一、單選題
1．已知全集，集合A滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)m，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．若非零向量滿足，則向量與向量的夾角為（ ）
A．B．C．D．
5．從分別寫有的六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是的倍數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)的值域?yàn)?若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．－36或36B．－36C．36D．18
8．聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時(shí)聽到的樂音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的一個(gè)周期為B．的最大值為
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)
9．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
10．在正方體中，E為BD的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A．0B．C．D．
11．設(shè)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.若，則（ ）
A．B．C．D．
12．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在點(diǎn)P，滿足，且，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
13．拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為 .
14．在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，，則邊 .
15．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值為 .
16．已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為 .
三、解答題
17．某企業(yè)擬對(duì)某產(chǎn)品進(jìn)行科技升級(jí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技升級(jí)投入（萬(wàn)元）與科技升級(jí)直接收益（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立了與的兩個(gè)回歸模型：模型①：模型②：.
(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①?②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高?更可靠的模型；
(2)根據(jù)（1）選擇的模型，預(yù)測(cè)對(duì)該產(chǎn)品科技升級(jí)的投入為100萬(wàn)元時(shí)的直接收益.
（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)越大，模型的擬合效果越好）
18．如圖，在多面體中，是等邊三角形，.

(1)求證：；
(2)求三棱錐的體積.
19．已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
20．已知橢圓過點(diǎn)，且焦距為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，設(shè)弦的中點(diǎn)分別為.證明：直線必過定點(diǎn).
21．已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為的增數(shù)列：
①；
②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有個(gè).
(1)寫出所有4的1增數(shù)列；
(2)當(dāng)時(shí)，若存在的6增數(shù)列，求的最小值.
22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；
(2)已知點(diǎn)，若直線與曲線交于A，兩點(diǎn)，求的值．
23．已知．
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值為，正實(shí)數(shù)，，滿足，求證： ．
序號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
6
8
10
13
13
22
31
42
50
56
58
回歸模型
模型①
模型②
回歸方程
182.4
79.2
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)全集和集合在全集中的補(bǔ)集易得集合，逐一判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】由，，可得或
則，，，，故B項(xiàng)正確，A,C,D項(xiàng)均是錯(cuò)誤的.
故選：B.
2．A
【分析】由共軛復(fù)數(shù)以及虛部的概念即可得解.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以的虛部為.
故選：A.
3．B
【分析】通過舉反例說明“”不是“”的充分條件，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)由推得，即得結(jié)論.
【詳解】由不能推出，如滿足，
但無(wú)意義，故“”不是“”的充分條件；
再由可得，即得，故“”是“”的必要條件.
即“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
4．C
【分析】利用向量加法的三角形法則作出圖象，根據(jù)圖象得答案.
【詳解】如圖：若，則為等邊三角形
則向量與向量的夾角為.
故選：C.
5．A
【分析】根據(jù)題意，用列舉法分析“從六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張”和“抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)”的情況數(shù)目，由古典概型公式計(jì)算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，從六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種取法，
其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)有，，，，，，，，，共9種情況，
則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率；
故選：．
6．B
【分析】化復(fù)合函數(shù)為，，根據(jù)已知條件，確定的取值范圍，再根據(jù)的取值范圍確定的取值范圍即可.
【詳解】因?yàn)?，令，所以?br>令函數(shù)的值域?yàn)?，因?yàn)椋?br>所以，所以必須能取到上的所有值，
，解得.
故選：B
7．C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，繼而求得的值，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，
則，則，
則，
則，
故選：C.
8．D
【分析】對(duì)于A，考查函數(shù)與的周期即可；對(duì)于B，考查函數(shù)與的最大值，驗(yàn)證同時(shí)取最大值時(shí)的條件即可判斷；對(duì)于C，利用中心對(duì)稱的條件進(jìn)行驗(yàn)證即可；對(duì)于D，令，解方程即可.
【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榈闹芷跒?，的周期為，所以的周期為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1,的最大值為，
故兩個(gè)函數(shù)同時(shí)取最大值時(shí)，的最大值為，
此時(shí)需滿足且，不能同時(shí)成立，
故最大值不能同時(shí)取到，故的最大值不為，則B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，則，
故的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D,因?yàn)闀r(shí)，，又，
所以或者；或者，此時(shí)，又，
所以，綜上可知，在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確，
故選：D.
9．C
【分析】設(shè)出點(diǎn)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到點(diǎn)的軌跡，結(jié)合直線與圓的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)，則，，
則，即，
化為，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，
又，所以三點(diǎn)共線，
顯然當(dāng)直線與此圓相切時(shí)，的值最大.
又,
則,
則.
故選：C.
10．D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角余弦公式求出答案.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
則，
則直線與所成角的余弦值為
，
故選：D
11．A
【分析】結(jié)合抽象函數(shù)的奇偶性，周期性求解即可.
【詳解】若，且是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，故，
則，，變形得，
可得周期為，則，故A正確.
故選：A
12．A
【分析】由題意設(shè)，則，而，，由三角形面積公式可得，從而，在中，運(yùn)用余弦定理可得，由此即可得解.
【詳解】
設(shè)，則，而，所以，
所以點(diǎn)到的距離為，
又，所以，
解得，即，從而，
又因?yàn)椋?br>所以，
在中，由余弦定理有，
所以，即，
解得，雙曲線C的漸近線方程為.
故選：A.
13．/
【分析】根據(jù)拋物線方程及準(zhǔn)線方程列出方程，解出即可.
【詳解】依題可知，
則，
故答案為：.
14．
【分析】由余弦定理化角為邊，化簡(jiǎn)整理后，代值計(jì)算即得.
【詳解】因，由余弦定理，，化簡(jiǎn)得，
因，，故.
故答案為：.
15．
【分析】利用約束條件畫出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合圖形即可得解．
【詳解】畫出約束條件的可行域如下圖所示陰影，
由，得，移動(dòng)直線簇，
當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值；
聯(lián)立，解得，則，
此時(shí)點(diǎn)在直線上，故．
故答案為：.
16．
【分析】由題意，先求出球的半徑，再由球和圓柱的位置關(guān)系得到圓柱的底面半徑、母線和球的半徑的關(guān)系，然后利用基本不等式求出圓柱的側(cè)面積的最大值.
【詳解】設(shè)球的半徑為，圓柱的底面半徑為，母線為，
由題意可知，解得，
又圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上，
所以圓柱的兩個(gè)底面的的圓心關(guān)于球心對(duì)稱，且，
圓柱的側(cè)面積，，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，.
故答案為：.
17．(1)模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，即模型②的擬合效果精度更高?更可靠.
(2)198.6
【分析】（1）利用相關(guān)指數(shù)的定義判斷相關(guān)性即可.
（2）將給定數(shù)值代入擬合模型中求預(yù)測(cè)值即可.
【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，，
所以，模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，
即模型②的擬合效果精度更高?更可靠.
（2）當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為：
（萬(wàn)元）
18．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）首先取中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意易證，，從而得到平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得到.
（2）首先連接，易證，，即可得到平面，再根據(jù)求解即可.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接.

是等邊三角形，為中點(diǎn)，
，
又，
，平面，平面，
又平面，
.
（2）連接，如圖所示：

因?yàn)?，為中點(diǎn)，則，
由得，
又，，
又，平面，平面，
所以.
19．(1)1
(2)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為
【分析】（1）由是函數(shù)的極值點(diǎn)，，求解驗(yàn)證即可；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?br>因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以，解得或，
因?yàn)?，所?此時(shí)，
令得，令得，
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).
所以.
（2）.
因?yàn)?，所以，令得；令得?br>∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
20．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可求出橢圓的方程.
（2）直線不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立求出中點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線即得，再驗(yàn)證之一垂直于軸的情況即可.
【詳解】（1）依題意，橢圓半焦距，而，則，
所以橢圓的方程為.
（2）當(dāng)直線不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，，
由，得直線的方程為，
由消去得：，
則，故，
于是，由代替，得，
當(dāng)，即時(shí)，直線：，過點(diǎn)，
當(dāng)，即時(shí)，直線的斜率為，
直線：，令，
因此直線恒過點(diǎn)，
當(dāng)直線之一垂直于軸，另一條必垂直于軸，直線為軸，過點(diǎn)，
所以直線恒過點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn).
21．(1)所有4的1增數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列1，3
(2)7
【分析】（1）利用給定的新定義，求出所有符合條件的數(shù)列即可.
（2）運(yùn)用給定的新定義，分類討論求出結(jié)果即可.
【詳解】（1）由題意得，則或，
故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列1，3.
（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?增數(shù)列，
所以數(shù)列的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以且，
若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，
所以，不符合題意，所以
若，滿足要求的數(shù)列中有三項(xiàng)為1，兩項(xiàng)為2，符合的6增數(shù)列.
所以，當(dāng)時(shí)，若存在的6增數(shù)列，的最小值為7.
22．(1)C：，直線l：
(2)
【分析】（1）用消參數(shù)法化參數(shù)方程為普通方程，由公式化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；
（2）化直線方程為點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入拋物線方程利用參數(shù)幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理求解．
【詳解】（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），
所以，所以即曲線C的普通方程為．
直線l的極坐標(biāo)方程為，則，
轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．
（2）直線l過點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）令點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，
由代入，得，則，，即t1、t2為負(fù)，
故．
23．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）將的解析式寫出分段函數(shù)的形式，解不等式即可.
（2）先求的最小值，方法1：運(yùn)用多個(gè)絕對(duì)值之和最小值求法，方法2：運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性；再運(yùn)用“1”的代換與基本不等式可證得結(jié)果.
【詳解】（1）
即：
①當(dāng)時(shí)，，解得；
②當(dāng)時(shí)，，解得；
③當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，
綜上：不等式的解集為．
（2）方法1：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，所以，即.
方法2：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以,所以，即.
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．

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