2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試
（第二次模擬考試）
文科數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)：
1.考生答卷前，務(wù)必將自己的姓名?座位號(hào)寫在答題卡上.將條形碼粘貼在規(guī)定區(qū)域.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.做選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.
3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡的規(guī)定區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知全集，集合滿足，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）
A. B. C.-1 D.
3.設(shè)，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.若非零向量滿足，則向量與向量的夾角為（ ）
A. B. C. D.
5.從分別寫有的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到兩張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為（ ）
A. B. C. D.
6.已知函數(shù)的值域?yàn)?若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
7.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A.-36或36 B.-36 C.36 D.18
8.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時(shí)聽到的樂音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A.的一個(gè)周期為
B.的最大值為
C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D.在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)
9.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
10.在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A.0 B. C. D.
11.設(shè)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.若，則（ ）
A. B. C. D.
12.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的離心率為，在第一象限存在點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)的值為__________.
14.在中，的對(duì)邊分別為，已知，則邊__________.
15.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值為__________.
16.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為__________.
三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17.（12分）
某企業(yè)擬對(duì)某產(chǎn)品進(jìn)行科技升級(jí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技升級(jí)投入（萬元）與科技升級(jí)直接收益（萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立了與的兩個(gè)回歸模型：
模型①：模型②：.
（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①?②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高?更可靠的模型；
（2）根據(jù)（1）選擇的模型，預(yù)測(cè)對(duì)該產(chǎn)品科技升級(jí)的投入為100萬元時(shí)的直接收益.
（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)越大，模型的擬合效果越好）
18.（12分）
如圖，在多面體中，是等邊三角形，.
（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積.
19.（12分）
已知函數(shù).
（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
20.（12分）
己知橢圓過點(diǎn)，且焦距為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，設(shè)弦的中點(diǎn)分別為.證明：直線必過定點(diǎn).
21.（12分）
已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為的增數(shù)列：
①；
②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有個(gè).
（1）寫出所有4的1增數(shù)列；
（2）當(dāng)時(shí)，若存在的6增數(shù)列，求的最小值.
（二）選考題：共10分.請(qǐng)者生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所寫的第一題計(jì)分.
22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），
以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為
.
（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)，若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.
23.[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知.
（1）求不等式的解集：
（2）若的最小值為，正實(shí)數(shù)滿足，求證.
2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試
（第二次模擬考試）
文科數(shù)學(xué)參考答案
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 14. 15. 16.
三?解答題：共70分.
17.（12分）
解：
（1）由表格中的數(shù)據(jù)，，
所以，模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，
即模型②的擬合效果精度更高?更可靠.
（2）當(dāng)萬元時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為：
（萬元）
18.（12分）
解：（1）證明：取中點(diǎn)，連接.
是等邊三角形，為中點(diǎn)，
，
又，
平面，
又平面，
.
（2）連接，則，
由得，
又，
，
又平面
所以
19.（12分）
解：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?br>因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以，解得或，
因?yàn)?，所?
此時(shí)，
令得，令得，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).
所以.
（2）
因?yàn)?，所以?br>令得；令得；
函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
20.（12分）
解：（1）依題意有，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)，則，
聯(lián)立，故
，
故，
由代替，得，
當(dāng)，即時(shí)，，過點(diǎn).
當(dāng)，即時(shí)，
，
令，
直線恒過點(diǎn).
當(dāng)，經(jīng)驗(yàn)證直線過點(diǎn).
綜上，直線恒過點(diǎn).
21.（12分）
解：（1）由題意得，則或，
故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列1，3.
（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?增數(shù)列，
所以數(shù)列的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以且
若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，
所以，不符合題意，所以
若，滿足要求的數(shù)列中有三項(xiàng)為1，兩項(xiàng)為2，符合的6增數(shù)列.
所以，當(dāng)時(shí)，若存在的6增數(shù)列，的最小值為7
22.（10分）
解：（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），
所以，所以，.
即曲線的普通方程為
直線的極坐標(biāo)方程為，則，
轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為
（2）直線過點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
令點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，
將代入，得，
則，故
23.（10分）
解：（1）①當(dāng)時(shí)，，解得；
②當(dāng)時(shí)，，解得；
③當(dāng)時(shí)，，無解；
綜上，不等式的解集為
（2）因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，即.
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立
序號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
6
8
10
13
13
22
31
42
50
56
58
回歸模型
模型①
模型②
回歸方程
182.4
79.2
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
C
D
A
C
D
C
D
A
A

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