求離心率范圍的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．
2、利用線段長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．
3、利用角度長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．
4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．
5、利用判別式建立不等關(guān)系．
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．
7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．
二、函數(shù)法：
1、根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個變量的函數(shù)關(guān)系式；
2、通過確定函數(shù)的定義域；
3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．
三、坐標(biāo)法：
由條件求出坐標(biāo)代入曲線方程建立等量關(guān)系．
【題型歸納目錄】
題型一：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式
題型二：圓錐曲線第一定義
題型三：圓錐曲線第二定義
題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）
題型五：利用數(shù)形結(jié)合求解
題型六：利用正弦定理
題型七：利用余弦定理
題型八：內(nèi)切圓問題
題型九：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)
題型十：利用最大頂角
題型十一：基本不等式
題型十二：已知范圍
題型十三：
題型十四：中點(diǎn)弦
題型十五：已知焦點(diǎn)三角形兩底角
題型十六：利用漸近線的斜率
題型十七：坐標(biāo)法
題型十八：利用焦半徑的取值范圍
題型十九：四心問題
【典例例題】
題型一：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，滿足，且，則雙曲線的離心率是________．
【答案】
【解析】
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，
由條件可得，
則，，，
所以，
即，
即，
所以雙曲線的離心率為：，
故答案為.
例2．（2022·四川·高三階段練習(xí)（理））已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，，過右焦點(diǎn)且不與x軸垂直的直線交C的右支于A，B兩點(diǎn)，若，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖，設(shè)，則．
又，所以，所以．
又，所以，由，得
，則，而，則，化簡得，所以．
例3．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，且是以為頂角的等腰直角三角形，若的離心率為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，
由雙曲線的定義得，
又，∴.
又,
所以，
所以.
故選：C
例4．（2022·甘肅·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率是（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】A
【解析】是2和8的等比中項(xiàng)，或，
當(dāng)時，方程為，表示橢圓，
，離心率為，
當(dāng)時，方程為，表示雙曲線，
，離心率為，
故選：A
例5．（2022·江西·高三開學(xué)考試（文））設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在C上（M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對稱，若，，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意作下圖，由于，并且線段MN，互相平分，
∴四邊形是矩形，其中，，
設(shè)，則，
根據(jù)勾股定理，，，
整理得，
由于點(diǎn)M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
故選：C．
題型二：圓錐曲線第一定義
例6．（2022·重慶八中高三開學(xué)考試（理））設(shè)橢圓E:1(a>b>0)的一個焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),點(diǎn)A(﹣c,c)為橢圓E內(nèi)一點(diǎn),若橢圓E上存在一點(diǎn)P,使得|PA|+|PF|=9c,則橢圓E的離心率取值范圍為（ ）
A．[,1)B．[,]C．[,]D．[,]
【答案】D
【解析】如圖：
設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為，
因?yàn)椋?br>所以
由，
所以，
所以，即，
所以.
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，所以，
所以，解得，
因?yàn)椋?br>所以.
故選：D
例7．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，若，則的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知，可根據(jù)條件做出下圖：
因?yàn)?，令?br>所以，，由橢圓的定義可知，
所以，所以，，，，
由橢圓的定義可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的離心率是.
故選：D.
例8．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上一點(diǎn)，且，若的面積為4，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】D
【解析】由題意，雙曲線，可知，
設(shè)，可得，
又因?yàn)椋舻拿娣e為，所以，且，
聯(lián)立方程組，可得，所以雙曲線的離心率為.
故選：D.
例9．（2022·貴州貴陽·高三開學(xué)考試（理））已知雙曲線的左焦點(diǎn)為， 點(diǎn)在雙曲線的右支上， ．若 的最小值是 9 ， 則雙曲線的離心率是_____．
【答案】
【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，
雙曲線的，
則，
可得，，
由雙曲線的定義可得，
可得，
則，
當(dāng)，，共線時，取得等號．
，則
整理得：
解得或，由于，則，故不符合
所以，
則雙曲線的離心率為．
故答案為：．
例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線C有一個交點(diǎn)P，設(shè)的面積為S，若，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．2B．C．D．2
【答案】C
【解析】依題意，，令，，則有，
由得：，即有，
而，所以.
故選：C
題型三：圓錐曲線第二定義
例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，他指出，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時，軌跡為橢圓；當(dāng)時，軌跡為拋物線；當(dāng)時，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為，
所以.
故選：B
例12．（2022·北京石景山·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為左支上一點(diǎn)，到左準(zhǔn)線的距離為，若、、成等比數(shù)列，則其離心率的取值范圍是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【解析】，
，即①，
又②．
由①②解得：，，
又在焦點(diǎn)三角形中：，
即：，即，
解得：，
又，
，
故選：D．
例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，
過、分別作于，于，于，
如圖所示：
因?yàn)橹本€的斜率為，
所以直線的傾斜角為，
∴，，
由雙曲線的第二定義得：，
又∵，
∴，
∴
故選：B
例14．（2022·四川遂寧·二模（理））已知雙曲線（ ）的離心率為4，過右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)H，若，則=（ ）
A．14B．16C．18D．20
【答案】D
【解析】由題意雙曲線的離心率，如圖， 設(shè)雙曲線右準(zhǔn)線為 ，分別作 垂直于，垂足為，作 ,垂足為E，
設(shè)，則，
由題意得， ，
則，所以.
又 .則，
故，所以，
，
故選：D.
例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為( )
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，
過A、B作雙曲線右準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D、C，過B作AD的垂線，垂足為E.
根據(jù)雙曲線的第二定義可得，，
，
由直線的斜率為，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴，，
.
故選：A.
題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：（），點(diǎn)A，B為長軸的兩個端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由題可知，，設(shè)，
由點(diǎn)P在橢圓上，得，
所以，
可得，
所以．
故答案為：.
例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A、B為橢圓的長軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由題得：，所以
故選：A．
例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解法1：設(shè)而不求
設(shè)，則
則由得：，
由，得，
所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
解法2：第三定義
設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：
故，
由橢圓第三定義得：，
故
所以橢圓的離心率，故選A.
例19．（2022·湖南郴州·高二期末）雙曲線的左右頂點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若的斜率滿足，則雙曲線的離心率為_________．
【答案】
【解析】由題意知：，，
若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，四邊形為平行四邊形，
，即，；
設(shè)，則，
，
雙曲線的離心率.
故答案為：.
例20．（2022·云南·羅平縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知雙曲線的兩個頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為雙曲線上除，外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】設(shè)，，，，
，
，
，
．
故選：D．
例21．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知A，B，P是雙曲線（，）上不同的三點(diǎn)，且點(diǎn)A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，，根據(jù)對稱性，知，
所以．
因?yàn)辄c(diǎn)A，P在雙曲線上，所以，
兩式相減，得，
所以，所以．
故選：D.
題型五：利用數(shù)形結(jié)合求解
例22．（2022·廣西·模擬預(yù)測（文））如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和，且，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖，由，有，
可得，可得，有.
在Rt中，由，
不妨設(shè)，則，由勾股定理得，
又由雙曲線的定義可得，，
根據(jù)可得，
解得，所以，
在Rt中，，可得，
故雙曲線的離心率為.
故選：B.
例23．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測（理））如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依題意，直線都過點(diǎn)，如圖，有，，
設(shè)，則，顯然有，，
，因此，，在，，
即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，
所以E的離心率為.
故選：B
例24．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測（理））已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以是的角平分線，
又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且在雙曲線中，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，
則的內(nèi)切圓圓心在直線上，即點(diǎn)是的內(nèi)心，
如圖，作出，并分別延長、、至點(diǎn)、、，使得，
，，可知為的重心，
設(shè)，，，由重心性質(zhì)可得，
即，
又為的內(nèi)心，所以，
因?yàn)?，所以，，則，
所以雙曲線的離心率.
故選：C.
例25．（2022·全國·二模（理））已知雙曲線與橢圓．過橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線l，l與x軸交于M點(diǎn)，l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q，且N為MQ的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意得：漸近線方程為，
設(shè)切線方程為，聯(lián)立得：
，
由得：，
解得：，
所以切線方程為，
令得：，所以，
聯(lián)立與，解得：，
聯(lián)立與，解得：，
因?yàn)镹為MQ的中點(diǎn)，
所以，
解得：，
所以離心率為
故選：A
例26．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，過的直線l交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)且使得．A為左支上一點(diǎn)且滿足，，的面積為，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示：
因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形?br>因?yàn)椋?br>，
.
所以
可得．
過點(diǎn)A作x軸的平行線交PQ于點(diǎn)B，可知四邊形是平行四邊形，
因?yàn)?，所以?br>又，所以有．
設(shè)，則，，，
，．
在中，由，解得．
在中，由，得，
所以離心率，
故選：C
例27．（2022·山東濰坊·三模）已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別是，，圓與的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，直線交的右支于點(diǎn)，若△是等腰三角形，且的內(nèi)角平分線與軸平行，則的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】聯(lián)立且在第一象限，可得，而，，
所以，，
由題設(shè)，，故△是等腰直角三角形，
所以，而的內(nèi)角平分線與軸平行，
所以，又，可得，
則，可得，
所以.
故選：B
例28．（2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點(diǎn)，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】D
【解析】如圖，由雙曲線的定義可知：，，
因?yàn)?，所以?br>代入中，可得：，
因?yàn)椋?br>所以在三角形中，由余弦定理得：，
因?yàn)椋?br>所以，
則，
取的中點(diǎn)M，連接BM，
因?yàn)?，所以，?br>所以，
，
又因?yàn)椋?br>所以，
化簡得：，
同除以得：，
解得：或（舍去）
故選：D
題型六：利用正弦定理
例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意及正弦定理得：，
令，則，，可得，
所以橢圓的離心率為：.
故選：B
例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以該橢圓的離心率，
故選：C．
例31．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在點(diǎn)（異于長軸的端點(diǎn)），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由橢圓的幾何性質(zhì)，知，
所以且，
所以且，
即且，
結(jié)合，可解得．
故答案為：.
例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以該橢圓的離心率，
故選：C．
題型七：利用余弦定理
例33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，由橢圓定義知，
又，所以，再由橢圓定義，
因?yàn)椋裕?br>所以由余弦定理可得，
即，
化簡可得，即，
解得或（舍去）.
故選：D
例34．（2022·河北廊坊·高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)在上，則的離心率為________.
【答案】
【解析】設(shè)關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)為Q，
則三點(diǎn)共線，
設(shè)，則，
又，所以在中，由余弦定理有：
，即
由橢圓定義可知，可得
所以
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以.
故答案為：
例35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋蓹E圓定義知，
又，所以，再由橢圓定義，
因?yàn)?，所以?br>所以由余弦定理可得，
即，
化簡可得，即，
解得或（舍去）.
故選：D
例36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點(diǎn)，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】D
【解析】如圖，由雙曲線的定義可知：，，
因?yàn)椋裕?br>代入中，可得：，
因?yàn)椋?br>所以在三角形中，由余弦定理得：，
因?yàn)椋?br>所以，
則，
取的中點(diǎn)M，連接BM，
因?yàn)椋?，?br>所以，
，
又因?yàn)椋?br>所以，
化簡得：，
同除以得：，
解得：或（舍去）
故選：D
例37．（2022·河南·通許縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，若是邊長為的等邊三角形，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
，，
又，，解得：，，
在中，由余弦定理得：，
解得：，即，，
雙曲線的離心率.
故選：B.
題型八：內(nèi)切圓問題
例38．（2022·河南·平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，即為，即為，可得．所以．
根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，由題意設(shè)的內(nèi)切圓切三邊分別于G，D，E三點(diǎn)，則，，．
又，所以．
設(shè)，則，所以，
所以切點(diǎn)D為雙曲線的右頂點(diǎn)，所以，
．
在中，由勾股定理得，
整理得，即，解得，
又因?yàn)?，所以C的離心率為，
故選：C．
例39．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕?br>如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，
則點(diǎn)I為AM上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以，
所以，
設(shè)，則，
由橢圓定義可知：，即，所以，
所以，，
故點(diǎn)A與上頂點(diǎn)重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以橢圓離心率為.
故選：A
例40．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑的最大值是，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由橢圓，可得，，，則，
如圖，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，
，
，則，
要使內(nèi)切圓半徑最大，則需最大，
，
又內(nèi)切圓半徑的最大值為，即，解得，所以．
則橢圓的離心率
故選：B．
例41．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線右支上運(yùn)動（不與頂點(diǎn)重合），設(shè)與雙曲線的左支交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】
設(shè)分別切內(nèi)切圓交于，則由雙曲線的定義可得，即，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，故，兩式相加化簡可得，即，故.故雙曲線的離心率為
故選：A
例42．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，M為右支上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為Q，直線交x軸于點(diǎn)N，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如圖，設(shè)內(nèi)切圓Q與的三邊分別切于三點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，易得，
又由雙曲線定義得，即，又，
故，即點(diǎn)橫坐標(biāo)為，又，則，故直線的方程為，代入，
解得，即，又，則，故，
又，則，，在中，由余弦定理得，
即，化簡得，即，解得或，又離心率大于1，故離心率為.
故選：A.
例43．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中模擬預(yù)測（文））已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，是軸正半軸上一點(diǎn)，線段交雙曲線左支于點(diǎn)，若，且的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)的內(nèi)切圓分別切線段、、于點(diǎn)、、，連接、、，如下圖所示：
由切線長定理可知，，，，
因?yàn)椋?，，?br>則四邊形是邊長為的正方形，則，
因?yàn)榍覟榈闹悬c(diǎn)，則，
因?yàn)?br>，
即，
又因?yàn)椋虼?，該雙曲線的離心率為.
故選：A.
例44．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）已知點(diǎn)P為雙曲線一點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限），點(diǎn)分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，的內(nèi)切圓的半徑為1．圓心為點(diǎn)I，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)的內(nèi)切圓與、相切的切點(diǎn)分別為M，N，Q，
，，
所以
,
又因?yàn)椋裕?br>即，所以，
，∴，
∴或 （舍），
∴．
故選：B
例45．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，分別是雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，滿足，且經(jīng)過的內(nèi)切圓圓心，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】，∴，∴，
∵經(jīng)過內(nèi)切圓圓心，∴為的角平分線，
∴．∴，∴，
，，
∴，于是，
∴為正三角形，．
中，由余弦定理，∴.
故選：C.
題型九：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)
例46．（2022·甘肅省民樂縣第一中學(xué)三模（理））設(shè)，為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，，分別為左?右焦點(diǎn)，與在第一象限的交點(diǎn)為.若是以線段為底邊的等腰三角形，且雙曲線的離心率，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)橢圓長軸長為2，雙曲線實(shí)軸長為，焦點(diǎn)為，
，則，
又，所以，即，又，
所以橢圓的離心率為．
故選：C．
例47．（2022·重慶·模擬預(yù)測）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1與C2在第二?四象限的公共點(diǎn)，若AF1⊥BF1，設(shè)C1與C2的離心率分別為e1，e2，則8e1+e2的最小值為（ ）
A．6+B．C．D．
【答案】C
【解析】連接AF2，BF2，則由對稱性及AF1⊥BF1，得矩形 ，
故.
由，，得.
令，代入上式得
故.
設(shè)，
由，得t=2，
當(dāng)10，b>0）的漸近線上一點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，若|PF|的最小值為2a，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】雙曲線的漸近線方程為，即，
|PF|的最小值即為焦點(diǎn)到漸近線的距離，故，
即，∴，.
故選：D
例90．（2022·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測（文））定義：雙曲線為橢圓的“伴隨曲線”.已知點(diǎn)在橢圓C上，且橢圓C的伴隨曲線的漸近線方程為，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由定義可知C的伴隨曲線的漸近線方程為.
由題意可知，，即.
將點(diǎn)代入橢圓C的方程，得，
聯(lián)立，解得，即
所以，即
所以橢圓的離心率.
故選：A.
例91．（2022·天津市新華中學(xué)模擬預(yù)測）已知雙曲線，拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過的焦點(diǎn)且與交兩點(diǎn)，，若拋物線的焦點(diǎn)到的漸近線的距離為2，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】拋物線的準(zhǔn)線，
雙曲線的左焦點(diǎn)，即，
所以，
雙曲線的一條漸近線為，即，
拋物線的焦點(diǎn)即為雙曲線的右焦點(diǎn)，
則到漸近線的距離為，
所以，代入得，所以.
故選：A
例92．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線交橢圓于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，若，則橢圓的離心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，依題意可得，
雙曲線的一條漸近線為，
因?yàn)椋裕海?br>由，解得，即，又點(diǎn)在橢圓上，
所以，即，
即，即，即，
即，
即
即，
即，
即，
解得或（舍去），
所以橢圓方程為，則，
所以橢圓的離心率
故選：C
例93．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測（文））已知點(diǎn)和是雙曲線C：的兩個焦點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足為H，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依題意不妨取雙曲線的一條漸近線為，，，
所以到直線的距離，
又的斜率為，所以的方程為，
由，解得，即，
所以，
因?yàn)椋?，即，即?br>所以離心率；
故選：B
例94．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校三模（文））已知雙曲線及雙曲線，且的離心率為，若直線與雙曲線、都無交點(diǎn)，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知，雙曲線的離心率為，可得，
因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，
雙曲線的漸近線方程為，
所以，雙曲線、的漸近線重合，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，
因?yàn)橹本€與雙曲線、都無交點(diǎn)，則.
故選：B.
例95．（2022·江西·二模（文））已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在圓：上，若C的一條漸近線恰為線段FP的垂直平分線，則C的離心率為（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【解析】由題意，圓心為C的右焦點(diǎn)，，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則，，所以直線PF的斜率，從而，，
故C的離心率．
故選：B．
例96．（2022·山西呂梁·模擬預(yù)測（文））已知雙曲線的上頂點(diǎn)為P，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若在雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)M，使得，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可知，則以PQ為直徑的圓的方程為，
因?yàn)殡p曲線的漸近線上存在點(diǎn)M，使得，
所以圓與雙曲線的漸近線有公共點(diǎn)，
即圓心到漸近線的距離，
則，即，所以
所以.
故選A.
例97．（2022·新疆·二模（理））如圖．已知橢圓，雙曲線，若以橢圓的長軸為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，且橢圓與該漸近線的兩交點(diǎn)將線段三等分，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知，設(shè)所在漸近線方程為，
設(shè)點(diǎn)，
所以，即，則，
所以線段的一個三等分點(diǎn)坐標(biāo)為，
由于該點(diǎn)在橢圓上，所以，解得.
所以.
所以離心率.
故選：A.
題型十七：坐標(biāo)法
例98．（2022·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動點(diǎn)在上.當(dāng)時，.求雙曲線的離心率.
【解析】當(dāng)時，點(diǎn)在第一象限或第四象限，由對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，
，，
在雙曲線上，則有，
又，消去可得，
即，變形，
即，
所以，
因?yàn)?，所以?br>解得.
所以雙曲線的離心率為.
例99．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，A是其左頂點(diǎn).若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則該雙曲線的離心率為___________.
【答案】3
【解析】令，又，，，則，
∴，故，
∴.
故答案為：3.
例100．（2022·河南·寶豐縣第一高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，P為C右支上一點(diǎn)，與x軸切于點(diǎn)F，與y軸交于A，B兩點(diǎn)，若為直角三角形，則C的離心率為______.
【答案】
【解析】不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸的上方，由題意可知軸，
所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入，得.
又為直角三角形，易知，且，
則有，即，
則，即，則.
故答案為：
例101．（2022·山東青島·高三開學(xué)考試）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，若線段上存在點(diǎn)，使得線段與的一條漸近線的交點(diǎn)滿足：，則的離心率的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】設(shè)，，，
，則，
，則，，
，則，，點(diǎn)在漸近線上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故答案為：．
例102．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若三角形AOB是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】將代入C中，得，，由題意得，
即，．
故選：D.
例103．（2022·河南洛陽·三模（文））已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，的平分線與軸交于點(diǎn)，若四邊形的面積為，則橢圓的離心率___________.
【答案】
【解析】如圖，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，連接，
因?yàn)槠叫杏谳S，故為的中點(diǎn)，且，
故，又，故，
因?yàn)椋剩?br>所以，
故四邊形為：
，
故即離心率為，
故答案為：
題型十八：利用焦半徑的取值范圍
例104．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為.若雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】依題意，點(diǎn)在雙曲線的右支，P不與雙曲線頂點(diǎn)重合，
在中，由正弦定理得：
，因，于是得，
而點(diǎn)P在雙曲線M的右支上，即，從而有，
點(diǎn)P在雙曲線M的右支上運(yùn)動，并且異于頂點(diǎn)，于是有，
因此，而，整理得，即，
解得，又，故有，
所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.
故答案為：
例105．（2022·吉林長春·二模（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由雙曲線定義可知，，，結(jié)合 可得，從而，又因?yàn)殡p曲線的離心率大于 ，所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.
例106．（2022·江蘇·金沙中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的焦距為，左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P在C的右支上，且，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由條件得，所以，即，
又因?yàn)椋裕?br>即，得，
又，所以．
故選：C
例107．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，
解得，，
由題意可得，解得，又，所以，
所以橢圓離心率的取值范圍是．
故答案為：.
例108．（2022·河南·信陽高中高三期末（文））若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，其中分別是的左、右焦點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為______.
【答案】
【解析】，，
又，，
解得，則.
故答案為
例109．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓C上恰好有6個不同的點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】法一：顯然，是短軸端點(diǎn)時，，滿足為等腰三角形，因此由對稱性，還有四個點(diǎn)在四個象限內(nèi)各有一個，
設(shè)是第一象限內(nèi)使得為等腰三角形的點(diǎn)，
若，則，又，
消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，
所以，即，
若，則，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，
所以，即，
時，，是等邊三角形，只能是短軸端點(diǎn)，只有2個，不合題意．
綜上，的范圍是．
法二：①當(dāng)點(diǎn)與短軸的頂點(diǎn)重合時，構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，此種情況有2個滿足條件的；
②當(dāng)構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時，根據(jù)橢圓的對稱性，只要在第一象限內(nèi)的橢圓上恰好有一點(diǎn)滿足為等腰三角形即可，則或
當(dāng)時，則，即，則，
當(dāng)時，則有，則，
綜上所述，橢圓的離心率取值范圍是.
故選：A.
題型十九：四心問題
例110．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓）的左?右焦點(diǎn)分別為和為C上一點(diǎn)，且的內(nèi)心為，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】連接，延長交軸于，則
，又，，
所以，
故，即，
又，
所以，即.
故選：D.
例111．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)（理））已知坐標(biāo)平面中，點(diǎn)，分別為雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的左支上，與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的外心，若、、三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】C
【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，設(shè)，，
由為的中點(diǎn)，、、三點(diǎn)共線知直線垂直平分，則，
故有，且，解得，，
將，即，代入雙曲線的方程可得，化簡可得，即，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時，同理可得.
故選：C.
例112．（2022·江蘇·高二單元測試）設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，的外心為，且滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】由題,因?yàn)?所以、、三點(diǎn)共線,
因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn),的外心為,所以,即,
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,則點(diǎn)為線段的中點(diǎn),
則在中,,即,所以是直角三角形,
所以,
因?yàn)?由雙曲線定義可得,所以,
則,因?yàn)?整理可得,
所以,
則,
故選:D
例113．（2022·江西南昌·三模（理））已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線右支上一點(diǎn)，且，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】如圖所示：
由題意得：，
則，
由圓的切線長定理和雙曲線的定義得，
所以，則，
因?yàn)榕c軸平行，
所以，即，
則，即，
解得，
故選：B
例114．（2022·甘肅酒泉·模擬預(yù)測（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為右支上一點(diǎn)，若的重心為，則的離心率為（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【解析】雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則由的重心為，可得，
把P點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線C的方程，解之得．又，則．
所以可得雙曲線C的離心率為
故選：B．
例115．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓上的動點(diǎn)，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵是的中點(diǎn)，G是的重心，∴三點(diǎn)共線，
延長交軸于點(diǎn)，則由平行于軸知，，
則,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，
則，
∴橢圓的離心率為．
故選：A﹒
例116．（2022·重慶·西南大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，，G為重心，且滿足，線段交橢圓C于點(diǎn)M，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
如圖，連接并延長交于，連接.由得，
即，所以，又G為重心，所以是等腰三角形，，
由得，，又由橢圓定義.
，即，化簡得，故離心率為.
故選：B.
例117．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，M為C上一點(diǎn)，且的內(nèi)心為，若的面積為4b，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可得，的內(nèi)心到軸的距離就是內(nèi)切圓的半徑.
又點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的定義，得，，即.
又，所以，
因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，解得或（舍去），
所以.
故選：B
例118．（2022·新疆·三模（理））點(diǎn)P是雙曲線C：右支上一點(diǎn)，，分別是雙曲線C的左，右焦點(diǎn)，M為的內(nèi)心，若雙曲線C的離心率，且，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，
由可得，化簡得，
又，故.
故選：D.
例119．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為上不與左?右頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，如圖，則，由，得
三點(diǎn)共線，.由既是的平分線，又是邊上的中線，得.作軸于點(diǎn)，，且，.
故選：B.
例120．（2022·山東臨沂·模擬預(yù)測）平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)O，A，B，若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖所示：
雙曲線的漸近線方程為，與拋物線聯(lián)立，解得或，
所以，，
因?yàn)榈拇剐臑榈慕裹c(diǎn)，
所以，
即，即，
所以，
故選：A
例121．（多選題）（2022·福建·莆田第九中學(xué)高三階段練習(xí)）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線與軸及雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點(diǎn)構(gòu)成集合，且恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】設(shè)，
由，得，得，
由，得，得，
由，得，得，
，
，
，
若為重心、為外心、為垂心，則，
所以，化簡得，此時雙曲線的離心率，
若為重心、為垂心、為外心，則，
所以，化簡得不成立；
若為重心、為垂心、為外心，則，
所以，化簡得，此時雙曲線的離心率，
若為重心，為垂心、為外心，則，
，化簡得，此時雙曲線的離心率；
若為重心、為垂心、為外心，則，
所以，化簡得或，
此時雙曲線的離心率或，
若為重心，為垂心、為外心，則，
所以，化簡得或都不成立.
綜上所述：或或或.
故選：ABD
例122．（多選題）（2022·全國·高二專題練習(xí)）若雙曲線， 分別為左、右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在雙曲線上且在第一象限的動點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)心，點(diǎn)為的重心，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為
B．點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為雙曲線的一部分
C．若，，則.
D．存在點(diǎn)，使得
【答案】ACD
【解析】由題意，雙曲線，可得，
則離心率為，所以A正確；
設(shè)，的內(nèi)切圓與邊切于點(diǎn)，與邊切于點(diǎn)，
與邊切于點(diǎn)，可得，
由雙曲線的定義可得，即，
又由，解得，則的橫坐標(biāo)為，
由與的橫坐標(biāo)相同，可得的橫坐標(biāo)為，可得在定直線上運(yùn)動，
所以B不正確；
由且，解得，
則，可得，
所以，同理可得，
設(shè)直線，直線，
聯(lián)立方程組，求得，
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，
解得，即有，
可得，
由，可得，解得，
可得，所以C正確；
設(shè)，則，
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，
于是，可得，
若，可得，即，
又由，聯(lián)立可得，
因此，解得，
即存在點(diǎn)，使得，所以D正確.
故選：ACD.
例123．（2022·全國·高三專題練習(xí)）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”，直線l與y軸及雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點(diǎn)構(gòu)成集合M，且M恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l的斜率為－1，則該雙曲線的離心率可以是①，②，③，④，⑤，⑥.以上結(jié)論正確的是___________.
【答案】①③⑤
【解析】設(shè)直線l的方程為，
令x=0，可得y=t，設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)，
雙曲線的漸近線方程為，
與直線y=x+t聯(lián)立，可得，
由三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，
當(dāng)A，B，C依次為三角形的外心?重心?垂心，且它們依次位于同一條直線上，
可得，即為，化為a=2b，；
當(dāng)A，C，B依次為三角形的外心?重心?垂心，且它們依次位于同一條直線上，
可得，即為，化為a=－2b不成立；
當(dāng)B，A，C依次為三角形的外心?重心?垂心，且它們依次位于同一條直線上，
可得，即為，化為b=3a，；
當(dāng)C，A，B依次為三角形的外心?重心?垂心，且它們依次位于同一條直線上，
可得，即為，化為b=－3a不成立；
當(dāng)C，B，A依次為三角形的外心?重心?垂心，且它們依次位于同一條直線上，
可得，即為，化為a=5b，；
當(dāng)B，C，A依次為三角形的外心?重心?垂心，且它們依次位于同一條直線上，
可得，即為，化為a=－5b不成立.
故答案為：①③⑤.
例124．（2022·四川達(dá)州·高二期末（文））雙曲線（，）的左焦點(diǎn)為，兩點(diǎn)在雙曲線的右支上，且關(guān)于軸對稱，為正三角形，坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心，則該雙曲線的離心率是___________.
【答案】
【解析】由為正三角形，坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心，
，，故,
代入雙曲線方程可得：，即
可得，即
故答案為：
例125．（2022·四川雅安·三模（文））已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，P為C上異于左右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，M為內(nèi)心，若，則該橢圓的離心率是________．
【答案】
【解析】設(shè)，可得，
則,
因?yàn)椋?br>所以，
則可得，則內(nèi)切圓半徑為，
由橢圓定義可得，又，
所以，
即，則可得，所以離心率為.
故答案為：.
例126．（2022·江西鷹潭·二模（理））已知雙曲線C：，直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），，點(diǎn)E在軸上，且軸，若的內(nèi)心到軸的距離不小于，則雙曲線C離心率的取值范圍為___________．
【答案】
【解析】當(dāng)時，，，所以、，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)辄c(diǎn)E在軸上，且軸，所以，
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，
所以，
所以，
依題意可得，即，
所以，化簡得，
所以離心率，
又，所以雙曲線C離心率的取值范圍為.
故答案為：.
例127．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線虛軸的一個頂點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為___________.
【答案】
【解析】設(shè)的垂心為，則，
不妨設(shè)，則，代入漸近線方程，解得，
則，因?yàn)橹本€與雙曲線交于點(diǎn)，，
則，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，，
因?yàn)椋?br>化簡可得，
所以雙曲線的離心率為，
故答案為：．

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