授課題目6.5 直線與圓的位置關系選用教材高等教育出版社《數學》（基礎模塊下冊）授課時長2 課時授課類型新授課教學提示本課通過實例介紹直線與圓的位置關系，采用數形結合的方式，利用比較半徑與圓心到直線的距離大小來判定直線與圓的位置關系，通過例題學習求圓的切線方程以及直線與圓相交所得的弦長.  教學目標能識別直線與圓的位置關系，會通過比較半徑與圓心到直線的距離大小的方式來判定直線與圓的位置關系，會求直線與圓相交時的弦長，會求圓的切線方程，逐步提升直觀想象、數學抽象等核心素養(yǎng).教學重點根據給定直線和圓的方程，判別直線與圓的位置關系.教學難點直線與圓位置關系的判定.教學環(huán)節(jié)教學內容教師活動學生活動設計意圖      情境導入在日落過程中,太陽和海平面有三種位置關系.如果把太陽看作一個圓,海平面看做一條直線,這三種位置關系是否可以通過直線和圓的方程表示？ 提出問題 引發(fā)思考思考 分析回答結合生活常識思 考， 增加問題的直觀性        探索新知在平面幾何中,我們已經知道直線與圓的三種位置關系,如圖所示.當直線與圓沒有公共點時,直線與圓相離;當直線與圓有唯一公共點時,直線與圓相切； 當直線與圓有兩個公共點時,直線與圓相交.觀察上圖可知,直線與圓的位置關系可以由圓心到直線的距離 d 與半徑 r 的大小關系來判斷.(1)    直線 l 與圓 C 相離? d ? r ；(2)    直線 l 與圓 C 相切? d ? r ；(3)    直線 l 與圓 C 相交? d ? r .講解     說明       展示理解     思考       領會對比一般曲線與方程的關 系， 數形結合方式更加針對性和簡潔
                            例題辨析例 1 判斷直線 l:2x+y+5=0 與圓 C:x2+y2-10x=0 的位置關系.解法一 將圓的方程 x2+y2-10x=0 化為圓的標準方程(x-5)2+y2=25,則圓心坐標為(5,0)，圓的半徑為 r=5.因為圓心 C (5,0)到直線 l:2x+y+5=0 的距離d ?  2 ? 5 ? 1? 0 ? 5 ? 15 ? 3  5 ? 5 ，22 ? 12 5即 d>r,所以直線與圓相離.解法二 將直線 l 與圓 C 的方程聯(lián)立,得方程組? 2x ? y ? 5 ? 0, ①?x2 ? y2 ?10x ? 0. ②?由①得y=-2x-5，代入②有x2+(-2x-5)2-10x=0,化簡得x2+2x+5=0.因為 Δ=22-4×1×5=-16<0,所以方程組沒有實數解,即直線 l 與圓 C 沒有交點,直線與圓相離.直線與圓相切，稱直線為圓的切線. 探究與發(fā)現在平面直角坐標系中,如果過點 P 能作出圓的切線,那么,如何求這條切線的方程呢?可以看出:(1)點 P 在圓 C 上,過點 P 只能作一條直線與圓 C 相切；(2)點 P 在圓 C 外,過點 P 可以作兩條直線與圓 C 相切(3)點 P 在圓 C 內,過點 P 不存在與圓 C 相切的直線. 例 2 經過下列各點與圓 C:(x+1)2+(y-1)2=4 有幾條切線？(1)P(0,-2)；(2)Q(1,1); (3)R(0,2).解 由圓的方程(x+1)2+(y-1)2=4,得圓心坐標為 C(-1,1),圓的半徑 r=2.(1)點 P(0,-2)到圓心 C 的距離為CP ?   [0 ? (?1)]2 ? (?2 ? 1)2  ?   10 ? 2 ,即|CP|>r,所以點 P 在圓外,過點 P 有兩條直線與圓 C 相切.(2)點 Q(1,1)到圓心 C 的距離為CQ ? [1 ? (?1)]2 ? (1 ? 1)2  ? 2 ,即|CQ|=r,所以點 Q 在圓上,過點 Q 有且只有一條直線與圓提問引導 講解強調                    提出問題    提示引領                提問引導 講解思考分析 解決交流                    思考討論    交流結果                思考分析 解決利用兩種方法給出解 答， 復習初中的知識， 也是對新學習知識的鞏固和加深           提升認識引出新知             與練習 2 講練結
 C 相切.(3)點 R(0,2)到圓心 C 的距離為CR ?   [0 ? (?1)]2 ? (2 ? 1)2  ?   2 ? 2 ,即|CR|<r,所以點 R 在圓內,過點 R 不存在與圓 C 相切的直線.例 3 已知圓 O:x2+y2=1,判斷過點Q(0, 2) 與圓 O 有幾條切線,并求切線方程.          分析 求切線方程的關鍵是求出切線的斜率 k,可以利用圓心到切線的距離等于圓的半徑來確定 k.解 由圓 O:x2+y2=1,得圓心坐標為 O(0,0),半徑 r=1.因為CQ ?   (0 ? 0)2 +(  2 ? 0)2 ?   2 ，即|OQ|>r,所以點 Q 在圓外,過點 Q 與圓 O 有兩條切線.設所求切線 l 的斜率為 k,切線過點Q(0,   2) ,則切線 l的方程為y ?   2 ? kx ,即 kx ? y ? 2 ? 0 .圓心 O 到切線 l 的距離為k ? 0 ? 0 ? 2 2d ?       ?     .k 2 ? 12 k 2 ? 1因為圓心到切線的距離等于圓的半徑,所以2 ? 1,k 2 ?1化簡得 k2+1=2,解得 k1=1,k2=-1,所以切線的方程為y ?   2 =x 和 y ? 2= ? x ,即 x ? y ?   2 ? 0 和 x ? y ?   2 ? 0 .探究與發(fā)現在平面直角坐標系中,如果直線 l 與圓 C 相交,那么,如何求兩個交點之間的距離呢？當直線l:Ax+By+C=0 與圓 C:(x-a)2+(y-b)2=r2 相交于 P 和 Q 兩點時,線段 PQ 為圓的一條弦.我們要求的是這條弦的長度.強調交流合，  加深  對問  題的  認識     提問     思考     蘊含  著待  定系  數法引導分析和解  析法  等數  學方講解解決法  強調  交流 
 因為圓心 C 與弦 PQ 的中點 R 的連線垂直且平分弦PQ,故|PQ|=2 PR ? 2  r2 ? d 2 . (1) (2)例 4 已知直線 x+y=2 與圓(x-1)2+(y+2)2=9 相交于 P 和 Q 兩點,求弦 PQ 的長度.解法一 由圓的方程(x-1)2+(y+2)2=9 可知圓心坐標為C(1,-2),圓的半徑為 r=3.因為圓心到直線 x+y-2=0 的距離為d ? 1?1 ? 1? (?2) ? 2  ?   3  ? 3  2 .    12 ? 12 2 2故弦 PQ 的長度為| PQ | =2   r2 ? d 2  ? 2  9 ? 9 ? 3  2 .2?x ? y ? 2,解法二 解方程組?(x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9, 得直線與圓的交?點坐標為 P(4,-2)和 Q(1,1).由兩點間距離公式,得| PQ | = (1 ? 4)2 ? [1 ? (?2)]2 ? 3 2 ， 故弦 PQ 的長度為3   2 . 提出問題         展示圖形  引領     提問引領 講解   強調 思考交流         分析特征  思考     思考分析 解決   交流 用問題引出新知       數形結 合， 提升直觀想象核心素養(yǎng) 是已有知識的應用與延伸， 與練習題的 5 題講練結合       鞏固練習練習 6.51.填空：(1)直線 l 與圓 C 相交,則直線 l 和圓 C 有     個公共點;(2)直線 l 與圓 C 相切,則直線 l 和圓 C 有     個公共點.2. 已知圓 C:x2+y2=1,點 A(1,0)、B(1,1)、C(0,1).(1)過點 A(1,0)且與圓C:x2+y2=1  相切的直線有   條,切線斜率為   ;(2) 過點 B(1,1) 與圓 C:x2+y2=1  相切的直線有   條,切線斜率為    ；(3)過點 C(0,1)與圓 C:x2+y2=1 相切的直線有  條,切提問    巡視     指導思考    動手求解    交流及時掌握學生掌握情況查漏補缺
 線斜率為    .3.判斷下列直線與圓的位置關系：(1)直線 x+y=2，圓 x2+y2=2；(2)直線 y=3，圓(x-2)2+y2=4；(3)直線 2x-y+3=0，圓 x2+y2-2x+6y-3=0.4.求過點 P(3,2),且與圓(x-2)2+(y-1)2=1 相切的方程.5.  已知直線 x+y+1=0 與圓(x-1)2+(y+2)2=16 相交 P 和Q 兩點,求弦 PQ 的長度.     歸納總結 引導 提問回憶 反思培養(yǎng)學生總結學習過程能力 布置作業(yè)1.書面作業(yè)：完成課后習題和學習與訓練；2.查漏補缺：根據個人情況對課題學習復習與回顧;3.拓展作業(yè)：閱讀教材擴展延伸內容.說明記錄繼續(xù)探究延伸學習 

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6.5 直線與圓的位置關系

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 基礎模塊 下冊

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