一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識之間的橫向聯(lián)系，針對“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識體系。同學(xué)們在聽課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過
高考數(shù)學(xué)
解題方法
模
板
50
講
專題20 平面向量共線定理
【高考地位】
隨著向量在科學(xué)研究中的工具性應(yīng)用，與它在社會生產(chǎn)生活中所起的巨大作用，所以近年來數(shù)學(xué)高考題中，命入了共線向量內(nèi)容考題.在今后的高考試題中，共線向量必將增長態(tài)勢.其在高考題型多以選擇題、填空題出現(xiàn)，其試題難度屬低中檔題.
方法一 共線定理的代數(shù)運(yùn)算
例1、（1）2．已知向量，滿足，，若與共線，則（ ）
A．2B．4C．D．22
【來源】湖南省2021屆高三數(shù)學(xué)模擬試題（黑卷）
【答案】A
【分析】
先根據(jù)向量共線求解出的值，然后根據(jù)向量的模長以及數(shù)量積采用先平方再開根號的方法求解出的大小.
【詳解】
因?yàn)榕c共線，所以，.
又，，所以
.
故選：A.
（2）在中，，D是上的點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)x的值為（ ）
A．B．C．D．
【來源】全國卷地區(qū)“超級全能生”（丙卷）2021屆高三5月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題
【答案】D
【分析】
由得到，然后帶入，進(jìn)而得到，然后根據(jù)B，D，E三點(diǎn)共線，即可求出結(jié)果.
【詳解】
解：∵，∴，
∵，
∴，
∵B，D，E三點(diǎn)共線，∴，∴．
故選：D．
【變式演練1】已知向量滿足，，，則（ ）
A．或B．C．D．或
【來源】安徽省合肥市第六中學(xué)2021屆高三下學(xué)期高考考前診斷暨預(yù)測卷理科數(shù)學(xué)試題
【答案】D
【分析】
由共線向量定義可知，分別在和時(shí)求得結(jié)果即可.
【詳解】
，又，，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
或.
故選：D.
【變式演練2】【湖北省武漢市武昌區(qū)2020屆高三下學(xué)期六月適應(yīng)性考試】如圖在中，，P為CD上一點(diǎn)，且滿足，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量共線基本定理,可設(shè),結(jié)合向量的加法與減法運(yùn)算,化簡后由,即可求得參數(shù)的值.
【詳解】
因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn),設(shè)
因?yàn)?br>所以
則由向量的加法與減法運(yùn)算可得
因?yàn)?br>所以,解得
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題考查了平面向量共線定理的應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,向量的加法與減法的線性運(yùn)算,屬于中檔題.
方法二 建系設(shè)坐標(biāo)處理共線問題
例2 【黑龍江省大慶一中2020屆高三高考數(shù)學(xué)（文科）三?！俊肮?股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形中，滿足“勾3股4弦5”，且，為上一點(diǎn)，.若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
第一步：由題意建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，，則，，.
第二步：設(shè)，則，，
因?yàn)?，所以，解得?br>第三步：由，得，
所以
解得，
所以.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查向量的坐標(biāo)表示，考查向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
【變式演練3】如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_________，若是線段上的動點(diǎn)，且，則的最小值為_________．
【來源】文科數(shù)學(xué)-2021年高考考前20天終極沖刺攻略（一）（課標(biāo)全國卷）
【答案】
【分析】
可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.
【詳解】
，，，
，
解得，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
,
∵，∴的坐標(biāo)為,
∵又∵,則，設(shè)，則（其中），
，，
，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】
本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
方法三 幾何法
例3 平面內(nèi)有一個(gè)和一點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為的中點(diǎn)分別為，設(shè).
（1）試用表示向量；
（2）證明線段交于一點(diǎn)且互相平分.
【答案】（1），，；（2）證明見解析.
第一步，將已知條件進(jìn)行向量處理；
第二步，利用平面向量的運(yùn)算法則和線性運(yùn)算等性質(zhì)進(jìn)行求解；
第三步，得出結(jié)論.

【變式演練4】已知正六邊形，?分別是對角線?上的點(diǎn)，使得，當(dāng)___________時(shí)，??三點(diǎn)共線.
【來源】上海市南模中學(xué)2021屆高三三模數(shù)學(xué)試題
【答案】
【分析】
連結(jié)AD，交EC于G點(diǎn)，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，表示出，然后根據(jù)，表示成，由共線定理求得參數(shù)r的值.
【詳解】
連結(jié)AD，交EC于G點(diǎn)，設(shè)正六邊形邊長為a，由正六邊形的性質(zhì)知，，，G點(diǎn)為EC的中點(diǎn)，且，
則，
又，（），則，，
故，即
若B、M、N三點(diǎn)共線，由共線定理知，
，解得或（舍）
故答案為：
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于用向量表示，從而根據(jù)，把向量表示成，若B、M、N三點(diǎn)共線，由共線定理可以求得參數(shù).
【變式演練5】【2020屆甘肅省高三第二次高考診斷考試】如圖，在中，是的中點(diǎn)，在邊上，且，與交于點(diǎn)，若，則的值是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
先根據(jù)平面幾何的關(guān)系求解與的等量關(guān)系，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可將用以為基底向量的向量表達(dá)，再化簡即可.
【詳解】
過作交于.
因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，故是的中點(diǎn)，
故是的中位線，故且.
又，故，故且.
故，故，，故.
又，故，
即.
化簡得，所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算以及基底向量的用法，需要根據(jù)題意確定基底向量，再根據(jù)線性運(yùn)算將已知向量轉(zhuǎn)化為已知的基底向量表達(dá)，屬于中檔題.
【高考再現(xiàn)】
1.【2017北京理，6】設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
【答案】A
【2017全國Ⅲ卷理，12】在矩形中，，，動點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓
上．若，則的最大值為（）
A．3B．C．D．2
【答案】A
【解析】由題意，畫出右圖．
設(shè)與切于點(diǎn)，連接．
以為原點(diǎn)，為軸正半軸，
為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)坐標(biāo)為．
∵，．
∴．
∵切于點(diǎn)．
∴⊥．
∴是中斜邊上的高．
即的半徑為．
∵在上．
∴點(diǎn)的軌跡方程為．
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，可以設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)滿足的參數(shù)方程如下：
而，，．
∵
∴，．
兩式相加得：
(其中，)
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最大值3．
3.【2015高考新課標(biāo)1，理7】設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（ ）
（A） (B)
（C） (D)
【答案】A
基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形會利用向量加法將向量表示為，再用已知條件和向量減法將用表示出來.
4.【2017山東文，11】已知向量a=（2,6）,b= ,若a||b,則 .
【答案】
【2017江蘇，12】如圖,在同一個(gè)平面內(nèi)，向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為,
且tan=7,與的夾角為45°.若, 則 ▲ .

A
C
B
O
(第12題)
【答案】3
【解析】由可得，，根據(jù)向量的分解，
易得，即，即，即得，
所以.
6.【2015高考北京，理13】在中，點(diǎn)，滿足，．若，
則；．
【答案】
【考點(diǎn)定位】本題考點(diǎn)為平面向量有關(guān)知識與計(jì)算，利用向量相等解題.
【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量的有關(guān)知識及及向量運(yùn)算，利用向量相等條件求值，本題屬于基礎(chǔ)題.利用坐標(biāo)運(yùn)算要建立適當(dāng)?shù)闹g坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，利用向量相等，列方程組，解出未知數(shù)的值.
7.【2015高考新課標(biāo)2，理13】設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_________．
【答案】
【解析】因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，則所以．
【考點(diǎn)定位】向量共線．
【名師點(diǎn)睛】本題考查向量共線，明確平面向量共線定理，利用待定系數(shù)法得參數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
8．【2020年高考江蘇卷13】在中，，，，在邊上，延長到，使得，若（為常數(shù)），則的長度是 ．
【答案】
【解析】由向量系數(shù)為常數(shù)，結(jié)合等和線性質(zhì)可知，
故，，故，故．
在中，；在中，由正弦定理得，
即．
【專家解讀】本題的特點(diǎn)是注重向量的應(yīng)用，本題考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是理解平面向量數(shù)量積的定義．
9.【2017江蘇，16】 已知向量
（1）若a∥b,求x的值；
（2）記,求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值.
【答案】（1）（2）時(shí)， QUOTE 取得最大值，為3； 時(shí)， QUOTE 取得最小值，為.
【解析】解：（1）因?yàn)?，，a∥b，
（2）.
因?yàn)?QUOTE ，所以，
從而.
于是，當(dāng)，即時(shí)， QUOTE 取到最大值3；
當(dāng)，即時(shí)， QUOTE 取到最小值.
【考點(diǎn)】向量共線，數(shù)量積
【反饋練習(xí)】
1.【湖南省益陽市2020屆高三下學(xué)期5月高考模擬理科】已知向量與向量共線，則實(shí)數(shù)x的值為（ ）
A．﹣B．或﹣C．D．或0
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可得，然后簡單計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】
由題可知：向量與向量共線
所以
則，所以或
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題考查根據(jù)向量共線求參數(shù)，重在考查計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.
2．【湖南省衡陽市第八中學(xué)2020屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試】在中，D，E分別為，上的點(diǎn)，且，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由平面向量的三角形法則和共線定理，可得，即可求出值，進(jìn)而求出結(jié)果.
【詳解】
由題意，作出草圖，如下圖所示：
由平面向量的三角形法則和共線定理，可知
，
所以，，故.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平面向量的加法運(yùn)算、共線定理和平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
3．【陜西省西安市八校2020屆高三（6月份)高考數(shù)學(xué)（理科)聯(lián)考】設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，（a＞0，b＞0），若A，B，C三點(diǎn)共線，則的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)三點(diǎn)共線，設(shè)，得，根據(jù)平面向量基本定理可知，得到，之后根據(jù)已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值，求其分式形式和的最值的求解方法，利用基本不等式求得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，若三點(diǎn)共線，設(shè)，
即,
因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線向量，
所以，解得，
即，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號，
故最小值為4，
故選：B.
【點(diǎn)睛】
該題考查的是有關(guān)向量與不等式的綜合題，涉及到的知識點(diǎn)有平面向量共線的條件，利用基本不等式求最值，屬于簡單題目.
4．【遼寧省盤錦市遼河油田第三高級中學(xué)2020屆高三下學(xué)期三?！吭谥?，點(diǎn)在線段上，且，為的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的線性運(yùn)算、加法、減法即可求解.
【詳解】
由題意可得，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
故.
故選：A
【點(diǎn)睛】
本題考查平面向量的加法、減法以及線性運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
5．【2020屆百校聯(lián)盟TOP300八月尖子生聯(lián)考（全國II卷)】在等腰梯形中，，，，為的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由平面向量的線性運(yùn)算可表示為，，兩式相加后化簡，即可由表示.
【詳解】
依題意得，，
所以，
，
所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平面向量在幾何中的簡單應(yīng)用，平面向量加法的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6．【河南省鄭州市第一中學(xué)2020屆高三名校聯(lián)考】設(shè)，分別為等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且.設(shè)點(diǎn)A是直線外一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，結(jié)合數(shù)列的與的關(guān)系，分別求得，的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到的值，再結(jié)合向量的共線定理，即可求解.
【詳解】
由題意，，分別為等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且，
不妨取，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
驗(yàn)證得當(dāng)時(shí)上式成立，綜上數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
同理可得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
則，
又由點(diǎn)P在直線上，設(shè)，，即，.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等差數(shù)的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及向量共線定理的應(yīng)用，其中解答中熟記數(shù)列中與的關(guān)系，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及共線向量的定理是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.
7．【湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的線性運(yùn)算可得，即點(diǎn)在線段上，且,由三角形面積公式可得，得解.
【詳解】
解：因?yàn)辄c(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，又，
所以,即,即，
則點(diǎn)在線段上，且,
又，,
又，即，
所以點(diǎn)在線段上，且,
，
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了向量的線性運(yùn)算及三角形的面積公式，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題.
8．【山東省煙臺市2020屆高三適應(yīng)性練習(xí)】窗的運(yùn)用是中式園林設(shè)計(jì)的重要組成部分，常常運(yùn)用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境.從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為正八邊形的中心，軸，現(xiàn)用如下方法等可能地確定點(diǎn)：點(diǎn)滿足（其中且，），則點(diǎn)（異于點(diǎn)）落在坐標(biāo)軸上的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
寫出所有可能結(jié)果，結(jié)合條件找到滿足點(diǎn)（異于點(diǎn)）落在坐標(biāo)軸上的結(jié)果，根據(jù)古典概率進(jìn)行求解.
【詳解】
由題意可知所有可能結(jié)果有：
，共有28種；
點(diǎn)（異于點(diǎn)）落在坐標(biāo)軸上的結(jié)果有：，
，共有8種；
所以點(diǎn)（異于點(diǎn)）落在坐標(biāo)軸上的概率為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查古典概率的求解，求出所有基本事件及符合題意的基本事件是解題關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
9．【黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2020屆高三第三次模擬】已知中，長為2的線段為邊上的高，滿足：，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分別在、上取點(diǎn)、，使得，連接、、，轉(zhuǎn)化條件得，由平面向量加法的平行四邊形法則可得，，結(jié)合平面幾何的知識可得、分別為、的中點(diǎn)，，再由余弦定理即可得解.
【詳解】分別在、上取點(diǎn)、，使得，連接、、，如圖所示：
線段為邊上的高，，，
，，，
由平面向量加法的平行四邊形法則可得，，
四邊形為菱形，平分角，，
，為的中點(diǎn)，、分別為、的中點(diǎn)，
，
又，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即與點(diǎn)重合，
在中，,
.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)乘及加法的平行四邊形法則的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
10．【黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第三次模擬】已知M為的邊的中點(diǎn)，N為內(nèi)一點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br>所以∥，又因?yàn)?M為邊的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，
所以,
故選：B

【點(diǎn)睛】
本題考查向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題.
11．【福建省三明市2020屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測試】早在公元前十一世紀(jì)，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算經(jīng)》中曾有記載，大意為：“當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為（勾）和（股）時(shí)，徑隅（弦）則為”，故勾股定理也稱為商高定理.現(xiàn)有的三邊滿足“勾三股四弦五”，其中勾的長為，點(diǎn)在弦上的射影為點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作出圖形，計(jì)算出的值，然后利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值.
【詳解】
如下圖所示：
由題意可知，，，則，
，，所以，.
.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面數(shù)量積定義的的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
12．【2020屆廣東省廣州市高三二模】如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE上一點(diǎn)，2，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用向量的三角形法則以及基本定理即可求得結(jié)論．
【詳解】
由梯形ABCD中，ABCD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE上一點(diǎn)，2，
則
；
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題考查向量的三角法則、平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.
13．【新疆2020屆普通高考高三第二次適應(yīng)性檢測】設(shè)M是所在平面上的一點(diǎn)，，D是的中點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)t的值為（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
由D是的中點(diǎn)，可得，由于，從而得，所以，可求得t的值.
【詳解】
解：因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>故選：B
【點(diǎn)睛】
此題考查了向量的平行四邊形法則、向量形式的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.
14．【河南省濮陽市2020屆高三第二次模擬考試】已知中，點(diǎn)M在線段上，，且.若，則（ ）
A．B．C．27D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
依題意，得，而A，B，M三點(diǎn)共線，所以.以C為原點(diǎn)，為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)條件可得，，再由，可建立關(guān)于的方程，可求出，從而得出答案.
【詳解】
依題意，得，而A，B，M三點(diǎn)共線，所以.
以C為原點(diǎn)，為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，則，
由，則，
又，則.
由于，即，
所以解得所以，
所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題考查三點(diǎn)共線的充要條件、平面向量的基本定理、向量的坐標(biāo)表示，考查直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，屬于中檔題.
15．已知向量和不共線，向量，，，若??三點(diǎn)共線，則（ ）
A．3B．2C．1D．
【來源】百師聯(lián)盟2021屆高三沖刺卷（二）新高考卷數(shù)學(xué)試題
【答案】A
【分析】
根據(jù)A、B、D共線的條件得到，進(jìn)而得到，根據(jù)平面向量基本定理中的分解唯一性，得到關(guān)于的方程組，求解即得.
【詳解】
因?yàn)??三點(diǎn)共線，
所以存在實(shí)數(shù)λ，使得，
，
所以，
∴，解得.
故選：A.
16．設(shè)，是兩個(gè)不共線的平面向量，若，，且與共線，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【來源】江蘇省鹽城中學(xué)2021屆高三下學(xué)期仿真模擬數(shù)學(xué)試題
【答案】C
【分析】
由向量共線列方程，求出k.
【詳解】
由與共線，即，
所以有=，
所以，消去
可得，則．
故選：C．
17．已知，是兩個(gè)不共線的非零向量，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【來源】四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2021屆高三第三次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題
【答案】A
【分析】
根據(jù)向量共線定理可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，所以存在，使得?br>所以，
又因?yàn)槭莾蓚€(gè)不共線的非零向量，
所以，解得
故選：A
18．在四邊形中，，設(shè)(，).若，則（ ）
A．B．C．D．
【來源】陜西省西安中學(xué)2021屆高三高考模擬數(shù)學(xué)（文）試題（三）
【答案】C
【分析】
根據(jù)共線向量的性質(zhì)，結(jié)合平面向量加法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.
【詳解】
解：∵，
∴設(shè)，則，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
即，
故選：C.
19．在中，，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【來源】天一大聯(lián)考2020-2021學(xué)年高中畢業(yè)班階段性測試（五）數(shù)學(xué)試卷（新高考版A卷）試題
【答案】C
【分析】
由平面向量的線性運(yùn)算法則和向量的基本定理，化簡得，根據(jù)，，三點(diǎn)共線，列出方程，即可求解．
【詳解】
由平面向量的線性運(yùn)算法則和向量的基本定理，
可得：，
因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，解得．
故選：C.
20.在三角形ABC中，E?F分別為AC?AB上的點(diǎn)，BE與CF交于點(diǎn)Q且，，AQ交BC于點(diǎn)D，，則的值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【來源】陜西省寶雞市千陽中學(xué)2021屆高三下學(xué)期5月預(yù)測題數(shù)學(xué)（理）試題
【答案】C
【分析】
由題得，，求出的值，再根據(jù)，共線，得解.
【詳解】
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以,
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以,
所以
所以
所以，
因?yàn)楣簿€，
所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛：如果三點(diǎn)共線，則，要根據(jù)已知條件靈活運(yùn)用這個(gè)結(jié)論解題.
21.（多選）如圖，已知點(diǎn)是上三個(gè)不同定點(diǎn)，Q為弦的中點(diǎn)，是劣弧上異于的一系列動點(diǎn)，連接交于，點(diǎn)滿足，其中數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．
C．D．
【來源】山東省濟(jì)寧市任城區(qū)任興高中聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題
【答案】AB
【分析】
由平面向量線性運(yùn)算和向量共線可得到，由此可確定遞推關(guān)系式，得到，進(jìn)而得數(shù)列是等比數(shù)列可判斷A選項(xiàng)；利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得，可確定BC正誤；利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得，知D錯(cuò)誤.
【詳解】
解：因?yàn)镼為弦的中點(diǎn)，
所以，所以，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，消去得，
所以，即，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，故A選項(xiàng)正確；
所以，故，所以，故B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
此時(shí)數(shù)列的前n項(xiàng)和，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AB
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列與向量的綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算和向量共線的性質(zhì)推導(dǎo)得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，由此構(gòu)造出所需的等比數(shù)列進(jìn)行求解.
22．【江蘇省2020屆高三下學(xué)期6月高考押題】如圖，在平行四邊形中， 分別為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).若，則的余弦值為____________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)，，確定點(diǎn)位置，又，將其它向量全部用基底表示出來，再化簡可得答案.
【詳解】設(shè)，，
則，，得，，
又，得，則，
得，得，，
設(shè)則，由，
有
得，得.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理，向量共線的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了學(xué)生分析能力，運(yùn)算能力，難度較大.
23.【山東省2020屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題模擬卷】在中，，，，為邊上的高．若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意畫出圖象，根據(jù)條件求出，從而可得出，根據(jù)向量加法的幾何意義并進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算得出，從而根據(jù)平面向量基本定理求出，的值，即可求得答案．
【詳解】
根據(jù)題意畫出圖象，如圖
為邊上的高
，
，，
則，
，
．
又，
，，
故．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題解題關(guān)鍵是掌握向量的線性表示，根據(jù)系數(shù)相等求參數(shù)的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
24．設(shè)向量不共線，向量與平行，則實(shí)數(shù)__________．
【來源】解密09 平面向量（講義）-【高頻考點(diǎn)解密】2021年高考數(shù)學(xué)（理）二輪復(fù)習(xí)講義 分層訓(xùn)練
【答案】
【分析】
直接利用向量共線的條件列方程求值即可.
【詳解】
∵與平行向量不共線，
∴存在實(shí)數(shù)k使得=k（）=k+4k，
∴
故答案為：．
25．設(shè)是不共線的向量，若三點(diǎn)共線，則的值為__________．
【來源】【新東方】【】【SX】【高三下】【高中數(shù)學(xué)】【SX00159】
【答案】
【分析】
依題意可得可以作為平面內(nèi)一組基底，根據(jù)三點(diǎn)共線，所以，即可求出參數(shù)的值；
【詳解】
解：因?yàn)槭遣还簿€的向量，所以可以作為平面內(nèi)一組基底，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，解得
故答案為：
26．如圖所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M為BD的中點(diǎn)，設(shè)P、Q分別為線段AB、CD上的動點(diǎn)，若P、M、Q三點(diǎn)共線，則的最大值為__.
【來源】考點(diǎn)33 平面向量的數(shù)量積-備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)經(jīng)典小題考前必刷（新高考地區(qū)專用）
【答案】
【分析】
建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由P、M、Q三點(diǎn)共線，設(shè)，求得，代入計(jì)算知，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得最值.
【詳解】
如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，
又Q是線段CD上的動點(diǎn)，設(shè)，
則，可得
設(shè)，，
由P、M、Q三點(diǎn)共線，設(shè)
利用向量相等消去可得：，
令，，則在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值
故答案為：
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路：
向量的坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算可用坐標(biāo)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量坐標(biāo)運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密的結(jié)合起來，建立直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)數(shù)量運(yùn)算，考查學(xué)生的邏輯思維與運(yùn)算能力，屬于較難題.
27．已知向量，滿足，．若，且，則的最大值為______．
【來源】浙江省2021屆高三高考數(shù)學(xué)壓軸卷試題
【答案】
【分析】
令，，利用已知作出以為直徑作直角三角形的外接圓，令，連接．設(shè)，由已知點(diǎn)在直線上，
【詳解】
令，，則，故，又，所以．以為直徑作直角三角形的外接圓，進(jìn)而得出當(dāng)時(shí)，即取得最大值．
令，連接．設(shè)，因?yàn)椋渣c(diǎn)在直線上，又，所以，即，所以．結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，即取得最大值，且．
故答案為：
28．已知的重心為G，過G點(diǎn)的直線與邊AB和AC的交點(diǎn)分別為M和N，若，則與的面積之比為________.
【來源】山西省太原市2021屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題
【答案】
【分析】
利用重心的性質(zhì)，把AG用AM、AN表示，再由M，G，N三點(diǎn)共線求出與的關(guān)系，再由三角形面積公式即可求解.
【詳解】
解：如圖所示：
設(shè)，
G為的重心，
，
又三點(diǎn)共線，
，
解得：，
故，
.
故答案為：.
29．如圖，在平行四邊形中， 分別為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).若，則的余弦值為____________.
【來源】第18練 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示-2021年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)小題必刷
【答案】
【分析】
設(shè)，，確定點(diǎn)位置，又，將其它向量全部用基底表示出來，再化簡可得答案.
【詳解】
設(shè)，，
則，，得，，
又，得，則，
得，得，，
設(shè)則，由，
有
得，得.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了平面向量的基本定理，向量共線的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了學(xué)生分析能力，運(yùn)算能力，難度較大.


萬能模板
內(nèi) 容
使用場景
共線條件求向量或條件
解題模板
第一步 表示共線；
第二步 列出等式；
第三步 得出結(jié)論.
萬能模板
內(nèi) 容
使用場景
共線，用已知向量表示未知向量
解題模板
第一步 根據(jù)條件建立合適的坐標(biāo)系；
第二步 用坐標(biāo)合理的表示各個(gè)向量以及關(guān)系；
第三步 得出結(jié)論.
萬能模板
內(nèi) 容
使用場景
平面幾何證明、求值等問題中的應(yīng)用
解題模板
第一步 將已知條件進(jìn)行向量處理；
第二步 利用平面向量的運(yùn)算法則和線性運(yùn)算等性質(zhì)進(jìn)行求解；
第三步 得出結(jié)論.

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