2021-2022學(xué)年江蘇省常州市八校高一（下）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（5月份） 題號(hào)一二三四總分得分       一、單選題（本大題共8小題，共40分）已知復(fù)數(shù)，則它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限棱臺(tái)不具備的性質(zhì)是(    )A. 兩底面相似 B. 側(cè)面都是梯形
C. 側(cè)棱都相等 D. 側(cè)棱延長后都交于一點(diǎn)在空間中，下列條件中不能推出四邊形為平行四邊形的是(    )A. 一組對(duì)邊平行且相等 B. 兩組對(duì)邊分別相等
C. 兩組對(duì)邊分別平行 D. 對(duì)角線相互平分如圖正方形的邊長為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形中的長度為(    )A.
B.
C.
D. 已知，，若，，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 中，，，，為中點(diǎn)，則長為(    )A.  B.  C.  D. 如圖平面四邊形中，，，則可表示為(    )
 A.  B.  C.  D. 如圖在三棱錐中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，若直線平面，則的值為(    )A.
B.
C.
D.  二、多選題（本大題共4小題，共20分）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知直角三角形中，，則的可能取值為(    )A.  B.  C.  D. 下列條件中，一定能推出三角形為等腰三角形的有(    )A.
B.
C.
D. 且設(shè)、、、是空間中四個(gè)不同的點(diǎn)，下列命題中正確的是(    )A. 若與共面，則與共面
B. 若與是異面直線，則與也是異面直線
C. 若，，則
D. 若，，則如圖，正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則下列說法正確的是(    )A. 平面
B. 平面
C. 異面直線與所成角為
D. 平面截正方體所得截面為等腰梯形
  三、填空題（本大題共4小題，共20分）設(shè)為兩個(gè)不共線的向量，，若，，三點(diǎn)共線，則的值為______．一正方體的展開圖如圖所示，則在原來的正方體中，直線與的位置關(guān)系為______填平行、相交、異面．
 三棱錐中，所有棱長都相等，為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為______．已知，則的值為______． 四、解答題（本大題共6小題，共70分）已知，，的夾角是，計(jì)算：
計(jì)算，；
求和的夾角的余弦值．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位．
若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
若，是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)，的值．在空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，，分別邊，上的點(diǎn)，且求證：
點(diǎn)，，，四點(diǎn)共面；
直線，，相交于一點(diǎn)．
三棱柱中，側(cè)棱底面．
若，求證：平面平面；
若平面平面，求證：．
如圖，，、、分別為線段、、中點(diǎn)，且、、三點(diǎn)不共線．求證：平面平面．
現(xiàn)代傳媒大廈是我市最高的標(biāo)志性建筑．某學(xué)習(xí)小組要完成兩個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè)：驗(yàn)證百度地圖測(cè)距的正確性及測(cè)算傳媒大廈的高度．如圖龍城大道沿線的水平路面上有兩點(diǎn)其中指向正西方向，首先利用百度地圖測(cè)距功能測(cè)出長度為，接著在飛龍路沿線選定水平路面上可直接測(cè)距的兩點(diǎn)，測(cè)得，，，，學(xué)習(xí)小組根據(jù)上述條件計(jì)算出長度，并將其與的實(shí)際長度進(jìn)行比較，若誤差介于米米之間，則認(rèn)為百度地圖測(cè)距是正確的．
通過計(jì)算說明百度地圖測(cè)距是否正確？
如圖，小組在處測(cè)得現(xiàn)代傳媒大廈樓頂在西偏北方向上，且仰角，在處測(cè)得樓頂在西偏北方向上，通過計(jì)算得，，若百度地圖測(cè)出的是準(zhǔn)確的，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)測(cè)算出傳媒大廈的高度．精確到米
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第四象限．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．
本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：根據(jù)棱臺(tái)的定義，由平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面與底面之間的部分叫棱臺(tái)．
棱臺(tái)的兩底面是相似多邊形；側(cè)面的上下底邊平行；側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，故A、、成立，
不一定成立，
故選：．
根據(jù)棱臺(tái)的定義，由平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面與底面之間的部分叫棱臺(tái)，依次判斷可得答案．
本題考查棱臺(tái)的性質(zhì)．
 3.【答案】 【解析】解：因?yàn)檫^兩平行直線或相交直線有且只有一個(gè)平面，所以選項(xiàng)中四邊形為平面圖形，
再由平行四邊形的判定定理可知中的四邊形為平行四邊形；由空間四邊形的概念可知B錯(cuò)誤．
故選：．
先根據(jù)過兩平行直線或相交直線有且只有一個(gè)平面，再由平行四邊形的判定定理可判斷；由空間四邊形概念可判斷．
本題考查了平行四邊形的判定定理和空間四邊形概念，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，作出原圖：

，，
，
故選：．
畫出原圖，利用勾股定理求即可．
本題考查平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，，
所以，且，
故，所以；
因?yàn)?/span>，所以；
故
．
故選：．
根據(jù)條件，由求解即可．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角恒等變換，和角的正弦，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：在中，，，，
所以，
在中，利用余弦定理：，
解得：．
故選：．
直接利用余弦定理，三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：余弦定理，三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：
，
又，，
，
故選：．
根據(jù)平面向量基本定理，向量線性運(yùn)算即可求解．
本題考查平面向量基本定理，向量線性運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：連接，交于，連接，如圖，

平面，平面平面，
，
點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)．
是的重心，
．
故選：．
連接，交于，連接，由平面，得到，由點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，得到是的重心，由此能求出結(jié)果．
本題考查線面平行，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，，則，
若是直角，則，解可得，
若是直角，則，無解；
若是直角，則，解可得，
故或，
故選：．
根據(jù)題意，按、、為直角分種情況討論，求出的值，綜合可得答案．
本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：對(duì)于，因?yàn)?/span>，可得，由，解得，即，可得三角形為等腰三角形，故A正確；
對(duì)于，因?yàn)?/span>，
整理可得，可得，或，即三角形為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于，由于，可得，
可得，即，
可得，或，
所以或，三角形不一定是等腰三角形，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于，由，得，
又，
所以，則，即，
所以，三角形為等邊三角形，也屬于等腰三角形，故D正確．
故選：．
利用余弦定理化角為邊變形后判斷，利用正弦定理化邊為角變形判斷，利用正弦定理化角為邊變形判斷．
本題考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，若與共面，則，，，是四點(diǎn)共面，則與共面，正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，若與是異面直線，則，，，四點(diǎn)不共面，則與是異面直線，正確；
如圖，空間四邊形中，，，則與不一定相等，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于，當(dāng)，，，四點(diǎn)共面時(shí)顯然成立，
當(dāng)，，，四點(diǎn)不共面時(shí)，取的中點(diǎn)，連接、，則，，，

平面，，故D正確．
故選：．
利用平面的性質(zhì)可判斷，利用空間四邊形及線面垂直的判定定理可判斷．
本題考查了平面的性質(zhì)和線面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題．
 12.【答案】 【解析】【分析】本題考查空間中直線與平面位置關(guān)系的判定，考查空間角的求法，屬于中檔題．
利用反證法思想判斷；由直線與平面平行的判定判斷；求解異面直線所成角判斷；找出平面截正方體所得截面，由判斷．【解答】解：對(duì)于，假設(shè)平面，則，又，且與相交，可得平面，而平面，與過一點(diǎn)有且只有一條直線與一個(gè)平面垂直矛盾，則與平面不垂直，故A錯(cuò)誤；
，分別為棱和的中點(diǎn)，，
平面，平面，平面，故B正確；
，可得，又易知面，，，，，平面，，，即異面直線與所成角為，故C正確；
連接，，可得，即四邊形為平面截正方體所得截面，
由正方體的結(jié)構(gòu)特征求得，則平面截正方體所得截面為等腰梯形，故D正確．
故選：．  13.【答案】 【解析】解：為兩個(gè)不共線的向量，，
，
若，，三點(diǎn)共線，，，求得，
故答案為：．
由題意，先求出，根據(jù)，可得，由此求得的值．
本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，三點(diǎn)共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】異面 【解析】解：如圖，是展開圖還原后的正方體，

由于平面，平面，，平面，
所以直線與是異面直線．
故答案為：異面．
把展開圖折疊為正方體，再由直線間的位置關(guān)系判斷．
本題考查了空間中直線與直線位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn)，則為三角形的中位線，所以，
所以直線與所成的角即為直線與直線所成角，
因?yàn)槿忮F的棱長全相等，設(shè)棱長為，則，
在等邊三角形中，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以為邊上的高，
所以，
則，
在三角形中，．
所以，直線與直線所成角的余弦值為．

故答案為：．
題目要求解的是兩條異面直線所成角的余弦值，且給出了棱的中點(diǎn)，可以想到再找的中點(diǎn)，連接兩中點(diǎn)，得到，則直線與直線所成角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成角，在三角形中運(yùn)用余弦定理可求的余弦值，則直線與直線所成角的余弦值可求．
本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個(gè)重要技巧，這個(gè)技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧，屬中檔題．
 16.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，
所以，
，
，
，
，
由得，
．
由已知利用二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的余弦公式可得，，由兩式可得，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式即可求解的值．
本題考查了二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的余弦公式，兩角差的余弦公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和方程思想，屬于中檔題．
 17.【答案】解：由題可得，
，所以；
，
設(shè)和的夾角為，
所以． 【解析】利用數(shù)量積的定義可求出，先求出，即可得出；
先求出，根據(jù)向量夾角關(guān)系即可求出．
本題考查了平面向量數(shù)量積和兩個(gè)向量的夾角運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：是純虛數(shù)，
，且，
解得．
若，則，
是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，
，
，
，解得，
即，． 【解析】根據(jù)純虛數(shù)的定義求解．
由的值求出，代入方程即可求出實(shí)數(shù)，的值．
本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 19.【答案】證明：如圖所示，
空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，
；
又．
，
，
E、、、四點(diǎn)共面；
設(shè)與交于點(diǎn)，
平面
在平面內(nèi)，
同理在平面內(nèi)，且平面平面，
點(diǎn)在直線上，
直線，，相交于一點(diǎn)． 【解析】利用三角形的中位線平行于第三邊和平行線分線段成比例定理，
得到、都平行于，由平行線的傳遞性得到，
根據(jù)兩平行線確定一平面得出證明；
利用分別在兩個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上，即可證明．
本題考查了三角形的中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、直線的平行性的傳遞性、確定平面的條件以及三線共點(diǎn)的應(yīng)用問題．
 20.【答案】證明：平面，平面，
，
，，
平面，平面，
平面，
又平面，平面平面；
過作于，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
，
，平面，，
平面，平面，
． 【解析】利用績面垂直、面面垂直的判定定理能證明平面平面；
利用面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理可得平面，由此能證明．
本題考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間思維能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．
 21.【答案】證明：，分別為，中點(diǎn)，
，又，，
，
設(shè)平面，平面，
，
，分別為，中點(diǎn)，
，，
，，
，
，平面，，，，
平面平面． 【解析】利用線面平行的判定定理及面面平行的判定定理即得．
本題考查面面平行，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題．
 22.【答案】解：設(shè)，等腰中，，
在中，，，，可得，
由正弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，
，，
，
百度地圖測(cè)距是準(zhǔn)確的；
中，由正弦定理可得，
設(shè)，，
中由余弦定理可得，
，
，
由解得，
所以，，
中，，
答：測(cè)算出傳媒大廈高度約為米． 【解析】設(shè)，利用正弦定理可得，然后在中，利用余弦定理求出，進(jìn)而可求出；
利用正弦定理，余弦定理結(jié)合條件列方程可求出，，然后在中可求得結(jié)果．
本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
 

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