考試時(shí)間120分鐘 滿分150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1. 若，，則等于（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，，夾角為120?，則等于（ ）.
A. B. 6C. D.
3. 已知向量，，那么向量可以是（ ）
A. B. C. D.
4. 是平行四邊形外一點(diǎn)，用、、表示，正確表示為（ ）
A. B.
C. D.
5. 有關(guān)平面向量的說(shuō)法，下列正確的是（ ）
A. 若，，則B. 若與共線且模長(zhǎng)相等，則
C 若且與方向相同，則D. 恒成立
6. （ ）
A. 1B. C. 3D.
7. 已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
8. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”.他用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識(shí).“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則（ ）
A. 9B. C. 12D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 的最小值為1
B. 若，則
C. 若，與垂直的單位向量只能為
D. 若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為
10. 下列化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（ ）
A B.
C. D.
11. 在中，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則是等腰三角形
B. 若，，則為等邊三角形
C. 若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，則的面積是面積的
D. 若分別是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若，設(shè)，則的值為___________.
13. 圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇尚的圖騰.如圖所示的是一個(gè)圓形，圓心為O，A，B是圓O上的兩點(diǎn)，若，則________________.
14. 我國(guó)人臉識(shí)別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法．假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量，夾角的余弦值，記作，余弦距離為．已知，，，若P，Q的余弦距離為，Q，R的余弦距離為，且，則__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知是平面上兩個(gè)不共線的向量且
（1）若方向相反，求的值；
（2）若三點(diǎn)共線，求的值.
16 已知，，，求：
（1）；
（2）與的夾角．
17. （1）已知，，且及，求的值；
（2）若，，求的值.
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，.
（1）若，，求的值；
（2）若與的夾角為且，求的值.
19. 在直角梯形中，已知，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在線段和上，且，．
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）求向量的夾角；
（3）求的取值范圍．常州市聯(lián)盟學(xué)校2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期階段調(diào)研
高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷
考試時(shí)間120分鐘 滿分150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1. 若，，則等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直接求解.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以.
故選:D.
2. 若，，的夾角為120?，則等于（ ）.
A. B. 6C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由數(shù)量積公式求解.
【詳解】.
故選：A
3. 已知向量，，那么向量可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量共線的充要條件計(jì)算即可判斷.
【詳解】向量，，則存在，使得
故只有向量符合.
故選：A.
4. 是平行四邊形外一點(diǎn)，用、、表示，正確的表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，則為、的中點(diǎn)，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，即可得解.
【詳解】設(shè)，則為、的中點(diǎn)，如下圖所示：
所以，，
同理可得，所以，，
因此，.
故選：C.
5. 有關(guān)平面向量說(shuō)法，下列正確的是（ ）
A. 若，，則B. 若與共線且模長(zhǎng)相等，則
C. 若且與方向相同，則D. 恒成立
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)零向量與共線向量的定義判斷A，根據(jù)相等向量的定義判斷B，根據(jù)向量的定義判斷C，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷D.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，，，滿足，，但是與不一定共線，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若與共線且模長(zhǎng)相等，則或，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知恒成立，故D正確.
故選：D
6. （ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】由利用兩角和的正切公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以.
故選：B
7. 已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)中點(diǎn)為，確定，為正三角形，再計(jì)算向量的投影得到答案.
【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，則，即，故邊為圓的直徑，
則，又，則為正三角形，
則有，
向量在向量上的投影向量，
故選：A
8. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”.他用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識(shí).“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則（ ）
A. 9B. C. 12D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由勾股定理求出，再由向量數(shù)量積的定義式求出乘積即可.
【詳解】由題意可知，，
設(shè)，由勾股定理可得，解得，
所以，所以，
故選：B.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 的最小值為1
B. 若，則
C. 若，與垂直單位向量只能為
D. 若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為
【答案】AB
【解析】
【分析】對(duì)A：根據(jù)模的運(yùn)算公式代入計(jì)算，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷；對(duì)B：利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)即可判斷；對(duì)C：舉反例即可判斷；對(duì)D:根據(jù)向量夾角是鈍角，得到且向量與向量不反向共線，即可判斷．
【詳解】對(duì)A：，則當(dāng)時(shí)，取最小值1，故A正確；
對(duì)B：若，則，解得，故B正確；
對(duì)C：若,易知也是垂直單位向量，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：若與的夾角為鈍角，則,，
且向量與向量不反向共線，即，解得且，故D錯(cuò)誤；
故選：AB．
10. 下列化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用和（差）角公式計(jì)算可得.
【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，故B正確；
對(duì)于C：
，故C正確；
對(duì)于D：
，故D正確.
故選：BCD
11. 在中，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則是等腰三角形
B. 若，，則為等邊三角形
C. 若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，則的面積是面積的
D. 若分別是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】由單位向量，向量垂直判斷A,由夾角公式及模長(zhǎng)判斷B,由平面向量基本定理確定M位置判斷C, 由三點(diǎn)共線及平面向量基本定理將表示為t的二次函數(shù)求最大值判斷D.
【詳解】對(duì)A, 分別表示與 同向的單位向量，
由平面向量加法可知： 為 的平分線表示的向量，
由，可得 的平分線與垂直，
故是等腰三角形，故A正確；
對(duì)B, 由題意，,
則，，故，
又，則，即，
故為等邊三角形，故B正確；
對(duì)C, 若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，設(shè)，
則，即，
結(jié)合，知，則點(diǎn)是邊上的靠近B的三等分點(diǎn)，
則的面積是面積的，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，如圖所示：

因?yàn)?在 上，即，， 三點(diǎn)共線，
設(shè)，
又因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，則，，
令，
時(shí)， 取得最大值為．故D正確．
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三點(diǎn)共線及平面向量基本定理表示為t的二次函數(shù)解決D選項(xiàng).
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若，設(shè)，則的值為___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則，
又因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：.
13. 圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇尚的圖騰.如圖所示的是一個(gè)圓形，圓心為O，A，B是圓O上的兩點(diǎn)，若，則________________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用數(shù)量積公式直接計(jì)算即可．
【詳解】依題意，，
則．
故答案為：2．
14. 我國(guó)人臉識(shí)別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法．假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量，夾角的余弦值，記作，余弦距離為．已知，，，若P，Q的余弦距離為，Q，R的余弦距離為，且，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用新定義得到關(guān)于，的方程，進(jìn)而求得，，再利用基本關(guān)系式求得，從而利用整體法與余弦函數(shù)的和差公式即可得解.
【詳解】，，
所以，
所以，
同理可得,，所以，
解得，，
因?yàn)?，所以，?br>所以，，
所以
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：
（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；
（3）將已知條件代入新定義的要素中；
（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知是平面上兩個(gè)不共線的向量且
（1）若方向相反，求的值；
（2）若三點(diǎn)共線，求的值.
【答案】（1）2；（2）或
【解析】
【分析】（1）由得，再由向量相等可得答案；
（2）由題意知，即，再由向量相等可得答案.
【詳解】（1）由題意知，，則存在，使得，即，
從而，得，或，又方向相反，則
（2）由題意知，，由三點(diǎn)共線得，，存在，使得，即，從而，得或，所以或.
16. 已知，，，求：
（1）；
（2）與的夾角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律和模長(zhǎng)公式運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律和夾角公式運(yùn)算求解.
小問(wèn)1詳解】
由已知，則，可得，
則，所以
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)與的夾角為，
則，
且，所以與的夾角為．
17. （1）已知，，且及，求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由平方關(guān)系求出，再利用兩角和的正弦公式代入求解；
（2）將兩式平方相加并利用平方關(guān)系和兩角差的余弦化簡(jiǎn)求解即可.
【詳解】（1）已知，，且及，
所以，，
所以
又及，所以，故；
（2）由，，
得，
，
相加得，
即，
所以.
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，.
（1）若，，求的值；
（2）若與的夾角為且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知向量的坐標(biāo)結(jié)合向量垂直列式求得，再利用兩角差的正切求值；
（2）直接利用數(shù)量積求夾角公式及輔助角公式可得，求得的值，則的值可求．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，且?br>所以，，所以 ，
故；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，，
，因?yàn)榕c的夾角為，
所以，即，
所以，因?yàn)?，所以?br>所以，所以.
19. 在直角梯形中，已知，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在線段和上，且，．
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）求向量的夾角；
（3）求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出和；再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律即可求解.
（2）先根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出；再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算得出即可解答.
（3）先根據(jù)表示出；再根據(jù)響亮的數(shù)量積運(yùn)算得出；最后根據(jù)即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，
依題意知，，，.
則， .
因?yàn)椋?br>，
.
所以.
因此.
因?yàn)椋?，，
所以，，
所以
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知.
因?yàn)?，?br>所以；
.
則.
因?yàn)?，?，
所以，
故向量的夾角為
【小問(wèn)3詳解】
由（2）可知：
，
.
則.
因?yàn)椋?，
所以
由題意知，，
所以的取值范圍是，
∴的取值范圍是．

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