模型一：一線三等角模型 模型二：手拉手模型
模型三：倍長(zhǎng)中線模型
模型一：一線三等角模型
過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)或者正方形直角頂點(diǎn)的一條直線。
過(guò)等腰直角三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)作該直線的垂線段，會(huì)有兩個(gè)三角形全等（AAS）
常見(jiàn)的兩種圖形：

【例1】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多點(diǎn)A的一條直線，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于點(diǎn)E.當(dāng)直線AE處于如圖1的位置時(shí)，有BD=DE+CE,請(qǐng)說(shuō)明理由.當(dāng)直線AE處于如圖2的位置時(shí)，則BD、DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【變式1-1】如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B,C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點(diǎn)E.
當(dāng)DC等于多少是，△ABD≌△DCE?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
【變式1-2】已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC邊上的點(diǎn)，AF⊥BE交BC于點(diǎn)D,如果AE=CD
證明：BF平分∠ABC
證明：AB+AE=BC
【變式1-3】如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分線BD交AC于D，CE⊥BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：CE= QUOTE 12 12BD.
模型二：手拉手模型
一、等邊三角形手拉手-出全等
二、等腰直角三角形手拉手-出全等
兩個(gè)共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（B、C、D不共線）始終有：[來(lái)源:Z#xx#k.Cm]
△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；
【例2】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連結(jié)AE,BD交于點(diǎn)O,AE與DC交于點(diǎn)0，AE與DC交于點(diǎn)M,BD與AC交于點(diǎn)N.
【變式2】已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合）.以AD為邊作等邊三角形ADE,連接CE.
如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：△ABD≌△ACE;直接判斷結(jié)論BC=DC+CE是否成立（不需要證明）；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)寫(xiě)出BC、DC、CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程.
模型三：倍長(zhǎng)中線模型
倍長(zhǎng)中線是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長(zhǎng)法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用）。
三角形一邊的中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段），或中點(diǎn)，通?？紤]倍長(zhǎng)中線或類(lèi)中線，構(gòu)造全等三角形.把該中線延長(zhǎng)一倍，證明三角形全等，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法.
主要思路：倍長(zhǎng)中線（線段）造全等
在△ABC中 AD是BC邊中線

延長(zhǎng)AD到E， 使DE=AD，連接BE

作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延長(zhǎng)線于E 連接BE

延長(zhǎng)MD到N， 使DN=MD，連接CD
【例3】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．
求證：AB=AC．
【變式3-1】.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線．
（1）按要求作圖：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD；連接BE．
（2）求證：△ACD≌△EBD．
（3）求證：AB+AC >2AD．
（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍．
【變式3-2】.如圖，CB是△AEC的中線，CD是△ABC的中線，且AB=AC．
求證：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．
【變式3-3】.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，BE=AC，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F．
求證：∠AEF=∠EAF．
【變式3-4】.如圖，在△ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EF∥AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，BG=CF．
求證：AD為△ABC的角平分線．
（建議用時(shí)：40分鐘）
一．選擇題（共2小題）
1．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）如圖所示，是的邊的中點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，且，，則的長(zhǎng)是
A．12B．14C．16D．18
2．（2022?包河區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作圓，是上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則的最大值是
A．6B．C．D．
二．填空題（共5小題）
3．（2022秋?南陵縣期末）如圖，在中，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，，則 ．
4．（2023?南譙區(qū)校級(jí)一模）如圖，在矩形中，，分別為，上一點(diǎn)，，，若，矩形的周長(zhǎng)為26，則矩形的面積為 ．
5．（2022秋?鳳陽(yáng)縣期末）已知：如圖，平分，于，于，且．
（1）若，，則 ．
（2）若的面積是24，的面積是16，則的面積等于 ．
6．（2023?廬江縣二模）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）若正方形的邊長(zhǎng)為2，則的周長(zhǎng)是 ．
（2）若，則 ．
7．（2023春?合肥期末）如圖，在矩形中，，，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，連接．
（1）當(dāng)點(diǎn)恰為中點(diǎn)時(shí)，則 ．
（2）當(dāng)平分時(shí)，若，則 ．
三．解答題（共9小題）
8．（2023?全椒縣二模）如圖，已知等腰和等腰有公共的頂點(diǎn)，且，，，點(diǎn)恰好落在邊上（與、不重合），連接．
（1）求證：；
（2）若與相交于點(diǎn)，求證：；
（3）若，，且，請(qǐng)畫(huà)出符合條件的圖形，并求的長(zhǎng)．
9．（2020?安慶二模）如圖，菱形邊長(zhǎng)為4，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，，，連接，，與交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）①求證：；
②若，求的值．
10．（2023春?無(wú)為市期末）如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)，平分，，點(diǎn)在邊上，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）線段，，的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論．
11．（2023春?合肥期中）在中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，菱形的面積為40．求的長(zhǎng)．
12．（2023秋?田家庵區(qū)校級(jí)月考）問(wèn)題背景：
（1）如圖1：在四邊形中，，，．，分別是，上的點(diǎn)．且．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)到點(diǎn)．使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 ．
探索延伸：
（2）如圖2，若在四邊形中，，．，分別是，上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．
13．（2023?無(wú)為市一模）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)在直線上，且，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱(chēng)為“一線三等角“模型．
應(yīng)用：（1）如圖2，中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)．求證；．
（2）如圖3，在中，是上一點(diǎn)，，，，，求點(diǎn)到邊的距離．
（3）如圖4，在中，為邊上的一點(diǎn)，為邊上的一點(diǎn)．若，，，求的值．
14．（2022?合肥一模）如圖，點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
（1）求的度數(shù)；
（2）求的值．
15．（2023?霍邱縣一模）如圖1，等邊中，點(diǎn)、分別在、上，且，連接、交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）如圖2，連接，若，判斷與的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在上，的延長(zhǎng)線交于，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．
16．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．
（1）若，，求的長(zhǎng)；
（2）求證：；
（3）求證：．

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