說明：共有六個大題，23個小題，滿分120分，作答時間120分鐘．
一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
在每小題列出的四個備選項中只有一項是符合題目要求的，請將其代碼填入題后括號內(nèi)．錯選、多選或未選均不得分．
1. 若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，將代入已知反比例函數(shù)的解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程，即可求出的值．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
∴，解得，
故選：D．
【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，是中學(xué)階段的重點，將點代入函數(shù)表達式列出關(guān)于系數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵．
2. 從，3.14，，中隨機抽取一個數(shù)，此數(shù)是無理數(shù)的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查無理數(shù)、簡單的概率計算，根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)判斷出無理數(shù)的個數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【詳解】解：在，3.14，，中，是無理數(shù)，即無理數(shù)有1個，
∴隨機抽取一個數(shù)，此數(shù)是無理數(shù)的概率是，
故選：A
3. 如圖，該幾何體的主視圖為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查簡單幾何體的三視圖，根據(jù)主視圖是從正面看幾何體得到的圖形逐項判斷即可，注意看不見的棱用虛線表示．
【詳解】解：該幾何體的主視圖為：

故選：B．
4. 如圖，是矩形的邊上一點，射線交的延長線于點，已知，，則的長為（ ）
A. 2B. 4C. 3D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，即可證明，再利用，即可得到，即可解答，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
解得，
故選：A．
5. 如圖，ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直徑，則∠DAB的度數(shù)是（ ）
A. 35°B. 55°C. 65°D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】由AB＝BC，∠ABC＝110°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可求得∠C的度數(shù)，又由圓周角定理，即可求得答案．
【詳解】解：∵AB＝BC，∠ABC＝110°，
∴∠C＝35°，
∴∠D＝∠C＝35°，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠D＝90°﹣35°＝55°．
故選：B．
【點睛】此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)，此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
6. 一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象，本題可先由一次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致即可判斷．
【詳解】解：A、由拋物線可知，，由直線可知，，即，故本選項錯誤；
B、由拋物線可知，，由直線可知，，即，故本選項正確；
C、由拋物線可知，，由直線可知，，即，故本選項錯誤；
D、由拋物線可知，，由直線可知，，即，故本選項錯誤．
故選：B．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7. 已知是一元二次方程的一個解，則m的值是______．
【答案】-3
【解析】
【分析】將x=1代入方程得到關(guān)于m的方程，解得即可．
【詳解】根據(jù)題意，將x=1代入方程得到：1+m+2=0，
解得：m=-3，
故答案為：-3．
【點睛】本題考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．
8. 對于拋物線，當時，隨的增大而______．（填“增大”或“減小”）
【答案】增大
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，根據(jù)題目中的函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得出答案．
【詳解】解：∵拋物線，，
∴拋物線開口向上，對稱軸為y軸，
∴當時，隨的增大而增大．
故答案為：增大．
9. 如圖，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使得點的對應(yīng)點落在邊的延長線上，若，，則線段的長為______．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)線段相等得到，，進而可求解．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，
∵，，
∴，
故答案為：5．
10. 如圖，已知傳送帶與地面所成斜面坡度為，如果它把物體送到離地面米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為______米．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了坡度坡角問題，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意理解坡度的定義．
根據(jù)坡度的定義，由勾股定理即可求得答案．
【詳解】解：由題意得：斜坡的坡度：，米，，
，
，
中，米，
故物體所經(jīng)過的路程為米．
故答案為：．
11. 日晷儀也稱日晷，是我國古代較為普遍使用的計時儀器，內(nèi)圈被分為十二個全等的圖形，分別標示著“十二地支”（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥），如圖所示．通過測量得到晷面內(nèi)圈的半徑為．若晷針投影的長度不變，且都在晷面的內(nèi)圈上，則晷針投影在晷面上從“巳”時開始到“申”時結(jié)束（從旋轉(zhuǎn)到）劃過的圖形面積（圖中陰影部分）是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查扇形面積的計算．
先求出夾角，再根據(jù)扇形面積公式即可求解．
【詳解】解：由題意可知，一個地支的夾角為，
從“巳”時開始到“申”時結(jié)束走過的圖形是扇形，且圓心角為，
晷面內(nèi)圈的半徑為，
，
晷針投影在晷面上劃過的圖形面積是
故答案為：．
12. 在中，已知，，，是的中點，是的直角邊上的點，若線段把分割為兩部分，所得的三角形與相似，則的長是______．
【答案】3或4或
【解析】
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，分，，，分別利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵在中，已知，，，
∴，
∵是的中點，
∴，
當時，如圖①，則，
∴，即，
∴，則；
當時，如圖②，則，
∴，即，
∴，則；
當，時，如圖③則，
∴，即，
∴，則；
∵過點P有且只有一條直線與垂直，
∴當時，點Q不可能在邊上，
綜上，滿足條件的值為3或4或．
故答案為：3或4或．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13. （1）計算：．
（2）如圖，直線，若，，求的值．

【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查的知識點是特殊角的三角函數(shù)值、平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值及平行線分線段成比例定理．
（1）代入特殊角的三角函數(shù)值進行運算即可求解；
（2）根據(jù)三條直線互相平行得到即可求解．
【詳解】（1）解：原式，
，
．
（2）解：，
，
，
．
14. 已知關(guān)于的方程．
（1）當時，求原方程的解．
（2）若原方程有兩個相等實數(shù)根，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程解法，一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．
（1）將代入，解方程即可；
（2）先求出的值，再根據(jù)的符號即可得出答案．
【小問1詳解】
解：當時，原方程為，
，
即，，
解得：，；
【小問2詳解】
解：該一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，
，
解得：．
15. 如圖，已知正六邊形，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．
（1）在圖1的正六邊形內(nèi)部作一點，連接，使得．
（2）在圖2的正六邊形內(nèi)部作一點，連接，使得．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】本題考查正六邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，掌握正六邊形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
（1）連接、，設(shè)交點為M，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得，利用可得點M即為所求；
（2）連接，，設(shè)交點為N，可得，，，則，由可得結(jié)論．
【小問1詳解】
解：如圖1，點M為所求作；
【小問2詳解】
解：如圖2，點N即為所求作：
16. 2023年11月12日上午，2023南昌馬拉松開始?！30000名跑友齊聚英雄城，在八一廣場激情開跑，除了努力奔跑的參賽選手，賽場外還有一群默默奉獻的“小白鶴”志愿者．大學(xué)生小宇和小杰報名參加賽會志愿者活動，兩人分別從以下四項志愿者活動中隨機選擇一項，．賽道指引，．集結(jié)檢錄，．物資發(fā)放，．人群疏散．

（1）小杰選擇“．賽道計時”是______事件．（填“必然”“不可能”或“隨機”）
（2）請用畫樹狀圖法或列表法求小宇和小杰恰好選擇同一項志愿者活動的概率．
【答案】（1）不可能 （2）
【解析】
【分析】此題考查了用樹狀圖法或列表法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
（1）根據(jù)不可能發(fā)生的事件是不可能事件解答即可；
（2）用樹狀圖法得到所有等可能的結(jié)果，然后找出符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：∵只有四項志愿者活動，
∴小杰選擇“．賽道計時”是不可能事件，
故答案為：不可能；
【小問2詳解】
解：畫樹狀圖如圖：

共有16種等可能的結(jié)果，其中小宇和小杰恰好選擇同一項志愿者活動的4種，
∴小宇和小杰恰好選擇同一項志愿者活動的概率為．
17. 如圖，已知腰長為的等腰直角，，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點的運動路徑為．
（1）求的長．
（2）連接，求證：垂直平分．
【答案】（1）
（2）詳見解析
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、弧長公式、等邊三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的判定等知識．
（1）根據(jù)勾股定理，求得，由旋轉(zhuǎn)可知，，根據(jù)弧長公式計算即可；
（2）根據(jù)題意可判斷為等邊三角形，得，點在線段的垂直平分線上，是的垂直平分線，即垂直平分．
【小問1詳解】
解：由題意可知，，
在等腰直角中，根據(jù)勾股定理得，
，
，
，
將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，
【小問2詳解】
證明：由旋轉(zhuǎn)可知，
，，
為等邊三角形，
，
點在線段的垂直平分線上，
，
點在線段的垂直平分線上，
是的垂直平分線上，
即垂直平分．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18. 如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于點和點，分別交反比例函數(shù)，的圖象于點，點，過點作軸于點．
（1）若是的中點，求的值．
（2）若點的橫坐標為3，求點的坐標．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、坐標與圖形等知識，利用代入求解的方法是解答的關(guān)鍵．
（1）先求得點A坐標，再求得，進而求得，即可求得k值；
（2）將代入中求得得到點C坐標，進而求得k值，則，由求得x值，進而可求解．
【小問1詳解】
解：∵直線分別交軸，軸于點和點，
∴當時，由得，
∴，則，
∵是的中點，
∴，則，
將代入中得，
∴點C坐標為，
∵點C在函數(shù)圖象上，
∴；
【小問2詳解】
解：∵點的橫坐標為3，
∴將代入中，得，
∴，則，
∴，
解方程得，
∵，
∴，又，
∴點D坐標為．
19. 如圖，是外接圓，是的直徑，是延長線上的一點，連接，且，．

（1）求證：是切線．
（2）若，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，熟練利用角度的轉(zhuǎn)換求得，是解題的關(guān)鍵．
（1）連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得，再利用三角形內(nèi)角和定理，即可求得，即可求得；
（2）證明為等邊三角形，得到，再利用勾股定理，即可解答．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接,

,
,
,
,
,
,
,,
,
,
根據(jù)三角形內(nèi)角和，可得，即，
，
，
，
是的切線；
小問2詳解】
解：，
為等邊三角形，
，
，
根據(jù)勾股定理可得．
20. 課本再現(xiàn)
如圖1，某飛機于空中處探測到目標，此時飛機高度，從飛機上看地平面指揮臺的俯角．

（1）求飛機與指揮臺的距離．（結(jié)果取整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，，）
拓展應(yīng)用
（2）如圖2，該飛機于空中處探測到目標后，將點的位置傳送給指揮臺后，沿著北偏東的方向飛行，當飛行8000米后，飛機到達點處．求此時飛機的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】（1）約；（2）約6000米
【解析】
【分析】本題考查解直角三角形-仰角俯角、方向角問題，構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵．
（1）在中，利用正弦定義求解即可；
（2）過作交延長線于E，過A作于F，利用余弦定義求得即可求解．
【詳解】解：（1）由題意，在中，，，，
∴；
（2）過作交延長線于E，過A作于F，
則，

在中，，米，
∴（米），
∴米，
答：此時飛機的高度為6000米．
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21. 某工廠生產(chǎn)某種體育器材，生產(chǎn)這種體育器材每件的成本（元）與產(chǎn)量（件）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，且當時，；當時，．
（1）求與之間的函數(shù)解析式．
（2）該工廠計劃生產(chǎn)這種體育器材不超過300件，且每件的成本不超過800元，已知這種體育器材每件的售價為1200元，且全部售出，求當產(chǎn)量為多少件時，該工廠生產(chǎn)這種體育器材的利潤最大，并求出最大利潤．
【答案】（1）
（2）當產(chǎn)量為300件時，利潤最大，最大利潤為240000元
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用以及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式：
（1）根據(jù)已知條件用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)題意寫出利潤關(guān)于產(chǎn)量的解析式，然后根據(jù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出利潤的最大值．
【小問1詳解】
解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，依題意得：
，
解得：，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；
【小問2詳解】
解：由（1）知；，
設(shè)該工廠生產(chǎn)這種體育器材的總利潤為，則：
由題意得，，
∴，
∴，
∵，
∴
∵的取值范圍在對稱軸的右側(cè)，
∴隨的增大而增大，
∴當時，最大，
此時，，
故當產(chǎn)量為300件時，利潤最大，最大利潤為240000元．
22. 如圖，和均為直角三角形，，，且，，連接，以為斜邊向上作直角，且，，連接．

（1）求證：．
（2）求證：．
（3）直接寫出的值（用含的式子表示）．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）
【解析】
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
（1）先利用平行線的性質(zhì)和已知條件得到，然后證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（2）證明得到，，再證明得到，進而得到，即可得到結(jié)論；
（3）在中，利用正切定義得到，由可求解．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，又，
∴，又，
∴，
∴，則；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，則，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：在中，，，
∴，
由（2）得，
∴．
六、解答題（本大題共12分）
23. 如圖、在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，為拋物線的頂點，連接，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)得到拋物線．
（1）求拋物線的解析式．
（2）連接，，求的值．
（3）連接，是拋物線上的點，若滿足，求點的坐標．
【答案】（1）
（2）
（3）點Q的坐標為或
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)以及與解直角三角形相關(guān)的計算：
（1）由求出與軸的交點，，頂點坐標，設(shè)的解析式為，將點關(guān)于原點對稱的點的坐標代入，求出，即可得的解析式；
（2）過點B作于點E，由兩點間距離公式求出，由三角形面積公式求出，從而可求出；
（3）證明是直角三角形且，分點Q在軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況，根據(jù)即討論求解即可．
【小問1詳解】
解：對于，當時，；當時，，
解得，，
∴，
又，
∴拋物線的頂點P的坐標為，
設(shè)點A關(guān)于原點對稱的點的坐標為，
由旋轉(zhuǎn)知，的頂點坐標為，且過點，
∴設(shè)的解析式為，
把代入得，
解得，，
∴的解析式為；
【小問2詳解】
解：∵，
∴
∴，
過點B作于點E，如圖，
，
則，
∴，
∴
【小問3詳解】
解：∵
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
分兩種情況：
（i）當點Q在y軸左側(cè)時，如圖，過點Q作軸于點F，
∵，
∴，
設(shè)點的坐標為，則：，，
∴，
解得，，
經(jīng)檢驗，是原方程的根，
又，
∴，
此時，點的坐標為；
（ii）當點在軸右側(cè)時，如圖，
∵點A關(guān)于原點對稱的點的坐標為，
∴，
連接，則有：，
∴
∴點與點重合，
∴，
綜上，點Q的坐標為或

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