一、復習方法
1.以專題復習為主。 2.重視方法思維的訓練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習慣。
二、復習難點
1.專題的選擇要準，安排時間要合理。 2.專項復習要以題帶知識。
3.在復習的過程中要兼顧基礎，在此基礎上適當增加變式和難度，提高能力。
專題06 半角模型綜合應用（知識解讀）
【專題說明】
角含半角模型，顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標三角形法和翻折目標三角形法。
【方法技巧】
類型一：等腰直角三角形角含半角模型
（1）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D，E在BC上，且∠DAE=45°，則：BD+CE=DE.
旋轉(zhuǎn)法 翻折法
作法1：將△ABD旋轉(zhuǎn)90° 作法2：分別翻折△ABD,△ACE
（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在BC上，點E在BC延長線上，且∠DAE=45°，則：BD+CE=DE.
（3）如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時，亦可以進行兩種方法的操作處理..
任意等腰三角形
類型二：正方形中角含半角模型
（1）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF，過點A作AG⊥于EF于點G，則：EF=BE+DF，AG=AD.

圖示（1） 作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°
（2）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CB，DC的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，則：EF=DF-BE.

圖示（2） 作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°
（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對角互補的四邊形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，則：EF=BE+DF.
圖示（3） 作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的大小
類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型

作輔助線：延長FC到G，使得CG=BE，連接DG
結論：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF
【典例分析】
【類型一：等腰直角三角形角含半角模型】
【典例1】如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，若將△ABC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△EDC．
（1）求證：∠ADC+∠CDE＝180°；
（2）若AB＝3cm，AC＝，求AD的長；
（3）在（2）的條件下，求四邊形ABCD的周長和面積．
【變式1-1】如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E為BC邊上兩點，∠DAE＝45°，過A點作AF⊥AE，且AF＝AE，連接DF、BF．下列結論：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD＝4，CE＝3，則AB＝6；④若AB＝BE，S△ABD＝，其中正確的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式1-2】如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，則MN的長為 ．
【類型二：正方形中角含半角模型】
【典例2】（2022春?西山區(qū)校級月考）如圖，已知正方形ABCD，點E、F分別是AB、BC邊上，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．
（1）求證：△EDF≌△MDF；
（2）若正方形ABCD的邊長為5，AE＝2時，求EF的長？
【變式2-1】（2022春?路北區(qū)期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．
（1）求證：GE＝FE；
（2）若DF＝3，求BE的長為 ．
【變式2-2】（2021秋?山西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：
任務：
如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A為頂點的∠EAF＝60°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．請參照閱讀材料中的解題方法，你認為結論EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
【典例3】已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N，AH⊥MN于點H．
（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關系： ；
（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；
（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長．（可利用（2）得到的結論）
【變式3-1】探究：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關系，直接寫出判斷結果： ；
（2）如圖2，若把（1）問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD”，則（1）問中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；
（3）在（2）問中，若將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點分別E、F運動到BC、CD延長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結論是否發(fā)生變化？若變化，請給出結論并予以證明．
【變式3-2】已知：如圖邊長為2的正方形ABCD中，∠MAN的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠MAN＝45°
①求證：MN＝BM+DN；
②若AM、AN交對角線BD于E、F兩點．設BF＝y(tǒng)，DE＝x，求y與x的函數(shù)關系式．
【類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型】
【典例4】已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC邊上的點，將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD'，連接D'E．
（Ⅰ）如圖1，當∠BAC＝120°，∠DAE＝60°時，求證：DE＝D'E；
（Ⅱ）如圖2，當DE＝D'E時，請寫出∠DAE與∠BAC的數(shù)量關系，并說明理由．
（Ⅲ）當∠BAC＝90°，DE＝D'E，EC＝CD'時，請直接寫出BD與DE的數(shù)量關系（不必說明理由）．
【變式4-1】（2017秋?錦江區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)是邊BC所在直線上與點B，C不重合的兩點．
（1）如圖1，當∠BAC＝90°，∠EAF＝45°時，直接寫出線段BE，CF，EF的數(shù)量關系；（不必證明）
（2）如圖2，當∠BAC＝60°，∠EAF＝30°時，已知BE＝3，CF＝5，求線段EF的長度；
（3）如圖3，當∠BAC＝90°，∠EAF＝135°時，請?zhí)骄烤€段CE，BF，EF的數(shù)量關系，并證明．
【變式4-2】等邊△ABC，D為△ABC外一點，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射線DM與直線AB相交于點M，射線DN與直線AC相交于點N，
①當點M、N在邊AB、AC上，且DM＝DN時，直接寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關系．
②當點M、N在邊AB、AC上，且DM≠DN時，猜想①中的結論還成立嗎？若成立，請證明．
③當點M、N在邊AB、CA的延長線上時，請畫出圖形，并寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關系．
專題06 半角模型（知識解讀）
【專題說明】
角含半角模型，顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標三角形法和翻折目標三角形法。
【方法技巧】
類型一：等腰直角三角形角含半角模型
（1）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D，E在BC上，且∠DAE=45°，則：BD+CE=DE.
旋轉(zhuǎn)法 翻折法
作法1：將△ABD旋轉(zhuǎn)90° 作法2：分別翻折△ABD,△ACE
（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在BC上，點E在BC延長線上，且∠DAE=45°，則：BD+CE=DE.
（3）如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時，亦可以進行兩種方法的操作處理..
任意等腰三角形
類型二：正方形中角含半角模型
（1）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF，過點A作AG⊥于EF于點G，則：EF=BE+DF，AG=AD.

圖示（1） 作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°
（2）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CB，DC的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，則：EF=DF-BE.

圖示（2） 作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°
（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對角互補的四邊形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，則：EF=BE+DF.
圖示（3） 作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的大小
類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型

作輔助線：延長FC到G，使得CG=BE，連接DG
結論：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF
【典例分析】
【類型一：等腰直角三角形角含半角模型】
【典例1】如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，若將△ABC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△EDC．
（1）求證：∠ADC+∠CDE＝180°；
（2）若AB＝3cm，AC＝，求AD的長；
（3）在（2）的條件下，求四邊形ABCD的周長和面積．
【解答】（1）證明：如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，則∠B+∠ADC＝180°．
∵將△ABC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△EDC，
∴△ABC≌△EDC，
∴∠CDE＝∠CBA，
∴∠ADC+∠CDE＝180°；
（2）解：∵將△ABC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△EDC，
∴AC＝EC＝，AB＝ED＝3cm，∠ACE＝90°，
∴AE＝AC＝8cm，
∴AD＝AE﹣EC＝AE﹣AB＝5cm；
（3）解：如圖，連接BD．
由（2）知，AD＝5cm．
則在直角△ABD中，由勾股定理得到：BD＝＝．
又∵BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴BC＝CD＝＝，
∴四邊形ABCD的周長為：AB+AD+2BC＝3+5+2＝8+2；
∵△ABC≌△EDC，
∴四邊形ABCD的面積＝△ACE的面積＝AC?CE＝×4×4＝16（cm2）．
綜上所述，四邊形ABCD的周長為（8+2）cm，面積為16cm2．
【變式1-1】如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E為BC邊上兩點，∠DAE＝45°，過A點作AF⊥AE，且AF＝AE，連接DF、BF．下列結論：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD＝4，CE＝3，則AB＝6；④若AB＝BE，S△ABD＝，其中正確的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【解答】解：∵AF⊥AE，
∴∠FAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠FAB＝∠EAC，
∵AB＝AC，AF＝AE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
故①正確；
∵∠DAE＝45°，∠FAE＝90°，
∴∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE，
∵AD＝AD，AF＝AE，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴∠FDA＝∠EDA，
∴AD平分∠EDF，
故②正確；
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AB，
∵△ABF≌△ACE，
∴∠ABF＝∠C＝45°，BF＝CE＝3，
∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°，
∴DF＝＝＝5，
∵△FAD≌△EAD，
∴FD＝ED＝5，
∴BC＝BD+DE+CE＝4+5+3＝12，
∴AB＝6，
故③正確；
∵AB＝BE，∠ABE＝45°，
∴∠BAE＝∠BEA＝67.5°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠AED＝67.5°，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵AB＝AC，∠ABE＝∠C＝45°，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝CE，
∵BF＝CE，
∴BD＝BF，
∵∠FBD＝90°，
∴DF＝BD，
∴DE＝BD，
∴S△ADE＝S△ABD，
故④錯誤；
綜上所述，正確的個數(shù)有3個，
故選：C
【變式1-2】如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，則MN的長為 ．
【解答】解：將△AMB逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△ACF，連接NF，
∴CF＝BM，AF＝AM，∠B＝∠ACF．∠2＝∠3，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠NAF＝∠1+∠3＝∠1+∠2＝90°﹣45°＝45°＝∠NAF，
在△MAN和△FAN中
∴△MAN≌△FAN，
∴MN＝NF，
∵∠ACF＝∠B＝45°，∠ACB＝45°，
∴∠FCN＝90°，
∵CF＝BM＝1，CN＝3，
∴在Rt△CFN中，由勾股定理得：MN＝NF＝＝，
故答案為：．
【類型二：正方形中角含半角模型】
【典例2】（2022春?西山區(qū)校級月考）如圖，已知正方形ABCD，點E、F分別是AB、BC邊上，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．
（1）求證：△EDF≌△MDF；
（2）若正方形ABCD的邊長為5，AE＝2時，求EF的長？
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠DCF＝90°，AD＝AB＝BC＝5，
由旋轉(zhuǎn)得：
∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠DCF+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三點在同一條直線上，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDC＝45°，
∴∠EDF＝FDM，
∵DF＝DF，
∴△EDF≌△MDF（SAS）；
（2）設CF＝x，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣x，
由旋轉(zhuǎn)得：AE＝CM＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝3，F(xiàn)M＝CF+CM＝2+x，
∵△EDF≌△MDF，
∴EF＝FM＝2+x，
在Rt△EBF中，BE2+BF2＝EF2，
∴9+（5﹣x）2＝（2+x）2，
∴x＝，
∴EF＝2+x＝，
∴EF的長為．
【變式2-1】（2022春?路北區(qū)期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．
（1）求證：GE＝FE；
（2）若DF＝3，求BE的長為 ．
【解答】（1）證明：∵將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
（2）解：設BE＝x，則GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即BE＝2，
【變式2-2】（2021秋?山西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：
任務：
如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A為頂點的∠EAF＝60°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．請參照閱讀材料中的解題方法，你認為結論EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
【解答】解：成立．
證明：將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABM，
∴△ABM≌△ADF，∠ABM＝∠D＝90°，∠MAB＝∠FAD，AM＝AF，MB＝DF，
∴∠MBE＝∠ABM+∠ABE＝180°，
∴M、B、E三點共線，
∴∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝60°，
∴∠MAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，AM＝AF，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴ME＝EF，
∴EF＝ME＝MB+BE＝DF+BE．
【典例3】已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N，AH⊥MN于點H．
（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關系： ；
（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；
（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長．（可利用（2）得到的結論）
【解答】解：（1）∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
在Rt△ABM和Rt△ADN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），
∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，
∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN
∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，
∴∠BAM＝∠MAH，
在Rt△ABM和Rt△AHM中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），
∴AB＝AH，
故答案為：AB＝AH；
（2）AB＝AH成立，理由如下：
延長CB至E，使BE＝DN，如圖：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAB+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝45°，
∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
又AM＝AM，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∵AB，AH是△AEM和△ANM對應邊上的高，
∴AB＝AH．
（3）分別沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分別延長BM和DN交于點C，如圖：
∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．
由（2）可知，設NH＝x，則MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，
∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，
解得x＝3，
∴NH＝3
【變式3-1】探究：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關系，直接寫出判斷結果： ；
（2）如圖2，若把（1）問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD”，則（1）問中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；
（3）在（2）問中，若將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點分別E、F運動到BC、CD延長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結論是否發(fā)生變化？若變化，請給出結論并予以證明．
【解答】解：（1）如圖1，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF′，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEF′中，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF＝EF′，
又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（2）結論EF＝BE+DF仍然成立．
理由如下：如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF′，
則△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′，
∴∠EAF＝∠EAF′，
又∵∠ABC+∠D＝180°，
∴∠ABF′+∠ABE＝180°，
∴F′、B、E三點共線，
在△AEF與△AEF′中，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF＝EF′，
又∵EF′＝BE+BF′，
∴EF＝BE+DF；
（3）發(fā)生變化．EF、BE、DF之間的關系是EF＝BE﹣DF．
理由如下：如圖3，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，點F落在BC上點F′處，得到△ABF′，
∴△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，
又∵∠EAF＝∠BAD，且∠BAF′＝∠DAF，
∴∠F′AE＝∠BAD﹣（∠BAF′+∠EAD）＝∠BAD﹣（∠DAF+∠EAD）＝∠BAD﹣∠FAE＝∠FAE，
即∠F′AE＝∠FAE，
在△F′AE與△FAE中，，
∴△F′AE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EF′，
又∵BE＝BF′+EF′，
∴EF′＝BE﹣BF′，
即EF＝BE﹣DF．
【變式3-2】已知：如圖邊長為2的正方形ABCD中，∠MAN的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠MAN＝45°
①求證：MN＝BM+DN；
②若AM、AN交對角線BD于E、F兩點．設BF＝y(tǒng)，DE＝x，求y與x的函數(shù)關系式．
【解答】（1）證明：將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM′，
∴∠M′AN＝∠DAN+∠MAB＝45°，AM′＝AM，BM＝DM′，
∵M′AN＝∠MAN＝45°，AN＝AN，
∴△AMN≌△AM′N′，
∴MN＝NM′，
∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，
∴MN＝BM+DN．
（2）解：∵∠AED＝45°+∠BAE，∠FAB＝45°+∠BAE，
∴∠AED＝∠FAB，
∵∠ABF＝∠ADE，
∴△BFA∽△DAE，
∴＝，
∴＝，
∴y＝．
【類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型】
【典例4】已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC邊上的點，將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD'，連接D'E．
（Ⅰ）如圖1，當∠BAC＝120°，∠DAE＝60°時，求證：DE＝D'E；
（Ⅱ）如圖2，當DE＝D'E時，請寫出∠DAE與∠BAC的數(shù)量關系，并說明理由．
（Ⅲ）當∠BAC＝90°，DE＝D'E，EC＝CD'時，請直接寫出BD與DE的數(shù)量關系（不必說明理由）．
【解答】（I）證明：∵將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD'，
∴AD＝AD'，∠CAD'＝BAD，
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠D'AE＝∠CAD'+∠CAE
＝∠BAD+∠CAE
＝∠BAC﹣∠DAE
＝120°﹣60°
＝60°，
∴∠DAE＝∠D'AE，
在△ADE與△AD'E中，
，
∴△ADE≌△AD'E（SAS），
∴DE＝D'E；
（Ⅱ）解：∠DAE＝，理由如下：
在△ADE與△AD'E中，
，
∴△ADE≌△AD'E（SSS），
∴∠DAE＝∠D'AE，
∴∠BAD+∠CAE＝∠CAD'+∠CAE＝∠D'AE＝∠DAE，
∴∠DAE＝；
（Ⅲ）解：DE＝BD，理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝45°，
∴∠ECD＝90°，
∵EC＝CD'，
∴△ECD'是等腰直角三角形，
∴D'E＝CD'＝BD，
∵DE＝D'E，
∴DE＝BD．
【變式4-1】（2017秋?錦江區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)是邊BC所在直線上與點B，C不重合的兩點．
（1）如圖1，當∠BAC＝90°，∠EAF＝45°時，直接寫出線段BE，CF，EF的數(shù)量關系；（不必證明）
（2）如圖2，當∠BAC＝60°，∠EAF＝30°時，已知BE＝3，CF＝5，求線段EF的長度；
（3）如圖3，當∠BAC＝90°，∠EAF＝135°時，請?zhí)骄烤€段CE，BF，EF的數(shù)量關系，并證明．
【解答】解：（1）結論：EF2＝BE2+CF2．
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ACG，連接FG，如圖1中，
∴AG＝AE，CG＝BE，∠ACG＝∠B，∠EAG＝90°，
∴∠FCG＝∠ACB+∠ACG＝∠ACB+∠B＝90°，
∴FG2＝FC2+CG2＝BE2+FC2；
又∵∠EAF＝45°，
而∠EAG＝90°，
∴∠GAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF，
∵AF＝AF，AE＝AG，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∴EF2＝BE2+CF2．
（2）如圖2中，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ACG，連接FG，作GH⊥BC交BC的延長線于H．
∵∠BAC＝60°，∠EAF＝30°，
∴∠BAE+∠CAF＝∠CAG+∠CAF＝∠FAG＝30°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵AF＝AF，AE＝AG，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
在Rt△CGH中，∵CG＝BE＝3，∠GCH＝60°，
∴∠CGH＝30°，
∴CH＝CG＝，GH＝CH＝，
在Rt△FGH中，F(xiàn)G＝＝＝7，
∴EF＝FG＝7．
（3）結論：EF2＝EC2+BF2
理由：如圖3中，將△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連接FG．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵△ACE≌△ABG，
∴∠CAE＝∠BAG，EC＝BG，∠ACE＝∠ABG＝45°，
∴∠CAB＝∠EAG＝90°，∠GBF＝90°，
∴∠FAG＝360°﹣∠EAF﹣∠EAG＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠FAE＝∠FAG，
∵FA＝FA，AG＝AE，
∴△FAE≌△FAG（SAS），
∴EF＝FG，
在Rt△FBG中，∵∠FBG＝90°，
∴FG2＝BG2+BF2，
∵FG＝EF，BG＝EC，
∴EF2＝EC2+BF2．
【變式4-2】等邊△ABC，D為△ABC外一點，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射線DM與直線AB相交于點M，射線DN與直線AC相交于點N，
①當點M、N在邊AB、AC上，且DM＝DN時，直接寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關系．
②當點M、N在邊AB、AC上，且DM≠DN時，猜想①中的結論還成立嗎？若成立，請證明．
③當點M、N在邊AB、CA的延長線上時，請畫出圖形，并寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關系．
【解答】解①BM、NC、MN之間的數(shù)量關系 BM+NC＝MN．
②猜想：結論仍然成立．
證明：在CN的反向延長線上截取CM1＝BM，連接DM1．
∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，
③證明：在CN上截取CM1＝BM，連接DM1．
可證△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，
可證∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N，
∴NC﹣BM＝MN．
從正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點構成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個幾何結論，例如：
如圖1，在正方形ABCD中，以A為頂點的∠EAF＝45°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．易證得EF＝BE+FD．
大致證明思路：如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABH，由∠HBE＝180°可得H、B、E三點共線，∠HAE＝∠EAF＝45°，進而可證明△AEH≌△AEF，故EF＝BE+DF．
從正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點構成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個幾何結論，例如：
如圖1，在正方形ABCD中，以A為頂點的∠EAF＝45°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．易證得EF＝BE+FD．
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