第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第二部分：典型例題剖析
高頻考點(diǎn)一：利用超越不等式比較大小
高頻考點(diǎn)二：利用對(duì)數(shù)型超越放縮證明不等式
高頻考點(diǎn)三：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式
第一部分：知 識(shí) 點(diǎn) 精 準(zhǔn) 記 憶
1、泰勒公式形式：
泰勒公式是將一個(gè)在處具有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)利用關(guān)于的次多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)的方法.
若函數(shù)在包含的某個(gè)閉區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，且在開(kāi)區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間上任意一點(diǎn)，成立下式：
其中：表示在處的階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)在處的泰勒展開(kāi)式，剩余的是泰勒公式的余項(xiàng)，是的高階無(wú)窮小量.
2、麥克勞林(Maclaurin)公式
雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式，僅僅是取的特殊結(jié)果，由于麥克勞林公式使用方便，在高考中經(jīng)常會(huì)涉及到.
3、常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4、兩個(gè)超越不等式：（注意解答題需先證明后使用）
4.1對(duì)數(shù)型超越放縮：（）
上式（1）中等號(hào)右邊只取第一項(xiàng)得：結(jié)論①
用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②
對(duì)于結(jié)論②左右兩邊同乘“”得，用替換“”得：
（）結(jié)論③
4.2指數(shù)型超越放縮：（）
上式（2）中等號(hào)右邊只取前2項(xiàng)得：結(jié)論①
用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②
當(dāng)時(shí)，對(duì)于上式結(jié)論②結(jié)論③
當(dāng)時(shí)，對(duì)于上式結(jié)論②結(jié)論④
第二部分：典 型 例 題 剖 析
高頻考點(diǎn)一：利用超越不等式比較大小
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
先用導(dǎo)數(shù)證明這兩個(gè)重要的不等式
①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”
，函數(shù)遞減， 函數(shù)遞增
故時(shí)函數(shù)取得最小值為0
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”
②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”
，函數(shù)遞增，函數(shù)遞減，
故時(shí)函數(shù)取得最大值為0，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”
故
故選：C
2．（2021·安徽·毛坦廠中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)，，，（其中自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)，，，所以在上遞增，在上遞減，所以，即.
令，則，，，考慮到，可得，即，化簡(jiǎn)得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，故時(shí)，排除A，B.下面比較a，b大小，由得，，故.所以.
故選:D
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
，即，
所以，所以，即，
又，所以，由，所以，
所以，即，所以，所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用經(jīng)典不等式可得.
4．（2022·河南洛陽(yáng)·高二期末（文））下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①，；②；③．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【詳解】
解：令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，，故①正確；
令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；
令，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故③錯(cuò)誤；
故選：C
5．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，給出以下結(jié)論，正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①；②；③存在無(wú)窮多個(gè),使；④
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【詳解】
，,，則單調(diào)遞增且大于0， 所以單調(diào)遞增，所以 ，即故①正確；
令，則，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以，即.因?yàn)椋?，，故②正確；
，，，由歸納法可知，，故不存在無(wú)窮多個(gè),使，故③錯(cuò)誤；
由得，，累加可得：可知④正確.
故選：B.
7．（2022·安徽·六安一中高二開(kāi)學(xué)考試）已知成等比數(shù)列，且，若，則
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】
設(shè),則,
令,則,令,則,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以,則,
即,
所以,
故,
又成等比數(shù)列,且,
設(shè)其公比為,則,即,
所以,
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)中的不等式在數(shù)列中的應(yīng)用,以及等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),屬于中檔題.導(dǎo)數(shù)中存在著一些常用的不等式結(jié)論,學(xué)生可以盡可能掌握.
高頻考點(diǎn)二：利用對(duì)數(shù)型超越放縮證明不等式
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－.
(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)g(x)＝，對(duì)?x1(0，＋∞)，?x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(3)證明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).
【答案】(1)a＝1，增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(3)證明見(jiàn)解析
(1)
由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.
于是f′(x)＝－1＝，
當(dāng)x(0，1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x(1，＋∞)時(shí)，f′(x)

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