1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書(shū)寫(xiě)規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過(guò)程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過(guò)一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過(guò)程也就是反思的過(guò)程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問(wèn)題不可怕，可怕的是不知道問(wèn)題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題越多，說(shuō)明你距離成功越近，及時(shí)處理問(wèn)題，爭(zhēng)取“問(wèn)題不過(guò)夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
專題08 冪函數(shù)與二次函數(shù)
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1.冪函數(shù)的定義
一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).
2.冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)
①的系數(shù)為1；②的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù).
(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
3.常見(jiàn)的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：
4.二次函數(shù)解析式的三種形式
（1）一般式：；
（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對(duì)稱軸方程.
（3）零點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
5．二次函數(shù)的圖像
二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
（1）單調(diào)性與最值
O
圖2-9
O
圖2-8
= 1 \* GB3 ①當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)函數(shù)
圖象
定義域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)
時(shí)，； = 2 \* GB3 ②當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，；.
（2）與軸相交的弦長(zhǎng)
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，.
6.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.
對(duì)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則；
（4）若，則.
【方法技巧與總結(jié)】
1.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫(huà)法如下：
①當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫(huà)出；
②當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫(huà)出；
③當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫(huà)出．
2．實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個(gè)不等正根
（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根
（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為
3.一元二次方程的根的分布問(wèn)題
一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：
（1）開(kāi)口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).
設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.
根的分布
圖像
限定條件
在區(qū)間內(nèi)
沒(méi)有實(shí)根
4.有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，關(guān)鍵是利用圖像.
（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問(wèn)題——?jiǎng)虞S定區(qū)間和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸.即注意對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成： = 1 \* GB3 ①軸處在區(qū)間的左側(cè)； = 2 \* GB3 ②軸處在區(qū)間的右側(cè)； = 3 \* GB3 ③軸穿過(guò)區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.
（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問(wèn)題，要抓住四點(diǎn)，即開(kāi)口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).
【題型歸納目錄】
題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像
題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
題型三：二次方程的實(shí)根分布及條件
題型四：二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題
【典例例題】在區(qū)間內(nèi)
有且只有一個(gè)實(shí)根
在區(qū)間內(nèi)
有兩個(gè)不等實(shí)根
題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像
例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．0或2C．0D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)求出，再驗(yàn)證單調(diào)性可得.
【詳解】
因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，符合題意，
所以.
故選：D.
例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（p，q∈Z且p，q互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數(shù)，且
B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且
C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，即可得出p、q的取值情況.
【詳解】
因函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，于是得函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，則有0，
又因p、q互質(zhì)，則q為奇數(shù)，所以只有選項(xiàng)D正確.
故選：D
例3．（2022·海南·文昌中學(xué)高三階段練習(xí)）已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)A（4，2），則f（）=___________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
點(diǎn)坐標(biāo)代入冪函數(shù)解析式，求得，然后計(jì)算函數(shù)值．
【詳解】
點(diǎn)A（4，2）代入冪函數(shù)解得，，
故答案為：．
例4．（2022·黑龍江·哈九中高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且，則a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得冪函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來(lái)求得的取值范圍.
【詳解】
設(shè)，
則，
所以，
在上遞增，且為奇函數(shù)，
所以.
故答案為：例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖是冪函數(shù)（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限內(nèi)的圖象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它們具有性質(zhì)：
①都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函數(shù)．
請(qǐng)你根據(jù)圖象寫(xiě)出它們?cè)冢?，+∞）上的另外一個(gè)共同性質(zhì)：___________．
【答案】α越大函數(shù)增長(zhǎng)越快
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定結(jié)論．
【詳解】
解：從冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知：①α越大函數(shù)增長(zhǎng)越快；②圖象從下往上α越來(lái)越大；③函數(shù)值都大于1；④α越大越遠(yuǎn)離x軸；⑤α＞1，圖象下凸；⑥圖象無(wú)上界；⑦當(dāng)指數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；⑧當(dāng)α＞1時(shí)，圖象在直線y＝x的上方；當(dāng)0＜α＜1時(shí)，圖象在直線y＝x的下方．
從上面任取一個(gè)即可得出答案．
故答案為：α越大函數(shù)增長(zhǎng)越快．
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（）在是嚴(yán)格減函數(shù)，且為偶函數(shù).
（1）求的解析式；
（2）討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由.
【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，為非奇非偶函數(shù).理由見(jiàn)解析.
【解析】
（1）由題意可得：，解不等式結(jié)合即可求解；
（2）由（1）可得，分別討論、、且時(shí)奇偶性即可求解.
【詳解】
（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)（）在是嚴(yán)格減函數(shù)，
所以，即 ，解得：，
因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為偶函數(shù)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)，不符合題意；
所以，
（2），
令
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)是奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是偶函數(shù)，
當(dāng)且時(shí)，，，
，，此時(shí)是非奇非偶函數(shù)函數(shù).
【方法技巧與總結(jié)】
確定冪函數(shù)的定義域，當(dāng)為分?jǐn)?shù)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或?yàn)閯t被開(kāi)方式非負(fù).當(dāng)時(shí)，底數(shù)是非零的.
題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例7．（2022·河北石家莊·高三期末）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，則（ ）
A．-2B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知構(gòu)造函數(shù)，利用，，及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性即可得出結(jié)果.
【詳解】
構(gòu)建函數(shù)，則為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.
由，，
得，，所以.
故選：B.
例8．（2022·四川眉山·三模（文））下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】對(duì)于A、B：作出和在第一象限的圖像判斷出：在上，有，在上，有，在上，有.即可判斷A、B；對(duì)于C：判斷出, ，即可判斷；對(duì)于D：判斷出，，即可判斷.
【詳解】
對(duì)于A、B：
作出和在第一象限的圖像如圖所示：
其中的圖像用虛線表示，的圖像用虛線表示.
可得，在上，有，在上，有，在上，有.
因?yàn)?，所以，故A正確；
因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：,而，所以.故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，而，所以.故D錯(cuò)誤.
故選：A
例9．（2022·廣西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根， 則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析函數(shù)的性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解作答.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)值集合是，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，函數(shù)值集合是，
關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
在坐標(biāo)系內(nèi)作出直線和函數(shù)的圖象，如圖，
觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，直線和函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A
例10．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)的圖象不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分類討論，與三種情況下函數(shù)的單調(diào)性情況，從而判斷.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為一條射線，且函數(shù)在上為增函數(shù)，B選項(xiàng)符合；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)符合；當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)小于函數(shù)的增長(zhǎng)速度，所以時(shí)，函數(shù)一定為減函數(shù)，選項(xiàng)D符合，C不符合.
故選：C
例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為：_________．
【答案】
【解析】
【分析】
將不等式化為，構(gòu)造根據(jù)其單調(diào)性可得，求解即可.
【詳解】
不等式變形為
所以，
令，則有，顯然在R上單調(diào)遞增，
則，可得解得.故不等式的解集為．
故答案為：
例12．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）若函數(shù)是冪函數(shù)，且其圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)的定義及所過(guò)的點(diǎn)求出，再根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.
【詳解】
解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，
所以，解得，
又其圖象過(guò)點(diǎn)，
所以，所以，
則，
則，解得或，
令，
則函數(shù)在上遞增，在上遞減，
又因函數(shù)為減函數(shù)，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故答案為：.
例13．（2020·四川·瀘州老窖天府中學(xué)高二期中（理））已知函數(shù)，若方程有8個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________________________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖像，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布求解即可.
【詳解】
解：根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖像，如圖：
令，因?yàn)榉匠逃?個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，
所以方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故令，則函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn).
所以，即，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
例14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.
（1）求的值并寫(xiě)出的解析式；
（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?？若存在，求出的值；若不存在，?qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1），；（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性，令冪的系數(shù)為1及指數(shù)為負(fù)，列出方程求出的值，將的值代入即可；
（2）求出的解析式，按照與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，利用的單調(diào)性列出方程組，求解即可.
【詳解】
（1）（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以解得：或(舍去)，
所以；
（2）由（1）可得，，所以，
假設(shè)存在，使得在上的值域?yàn)椋?br>①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，顯然不成立；
③當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞增，
故，解得.
綜上所述，存在使得在上的值域?yàn)?
【方法技巧與總結(jié)】
緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù).
題型三：二次方程的實(shí)根分布及條件
例15．（2022·河南·焦作市第一中學(xué)高二期中（文））設(shè)：二次函數(shù)的圖象恒在x軸的上方，：關(guān)于的方程的兩根都大于－1，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
由可得，由可得，進(jìn)而判斷兩集合關(guān)系，即可得到答案.
【詳解】由，則，解得；
由，方程的兩根為，，
則，解得，
因?yàn)? ，所以是的充分不必要條件，
故選：A
例16．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間內(nèi)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與單調(diào)區(qū)間，結(jié)合已知可得到關(guān)于a的不等式，進(jìn)而求解.
【詳解】
二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
要使二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間內(nèi)，
需，解得
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是
故選：C
例17．（2022·江西省豐城中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)且，函數(shù).
(1)求的解析式；
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)求出a即可；
(2)方程參變分離得，換元法求值域即可.(1)
由，可得：，解得：，
∴；
(2)
由，可得，
令，則，
則原問(wèn)題等價(jià)于y＝m與y＝h(t)＝在上有交點(diǎn)，
數(shù)形結(jié)合可知m∈[h()，h(4)]＝.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.
例18．（2022·湖北·高一期末）已知函數(shù)，．
(1)求的最大值及取最大值時(shí)的值；
(2)設(shè)實(shí)數(shù)，求方程存在8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根時(shí)的取值范圍．
【答案】(1)當(dāng)，，時(shí)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）去掉絕對(duì)值，化為分段函數(shù)，求出每一段上的最大值；（2）令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上存在兩個(gè)相異的實(shí)根，進(jìn)而列出不等式組，求出的取值范圍.
(1)
∵，
∴當(dāng)時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)， ．
故當(dāng)時(shí)， ．
(2)
令，則，使方程存在8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則方程在上存在兩個(gè)相異的實(shí)根，
令，則，解得：．
故所求的的取值范圍是．
【方法技巧與總結(jié)】
結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析實(shí)根分布，得到其限定條件，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，從而解不等式求參數(shù)的范圍.
題型四：二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題
例19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，若的值域?yàn)?，，的值域?yàn)?，，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．0B．1
C．2D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)，即有，，可得函數(shù)，的圖象為的圖象的部分，即有的值域?yàn)榈闹涤虻淖蛹?，即有的范圍，可得最大值?．
【詳解】
解：設(shè)，由題意可得，，
函數(shù)，的圖象為的圖象的部分，
即有的值域?yàn)榈闹涤虻淖蛹?br>即，，，
可得，
即有的最大值為2．
故選：C．
例20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知值域?yàn)榈亩魏瘮?shù)滿足，且方程的兩個(gè)實(shí)根滿足．
(1)求的表達(dá)式；
(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)可以判斷函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)函數(shù)的值域可以確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知進(jìn)行求解，求出的值，即可得出的表達(dá)式；
（2）根據(jù)題意，可以判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由，求得，進(jìn)而可知的對(duì)稱軸方程為，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及單調(diào)性，得出，即可求出的取值范圍.
(1)
解：由，可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
函數(shù)的值域?yàn)椋远魏瘮?shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以設(shè)，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得，，
因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根滿足
則，
解得：，所以.
(2)
解：由于函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，
則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，即，
所以的對(duì)稱軸方程為，則，即，
故的取值范圍為.
例21．（2022·貴州畢節(jié)·高一期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；
(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實(shí)數(shù)a和t的值．
【答案】(1)
(2)或【解析】
【分析】
（1）代入解不等式組可得答案；
（2）由題意，結(jié)合最大值為0最小值是分、數(shù)形結(jié)合可得答案.
(1)
當(dāng)時(shí)，不等式，
即為，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集為．
(2)
，
由題意或，這時(shí)解得，
若，則，所以；
若，即，
所以，則，
綜上，或．
例22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）問(wèn)題：是否存在二次函數(shù)同時(shí)滿足下列條件：
，的最大值為4，____？若存在，求出的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.在① 對(duì)任意都成立，② 函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，③ 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中作答.
【答案】答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
由，可求得，由條件可得函數(shù)的對(duì)稱軸，又的最大值為4，可得關(guān)于的方程組，求解即可.
【詳解】
解：由，可求得，則
若選擇① 對(duì)任意都成立
可得的對(duì)稱軸為，所以1，又的最大值為4，可得且，即，解得，此時(shí)；
若選擇函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱
可得的對(duì)稱軸為，則2，
又f（x）的最大值為4，可得且，即，解得a，，此時(shí)
若選擇③ 函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是，
可得f（x）關(guān)于x對(duì)稱，則，又的最大值為4，可得且，即
解得，此時(shí)
例23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足．
（1）求的解析式；
（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范圍．
【答案】（1）；（2）[1,2].
【解析】
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，設(shè)，根據(jù)已知條件建立方程組，從而可求出解析式；
（2）根據(jù)在上有最小值，最大值，，從而函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間上，離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，建立關(guān)系式，從而求出的范圍
【詳解】
（1）設(shè)，
則
解之得：
（2）根據(jù)題意：
解之得：
的取值范圍為
例24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（），滿足，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有.
(1)求的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，若是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】【分析】
（1）根據(jù)，結(jié)合可解；
（2）結(jié)合圖形，對(duì)對(duì)稱軸和端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行分類討論可得.
(1)
∵，∴.即，
因?yàn)槿我鈱?shí)數(shù)x，恒成立，則
且，∴，，
所以.
(2)
因?yàn)椋?br>設(shè)，要使在上單調(diào)，只需要
或或或，
解得或，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【方法技巧與總結(jié)】
“動(dòng)軸定區(qū)間 ”、“定軸動(dòng)區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：
（1）根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時(shí)需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行分析；
（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，，，則（ ）
A．，都有B．，都有
C．，使得D．，使得
【答案】B
【解析】【分析】
根據(jù)題目條件，畫(huà)出函數(shù)草圖，即可判斷.
【詳解】
由，，可知，，拋物線開(kāi)口向上．因?yàn)?br>，，即1是方程的一個(gè)根，
所以，都有，B正確，A、C、D錯(cuò)誤.
故選：B．
2．（2022·北京·二模）下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上有相同單調(diào)性的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B，由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷C，對(duì)于D有，即可判斷奇偶性和單調(diào)性.
【詳解】
由為奇函數(shù)且在上遞增，
A、B：、非奇非偶函數(shù)，排除；
C：為奇函數(shù)，但在上不單調(diào)，排除；
D：，顯然且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在上遞增，滿足.
故選：D3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則的值為（ ）
A．1或B．1C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性求得的值.
【詳解】
依題意是冪函數(shù)，所以，解得或.
當(dāng)時(shí)，在遞增，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，在遞減，符合題意.
故選：D
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)?，且該函?shù)為奇函數(shù)的值為（ ）
A．或B．或C．或D．、或
【答案】A
【解析】
【分析】
由冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)依次驗(yàn)證得解.
【詳解】
因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，?br>又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，則滿足條件的或.
故選:A
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則 的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
先求出冪函數(shù)解析式，根據(jù)解析式即可求出值域.
【詳解】
冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，，解得，
，
的值域是.
故選：D.
6．（2022·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)．若存在實(shí)數(shù)，使得，，…，同時(shí)成立，則正整數(shù)的最大值是
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】
【詳解】
因?yàn)楸硎静怀^(guò)的最大整數(shù)．由得，
由得，
由得，所以，
所以，
由得，
所以，
由得，與矛盾，
故正整數(shù)的最大值是4．
考點(diǎn)：函數(shù)的值域，不等式的性質(zhì)．
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若冪函數(shù) (m，n∈N*，m，n互質(zhì))的圖像如圖所示，則（ ）
A．m，n是奇數(shù)，且1
C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且1
【答案】C【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)利用排除法求解
【詳解】
由圖知冪函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且，排除B，D；
當(dāng)m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)f(x)非偶函數(shù)，排除A；
故選：C.
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)研究分段函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖形，數(shù)形結(jié)合得到，然后結(jié)合一元二次方程根的分布即可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)闀r(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，則單調(diào)遞增；時(shí)，，則單調(diào)遞減；且，，時(shí)，；
時(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，則單調(diào)遞增；時(shí)，，則單調(diào)遞減；且，，時(shí)，；
作出在上的圖象，如圖：
關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)根，
令，則有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以，
令，則，解得，
故選：A.
【點(diǎn)睛】
函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
（1）直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
二、多選題
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t正整數(shù)a的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】BC
【解析】
【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，結(jié)合值域可得實(shí)數(shù)的取值范圍，從而可得正確的選項(xiàng).
【詳解】
函數(shù)的圖象如圖所示：
因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域?yàn)椋Y(jié)合圖象可得，
結(jié)合a是正整數(shù)，所以BC正確.
故選： BC.
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則下列說(shuō)法中一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，令，則，結(jié)合的值域?yàn)?，求出的取值范圍，進(jìn)而區(qū)間的特征，即可得到正確選項(xiàng).
【詳解】
令，則，
由，得，即，得；
由，得（舍）或2，即；根據(jù)的圖象特征，知，，.
故選：BCD．
11．（2022·廣東揭陽(yáng)·高三期末）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足不等式，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
先判斷函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性結(jié)合不等式可得所滿足的關(guān)系式，再利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值法逐項(xiàng)判斷.
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以為奇函數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以上單調(diào)遞增，
由，
得，
所以，
即，，
因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，所以，故A正確；
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，故C正確；
因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，所以，故D錯(cuò)誤；
令，可驗(yàn)證B錯(cuò)誤.
故選：AC
12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)滿足．則點(diǎn)（ ）
A．只有有限個(gè)B．有無(wú)限多個(gè)
C．位于同一條直線上D．位于同一條拋物線上
【答案】BC
【解析】
【分析】
由已知得，根據(jù)的單調(diào)性有，即可知的性質(zhì).【詳解】
由題意，可得，
又單調(diào)遞增，得，則，
故滿足條件的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，且都在直線上．
故選：BC
三、填空題
13．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)（文））寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．
①；
②當(dāng)時(shí)，；
③；
【答案】（答案不唯一）；
【解析】
【分析】
根據(jù)給定函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合偶數(shù)次冪函數(shù)即可寫(xiě)出符合要求的解析式.
【詳解】
由所給性質(zhì)：在上恒正的偶函數(shù)，且，
結(jié)合偶數(shù)次冪函數(shù)的性質(zhì)，如：滿足條件.
故答案為：（答案不唯一）
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知α∈.若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞減，則＝______.
【答案】-1
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，時(shí)，函數(shù)在(0，＋∞)上遞減，即可得出答案.
【詳解】
解：∵冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，∴可?。?，1，3，
又f(x)＝xα在(0，＋∞)上遞減，∴α＜0，故＝－1.
故答案為：-1.
15．（2022·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，用表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)，若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】
【解析】
【分析】
分析函數(shù)的零點(diǎn)情況，可確定符合題意的情況，從而得到不等式組，解得答案.
【詳解】
函數(shù)恒過(guò)點(diǎn) ，且其圖象開(kāi)口向上，的零點(diǎn)為1，
當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)至少有一個(gè)大于或等于1時(shí)，如圖示：
函數(shù)的零點(diǎn)至多有兩個(gè)，不符合題意，
故要使恰有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)，如圖示，
故
解得，
故答案為：16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是冪函數(shù)圖象上的點(diǎn)，將的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若點(diǎn)（，且）在的圖象上，則______.
【答案】30
【解析】
【分析】
先求出函數(shù)的解析式，得到，從而得到，對(duì)利用分組求和法求和即可.
【詳解】
由，得，，.
因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)上，所以，即.
所以
，
所以
.
故答案為：30.
四、解答題
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解不等式．
【答案】．
【解析】
【分析】
不等式變形為，將視為一個(gè)整體，方程兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)，于是構(gòu)造函數(shù)，然后由函數(shù)的單調(diào)性解不等式．【詳解】
令，易知在R上單調(diào)遞增．
原不等式變形為，即．
由在R上單調(diào)遞增得，解得或．
所以原不等式的解集為．
18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（1）求的解析式；
（2）用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）由冪函數(shù)的系數(shù)為得，再根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)得；
（2）由（1）得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.
【詳解】
（1）解：由題可知：，解得或.
若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合條件；
若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合條件.
故.
（2）證明：由（1）可知，.
任取，，且，
則.
因?yàn)椋?br>所以，，，
所以，
即，故在區(qū)間上單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】
本題考查冪函數(shù)的解析式，定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵在于冪函數(shù)的系數(shù)為1，且在在區(qū)間上單調(diào)遞增，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.
19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.
（1）求的值并寫(xiě)出的解析式；
（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?？若存在，求出的值；若不存在，?qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性，令冪的系數(shù)為1及指數(shù)為負(fù)，列出方程求出的值，將的值代入即可；
（2）將（1）中求得的解析式代入后，假設(shè)存在使得命題成立，分情況討論利用函數(shù)單調(diào)性求值域，列出方程組求解即可.
【詳解】
（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以解得：或(舍去)，
所以.
（2）由（1）得，所以，
假設(shè)存在使得命題成立，則
當(dāng)時(shí)，即，在單調(diào)遞增，
所以；
當(dāng)，即，顯然不成立；
當(dāng)，即，在單調(diào)遞減，
所以，無(wú)解；
綜上所述：存在使命題成立.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查冪函數(shù)的定義及單調(diào)性及函數(shù)的值域，意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.
20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域和值域都是，，求的值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)10
(2)
【解析】
【分析】
（1）確定二次函數(shù)對(duì)稱軸為，再分類討論與對(duì)稱軸的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性確定函數(shù)最值，進(jìn)而得解；
（2）可設(shè)，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系表示出，代換可得
，由基本不等式即可求解.
(1)
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其圖象的對(duì)稱軸為直線，
故在區(qū)間，單調(diào)遞減，在區(qū)間，單調(diào)遞增.
①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞減；故，此時(shí)無(wú)解；
②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增，且，故，解得；
③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增，且，故，此時(shí)無(wú)解.
綜上所述，的值為10；
(2)
設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，
則，
又，，
，
，
因?yàn)椋?，即的取值范圍?br>21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)若函數(shù)在，上存在零點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，，總存在，，使得，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)判別式和零點(diǎn)存在性定理列不等式求解；
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的值域是的值域的子集，求出和的值域，然后列不等式組求解即可.
(1)
依題意知，
解得．
(2)
依題意知，當(dāng)，時(shí)，
，
即，當(dāng)，時(shí)的值域?yàn)椋?br>若對(duì)任意的，，總存在，，使得，可得的值域是的值域的子集，
又
或
解得或
即的范圍是或．
22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且.
（1）求的值，并確定的解析式；
（2）若且）,是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上為減函數(shù).
【答案】（1）或,（2）存在;
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù),且可知且為偶數(shù),即可求得的值,進(jìn)而確定的解析式.
（2）將（1）所得函數(shù)的解析式代入即可得的解析式.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性對(duì)底數(shù)分類討論,即可求得在區(qū)間上為減函數(shù)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）因?yàn)?br>則,解不等式可得
因?yàn)?br>則或或
又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)
所以為偶數(shù)
當(dāng)時(shí), ,符合題意
當(dāng)時(shí), ,不符合題意,舍去
當(dāng)時(shí), ,符合題意
綜上可知, 或
此時(shí)
（2）存在.理由如下:
由（1）可得
則且
當(dāng)時(shí),根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知對(duì)數(shù)部分為減函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法可知, 在上為增函數(shù)且滿足在上恒成立
即解不等式組得
當(dāng)時(shí),根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知對(duì)數(shù)部分為增函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法可知, 在上為減函數(shù)且滿足在上恒成立
即解不等式組得
綜上可知,當(dāng)或時(shí), 在上為減函數(shù)所以存在實(shí)數(shù),滿足在上為減函數(shù)
【點(diǎn)睛】
本題考查了冪函數(shù)的定義及性質(zhì),復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用,分類討論思想的用法,屬于中檔題.

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