通用的解題思路：
解決矩形翻折問題：
利用折疊和矩形性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)線段關(guān)系；
在折疊后形成的直角三角形中利用勾股定理構(gòu)造方程求解。
2、十字架模型：

3、動(dòng)態(tài)問題中的線段長度最值
通常利用三點(diǎn)共線解決，關(guān)鍵在于找到與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)之間恒為定長的點(diǎn)。
4、奔馳模型：
解題方法是旋轉(zhuǎn)一邊利用等邊三角形構(gòu)造“手拉手”模型證全等，結(jié)合勾股定理的逆定理得到結(jié)論。
5、線段長度、比值及最值問題：
（1）特殊圖形、全等、相似、勾股定理；
（2）圓中垂徑定理。
1．（2023·安徽·中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，是銳角的高，則 SKIPIF 1 < 0 ．當(dāng)，時(shí)， ．

【答案】
【分析】根據(jù)公式求得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴,
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·安徽·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)G．連接DF，請(qǐng)完成下列問題：
（1） °；
（2）若，，則 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 45 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先證△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知度數(shù)．
（2）先作FH⊥CD于H，利用平行線分線段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，證△MPF∽△NHF,即可求得NH的長度，MN=MH+NH即可得解．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵FG⊥AG，
∴∠G=∠A=90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=FE，∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠EBA，
在△ABE和△GEF中，
，
∴△ABE≌△GEF（AAS），
∴AE=FG，AB=GE，
在正方形ABCD中，AB=AD
∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，
∴AE=DG=FG，
∴∠FDG=∠DFG=45°．
故填：45°．
（2）如圖，作FH⊥CD于H，
∴∠FHD=90°
又∵∠G=∠GDH=90°，
∴四邊形DGFH是矩形，
又∵DG=FG，
∴四邊形DGFH是正方形，
∴DH=FH=DG=2，
∴
∴，
∴DM= SKIPIF 1 < 0 ，MH=，
作MP⊥DF于P，
∵∠MDP=∠DMP=45°，
∴DP=MP，
∵DP2+MP2=DM2，
∴DP=MP=，
∴PF=
∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，
∴∠MFP=∠NFH，
∵∠MPF=∠NHF=90°，
∴△MPF∽△NHF,
∴，即，
∴NH=，
∴MN=MH+NH=+= SKIPIF 1 < 0 ．
故填： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及判定以及相似三角形的性質(zhì)和判定，熟知相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能熟練運(yùn)用，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
3．（2020·安徽·中考真題）在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖，將四邊形紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使得點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為；再將分別沿折疊，此時(shí)點(diǎn)落在上的同一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處．請(qǐng)完成下列探究：
的大小為 ；
當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)的值為 ．
【答案】 30 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)折疊得到∠D+∠C=180°，推出AD∥BC，，進(jìn)而得到∠AQP=90°，以及∠A=180°-∠B=90°，再由折疊，得到∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°即可；
（2）根據(jù)題意得到DC∥AP，從而證明∠APQ=∠PQR，得到QR=PR和QR=AR，結(jié)合（1）中結(jié)論，設(shè)QR=a，則AP=2a，由勾股定理表達(dá)出AB=AQ=即可解答．
【詳解】解：（1）由題意可知，∠D+∠C=180°，
∴AD∥BC，
由折疊可知∠AQD=∠AQR，∠CQP=∠PQR，
∴∠AQR+∠PQR=，即∠AQP=90°，
∴∠B=90°，則∠A=180°-∠B=90°，
由折疊可知，∠DAQ=∠BAP=∠PAQ，
∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°，
故答案為：30；
（2）若四邊形APCD為平行四邊形，則DC∥AP，
∴∠CQP=∠APQ，
由折疊可知：∠CQP=∠PQR，
∴∠APQ=∠PQR，
∴QR=PR，
同理可得：QR=AR，即R為AP的中點(diǎn)，
由（1）可知，∠AQP=90°，∠PAQ=30°，且AB=AQ，
設(shè)QR=a，則AP=2a，
∴QP=，
∴AB=AQ=，
∴，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形中的折疊問題，涉及了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟悉折疊的性質(zhì)．
1．（2024·安徽合肥·二模）如圖，在四邊形中，，連接交于點(diǎn)F，O在上，，．
（1）若，則 °
（2）若，則
【答案】 65
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得，可得，由可得；
（2）過點(diǎn)D作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，于點(diǎn)R，于S，得得由勾股定理求出求出證明得，，從而可得答案
【詳解】解：（1）∵
∴
∵
∴，
∵
∴；
（2）過點(diǎn)D作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，于點(diǎn)R，于S，如圖，

則
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
由勾股定理得，
∴
∵，
∴，
∴
又
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，，
∴
∴
故答案為：65；
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)在，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及求角的正切值，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形以及相似三角形是解答本題的關(guān)鍵
2．（2024·安徽·一模）如圖1是我國明末《崇禎歷書》之《割圓勾股八線表》中所繪的割圓八線圖．如圖2，根據(jù)割圓八線圖，在扇形中，，和 SKIPIF 1 < 0 都是的切線，點(diǎn)和點(diǎn)是切點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．若，則的長為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理可求出，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系以及特殊銳角三角函數(shù)值求出，即可．
【詳解】解：如圖，
，
，
，
，
，
是的切線，點(diǎn)是切點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，
即，
，
在中，，，
，
在 SKIPIF 1 < 0 中，， SKIPIF 1 < 0 ，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理以及解直角三角形，掌握切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理以及解直角三角是正確解答的關(guān)鍵．
3．（2023·安徽合肥·一模）如圖，在中，，點(diǎn)P是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，且滿足，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)D．
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）當(dāng)線段最短時(shí)，的面積為 ．
【答案】
【分析】（1）根據(jù)，得到，結(jié)合，得到，繼而得到，計(jì)算即可．
（2）根據(jù)，，得到點(diǎn)P在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)O，則當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，線段最短，利用三角形的面積特點(diǎn)計(jì)算即可，
本題考查了直角三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
（2）∵，，得到點(diǎn)P在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)O，則當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，線段最短，
∴，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
4．（2024·安徽滁州·一模）如圖，在矩形紙片中，對(duì)角線和交于點(diǎn)，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)．
（1）若，，則的長為 ；
（2）若，則 SKIPIF 1 < 0 的值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）勾股定理得出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可求解；
（2）同（1）求得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：∵依題意，在矩形紙片中，，，
∴
∴
∵折疊，
∴，，
∴，
設(shè)，則，
在中，
即
解得：，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：．
（2）∵，
設(shè)，，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴
∵折疊，
∴，，
∴，
設(shè)，則，
在中，
即
解得：，
即，
∵，
∴
∴
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與矩形的折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
5．（2024·安徽合肥·一模）在矩形中，，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處．
（1）當(dāng)點(diǎn)落在矩形對(duì)角線上時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 的長為
（2）當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 的長為 ．
【答案】 3 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)勾股定理，得到，，繼而得到，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則，利用勾股定理解答即可．
（2）分和，兩種情形，利用折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，對(duì)稱性解答即可．
【詳解】（1）矩形中，，，
∴，
∴，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，
∴，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則，
∴
解得．
故答案為：3．
（2）當(dāng)時(shí)，
過點(diǎn)F作于點(diǎn)M，于點(diǎn)G，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，，
∴，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，
∴，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)F作于點(diǎn)M，延長交于點(diǎn)N，
∴，
∴直線是矩形的對(duì)稱軸，
∴，四邊形是矩形，
∴，，
∴，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則，
∴
解得．
故答案為：或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理，三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
6．（2024·浙江金華·二模）如圖，在正方形中，，，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形（為順時(shí)針排列），連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值為 ．
【答案】 /
【分析】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形從而確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
如圖所示，連接，先證明，，進(jìn)而證明得到，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)三等共線， SKIPIF 1 < 0 最大，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心， 為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)三等共線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 最大，
∴的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為：， SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，， SKIPIF 1 < 0 ，，且，過邊上一點(diǎn)作，若，則的長度為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)作于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，結(jié)合已知條件可得，進(jìn)而可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)勾股定理得到，由，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
，，
∴，
，
，
解得或（舍去）
，
，
，
， SKIPIF 1 < 0 ，
，
解得或者（舍去），
，
, SKIPIF 1 < 0 ，
，
在中，
，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2024·河北邯鄲·二模）如圖，矩形中，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接點(diǎn)與邊的中點(diǎn)，將沿翻折得到，延長交邊于點(diǎn)，作的平分線，交邊于點(diǎn)．

（1）若，則 °；
（2）若，且三點(diǎn)共線，則 ．
【答案】
【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)及折疊性質(zhì)得的度數(shù)，再由矩形的性質(zhì)及角平分線的條件即可求解；
（2）由面積相等可求得，從而得，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，則可表示，在中由勾股定理建立方程即可求得．
【詳解】解：（1）矩形中，，
∴，；
由折疊知：，
∴，；
∵平分，
∴；
故答案為：55；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
由折疊知，，；
∵E為中點(diǎn)，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得：,
即，
解得：；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與折疊問題，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分線的定義等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是關(guān)鍵．
9．（2024·黑龍江綏化·一模）如圖在 中， 為直徑， 為弦，點(diǎn)為弧 的中點(diǎn)，以點(diǎn) 為切點(diǎn)的切線與 的延長線交于點(diǎn)．若 則 ．
【答案】/
【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，垂徑定理的推理，平行線分線段成比例，勾股定理的綜合，掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)垂徑定理的推理可得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，由此證得，根據(jù)平行線分線段成比例可得，設(shè)，可用含的式子表示出的長，在直角中根據(jù)勾股定理可求出，由此即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
∵點(diǎn)為中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵是切線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴設(shè)，則，，
∴，，
在中，，
∴，
故答案為： ．
10．（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，在中，，是邊上的一點(diǎn)，，，分別是，上的點(diǎn)，且，．
(1)設(shè)，則 (用含的式子表示)；
(2)若，，則的長為 ．
【答案】 /
【分析】（1）依題意得，設(shè)，則，，，然后根據(jù)得，即，則，據(jù)此可得的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)作交的延長線于，設(shè)則，證和全等得，則，再證得，然后在中由勾股定理構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求出即可得的長．
【詳解】解：（1），
，
設(shè)，
，
，
，
為的一個(gè)外角，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
（2）過點(diǎn)作交的延長線于，如下圖所示：
則，
，
由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，，
，
設(shè)則
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
是的一個(gè)外角，
，
，，
，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得： (不合題意，舍去)，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，理解等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理構(gòu)造方程是解決問題的關(guān)鍵，難點(diǎn)是正確地作出輔助線構(gòu)造全等三角形．
11．（2024·安徽合肥·一模）如圖1，在矩形紙片中，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，將這張紙片依次折疊兩次；第一次折疊紙片使點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，折痕為，連接、；第二次折疊紙片使點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，點(diǎn)落到處，折痕為，連接．完成下面的探究：
（1）線段的長是 ；
（2） ．
【答案】 /
【分析】如圖中，作于．設(shè)，則，利用勾股定理求出，再利用，得，求出，，求出，再證明即可解決問題．
【詳解】解：如圖中，作于．
設(shè)，則，
，，
SKIPIF 1 < 0 ，
在中，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得，
，，
，，
，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
如圖中，
，，
，
，
，，
，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為:；．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)把問題轉(zhuǎn)化，證明是關(guān)鍵．
12．（2024·安徽蕪湖·一模）如圖，在中，，， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且，將繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接，．
（1）當(dāng)點(diǎn)D是的中點(diǎn)時(shí)，的最小值為 ；
（2）當(dāng)，且點(diǎn)Q在直線上時(shí)，的長為 ．

【答案】 或
【分析】本題考查勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分兩種情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)勾股定理得到長，當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，最小，計(jì)算即可；
（2）現(xiàn)根據(jù)三角形的面積求出長，然后利用勾勾股定理求出長，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，利用勾股定理分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)D是的中點(diǎn)時(shí)，如圖所示，以為圓心，以長為半徑作圓C，交于點(diǎn)Q，則為最小值，
∵，， SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
又∵D是的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，
故答案為：；

（2）如圖：

∵，
∴
，
∴，
∴點(diǎn)在同一條直線上，由旋轉(zhuǎn)得：
，
分兩種情況：
當(dāng)點(diǎn)在上,
在 中，，
；
當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，在 中,

綜上所述：當(dāng)時(shí), 的長為或 ，
故答案為：或 ．
13．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E是四邊形外一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，O在上，連接

（1）若，則 °
（2）若，則
【答案】 65
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得，可得,由可得；
（2）過點(diǎn)D作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，于點(diǎn)R，于S，得得由勾股定理求出求出證明得，，從而可得答案
【詳解】解：（1）∵
∴
∵
∴
∴,
∵
∴；
（2）過點(diǎn)D作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，于點(diǎn)R，于S，如圖，

則
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
由勾股定理得，
∴
∵，
∴,
∴
又
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，，
∴
∴
故答案為：65；
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)在，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及求角的正切值，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形以及相似三角形是解答本題的關(guān)鍵
14．（2024·安徽蕪湖·一模）如圖，已知菱形的面積等于24，，則
（1） ；
（2）點(diǎn)，，， SKIPIF 1 < 0 分別是此菱形的，，，邊上的點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．

【答案】 6 6
【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，涉及菱形面積公式、菱形性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形的面積公式得出解答．
（1）根據(jù)菱形的面積公式列方程求解得出即可；
（2）根據(jù)菱形的面積得出，由平行線的判定與性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)得出比例解答．
【詳解】解：（1）菱形的面積等于24，，
；
（2）四邊形是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ，，
菱形的面積等于24，，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理，由可得，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即，
，
故答案為：（1）6；（2）6．
15．（2023·安徽合肥·三模）如圖，，均為等腰直角三角形，，，點(diǎn)，，在同一直線，與相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，完成以下問題：

（1）的度數(shù)為 ；（2）若為的中點(diǎn)，則的長為 ．
【答案】 /90度
【分析】（1）先證得再由即可得解；
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，再證得，即可得解．
【詳解】解：（1）∵，均為等腰直角三角形，，，
∴ SKIPIF 1 < 0 即
∴
∴
∴
∵
∴
∴，
故答案為；
（）∵為的中點(diǎn)，，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵在中，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵為的中點(diǎn)，，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵
∴
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵， SKIPIF 1 < 0 ，
∴
∴
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴，
故答案為
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)等，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·安徽·一模）如圖，點(diǎn)E是正方形的邊上一點(diǎn)，以所在直線為對(duì)稱軸折疊，得到，點(diǎn)H為 SKIPIF 1 < 0 延長線上一點(diǎn)，以所在直線為對(duì)稱軸折疊，恰好與 SKIPIF 1 < 0 重合．
（1）的度數(shù)為 ．
（2）若，則點(diǎn)H到的距離最大為 ．
【答案】
【分析】（1）由折疊得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，從而，，進(jìn)而可求的度數(shù)；
（2）作的外接圓，圓心為點(diǎn)O，連接、、 SKIPIF 1 < 0 ，則，則，作于點(diǎn)I，于點(diǎn)K，則，，由，進(jìn)而可求點(diǎn)H到的距離最大值．
【詳解】∵四邊形是正方形，
∴，
由折疊得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∵點(diǎn)F與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，
∴垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
故答案為：．
（2）作的外接圓，圓心為點(diǎn)O，連接、、 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
作于點(diǎn)I，于點(diǎn)K，則，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴，
∴的最大值為，
∴點(diǎn)H到的距離最大值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、圓周角定理、解直角三角形、垂線段最短等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
17．（2021·安徽合肥·一模）如圖，中，，，點(diǎn)D為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過A作交于E，垂足為F．
（1）當(dāng)時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 的值為 ；
（2）當(dāng)時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 的值為 ．
【答案】
【分析】（1）假定AB=AC=1，則BC=．∠BAC=90°，DE⊥BC時(shí)，A，B，E，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，可得∠BAE=∠BDE，利用同角的余角相等，可得∠BEF=∠BDE，從而可得△ABE為等腰三角形，BE=AE=1，EC=BCBE=．結(jié)論可得；
（2）當(dāng)DE⊥AC時(shí)，∠BAC=90°，可得DE∥AB，設(shè)DE=x，通過說明△EDA∽△DAB，分別計(jì)算線段BE，CE，結(jié)論可得．
【詳解】解：假定AB=AC=1，則BC=．
（1）當(dāng)DE⊥BC時(shí)，如圖：
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°．
∵∠BAC=90°，
如圖，取的中點(diǎn) 連接

∴A，B，E，D四點(diǎn)在以為圓心，為半徑的同一個(gè)圓上．
∴∠BAE=∠BDE．
∵DE⊥BC，
∴∠BEF+∠DEF=90°．
∵AE⊥BD，
∴∠FDE+∠FED=90°．
∴∠BEF=∠BDE
∴∠BAE=∠BEA．
∴AB=BE=1．
∴EC=BCBE=．
∴．
故答案為：．
（2）如圖：
∵DE⊥AC，∠BAC=90°，
∴DE∥AB．
∴∠BAE=∠AED．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠EAD=90°．
∵AE⊥BD，
∴∠EAD+∠ADB=90°．
∴∠BAE=∠ADB．
∴∠ADB=∠AED．
∵∠BAD=∠ADE=90°，
∴△ABD∽△DAE．
∴．
∵DE⊥AC，∠C=45°，
∴DE=DC．
設(shè)DE=DC=x，則AD=1x，EC=．
∴BE=BCEC=．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
解得：x1＝ SKIPIF 1 < 0 (大于1，舍去)，x2＝．
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根且符合題意，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，給出恰當(dāng)?shù)膮?shù)，利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，求出線段BE，CE的長度是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，于點(diǎn)F，O點(diǎn)為正方形的中心，連接，連接交于點(diǎn)G．請(qǐng)完成下列問題：
(1) ；
(2)連接 SKIPIF 1 < 0 ，若，， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為 ．
【答案】(1)45
(2)
【分析】（1）連接，，，通過同角的余角相等得到，又，，可證，從而 SKIPIF 1 < 0 ，由點(diǎn)O為正方形ABCD的中心可得，，又根據(jù)與互余，與互余，得到，再 SKIPIF 1 < 0 ，可證，得到，由于，，，證明，從而得到，即是等腰直角三角形，得到 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè)OA與DF交于點(diǎn)H，分別連接GH，OC，易證，得到
，利用勾股定理在中，求得，利用銳角三角函數(shù)在中，求得．利用正方形的邊長，可得，從而利用勾股定理，在中，求得．
【詳解】（1）如圖1，分別連接，，．
∵
∴
∵
∴
∴
又∵，，
∴
∴ SKIPIF 1 < 0
∵O為正方形ABCD的中心
∴，
∴，
∴
∵ SKIPIF 1 < 0
∴
∴，
∵，，
∴
∴
∵
∴
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案為：45
（2）如圖2，設(shè)OA與DF交于點(diǎn)H，分別連接GH，OC，
由（1）可知：，，
∴
∴
∵，
∴在中，，
∴在中，．
∵
∴，
∴在中，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的證明與性質(zhì)，利用勾股定理和銳角三角函數(shù)解解直角三角形，正確作出輔助線，找到邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·安徽池州·二模）如圖，在正方形中，G為邊上一點(diǎn)，將沿翻折到處，延長交邊于點(diǎn)E，過點(diǎn)F作分別交，，于點(diǎn)H，P，Q，請(qǐng)完成下列問題：

（1） ．
（2）若，則 ．
【答案】 /度
【分析】（1）根據(jù)折疊得出，證明，得出，根據(jù)，求出結(jié)果即可；
（2）過點(diǎn)H作于點(diǎn)M，證明，得出 SKIPIF 1 < 0 ，，證明，得出，設(shè)，則，得出，得出，根據(jù)，求出x的值，即可得出答案．
【詳解】解：（1）∵四邊形為正方形，
∴，，
根據(jù)折疊可知，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案為：；
（2）過點(diǎn)H作于點(diǎn)M，如圖所示：

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和判斷，作出輔助線構(gòu)造全等三角形，證明．
20．（2023·安徽黃山·二模）如圖，點(diǎn)D是等邊三角形邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），連接．把繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到，連接交于點(diǎn)F，．設(shè)，．
（1）請(qǐng)寫出y是x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍： ；
（2）如圖2，點(diǎn)G是中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長度最小值是 ．
【答案】 ，的范圍是.
【分析】（1）證明，，由旋轉(zhuǎn)可得：，，可得為等邊三角形，證明，可得，則，而，．可得，從而可得答案；
（2）如圖，作射線，證明，可得，再證明，可得，則在射線上運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 最短，從而可得答案.
【詳解】解：（1）∵等邊三角形，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)可得：，，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，而，．
∴，
∴，
而的范圍是.
故答案為：，的范圍是.
（2）如圖，作射線，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在射線上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 最短，
∵為中點(diǎn)，,
∴，
∴；即線段 SKIPIF 1 < 0 的長度最小值是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，證明在射線上運(yùn)動(dòng)是解本題的關(guān)鍵.

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