，消元得到一個(gè)一元二次方程，且，
求出的值，即可求出切線方程；
第三步兩平行線間的距離就是所求的最值，切點(diǎn)就是曲線上去的最值時(shí)的點(diǎn).
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圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題
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第一步根據(jù)曲線方程的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)膮?shù)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；
第二步將目標(biāo)函數(shù)表示成關(guān)于參數(shù)的函數(shù)；
第三步把所求的最值歸結(jié)為求解關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù)的最值的方法.
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第一步將所求最值的量用變量表示出來(lái)，
第二步用基本不等式求這個(gè)表達(dá)式的最值，并且使用基本不等式求出最值.
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圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題
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第一步把所求最值的目標(biāo)表示為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)；
第二步通過(guò)研究這個(gè)函數(shù)求最值，是求各類最值最為普遍的方法.

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