理科數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．考生答卷前，務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)寫(xiě)在答題卡上．將條形碼粘貼在規(guī)定區(qū)域．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．做選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡的規(guī)定區(qū)域內(nèi)，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知全集，集合A滿足，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）
A．B．C．－1D．
3．設(shè)m，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．將2個(gè)a和3個(gè)b隨機(jī)排成一行，則2個(gè)a不相鄰的概率為（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
5．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的（ ）
A．最小值為5B．最大值為5C．最小值為6D．最大值為6
6．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．－36或36B．－36C．36D．18
7．中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，m（）為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱(chēng)a和b對(duì)模m同余，記為．若，，則b的值可以是（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
8．聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)．純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱(chēng)為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的一個(gè)周期為B．的最大值為
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D．在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)
9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
10．在正方體中，E為BD的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A．0B．C．D．
11．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在點(diǎn)P，滿足，且，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
12．已知且，且，且，則（ ）
A．B．C．D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．
14．在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，，則邊______．
15．已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為_(kāi)_____．
16．已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則的最大值為_(kāi)_____．
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．（12分）
滎陽(yáng)境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤(pán)上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽(yáng)因此被授予“中國(guó)象棋文化之鄉(xiāng)”．有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場(chǎng)．第1局由甲，乙對(duì)賽，接下來(lái)丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽，來(lái)替換負(fù)的那個(gè)人，每次比賽負(fù)的人排到等待上場(chǎng)的人之后參加比賽．設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求前3局比賽甲都取勝的概率；
（Ⅱ）用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
18．（12分）
如圖，在多面體DABCE中，是等邊三角形，，．
（Ⅰ）求證：;
（Ⅱ）若二面角為30°，求直線DE與平面ACD所成角的正弦值．
19．（12分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
20．（12分）
已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且焦距為．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N．
①證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)；
②若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值．
21．（12分）
已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)數(shù)列為m的k增數(shù)列：
①；
②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè)．
（Ⅰ）寫(xiě)出所有4的1增數(shù)列：
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；
（Ⅲ）若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值．
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所寫(xiě)的第一題計(jì)分．
22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線W的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．
（Ⅰ）求曲線W的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)，若直線l與曲線W交于M，N兩點(diǎn)，求的值．
23．[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若的最小值為n，正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，求證．
2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試
（第二次模擬考試）
理科數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
三、解答題：共70分．
17．（12分）
解：（Ⅰ）前3局比賽甲都獲勝，故前3局甲都不下場(chǎng)的概率為．
（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，3．
其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙輸，則；
表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，
則；
表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，
則；
表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏，
則；
所以X的分布列為
故X的數(shù)學(xué)期望為．
18．（12分）
解：（Ⅰ）證明：取BC中點(diǎn)O，連接AO，EO．
∵是等邊三角形，O為BC中點(diǎn)，∴，
又，∴，
∵，∴平面AEO，
又平面AEO，∴．
（Ⅱ）連接DO，則，
由，得，，
又，∴，∴，
又，∴平面ABC．
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
∴，，
設(shè)平面ACD的法向量為，則即
取，則．
∵是二面角的平面角，∴，
又，∴，，
則，∴直線DE與平面ACD所成角的正弦值為．
19．（12分）
解：（Ⅰ）函數(shù)定義域?yàn)?，?br>因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以，解得或，
因?yàn)?，所以．此時(shí)，
令得，令得，
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)．所以．
（Ⅱ）．
因?yàn)椋?，令得；令得?br>∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．
20．（12分）
解：（Ⅰ）依題意有，，解得，
所以橢圓的方程為．
（Ⅱ）①設(shè)：，，，則：，
聯(lián)立，故，
，，故，
由代替m，得，
當(dāng)，即時(shí)，：，過(guò)點(diǎn)．
當(dāng)，即時(shí)，，
：，
令，，
∴直線MN恒過(guò)點(diǎn)．當(dāng)，經(jīng)驗(yàn)證直線MN過(guò)點(diǎn)．
綜上，直線MN恒過(guò)點(diǎn)．
②
，
令，，
∵在上單調(diào)遞減，∴,
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)．故面積的最大值為．
21．（12分）
解：（Ⅰ）由題意得，則或，
故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖趍的6增數(shù)列，
所以數(shù)列的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以且．
若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，
所以，不符合題意，所以．
若，滿足要求的數(shù)列中有三項(xiàng)為1，兩項(xiàng)為2，符合m的6增數(shù)列．
所以，當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，m的最小值為7．
（Ⅲ）若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，則，
若，所以數(shù)列中存在大于1的項(xiàng)，
若首項(xiàng)，將拆分成個(gè)1后k變大，
所以此時(shí)k不是最大值，所以．
當(dāng)i＝2，3，…，n時(shí)，若，交換，的順序后k變?yōu)椋?br>所以此時(shí)k不是最大值，所以．
若，所以，
所以將改為，并在數(shù)列首位前添加一項(xiàng)1，所以k的值變大，
所以此時(shí)k不是最大值，所以．
若數(shù)列中存在相鄰的兩項(xiàng)，，設(shè)此時(shí)中有x項(xiàng)為2，
將改為2，并在數(shù)列首位前添加個(gè)1后，k的值至少變?yōu)椋?br>所以此時(shí)k不是最大值，
所以數(shù)列的各項(xiàng)只能為1或2，所以數(shù)列為1，1，…，1，2，2，…，2的形式．
設(shè)其中有x項(xiàng)為1，有y項(xiàng)為2，
因?yàn)榇嬖?00的k增數(shù)列，所以，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，k取最大值為1250．
22．（10分）
解：（Ⅰ）因?yàn)榍€W的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），
所以，，所以，．
即曲線W的普通方程為．
直線l的極坐標(biāo)方程為，則，
轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．
（Ⅱ）直線l過(guò)點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），
令點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，
將代入，得，
則，，故．
23．（10分）
解：（Ⅰ）①當(dāng)時(shí)，，解得；
②當(dāng)時(shí)，，解得；
③當(dāng)時(shí)，，無(wú)解；綜上，不等式的解集為．
（Ⅱ）因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，即．
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
C
A
C
B
D
C
D
A
D
X
0
1
2
3
P

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